不等式的证明方法习题精选精讲
不等式性质的应用
不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。
1．不等式性质成立的条件
运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。
例1：若0<
A ．
b a 11> B ．a
b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。
由b a -<
-11，b
a 11>，∴（A ）成立。 由0<<
b a ，||||b a >，∴（C ）成立。
由0>->-b a ，2
2
)()(b a ->-，2
2b a >，∴（D ）成立。
∵0<->-a b a ，
)(11b a a --<-，b
a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。
例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<
分析：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件。 解：（1）错误。当0=c 时不成立。 （2）正确。∵02
≠c 且02
>c ，在2
2c
b c a >两边同乘以2
c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b
a b a 1
1
>，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。
2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232
>-+x x 与0432
>-+x x
（2）13
8112++
>++
x x x 与82>x （3）35
7354-+>-+x x x 与74>x （4）
023
>-+x
x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232
2
>-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11
3
8112>?>-≠?++>++
x x x x x x 。
（3）47357354>?-+>-+
x x x x 且3≠x ，4
7
74>?>x x 。 （4）不等式的解均为}23|{<<-x x
∴应选B 。
3．利用不等式性质证明不等式
利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。
例4：若0>>b a ，0< d b e c a e -> -。 分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。注意性质的使用条件。 解：∵0< b c a -< -1 1。 而0 d b e c a e -> - 4．利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径。 例5：若二次函数)(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。 解：设c ax x f +=2 )(（0≠a ）。 ?? ?+=+=c a f c a f 4)2()1(??? ???? -=-=?3)2()1(43)1()2(f f c f f a 3 ) 1(5)2(83)2()1(4)1(3)2(39)3(f f f f f f c a f -= -+ -=+= ∵2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ， ∴10)1(55≤≤f ，32)2(824≤≤f ，27)1(5)2(814≤-≤f f ， ∴ 93) 1(5)2(8314≤-≤f f ， 即9)3(3 14 ≤≤f 。 5．利用不等式性质，探求不等式成立的条件 不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。 例6：已知三个不等式：①0>ab ；②b d a c >；③ad bc >。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_____________个正确命题。 解：对命题②作等价变形： 0>-?>ab ad bc b d a c 于是，由0>ab ，ad bc >，可得②成立，即①③?②； 若0>ab ， 0>-ab ad bc ，则ad bc >，故①②?③； 若ad bc >，0>-ab ad bc ，则0>ab ，故②③?①。 ∴可组成3个正确命题。 例7：已知b a >，b b a a 1 1->- 同时成立，则ab 应满足的条件是__________。 解：∵ab ab b a b b a a )1)(()1()1(+-=---，由b a >知0) 1(>+ab ab ， 从而0)1(>+ab ab ，∴0>ab 或1- 不等式的证明 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 1、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1 已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 2、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2 a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2 222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3 设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 44c b a abc c b a ++>++ 证：∵ 22442b a b a >+ 22442c b c b >+ 22442a c a c >+∴ 2 22222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 2 22222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a a b ab +≥++≥+∴≥+ 即 2 ) (2 2 2 b a b a +≥ +，两边开平方得 )(2 2222 2 b a b a b a +≥+≥ + 同理可得 )(2 2 2 2 c b c b +≥ +)(2 2 2 2 a c a c +≥ +三式相加，得 )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥+++++ 5),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9 )1 1)(11(≥++y x 。 