不等式的几种证明方法及简单应用

本科毕业论文不等式的几种证明方法及简单应用姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级学号指导教师答辩日期成绩及简单应用不等式的几种证明方法摘要我们在数学的学习过程中,不等式很重要. 其中不等式的证明方法在不等式基础理论中非常重要.文中总结了部分证明不等式的常用方法：作差法、分析法、作商法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等，和不等式的证明经常会利用函数极值、拉格朗日中值定理等，以及部分著名不等式，比如：均值不等式、柯西不等式等.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善.【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式Method and application of several simple proof of inequalityAbstractWe are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect.【Key Words】:inequality, the commonly used method, function, famous inequalities目录一、常用方法 (1)（一）比较法 (1)（二）分析法 (2)（三）综合法 (3)（四）反证法 (3)（五）迭合法 (4)（六）放缩法 (4)（七）数学归纳法 (5)（八）换元法 (5)（九）增量代换法 (6)（十）三角代换法 (6)（十一）判别式法 (7)（十二）等式法 (7)（十三）分解法 (8)（十四）构造函数法 (8)（十五）构造向量法 (8)（十六）构造几何不等式 (9)（十七）构造方程法 (9)（十八）“1”的代换型 (10)（十九）排序不等式 (10)二、利用函数证明不等式 (11)（一）函数极值法 (11)（二）单调函数法 (11)（三）泰勒公式法 (12)（四）优函数法 (13)（五）拉格朗日中值定理法 (14)三、利用著名不等式证明 (15)（一）利用均值不等式 (15)（二）利用柯西不等式 (15)（三）琴生（Jensen）不等式 (16)（四）切比雪夫不等式 (17)（五）赫尔德（Holder）不等式 (18)（六）伯努利不等式 (19)（七）三角形不等式 (20)小结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)及简单应用 不等式的几种证明方法:学生姓名 指导老师：引 言不等式是数学中较为重要的一部分内容，为帮助数学爱好者掌握这方面的知识， 故论述几种简单的证明方法. 在实际生活中，不等式的运用要比等式更加常见，而 人们对不等式的了解要相对晚一点.在17世纪后，不等式才被深入发觉，建立相应 的理论，真正进入数学理论部分.从不等式的探究过程可以发现，在生活中有重要的作用，例如：不等式性 质、证明方法、解法.在本文中，介绍部分证明不等式常用方法、函数证明不等式 和用一些著名不等式证明不等式.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科 的特点，培养数学逻辑思维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增 加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索 不等式的证明使不等式证明更加完善.一、常用方法（一）比较法]1[1.作差法两个实数a 和b 的大小，可由b a -的正负比较判断.,0>-b a 如果,那么b a >；,0<-b a 如果,那么b a <;,0=-b a 如果,那么b a =.例题1： 若两个角0<α<2π，0<β<2π，求证： sin （α+β）<sin α+sin β.证：sin （α+β）-(sin α+sin β)=sin α·cos β+cos αsin β-sin α-sin β=sin α（cos β-1)+sin β(cos α-1).因为α、β都是正锐角，所以sin α>0且sin β>0，cos β-1<0,且cos α-1<0于是sin α（cos β-1）<0，sin β（cos α-1）<0.所以sin α（cos β-1)+sin β(cos α-1)<0即sin （α+β）-(sin α+sin β)<0所以sin （α+β）<sin α+sin β.2.作商法作商法证明不等式时，一般0>a ，0>b ，如果1<b a 时，则a<b ；如果b a >1时；则a>b ；如果ba =1时，则a=b. 例题2 设a ，b ，c ∈ +R ，求证：a b ba b a b a ab b a ≥≥+2)( 证：作商：2222)()(b a a b b a a b b a b a b a b a ab ---+== 当a = b 时，1)(2=-b a b a当a > b > 0时，1)(,02,12>>->-b a ba b a b a 当b > a > 0时，1)(,02,102><-<<-b a ba b a b a 故得1)(2≥-a b b a b a ab即a b b a b a ab ≥+2)( （剩余同理可证）（二）分析法]1[ 在证不等式题的过程中分析法是从结论入手，一步步的向上推导，探索下去，进而证明已知的题设条件，在证明的过程中， 推导的每一步都要可逆.