高等数学中不等式的证明方法
例谈应用高等数学方法证明不等式的思路与技巧
而ｘ） ＋ ＝§ ｉ 妄 ＝２， 当 ｆ，＝ Ｏ 一 １…即 （ｙ。 ｙ ａ ， ＝ ，
且仅当时百 ａ＝ 等号 ａ ２ … ｎ 成立。 Ｉ ａ
２ 利 用 无 穷 小 的性 质 证 明 不 等 式
所 Ｊ（ｄ≥ ｆ ） 。 以 ｘｘ Ｊ（ｄ ｆ） ｘｘ
若 ＋时 筹 无 小即ｍ 。ｇ）（ ∞ 为 穷 ，ｌ（ 且（ 。＞ ） ｘ ｘ ｉｘ ｇ ｆ＝ ＞
￣Ｉ ａｆ ）１ ｉ （ ＝ ￣ｍａ （） ｎ ｘ ｌ 所以，≥ ｐ － Ｔ≥ １。 Ｉ ｘｆｘ ， ｎ ）． 所 以 ， ＋Ｉｘ ≥ ｍ ｘ（ ＝１ ｍｉｆ ＝ ｍｆ １ ＋ ≥
而ｈ ＜ａｔ ＾ ＾ ｒａ 乏 ｃｎ 所以， 而１ ＜ ｒ ｈ １即， ａｔ —ｃ ｎ ＜ ａ
，
（ （ ２∑６ 成立。 ∑ｎ ） ∑ｎ） ｌ ２ （ ） 当且仅当 ｔ ｕ＝ 时取等号 １ ２ … ｔ
ｉ ＝１ ｉ ＝ｌ ｉ ＝１ ｌ ２
。
５ 利用积分 中值定理证 明不等式
利 用 概 率 论 证 明不 等 式 ， 基 本 的 思 路 是 将 不 等 式 中的 数 转 最 换 成 若 干 个 相 互 独 立 事 件 的概 率 ， 而 将 实 数 之 间的 运 算 转 化 成 从
—≥ ）求ｊｓｄ［）ｘ１ ｏ ｄ 证 （２ （２≤ ， ｘ ：ｘｘ Ｉ ｃｄ． ｆ ＝ ＿） ｘｊｏｘ １ｌ ｉ ｔｆｓｔ 』 ｎ ＋ｘ ｆ 』
２ １ ＮＯ ． ５ ０ ０ ２
； — 。 ｔ ｅ ｌ Ｉ Ｉ Ｈｒ 。。 ａ ｄ
理 论 前 沿
例 谈 应 用 高等 数 学 方法 证 明 不等 式 的思 路 与技 巧 ①
杜 卓 勋 （ 湖南环境 生物职 业技 术学 院公 共基础 部 湖 南衡 阳 摘
高数不等式证明
高数不等式证明一、不等式的定义和性质1.1 不等式的定义不等式是代数中的一种关系，表示两个数或者表达式之间的大小关系。
通常使用符号”<“,”>“等来表示。
例如，2 < 3表示2小于3。
1.2 不等式的性质•若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数•若a > b且c > 0，则ac > bc•若a > b且c < 0，则ac < bc•若a > b且c > d，则a + c > b + d二、不等式证明的基本思路不等式证明是高等数学中的重要内容，也是数学推理的一种形式。
不等式的证明可以通过直接证明、间接证明、反证法等方法进行。
一般来说，不等式证明的基本思路有以下几种：2.1 直接证明法直接证明法是通过对不等式进行等价变形和推理，从而证明不等式的正确性。
常用的等价变形方法有加减变形、乘除变形、换元变形等。
例如，要证明不等式a + b > a，可以通过加减变形得到b > 0，再通过等价推理得到该不等式成立。
2.2 间接证明法间接证明法是通过假设不等式不成立，并导出矛盾的结论，从而证明不等式的正确性。
常用的方法有反证法、条件证明法等。
例如，要证明不等式a + b > 0，可以假设a + b ≤ 0，然后导出矛盾的结论，说明原假设不成立，从而得到不等式成立。
2.3 数学归纳法数学归纳法一般用于证明一类特殊的不等式，或者证明不等式的某种性质。
它的基本思路是通过归纳假设和归纳步骤，逐步推理得到不等式的正确性。
三、具体例子：证明柯西不等式柯西不等式是高等数学中常用的一个重要不等式，用于描述两个向量的内积与其模长的关系。
其数学表达式为：对于任意实数ai和bi，i = 1, 2, …, n，有：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an2)(b12 + b2^2 + … + bn^2)3.1 证明思路我们可以通过直接证明的方法，首先进行等价变形，借助乘法公式展开和合并同类项，得到待证不等式左右两边的表达式。
利用高等数学证明不等式的几种特殊方法探析
数 学的 重 要 内容 ．初 等 数 学 教 育 的重 点在 于培 养 常 量 和 静 态 方 面的 数 学 应 用 ， 因此 在 证 明 不等 式 时往 往 会 遭 遇 一 些 “ 死 角” ．利 用 高等 数 学证 明 不等 式 可 以破 除 常 量 数 学 的 狭 隘性 ． 并 且 更 为 快 速 、 效 ， 文通 过 具 体 例 题 介 绍 利 用 高等 数 学 证 有 本
明不 等 式 的 几种 有 效 的 特 殊 方 法．
即 当且 仅 当 ： …
ｂ１ ｂ ２
时等 号 成 立 ．
ｂ
二、 利用 Ｌ ｇａ ｇ 乘 数 法 ａｒ ｎ ｅ 对 于 一 元 不 等 式 ，利 用 函 数 的 极值 来证 明不 等式 是一 种
关键 词 ： 不等式 二 次型 Ｌ ｇａｇ乘数 ａｒｎｅ
将 Ｌ 别 对ｘ Ｙ ｚ 入 偏 导 数 ， 令 它们 都等 于０ 则 有 ： 分 ，，，求 并 ，
——
一
０ ＝ｃ ｓ ｓ ｖ ｓｎ Ｌ ・ － ｏｘｍ ｌｚ
Ｖ
－
ｓｌ — — — 一 ＣＯＳ— ｎ — —
—
・
ｘ ｙ＋ ＋ ｚ 、 ０
—
—
－Ａ＝Ｕ
ａ ｘ
・
—
３
ｘ ＋ｚ ＋ｙ
，
文 献 ［— ３ 利 用 高 等 数 学 中 的 微 分 中值 定 理 ， 数 的 １ ］ 函
单 调 性 、 数 的极 值 与 最 值 、 勒 公 式 、 函 泰 曲线 的 凹 凸 性 、 积 定
ｊ
分 理 论 、柯 西 一 施 瓦 茨 不 等 式 等 相 关 理 论 研 究 了不 等 式 的 证 明方 法 ，这 些 不 等 式 证 明 中 的 高 等 数学 方 法 较 为 常 见 。 相 关 研 究 也 较 多 见 ．本 文 针 对 不 等 式 证 明的 几 种 不 常 见 的 高 等 数 学 方 法 进 行 了 归纳 总结 ， 结 合 例 题 讨 论 了 这 些 方 法 的具 并 体 应用．
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
高等数学利用导数知识证明不等式的常用方法
利用导数知识证明不等式的常用方法一．导数知识包括微分中值定理和导数应用。
微分中值定理主要有：Rolle 定理，lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理。
它们可以用于以后的定理推证，这里主要用于证明恒等式、不等式、证中值的存在性、根的存在性等问题。
导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值、凸性。
本次习题课主要讲用它们证明不等式。
一、 例题1． 利用lagrange 中值公式例1 证明不等式ln ,(0)b a b b a a b b a a--<<<<。