证： )1)(1()11)(11(y y x x y x y x ++++=++) (25)2)(2(y x x y y x x y ++=++=9225=?+≥ 6已知.911111,,≥?? ? ??+??? ?? + =+∈+ b a b a R b a 求证： 策略:由于的背后隐含说明1,,4121 ,,2 =+∈≤??? ?????? ??+≤=+∈++b a R b a ab b a ab b a R b a .41 ≤ab 着一个不等式 证明：411,,≤∴=+∈+ ab b a R b a 。.91111. 981211111111111 ≥?? ? ??+??? ??+∴=+≥+=+++=+++=??? ??+??? ??+b a ab ab ab b a ab b a b a 而 3、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7已知a 、b 、c 为正数，求证： )3(3)2( 23 abc c b a ab b a -++≤-+ 证：要证： )3(3)2( 23 abc c b a ab b a -++≤-+只需证：332abc c ab -≤- 即：3 32abc ab c ≥+∵ 3333abc ab ab c ab ab c =≥++成立∴ 原不等式成立 证：3≤ ++c b a 3)(2 ≤++?c b a 即：2222≤++ac bc ab ∵b a ab +≤2 c b bc +≤2 c a ac +≤2即2)()()(222=+++++≤++c a c b b a ac bc ab ∴原命题成立 4、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 证明：令αsin =a 2π πα+ ≠k Z ∈k βsin =b 2π πβ+ ≠k Z ∈k 左 β αβαβαβαcos cos sin sin cos cos sin sin ±=?+= 1)cos(≤±=βα∴ 1 )1)(1(22≤--+b a ab 证：由12 2=+y x 设αcos =x ，αsin =y ∴ ] 2,2[)4 sin(2sin cos -∈+ =+=+π αααy x ∴ 22≤+≤- y x 证明：∵a －b>0, b －c>0, a －c>0 ∴可设a －b=x, b －c=y (x, y>0) 则a －c= x + y, 原不等式转化为证 明 y x y x +≥+411即证4)11)((≥++y x y x ，即证42≥++x y y x ∵2≥+x y y x ∴原不等式成立（当仅x=y 当“=”成立） （带范围的三角换元） 证明：∵1≤x 2＋y 2≤2，∴可设x = rcos θ，y = rsin θ，其中1≤r 2≤2，0≤θ＜π2． ∴x 2 －xy ＋y 2 = r 2 －r 2 21sin θ2= r 2 (1－21sin θ2)，∵21≤1－21sin θ2≤23，∴21r 2≤r 2(1－21sin θ2)≤2 3r 2，而 21r 2≥21，23r 2≤3∴ 2 1≤x 2－xy ＋y 2 ≤3． 证明：∵x 2－2xy ＋2y 2= (x －y)2＋y 2 ，∴可设x －y = rcos θ，y = rsin θ，其中0≤r ≤2，0≤θ＜π2． ∴| x ＋y | =| x －y ＋2y | = | rcos θ＋2rsin θ| = r|5sin(θ＋ractan 2 1 )|≤r 5≤10． 解：因为2 2)1()5(++-x x =6，故可令 x -5 =6 sin θ，1+x ＝6 cos θ，θ∈［0， 2 π］ 则原不等式化为 6 sin θ－6 cos θ ＞ 21所以6 sin θ ＞2 1 +6 cos θ 由θ∈［0， 2 π ］知21+6 cos θ＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos 2θ+46 cos θ－23＜0 解得0≤cos θ＜ 246282-所以x ＝6cos 2θ－1＜124724-，且x ≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x ＜ 12 47 24-} . 15证明：∵1－x 2 ≥0，∴－1≤x ≤1，故可设x = cos θ，其中0≤θ≤π． 则21x -－x =θ2cos 1-－cos θ= sin θ－cos θ=2sin(θ－4π)，∵－4π≤θ－4π≤4 3π， ∴－1≤2sin(θ－4 π )≤2，即－1≤21x -－x ≤2． 增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简． 证明：∵a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =2＋t ，b=2 －t ， (t ∈R) 则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2= 2t 2＋225≥225 ． ∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2 ≥2 25． 利用“1”的代换型 17. 91 11 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证：且已知策略：做“1”的代换。 证明： c c b a b c b a a c b a c b a +++ +++++=++1119 22233=+++≥??? ??++??? ??++??? ??++=c b b c c a a c b a a b . 5、反证法 反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3 = 2，求证：p ＋q ≤2．证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8，∵p 3＋q 3 = 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2 )，又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2 －pq ＋q 2 ，即(p －q)2 ＜0，矛盾．故假设p ＋q ＞2不成立，∴p ＋q ≤2． 证明：假设b a ?-)1(，c b ?-)1(，a c ?-)1(均大于41 ∵ )1(a -，b 均为正 ∴ 2141)1(2)1(=>?-≥+-b a b a 同理 2141)1(2)1(=>?