例题3：已知：a 、b 、c 为互不相等的实数.求证：ca bc ab c b a ++>++222.证明：要证ca bc ab c b a ++>++222成立，即证明0222>---++ca bc ab c b a 成立，需要证022*******>---++ca bc ab c b a 成立，即0)()()(222>-+-+-a c c b b a 成立,c b a ≠≠因为()0a 2>-b 所以， ()0b 2>-c ，()0c 2>-a由此逆推，即可证明ca bc ab c b a ++>++222 （三）综合法]1[综合法，就是由命题的条件证明题设条件.例题4：设1a ，2a ，……，n a 都是正数，并且它们的乘积1a 2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1=n a .求证：n n a a a 2)1()1)(1(21≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++.证明：因为111121a a a =⋅≥+， 所以11a +12a ≥. 同理可知 11a +12a ≥ 21a +22a ≥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11a +12a ≥.因为1a ，2a ，……，n a 都是正数，根据性质把不等式的两边相乘，得 n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++.因为在1=i a 的时候，i i a a 21≥+取等号，所以原式只在121==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==n a a a 的时候取等号.（四）反证法]2[反正法就是要证明与命题相对立的结论，可以先假设一个错误的结论，应用所 学的知识证明出假设错误.例题5： 已知a ，b ，c 为实数，0>++c b a ，0>++ca bc ab ，0>abc ，求证： 0>a ，0>b ，0>c .证明：假设a ，b ，c 不全是正数，即其中至少有一个不是正数.可以假设0≤a .分为0=a 和0<a 证明.（1）如果0=a ，则0=abc ，与0>abc 矛盾.所以0=a 不可能.（2）如果0<a ，那么由0>abc 可得0<bc .由因为0>++c b a ，所以0>->+a c b .这和已知0>++ca bc ab 相矛盾.因此，也不可能.综上所述，0>a .同理可证0>b ，0>c .所原命题成立.（五）迭合法通过简单命题的成立，利用不等式性质，将简单不等式合成复杂不等式而证明结 论的过程就是迭合法.例题6：已知：n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，求证：n b a b a b a n n ≤+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2211. 证明 ： 因为n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221 所以n a a a n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，n b b b n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++22221，由柯西不等式≤+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n b a b a b a 2211 22221n a a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n n b b b n =⨯=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⨯22221所以原不等式获证.（六）放缩法]3[放缩法是依据不等式式的性质而衍生得到的一种方法，利用一些著名的不等式 寻找中间量，又或者是别的方法，但最重要的是可以丢弃某些不重要的部分，得到所要 著证明的结论命题.例题7 求证：n n 2131211<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++. 证明：当1>i 时，i i i 21<-+，从而有)1(21--<i i i故 <+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n 131211)1(2)23(2)12(21--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+n nn n 212≤-=所以原不等式获证.（七）数学归纳法]1[数学归纳法是在证明含)(N n n ∈的不等式，能否在)(N n k n ∈=成立的条件下， 证明1+=k n 时成立.（n 取第一个值时不等式命题成立） 证明8： 求证： 12)1(1)122()32)(12(⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅≥--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--n n n n n n .