分析 把不等式可以改写成 1()b a b -<ln b -ln a <1a ()b a - 可见中项是函数ln x 在区间[,]a b 两端值之差，而()b a -是该区间的长度，于是可对ln x 在[,]a b 上使用拉格朗日中值定理。
证 设()f x =ln x ，则'()f x =1x.在[,]a b 上运用拉格朗日中值公式,有ln b a=ln b -ln a =1ξ()b a -，()a b ξ<< 又因111b a ξ<<，于是，有()b a b -<ln b -ln a <b a a - 即 ()b a b -<ln b a <b a a- ２．－()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．利用函数的单调性我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调增加，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x例2 试证 x >sin x >2x π，(0)2x π<<分析 改写不等式为 １＞sin x x ＞2π，当x →０时，sin x x →1，当x ＝2π，sin x x 之值为2π．于是要证的不等式相当于要证函数()f x ＝sin x x 之值介于2π与１之间． 证 考虑函数 ()f x ＝sin ,021,0x x x x π⎧<<⎪⎨⎪=⎩，当02x π<<时，有'()f x ＝2cos sin x x x -＝2cos x x(tg )x x -0<． 所以，()f x 在(0,)2π内单调减少，又()f x 在[0,]2π上连续，所以有 (0)()()2f f x f π>> 即 １＞sin x x ＞2π或 2sin x x x π>>． 本例也可将联立不等式分为sin x x >与2sin x x π>两步证明． 2． 利用函数的最值如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．例４ 证明不等式ax ax -≤1a -(0,01)x a ><<证：设()f x ＝a x ax --（1a -）则 11()(1)a a f x ax a a x --'=-=-11()(1)a a f x ax a a x --'=-=-()0f x '=令()0f x '=，得唯一驻点1x =，又当时01x <<，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，从而(1)f 是()f x ，在上(0,)+∞的最大值，即有()f x ≤(1)f ＝0所以a x ax --（1a -）≤0或a x ax -≤1a -(0,01)x a ><<．５．利用函数图形的凸性我们知道，在(,)a b 内，若()0f x ''>，则函数()y f x =的图形下凸，即位于区间12[,]x x 中点122x x -处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有： 1212()()()22x x f x f x f -+≤ 其中1x ，2x 为(,)a b 内任意两点．等号仅在1x ＝2x 时成立．例５ 设0,0x y >>，证明不等式ln ln ()ln2x y x x y y x y ++≥+ 且等号仅在x y =时成立。
证明函数不等式的六种方法
证明 对 lnx 在 1 与 x 之间用微分中值定理, 有
ln x x- 1
=
lnx x-
ln1 1
=
( ln x )c | x = N =
1N。
其中, 1 < N< x 或 x < N< 1。
所以, 总有 0 <
e - 2 是唯一驻点, 且 f c 在这点由正变负, x = e -
2 是极大点也是最大点, 故 f ( x ) 在[ 0, e- 1] 上的
收稿日期: 2004-07-08
50
北京 印刷学院学 报
2004 年
最小值必在端点取得: f min( x ) = f ( 0) = f ( e - 1) = 0。
利用泰勒公式证明函数不等式, 主要有两步:
( 1) 找一个函数 f ( x ) , 选一个展开点 x 0, 然后 写出 f ( x ) 在 x 0 处的带有拉格朗日余项的泰勒公 式;
( 2) 对 N I ( a, b) 进行放缩。 例 7 设函数 f ( x ) 在[ 0, 1] 上具有二阶导数,
且满足条件
( 上接第 31 页) 参考文献:
[ 1] X u X iuhua, Xie Xukai. Eigenst ructure A ssignment by Out put Feedback in Dexcript or Syst ems[ J] . JM A Journal of M at hemat ical Cont rol & Inf ormation; 1995, 12: 127~ 132. [ 2] 徐秀花, 王艺霏. 广义线性系统的特征值配置[ J] . 北京印刷学院学报, 1999, 7( 3) : 36~ 40. [ 3] 甘特马赫尔#柯召. 矩阵论[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 1955.
浅谈高等数学中不等式的证明
证 明由
两边取对数 ， 得
≤ １ ，， １ 不 式 号（ ，…ｎ ） 等 的 ２ 一，
五 、 用 泰 勒 定理 证 明不 等 式 利 泰 勒 定 理 的适 用 范 围 是 不 等 式 中含 有 的 函 数 易 求 出 它
÷ —≤ 号 ｎ ｌｎ ） ｎｎ 脚 ｌｎ ）ｎ ，Ｉ－（ ｎ ｎ １ ｎ —≤－ （ － ｉ Ｉ ｌ
—
—
—
一
Ｘ
＿
Ｉ
【 关键 词 】 等 数 学 ； 等 式 ； 明 方 法 高 不 证
不 等式 在 高 等 数 学 中 占 有 重 要 地 位 ， 是 解 题 的一 种 也
重 要思 想 方 法 ． 论是 在 大学 高 等 数 学 课 程 考 核 中 ， 是 在 无 还 研 究生 入 学 考 试 中 ， 等 式 的 证 明 都 是 极 其 重 要 的 一 类 考 不 题 ． 等 式 的 证 明 方法 多种 多样 ， 文 通 过 实 例 探 讨 了 一 些 不 本
２ ｊ＿ （ ［ ｎ一１ １ ≤（ ）‘ ］ ｎ一１ ｌ ｎ． ） “ 证明 令 ＿ ）＝Ｉ（ ） 则 厂 （ ｎ １＋ ，
所 … ≤（），一 （）， 以 ｎ一 号一ｃ …≤号一÷ ｃ ｎ ｎ ｎ ‘
ｎ≤号 ． ！ （）