-≥+-c b c b 212)1(>+-a c ∴ 21 21212)1(2)1(2)1(++>+-++-++-a c c b b a ∴ 23 23>不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确 证明：假设三式同时大于 4 1∵0＜a ＜1 ∴1－a ＞0 ∴ 2 1 41)1(2)1(=> -≥+-b a b a 21 a 、 b 、R c ∈，0>++c b a ，0>++ca bc ab ，0>??c b a ，求证：a 、b 、c 均为正数。 证明：反证法：假设a 、b 、c 不均为正数 又 ∵ 0>??c b a a 、b 、c 两负一正 不妨设0c 又 ∵ 0>++c b a ∴ 0)(>+->b a c 同乘以)(b a + ∴ 2)()(b a b a c +-<+即0)(22<++-<++b ab a ab bc ac ，与已知0>++ca bc ab 矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ a 、b 、c 均为正数 6、放缩法 放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩 证明：∵ d c b a b +++＜c b a b ++＜b a b +，d c b a c +++＜d c b c ++＜d c c +， d c b a d +++＜a d c d ++＜d c d +，d c b a a +++＜b a d a ++＜b a a +， 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜ c b a b ++＋ d c b c ++＋a d c d ++＋b a d a ++＜2． 证明：∵ ) 1(21 2 21 --=-+< +=k k k k k k k ) 1(21 221k k k k k k k -+=++> += ∴ ) 1(2)23(2)12(2112 11--++-+-+<+ ++ n n n 12-=n ) 1(2)23(2)12(212 11n n n -+++-+->+++ )11(2-+=n 判别式法 24A 、B 、C 为ABC ?的内角，x 、y 、z 为任意实数，求证： A yz z y x cos 2222≥++C xy B xz cos 2cos 2++。 证明：构造函数，判别式法令 )cos 2cos 2cos 2()(2 22C xy B xz A yz z y x x f ++-++= )cos 2()cos cos (22 22A yz z y C y B z x x -+++?-=为开口向上的抛物线 )cos 2(4)cos cos (4222A yz z y C y B z -+-+=? )cos 2cos cos 2sin sin (42222A yz C B yz C y B z ++--= )]sin sin cos (cos 2cos cos 2sin sin [42 2 2 2 C B C B yz C B yz C y B z -+-+-= ]sin sin 2sin sin [42222C B yz C y B z -+-= 0)cos sin (42≤--=C y B z 无论y 、z 为何值，0≤? ∴ R x ∈ 0)(≥x f ∴ 命题真 构造函数法 构造函数法证明不等式24 设0≤a 、b 、c ≤2，求证：4a ＋b 2＋c 2＋abc ≥2ab ＋2bc ＋2ca ． 证明：视a 为自变量，构造一次函数)(a f = 4a ＋b 2＋c 2＋abc －2ab －2bc －2ca = (bc －2b －2c ＋4)a ＋(b 2＋c 2－2bc)，由0≤a ≤2，知)(a f 表示一条线段．又)0(f = b 2＋c 2－2bc = (b －c)2≥0，)2(f = b 2＋c 2－4b －4c ＋8 = (b －2)2＋(c －2)2≥0， 可见上述线段在横轴及其上方，∴)(a f ≥0，即4a ＋b 2＋c 2＋abc ≥2ab ＋2bc ＋2ca ． 构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系→ m ·→ n ≤|→ m |·|→ n |，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握． 证明：构造向量→ m = (a ＋2，b ＋2)，→ n = (1，1)．设→ m 和→ n 的夹角为α，其中0≤α≤π． ∵|→ m | =2 2 ) 2()2(+++b a ，|→ n | = 2，∴→m ·→n = |→m |· |→ n |cos α=2 2)2()2(+++b a ·2·cos α； 另一方面，→ m ·→ n = (a ＋2)·1＋(b ＋2)·1 = a ＋b ＋4 = 5，而0≤|cos α|≤1， 所以2 2 ) 2()2(+++b a ·2≥5，从而(a ＋2)2＋(b ＋2)2 ≥ 2 25 ． 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观 性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决． 证明：所证不等式变形为：2 1 212+++b a ≤2．这可认为是点 A(1 2+a 12+b )到直线 x ＋y = 0的距离． 但因(12+a )2 ＋(12+b )2 = 4，故点A 在圆x 2 ＋ y 2 = 4 (x ＞0，y ＞0)上．如图所示，AD ⊥BC ，半径AO ＞AD ，即 有： 2 1 212+++b a ≤2，所以12+a ＋12+b ≤22． 浅谈不等式恒成立问题 1 转换主元法 确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。 例1：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2) 根据题意有：?????<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)0 1)-(2x -1)--2(x f(-2)2 2 即：?????<->+0 1-2x 2x 0 3-2x 2x 22 解之：得x 的取值范围为2 3 1x 271+<<+- 2 化归二次函数法 根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。 例2：在R 上定义运算?：x ?y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)?(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( ) (A)－1 a -<< 解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立 即x 2-x-a 2+a+1>0对x ∈R 恒成立 记f(x)=x 2-x-a 2+a+1 则应满足(-1)2-4(-a 2+a+1)<0 化简得 4a 2-4a-3<0 解得 2 3 21<<- a ,故选择C 。 