证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法

淮安市吴承恩中学 严永飞 223200

摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特.

关键词：不等式，公式法，构建模型法

前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式

这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题.

例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2

3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂.

令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC .

欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B

A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ),

而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-.

（*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1).

令λ=21时,C B A +2+A

C B +2+ B A C +2

≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.)

例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n

y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z

z +1≤n n 12-

证明 令P x n =+11, Q y n =+11, R z n

=+11 由于n n x x +1+n n

y y +1+n n z z +1=n n x x +-+111+n n y

y +-+111+n n z z +-+111 =R Q P -+-+-111 =1

所以2=++R Q P

由于()1-++n R Q P =()1-++n R Q P ()

n n n Rz Qy Px ++≥()n Rz Qy Px ++ 故 Rz Qy Px ++≤()n

n R Q P /1-++

即 n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12- 这里用到定理：(∑=m i i a 1)n-1 ∑=m i n

i i x a 1 ≥ (∑=m i i i x a 1

)n

注 利用倒数变换不等式，可以使要证的不等式变得相对简单，使我们能够更好的去观察不等式，与我们熟悉的不等式相联系，从而达到解题的目的. 2 建立概率模型证明不等式

从表面上看概率与证明不等式没有太大关系，但在做题过程中可以发现题目中的细枝末节，运用发散思维，可以使两者建立联系.

例 3 证明：1--A a A +)2)(1()1)((-----A A a A a A +…+a a A a A )1()1(12)(+-?-

A （+∈Z a A ,且 a A >）

分析：仔细观察不等式，发现其中有阶乘的形式，因而我们可以试着去建立概率

模型去证明不等式.

证明：建立A 个球其中a 个黑球的模型，不放回的摸球，直到摸到黑球为止.第一次摸到黑球的概率是

A

a ，第二次摸到黑球的概率是A a A -·1-A a ，…，第1+-a A 次摸到黑球的概率是A a A -·11---A a A ·…a a ，而最多到第1+-a A 次一定会摸到黑球，设i E =｛第i 次摸到黑球｝，

则｛黑球在第1次到第1+-a A 次中取到｝为一必然事件，

其概率为1.

即 P(1E )＋P(E 12E )+…+P(E 12E …a A E -1+-a A E )=1

所以有

A a +A a A -·1-A a +…+A a A -·11---A a A ·…a a =1 两边同乘a A ，得1+1--A a A +)2)(1()1)((-----A A a A a A +…+a a A a A )1()1(12)(+-?- =a A 即 1--A a A +)2)(1()1)((-----A A a A a A +…+a a A a A )1()1(12)(+-?-

A 注：建立概率模型证明不等式，新颖独特，但只要我们在学好各类知识点的基础上，开动脑筋，广泛联系，一定能够触碰出思维的火花.

3 灵活运用重要不等式解题

重要不等式是中学数学证明不等式的重要方法，但不能拘泥与我们所记忆的内容，对它们的变形也要熟悉，达到灵活应用.

例 4 设n S = ∑=n k k

11 ，求证：n (1+n )n 1-n < n S < n -(1-n )n －11

+n (2>n )

证明 由均值不等式得，当2>n 时

n 1(n S +n )= n 1[(1+1)+ (1+21)+ (1+31)+…+ (1+n

1)] > (2·23·34…n n 1+)n 1 =(1+n )n 1 即 n (1+n )n

1-n < n S

另一方面， 11-n ( n -n S )= 11-n [(1-1)+ (1-21)+ (1-31)+…+ (1-n

1)] >(21·32·…·n

n 1-)11-n = n －11+n 即 n S < n -(1-n )n －11+n 所以 n (1+n )n 1

-n < n S < n -(1-n )n －11+n (2>n )

例 5 求证：(1+1)(1+31)(1+51)…(1+1

21-n ) >12+n 分析：仔细观察不等式发现有12，34，56，… , 1

22-n n 联想到高中数学竞赛中有一个重要不等式---“糖水不等式”：b a

b m a ++ (0,0><m

a m

b ++ (0,0><m

a m

b ++ (0,0><

则 (1+1)(1+31)(1+51)…(1+1

21-n ) =12×34×56×78… ×1

22-n n >1112++×1314++×1516++×1718++… ×1

1212+-+n n =23×45×67×89×…×n

n 212+ =21×43×65×87×…×n

n 212-×(2n+1) 所以 (12×34×56×78… ×1

22-n n )2 >2n+1 即 (1+1)(1+31)(1+51)…(1+1

21-n ) >12+n 注 掌握重要不等式是解题的关键.实践证明，复杂的不等式大多数都是由重要不等式整和、加工而成.因而一方面要掌握重要不等式，另一方面对它们的一些简单变形也要熟悉.

4 构造向量证明不等式

向量的乘法公式是向量的重要公式之一，通过对三角函数性质的熟悉，可以把公式中的等式形式变化成不等式形式，构造向量模型证明不等式.