（n 是正整数） 证明： 左边和右边都有n 个因数， 当1≥n 的时候， 112≥-n ， 2132≥-n ， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nn n 1122≥--. 上述n 个不等式相互累乘， 12)1(1)122()32)(12(⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅≥--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--n n n n n n . 故原不等式成立（八）换元法]4[在部分不等式证题过程中，通过变量代换，可以使不等式证明过程更加简单， 选择适当的辅助未知数，代替原方程的部分式子，而证明命题. 例题9 ： 已知a ，b ，c 是小于1的正数，求证：2<-++abc c b a证明：设p a +=11，qb +=11，rc +=11， 由假设可知，0>p ，0>q ，0>rabc c b a -++ r q p +++++=111111)1)(1)(1(1r q p +++-通分后以)1)(1)(1(r p q +++为分母时，则， 分子1)1)(1()1)(1()1)(1(-++++++++=q p p r r q =)()(22pq rp qr r q p ++++++①又)1)(1)(1(2r p q +++)(2)(22pq rp qr r q p ++++++=pqr 2+② 因为②是①的优函数，所以将①、②除以正数)1)(1)(1(r p q +++得r q p +++++1111112)1)(1)(1(1<+++-r q p 即，2<-++abc c b a . （九）增量代换法]5[增量代换法就是在证明不等式时，通过增加一个中间量而使在计算的过程中减 少运算量的方法在证明比较复杂的不等式时经常使用的手法 ． 例题10 ：已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 证明：因为a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b =21－t ， (t ∈R)则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2= 2t 2＋225≥225． 所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． （十）三角代换法]1[例题11 ： 解不等式15+--x x ＞21 解：因为22)1()5(++-x x =6，故可令 x -5 =6 sin θ，1+x ＝6 cos θ，θ∈［0，2π］则原不等式化为 6 sin θ－6 cos θ ＞21所以6 sin θ ＞21+6cos θ 由θ∈［0，2π］知21+6 cos θ＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos 2θ+46 cos θ－23＜0 解得0≤cos θ＜246282-所以x ＝62cos θ－1＜124724-，且x ≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x ＜124724-} .（十一）判别式法]6[学习一元二次方程时，可以用判别式来判断有无实根，而有些特殊题目中， 可以通过判别式证明所要证明的命题.例题 12 A 、B 、C 为ABC ∆的内角，x 、y 、z 为任意实数，求证：A yz z y x cos 2222≥++C xy B xz cos 2cos 2++.证明：构造函数，判别式法令)cos 2cos 2cos 2()(222C xy B xz A yz z y x x f ++-++=)cos 2()cos cos (2222A yz z y C y B z x x -+++⋅-=为开口向上的抛物线)cos 2(4)cos cos (4222A yz z y C y B z -+-+=∆)cos 2cos cos 2sin sin (42222A yz C B yz C y B z ++--= )]sin sin cos (cos 2cos cos 2sin sin [42222C B C B yz C B yz C y B z -+-+-=]sin sin 2sin sin [42222C B yz C y B z -+-= 0)cos sin (42≤--=C y B z无论y 、z 为何值，0≤∆ 所以 R x ∈ 0)(≥x f 所以，命题真 （十二）等式法由学过的公式、定理，巧妙的变形为一些不等式，而证明命题的方法. 例题 13： c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证：444222222222c b a c b c a b a ++>++.证明 由海伦公式))()((c p b p a p p S ABC ---=∆，其中)(21c b a p ++=.两边平方，移项整理得4442222222222)(16c b a c b c a b a S ABC ---++=∆而0>∆ABC S ,所以 444222222222c b a c b c a b a ++>++. （十三）分解法把复杂命题转化为简单易解的基本命题，而一一解决，各个击破，而去证明不等式.