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。 解：设f(x)=x 2-2mx+2m+1 本题等价于函数f(x)在0≤x ≤1上的最小值大于0，求m 的取值范围。 (1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值， 解 ???>+=<0 12m f(0)0 m 得 21- (2)当0≤m ≤1时，f(x)在x=m 时取得最小值 解 ? ??>++=≤≤012m -m f(m)1m 02 得 0≤m ≤1 (3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值 解 ???>=>0 2f(1) 1m 得 m>1 综合(1)(2)(3) 得 2 1m - > 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。 3 分离参数法 在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a 例4：已知向量a =(x 2,x+1), b =(1-x,t) 若函数f(x)＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围。 解：依题意， f(x)＝x 2(1-x)+(x+1)t=-x 3+x 2+tx+t 则f ＇(x)=-3x 2+2x+t ∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f ＇(x)≥0 即-3x 2+2x+t ≤0在x ∈(-1，1)上恒成立 设g(x)=3x 2 -2x ∴t ≥g(-1) 即 t ≥5 解：依题意： 51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0>5 1[3n-1+(-1)n-2·2n-1]+(-1)n-1·2n-1 ·a 0 化简，得 (-1)n ·3·2n-1·a 0>-52·3n-1+5 3(-1)n ·2n-1 (1)当n=2k-1 k ∈N * 时 a 0< 152·(23)n-1+5 1 设g 1(n)= 152·(23)n-1+5 1 ∵g 1(n)在n ∈N * 时且n=2k-1,k ∈N * 时是增函数 ∴g 1(n)的最小值为g 1(1)＝3 1 ∴a 0<3 1 (2) 当n=2k k ∈N * 时 a 0>-152·(23)n-1+5 1 设g 2(n)=- 152·(23)n-1+51 ∵g 2(n)在n ∈N *且n=2k,k ∈N * 时是减函数 ∴g 2(n)的最大值为g 2(2)＝0 ∴a 0>0 综上可知0 1 例6：函数y ＝f(x)在区间(0, ∞+)内可导，导函数' f (x)是减函数，且' f (x)>0。设x 0∈(0, ∞+)，y=kx+m 是曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程并设函数g(x)=kx+m （Ⅰ）用x 0，f(x 0)，' f (x 0)表示m ； （Ⅱ）证明：当x ∈(0, ∞+)时，g(x)≥f(x) （Ⅲ）若关于x 的不等式x 2+1≥ax+b ≥2 3 32 x 在[0, ∞+）上恒成立，其中a 、b 为实数。求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系。 本题（Ⅲ）应用了此方法。 （Ⅲ）解：0≤b ≤1，a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。 x 2+1≥ax+b 即x 2 -ax+(1-b)≥0对任意x ∈[0, ∞+)成立的充要条件是a ≤2 1b)-2(1 令Φ(x)=ax+b-2332x ，于是ax+b ≥2 3 32 x 对任意x ∈[0, ∞+)成立的充要条件是Φ(x)≥0 由' Φ(x)=a-3 1x - =0得x=3 a - 当0 a -时，' Φ(x) <0；当x>3 a -时，' Φ(x) >0,所以，当x ＝3 a -时，Φ(x)取最小值。因此，Φ(x)≥0成 立的充要条件是Φ(3 a -)≥0。 即a ≥ 2 1(2b) - 综上，不等式x 2+1≥ax+b ≥2 3 32 x 对任意x ∈[0, ∞+]成立的充要条件是 2 1(2b) -≤a ≤12 2(1-b) ………………………………………………① 显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是： 不等式2 1(2b)-≤12 2(1-b) …………………………………………② 有解。 解不等式②得 4 2 2b 422+≤≤-……………………………③ 因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数a 与b 所满足的关系。 4.数型结合法 解析：不等式x 2 -a x < 21可化为 a x > x 2-2 1 画出y 1= a x ,y 2= x 2-21的图像。由图可看出 2 1≤a<1或1 在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。 线性规划常见题型及解法 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求， 梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x |＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵标都是整数） 有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x |＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界易得到整点 个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个， 则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使 目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平 移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 例 5、已知 x 、y 满足以下约束条件 220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值 