例 6 设c b a ,,∈R + ,试证

2b a +2c b +2a c ≥a 1+b 1+c 1 证明：构造向量:→P =(b a , c b , a c ) , →Q =(a 1,b 1,c

1) 由→P 2·→Q 2≥(→P ·→Q )2得

(

2b a +2c b +2a c )(a 1+b 1+c 1)≥(b a ×a 1+c b ×b 1+a c ×c 1)2 即 2b a +2c

b +2a

c ≥a 1+b 1+c 1 (当且仅当c b a ==时,等号成立) 例 7 已知

d c b a ,,,∈R + ,且1=+++d c b a

求证:14+a + 14+b +14+c +14+d ≤42

证明：构造向量: →P =(14+a ,14+b ,14+c ,14+d ) , →

Q =(1,1,1,1) ,

由→P ·→Q ≤ →P ·→Q 得 14+a +14+b +14+c +14+d ≤14141414+++++++d c b a ·1111+++ =)(44d c b a ++++·4=42

当且仅当→P =→Q 即4/1====d c b a 时,等号成立.

推广：若 +∈R x x x n ,,,21 ,且121=+++n x x x ,

则 11+nx +12+nx +…+1+n nx ≤n

2 (+∈N n ) 分析：构造向量: →P =(11+nx ,12+nx ,...,1+n nx ) →Q =(1,1, (1)

证明方法类似上题.

注 以上两例可以看出构造向量证明不等式问题方便、快捷,能否构造出合适的向量是解题的关键.这不仅要求我们熟练掌握向量的性质及公式,还要求我们广泛联系,学以致用.

5 运用数学归纳法证明不等式

很多题目表面上看特殊，但我们可以对题目进行归纳总结，使题目转化成另一个等价的命题，变成一类题目，便于我们证明和掌握.

例 8 设数列{n x }满足1x =21，1+n x = n x +22n

x n 证明：2007x ＜1004 分析 1004=2

12007+即命题可变为： 设数列{n x }满足n x =21 1+n x = n x +22n

x n 证明：n x ＜21+n 证明 因为n =1时，显然 n x ＜2

1+n 成立， n =2时，2x =4

3＜23显然也成立 所以仅对n ≥3时，用数学归纳法证明

(1)当n =3时，3x =6457＜2

13+成立 (2)假设k n =时，k x ＜2

1+k ， 当 1+=k n 时，1+k x =k x +22k x k =22??

? ??+k k x k —42k

因为 0＜k x ＜2

1+k 所以 1+k x ＜（221k k k ++）2—42k =43+241k +k 21+2k =22+k —41+2421k k +=22+k —2242)1(k

k --≤22+k 即 1+=k n 时成立

由(1)(2)可知命题为真

即当 n =2007时 2007x ＜1004

例9．设0＜a ＜1，定义1a =1+a ，1+n a =n

a 1+a ，求证:对一切自然数n 有n a ＞1 分析：若n a ＞1即1+n a ＞1，n

a 1+a ＞1，n a ＜a -11， 命题可变为:设0＜a ＜1，定义1a =1+a ，1+n a = n

a 1+a 求证：对一切自然数n 有1＜n a ＜

a

-11 证明 （1）1=n 显然成立 （2）假设k n =时成立，即1＜k a ＜

a -11，1—a ＜n a 1＜1 当1+=k n 时，1+k a =a a k +1 即1+k a —a =k

a 1 所以 a -1＜1+k a —a ＜1 即1＜1+k a ＜1+a

因为 0＜a ＜1 所以 0＜1—2a ＜1

所以 1＜1+k a ＜1+a ＜a

-11 即1+=k n 时成立， 由(1)(2)可知命题为真，即对一切自然数 n 有n a ＞1

注 数学归纳法通常用于证明数列不等式,在使用数学归纳法之前要透过题目的表象,仔细理解其本质,归纳出论点,与相类似的题目联系,最终得到证明.

6 逆用等比数列求和公式

等比数列求和公式是中学数学的重要内容之一，把它与极限的思想紧密的联系在一起可以起到意想不到的效果，这种方法经历了一个从有限到无限再从无限到有限的过程.

等比数列的求和公式为 1111-+++n q a q a a =q

q a n --1)1(1(0

q

a -11(0

11y -≥xy -12 分析:从式子的结构联想到无穷递缩等比数列的求和公式，使211x -+ 211y

-转化为无穷等比数列的各项和.

211x -+ 211y -=( ++++8421x x x )+( ++++8421y y y ) =2+(22y x +)+(44y x +)+(88y x +)+…

≥2+xy 2+222y x +442y x + (x)

-12 总结 从以上问题的的探究过程中不难发现:遇到不等式证明的问题,我首先要做的就是反复观察题目,或者透过现象认识题目的本质,从而找到题目的突破口,或者观察不等式字母、数字的形态特征,与已知的重要不等式相联系、整合,达到解题的目的.这里所举的几种证明不等式的非常规方法看似巧妙,但如果你认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题迎刃而解.