例题14 ： 2≥n ，且N n ∈，求证：)11(131211-+>++++n n n n. 证明： 因为 ⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++++11131121)11(131211n n nn n n n nn n n n 1134232134232+⨯=+⨯⨯⨯⨯⨯>+++++= . 所以 )11(131211-+>++++n n n n. （十四）构造函数法]4[例题15： 设0≤a 、b 、c ≤2，求证：4a ＋b 2＋c 2＋a b c ≥2a b ＋2b c ＋2c a ．证明：构造一次函数f （x ）= 4a ＋b 2＋c 2＋a b c －2a b －2b c －2c a =(b c －2b －2c ＋4)a ＋(b 2＋c 2－2b c )，（a 为自变量）由0≤a ≤2， 知表示一条线段．又)0(f = b 2＋c 2－2b c = (b －c )2≥0， )2(f = b 2＋c 2－4b －4c ＋8 = (b －2)2＋(c －2)2≥0， 可见上述线段在横轴及其上方，所以函数≥0， 即4a 2＋b 2＋c 2＋a b c ≥2a b ＋2b c ＋2c a ． （十五）构造向量法构造向量法主要是不等式与向量形式之间的相互转换，利用→m ·→n ≤|→m |·|→n |， 证明一些具有和积结构代数的不等式命题．例题16 ： 设a 、b ∈R +，且a ＋b =1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 证明：构造向量→m =(a ＋2，b ＋2)，→n = (1，1)．设→m 和→n 的夹角为α，其中0≤α≤π．因为|→m | =22)2()2(+++b a ，|→n | =2，所以→m ·→n = |→m |·|→n |cos α=22)2()2(+++b a ·2·cos α；另一方面，→m ·→n = (a ＋2)·1＋(b ＋2)·1 = a ＋b ＋4 = 5，而0≤|cos α|≤1， 所以22)2()2(+++b a ·2≥5，从而(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225．（十六）构造几何不等式将不等式两边与图形建立联系，则可以化数为形，利用图像的性质，解决不等 式的方法就是构造几何不等式．例题17：设a ＞0，b ＞0，a ＋b = 1，求证：12+a ＋12+b ≤22．证明：所证不等式变形为：21212+++b a ≤2．这可认为是点A(12+a ，12+b )到直线0y x =+的距离．但因(12+a )2＋(12+b )2= 4，故点A 在圆x 2＋y 2= 4 (x ＞0，y ＞0)上． 如图所示，AD ⊥BC ，半径AO ＞AD ，即有：21212+++b a ≤2，所以12+a ＋12+b ≤22． （十七）构造方程法例题18 ： 已知实数a , b ,c ，满足a + b + c = 0和a b c = 2， 求证：a , b ,c 中至少有一个不小于2证明：由题设a, b, c 其中必含有一个正数，假设a > 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a bc a c b 2 即b, c 是二次方程022=++a ax x 的两个实根 所以082≥-=∆aa ⇒a ≥2（十八）“1”的代换型]6[ 例题19：.9111 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证：且已知策略：做“1”的代换. 证明：c cb a bc b a a c b a c b a ++++++++=++111922233=+++≥⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b . （十九）排序不等式如()且n i R b R a i i ≤≤∈∈1,n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121, 则n n b a b a b a +++ 2211n j n j j b a b a b a +++≥ 21211111b a b a b a n n n +++≥-n j j j n ,,2,1,,,21 是的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立.例20：已知n n n a a a a a a aa a R a a a +++≥+++∈+ 211232222121,求证不妨假设n a a a 21,有次序即n a a a ≤≤≤ 21，那么na a a 11121 ≥≥ 由于+∈R a a a n 21,，所以22221n a a a ≤≤≤由排序不等式可知nnn n a a a a a a a a a a a a a a a +++=⋅++⋅+⋅≥+++ 21222212112322221111 得证.二、利用函数证明不等式（一）函数极值法]1[通过某些变换，把问题转形为求函数的极值，实现证明不等式. 