分 别 是 （ ） A 、13，1 B 、13，2 C、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点 的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为4 5 ，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- 由右图可知 33 30 m m +> ? ? -< ? ,故0＜m＜3，选C 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 关于用微积分理论证明不等式的方法 学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法 学院: 专业: 学号: 姓名: 指导教师: 年 5月 13日 填写说明 一、毕业论文(设计)须用70克A4纸计算机双面打印,具体打印格式参见教务处主页《山西财经大学普通全日制本科毕业论文(设计)写作指南》。 二、毕业论文(设计)必须按规定的要求进行装订。 1、装订顺序 封面 学术承诺 目录 中文摘要、关键词 英文摘要、英文关键词 正文 参考文献 附录(可选) 致谢 山西财经大学本科毕业论文(设计)指导教师评定表 山西财经大学本科毕业论文(设计)答辩成绩与总成绩评定表 2、装订。由学生自主装订。装订线在左侧。 3、理工科毕业设计的软件要以光盘的形式附在论文的后面(装入小袋,封口),不要单独保存,不能丢失。 4、如果毕业论文(设计)因专业特殊,无法打印的部分可以手写或手绘,但需保持页面整洁,布局合理。 毕业论文(设计)学术承诺 本人郑重承诺:所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不存在抄袭情况,论文中不包含其他人已经发表的研究成果,也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。 作者签名:日期: 毕业论文(设计)使用授权的说明 本人了解并遵守山西财经大学有关保留、使用毕业论文的规定。 即:学校有权保留、向国家有关部门送交毕业论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名:指导教师签名: 日期:日期: 目录 中文摘要Ⅰ 英文摘要Ⅱ 第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法 1 第一节用可导函数的单调性证明不等式法 1 第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法 2 第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法 3 第四节用柯西中值定理证明不等式法 4 第五节上述几种方法小结 6 第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法7 第一节用导数定义证明不等式法7 第二节用函数的凹凸性证明不等式8 第三节用泰勒公式证明不等式法9 第四节用幂级数展开式证明不等式法10 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 成绩： 江西科技师范大学 毕业论文 题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法 （外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院（系）：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：吴丹 学号：20091741 指导教师：樊陈 2013年3月20日 目录 1引言 (1) 2放缩法证明不等式 (1) 2.1放缩法 (1) 2.2（改变分子分母）放缩法 (1) 2.3拆补放缩法 (2) 2.4编组放缩法 (3) 2.5寻找“中介量”放缩法 (4) 3反正法证明不等式 (4) 3.1反证法定义 (4) 3.2反证法步骤 (5) 4．换元法证明不等式 (6) 4.1利用对称性换元，化繁为简 (6) 4.2三角换元法 (7) 4.3和差换元法 (8) 4.4分式换元法 (8) 5．综合法证明不等式 (9) 5.1综合法证明不等式的依据 (9) 5.2用综合法证明不等式的应用 (9) 5.3综合法与比较法的内在联系 (10) 6.分析法 (11) 6.1分析法的定义 (11) 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11) 6.3分析法证明不等式的应用 (11) 7．构造法证明不等式 (13) 7.1构造函数模型 (13) 7.2构造数列模型 (14) 8．数学归纳法证明不等式 (15) 8.1分析综合法 (16) 8.2放缩法 (16) 8.3递推法 (17) 9.判别式法证明不等式 (17) 10.导数法证明不等式 (18) 10.1利用函数的单调性证明不等式 (18) 9.2利用极值（或最值） (20) 11比较法证明不等式 (20) 11.1差值比较法 (20) 11.2商值比较法 (21) 11.3比较法的应用范围 (22) 12结束语： (22) 参考文献 (22) 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 数学分析中不等式证明方法论文 毕业论文(设计)开题报告 题目:数学分析中不等式证明方法 1 目录 摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((3 英文摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((4 第1章不等式的定义及研究背景(((((((((((((((((((((((((5 1.1不等式的定义((((((((((((((((((((((((((((((((((((5 1.2不等式的研究背景(((((((((((((((((((((((((((((((((5 第2章数学分析中不等式的证明方法与举例(((((((((((((((6 2.1?构造变上限积分函数(((((((((((((((((((((((((((((((6 2.2?利用拉格朗日中值定理进行证明(((((((((((((((((((((((((7 2.3?利用微分中值定理证明积分不等式((((((((((((((((((((((((8 2.4?积分中值定理解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((((9 2.5?利用泰勒公式证明不等式((((((((((((((((((((((((((((((((10 2.6?用函数的极值进行证明(((((((((((((((((((((((((((((((((12 2.7?