，０ ０ （ ） ， ０ （ ）＝ ０ ＝１＿ ）＝ 一１ （ ） ， 厂（ ， ０ ＝２
㈤ ＝ ・
于是 ＿ ｘ 在 ＝ 厂 ） （ ０处 的 三 阶 泰 勒 展开 式 为 ：
于 ｎ≤ 号 ｅ ） ｎ （） 是 ｚ ） （ ｅ （ 号 号．
下证ｆ ！ 面 明÷） ．
Ｉ ｎ （
由 于
一 ÷一 等＋
，
（ｌ ＿
不等式证明的若干种方法毕业论文
本科生毕业论文题目不等式证明的若干种方法院系_____________ 数学系_____________ 专业数学与应用数学2013年5月本科生毕业设计（论文♦创作）声明本人重声明：所呈交的毕业设计，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的容外，本设计的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作品容。
对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本设计创作声明的法律责任由本人承担。
作者签名：年月日本人声明：该毕业设计是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过毕业设计的全部容，保证题目、关键词、摘要部分中英文容的一致性和准确性，并通过一定检测手段保证毕业设计未发现违背学术道德诚信的不端行为。
指导教师签名：年月日不等式证明的若干种方法高银梅（师学院数学系数学与应用数学2009级）摘要：无论在初等数学还是高等数学中，不等式都是十分重要的容。
而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。
在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。
在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、综合法、分析法、换元法、增量代换法'反证法、放缩发、构造法、数学归纳法、判别式法等等。
在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式♦拉格朗日函数以及一些箸名不等式，如：柯西不等式、蔭森不等式、施瓦茨不等式、赫尔德不等式等等。
从而使不等式的证明方法更加完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明。
通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
关键词：不等式，证明方法，常用，特殊Abstract: both in elementary mathematics and higher mathematics, the inequality is very important content・ Inequality and the proof is an important part of knowledge・ In this article, I suniniarized some mathematical proof of the method of inequality. Inequality in elementary matheinatics analyst is often used with comparison method, synthesis, analysis, change element method, incremental substitution method, the reduction to absurdity, zooming, construction method, mathematical induction, discriminant method and so on. Inequality in higher mathematics analyst often use of mean value theorem, Taylor formula, Lagrange function, and some well-known inequalities, such as cauchy inequality, Jensen，s inequality, inequality Schwartz, held, and so on. So that the inequality proof method more perfect, good for our further discussion and study of inequality proof・ By studying these proofs, can help us to solve some practical problems, to cultivate logical reasoning ability and abstract thinking ability and the students to form good learning habits of thinking, good at thinking・Keywords: inequality, the proof method, commonly used, special目录1前言 (6)2利用常用方法证明不等式 (7)2. 1比校法 (7)2. 2综合法 (7)2. 3分析法 (8)2. 4换元法 (8)2. 5增量代换法 (8)2. 6反证法 (9)2. 7放缩法 (9)2. 8构造法 (10)2. 9数学归纳法 (10)2.10判别式法。
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高等数学中不等式的证明方法【论文字数: 6000论文价格:300元（整套论文）论文编号:JB824】高等数学中不等式的证明方法摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为专门的研究对象。
高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解决不等式证明的问题。
我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。
