均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家）
本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了
n
n n x x x n
x x x ......2121≥+++
我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：
8444844)()(:
4422)()(abcdefgh
efgh abcd h g f e d c b a abcd
abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时：
这样的步骤重复n 次之后将会得到
n n n
x x x x x x n
2221221 (2)
...≥+++
令A n
x x x x x x x x x x n
n n n n n =+++======++......;,...,2122111
由这个不等式有
n n n n n
n n n n
n A x x x A x x x A n nA A 2
121212221)..(..2
)2(--=≥-+=即得到 n
n n x x x n
x x x ......2121≥+++
这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：
例1：
1
1121
01(1,2,...,)11(...)n
i i i
n
n n a i n a a a a =<<=≥--∑若证明
例2：
11
1211(1,2,...,)1
1(...)
n
i i i n
n n
r i n r r r r =≥=≥++∑
若证明
这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：
给出例1的证明：
12121221221234211(1)2(1)(1)11,(1)(2)2(1)
22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+≥⇔---≥----=+=⇔--≥-+⇔-+≥⇔+≥+⇔≥+++≥+----≥
当时
设，而这是元均值不等式因此因21
12
1221
1212221
12
2
11211(...)...(...)11
22(2)1111()111n
n
n n n n
n
n
i i
n
n n n n
n n
n n
i i n
n i i
a a a a a a a a a a G n a G G
G G
n
a G =++-==≥
--=====+-≥
=
----≥
--∑∑∑此令有即
例3：
1115,,,,1(1),,111,,11()()11n n
i i i i i i i
i i
n n n
i i i i i i n
n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v RSTUV r s t u v RSTUV =>≤≤=====++≥--∑∑∑∑∑∏已知个实数都记，求证下述不等式成立：
要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
其实由均值不等式，以及函数1
()ln 1
x x e f x e +=-是在R 上单调递减
因此
1(
)1
n
RSTUV RSTUV RSTUV ≥
=
+≤
-
我们要证明：
1
1
(
)1
n
i i i i i i i i i i i r s t u v r s t u v =+≥
-∏证明以下引理：
1
1
(
)1
n
n i i i x x =+≥-∏
2
12
12
2
12121212
2
121212121212
1212
2
1212
2
11
2()()
11
(1)(1)
2(1)(1)(1)
2(1)
(1)(1)2(1)
11
()()
11
i
i
x x
n
x x
A A x x x x x x x x
A x x x x A x x x x x x x x
A x x x x
A x x A x x
x G
x G
++
=⇔≥
--
=⇔+++++++
-+++≥+--++--
++--
⇔++≥+
++
•
--
时，
令
显然成立
因此
2
2
2
2
1
2
2
1
1
()
1
1
()
1
1
()
1
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
i n
n
n
i
i i
G G
G
G G
G
G
x
x
-
-
-
=
=
+
≥=
-
+
=
-
+
≥
-
∏
∏
，
因此
所以原题目也证毕了
这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:
)
2
(
2
)
(
)
(
2
1
2
1
x
x
f
x
f
x
f+
≥
+，则四维：
)
4
(
4
)
2
(
2
)
2
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
+
+
+
≥
+
+
+
≥
+
+
+
一直进行n次有
)
2
...
(
2
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
n
n
n
n x
x
x
f
x
f
x
f
x
f+
+
+
≥
+
+
+
,
令A
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x n
n
n
n
n n
=
+
+
+
=
=
=
=
=
=
+
+
...
...
;
,...,2
1
2
2
1
1
1
有)
(
)
2
)
2(
(
2
)
(
)
2(
)
(
...
)
(
1A
f
A
n
nA
f
A
f
n
x
f
x
f
n
n
n
n
n=
-
+
≥
-
+
+
+
所以得到
)
...
(
)
(
...
)
(
)
(
2
1
2
1
n
x
x
x
f
n
x
f
x
f
x
f
n
n
+
+
+
≥
+
+
+
所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明
而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少
其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件。