用函数凹凸性进行不等式的证明((((((((((((((((((((((((((13 2.8利用函数单调性解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((13 2.9利用条件极值求解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((14 2.10利用两边夹法则证明不等式(((((((((((((((((((((((((((((15 第3章不等式证明方法的归纳总结(((((((((((((((((((((17 第4章论文的结论与展望(((((((((((((((((((((((((((((((18 致谢 分式 摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。 关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法 二．利用基本不等式法 均 值 不 等 式 即 ： 利用不等式 ∑ =n i y i x m i n 11 ≥∑=∑=n i y i n n i x i n m 1 11)1(∑=-∑=n i i m m y x n n i i 1 2 1 1)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一 类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+ a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1 ，则有∑+=-n i m a a i i 1 ) (1)(s n n s m n +≥ 证明:(1)当m=1时， ∵n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-=，s n a n i i 2 1 1 ≥∑=-，所以有：)1 1 (a a i n i i +∑=-=∑∑==-+n i i n i i a a 1 1 1 ≧s n 2 +s=n(n s s n +) (2)当m=2时, )1 1 (a a i n i i +∑=-≧ n m 2 1 -n i i n i m a a ∑+=-1 )(1≧n )( n s s n m + 综上，由（1）（2）知原不等式成立。 排序不等式即，适用于对称不等式 例3.设a,b,c 是正实数，求证： 23 ≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则b a a c c b +≥+≥+1 11 由排序不等式得： ≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b a b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（ b a c a c b c b a +++++）3≥，所以2 3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-= 例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 2 2=+βα，不等式左边拆项得： ββαcos sin sin cos 2 2 2 2 1 1 + = β αβααsni 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1 1 + + 又由于1sin sin cos sin cos 2 2222=++βαβαα 由倒数不等式有: ) (sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 βαβαα++)1 1 1 ( 2 2 2 2 2 sin cos sin cos β αβααsni + + ≥9 所以原不等式成立 当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2 2222==即2tan ,1tan ==αβ时等 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.360docs.net/doc/218512005.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.360docs.net/doc/218512005.html,) 原文地址： https://www.360docs.net/doc/218512005.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目占有一定的比例，命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面，现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力，证明不等式没有固定的程序，一个不等式的证法往往不止一种，证明过程往往是几种方法的综合运用，但无论是哪种方法，都离不开不等式的基本性质，另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式，如果能熟记并能运用的话，在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法，主要有作差比较和作商比较两种形式。 （1）作差比较法的步骤一般为：①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论；在这些步骤中，最难的就是差式变形，常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 （2）作商比较法的步骤为：①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 （3）当不等式两边为多项式、分式或对数形式时，往往选择作差法；当不等式两边为指数时，常采用作商法。下面将列举例子进行 分析，以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<，则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即）（所以得于是有，所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法，把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小，形成新的不等式，而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的，同时，由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外，放缩目标必须明确，从实际出发，从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若，求证：且3,0,,≥++>zx yz xy z y x 不等式的证明方法 麦盖提县库尔玛乡中学 买合木提·买买提 2012年12月30日 2 不等式的证明方法 不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。 