关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（ 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function byderivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We canresolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean ValueTheorem文章来自：<a target='_blank' href=''>全刊杂志赏析网()</a> 原文地址：/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。
【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西施瓦茨；凹凸性在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。
1 中值定理定理法利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。
例1 设e4e2(b-a)。
解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。
也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x例2 设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。
解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c) (a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。
若f(c)2 利用辅助函数的单调性证明辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。
常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。
例3 试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。
解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。
又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0f(x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。
又由f′(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。
文章来自：<a target='_blank' href=''>全刊杂志赏析网()</a> 原文地址：/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm例4 设b>a>e，证明ab>ba。
分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)所以f(x)在x≥a时单调增加。
因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba 。
解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。
3 利用泰勒展开式证明泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。
另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。
例5 设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2 。
分析: 已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。
本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。
解：对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ1在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0上述两式相减得f(1)-f(0)=f′(c)12! ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］, 于是|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)| (1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2≤2a+b2［(1-c)2+c2］, 又因当c∈(0,1)时，有(1-c)2+c2≤1 故|f′(c)|≤2a+b2因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。
4 柯西施瓦茨不等式(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗柯西施瓦茨不等式是一个常用的不等式，在证明过程中我们可以直接利用常用不等式进行证明，即方便又快捷。
例6 设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx ≥(b-a)2 。
〖jf)〗证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx 〖jf)〗即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗5 利用函数图形的凹凸性进行证明函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。
f′(x)>0 函数为凹的,则f(a)+f(b)>2f(a+b2)；f′(x)<0 函数为凸的,则f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。
例7 xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)令f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2类似的如：证明ex+ey2>ex+y2, (x≠y)。
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