1．证明不等式的基本方法 1．1比较法 比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下： 比差法。主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。即 ， 0,0,0a b a b a b a b a b a b ->?>- 欲证a b >只需证 1a b > 欲证a b <只需证1a b < 基本解题步骤是：作商——变形——判断。（与1的大小） 例1． 求证： 222(2)5a b a b +≥-- 2 2 2 2 4254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥ 2 2 (44)(21)0a a b b -++++≥ 3 2,1a b ==-时等号成立。 所以222(2)5a b a b +≥--成立。 例2． 已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥ 证： ,a b R +∈ 又 ()a b a b b a a b a a b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b -≥?≥ （1）当a b >时， 1a b >，0a b ->所以()1a b a b -> （2）当a b <时01,a a b o b < <-<所以()1a b a b -> （3）当a b =时不等式取等号。 所以（1），（2），（3）知，不等式a b b a a b a b ≥成立。 1.2．综合法 综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。 几个重要不等式：2222()0,(),2,(,a b a b a b ab a b ->≠+≥ 为实数） /2(0,0),//2,(,a b a b a b b a a b +≥ >>+≥同号） /3a b c ++≥a b c ==成立） 例3．已知 a b ≠ 且 ,a b R +∈ 求证： 3322 a b a b ab +>+ 本科生毕业论文 学院数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 届别 2015 届 题目浅谈中学数学不等式的证明方法 学生姓名徐亚娟 学号 201111401138 指导教师吴万勤 教务处制 云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文(设计)作者签名： 日期：年月日 …………………………………………………………………………… 关于毕业论文(设计)使用授权的说明 本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。 （保密论文在解密后应遵守） 指导教师签名：论文(设计)作者签名： 日期：年月日 目录 摘要 (4) 引言 (6) 1、预备知识 (6) 1.1不等式的概念 (6) 1.2不等式的性质 (6) 1.3基本不等式 (7) 1.4几个重要不等式 (7) 1.4.1柯西不等式 (7) 1.4.2伯努利不等式 (7) 2、证明不等式的常用方法 (7) 2.1比较法 (8) 2.1.1求差法 (8) 2.1.2求商法 (8) 2.1.3过度比较法 (8) 2.2分析法 (9) 2.3综合法 (9) 2.4缩放法 (10) 2.4.1放缩法的常见技巧 (10) 2.5反推法 (10) 2.6数学归纳法 (11) 2.7反证法 (11) 2.7.1反证法的基本思路 (11) 2.7.2反证法的步骤 (11) 2.8判别式法 (12) 2.9等式法 (12) 2.10中值定理法 (12) 2.11排序法 (12) 2.12分解法 (13) 2.13函数极值法 (13) 3 .利用构造法证明不等式 (13) 3.1构造函数模型 (13) 3.1.1构造一次函数模型 (14) 3.1.2构造二次函数模型 (14) 3.1.3构造单调函数证明不等式 (14) 3.2构造复数模型 (14) 3.3构造方程法 (15) 4.换元法证明不等式 (15) 4.1.三角换元法 (15) 4.2均值换元 (16) 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样，其证明方法繁多，技巧性强，也没有通法，所以研究范围极广，难度极大．目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法，已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述．论文以现有研究成果为基础，整理和归纳了常用的不等式证明方法，包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法，让每一种方法兼具理论与实践性．旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解，进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三，达到事半功倍的效果，同时为从事教育的工作者提供参考． 关键词：不等式；证明；方法 Methods for Proving Inequality Abstract：The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2： 1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式高中不等式的证明方法
关于用微积分理论证明不等式的方法
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)
浅谈中学几种常用证明不等式的方法
证明不等式的种方法
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的几种常用方法
数学分析中不等式证明方法论文
分式不等式的证明与方法
高等数学中不等式的证明方法
浅谈不等式的证明
数学论文【不等式的证明方法】(汉)
浅谈中学数学不等式的证明方法
不等式的证明方法习题精选精讲
不等式的证明方法论文
均值不等式的证明方法