例题21 ： 证明，0>∀x ，有不等式,01≤-+-αααx x 10<<α证明：讨论函数1)(-+-=αααx x x f在区间),0(+∞的最大值.)1()(11-=-='--αααααx x x f令0)(='x f ,解得唯一定点1，它在区间),0(+∞分成两个区间)1,0(与),1(+∞，列表如下：1=x 时是函数)(x f 极大点，极大值0)1(=f .由此表可得1=x 时是函数)(x f 在定义域中的最大值， 故0>∀x ，使)1()(f x f ≤ 或 01≤-+-αααx x . 所以原不等式得证 （二）单调函数法当x 属于定义域，有0)(≥'x f ，则（21x x ≤）)()(21x f x f ≤；若0)(≤'x f ，则)()(21x f x f ≥.若要证明)()(x g x f ≤，只须要证)()(a g a f =及)),((),()(b a x x g x f ∈'≤'.例题22：设1<x ，且0≠x ，试证：1)1ln(11<-+x x证明：令)1ln()1ln()1ln(1)1ln(11)(x x x x x x x x x f ---+-=--+=， 分子)1ln()1ln()(x x x x x g ---+=，对)(x g 求导得)1ln()(x x g --='， 分两种情况来讨论：（1）当10<<x 时，0)(<'x g ，因此)(x g 单调递增. 由0)0(=g ，故0)(>x g ，分母0)1ln(<-x x ，所以0)(<x f 即原不等式成立.（2）当0<x 时，0)(<'x g ，因此)(x g 单调递减. 由0)0(=g ，0)(>x g 得，0)1ln(<-x x 分母，故知0)(<x f ， 所以原不等式成立.综合（1）（2）即得结论成立. （三）泰勒公式法]1[定义 若函数)(x f 在a 存在n 阶导数，则)(a U x ∈∀，有])[()()(n n a x o x T x f -+=称为函数)(x f 在a （展开）的泰勒公式.其中，n n n a x n a f a x a f a x a f a f x T )(!)()(!2)()(!1)()()()(2-++-''+-'+= 例题23 证明：若函数)(x f 在],[b a 上有n 阶导数，且1,,2,1,0)()()()(-===n i b fa fi i ，则存在),(b a c ∈，有)()()(!2)(1)(a f b f a b n c fnn n --⋅≥-证明：将函数)(x f 在点a 和点b 分别展开，即],[b a x ∈∀，有n n a x n f a x a f a f x f )(!)()(!1)()()(1)(-++-'+=ξn n b x n f b x b f b f x f )(!)()(!1)()()(2)(-++-'+=ξ由已知条件，令2ba x +=，则分别有 nn a b n f a f b a f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+2!)()(21)(ξ，21b a a +<<ξ， nn b a n f b f b a f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+2!)()(22)(ξ，b b a <<+22ξ， 以上两式相减，有02!)(2!)()()(1)(2)(=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-nn n n a b n f b a n f a f b f ξξ或nn n n b a n f a b n f a f b f ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2!)(2!)()()(2)(1)(ξξ，nn n n ab n f a b n fb f a f 2!)(2!)()()(2)(1)(-+-≤-ξξ令 })(,)(max{)(2)(1)()(ξξn n n f fc f=，则有2)(!)(2)()()(nn a b n c f b f a f -⋅≤-， 即)()()(!2)(1)(a f b f a b n c fnn n --⋅≥- （四）优函数法]4[当),(y x f 是),(y x g 的优函数时， ),(),(0,0b a g b a f b a ≥→≥≥例题24 ： 已知a ，b ，c 是小于1的正数，求证： 2<-++abc c b a 证明：设p a +=11，qb +=11，r c +=11，由假设可知，0>p ，0>q ，0>r abc c b a -++r q p +++++=111111)1)(1)(1(1r q p +++-通分后以)1)(1)(1(r p q +++为分母时，则， 分子1)1)(1()1)(1()1)(1(-++++++++=q p p r r q =)()(22pq rp qr r q p ++++++①又)1)(1)(1(2r p q +++)(2)(22pq rp qr r q p ++++++=pqr 2+② 因为②是①的优函数，所以将①、②除以正数 )1)(1)(1(r p q +++得r q p +++++1111112)1)(1)(1(1<+++-r q p 即，2<-++abc c b a （五）拉格朗日中值定理法]3[定理： 函数)(x f 满足，闭区间],[b a 连续、开区间),(b a 可导. 则函数在开区间),(b a 内至少c 存在一点，使ab a f b fc f --=')()()(如果)(c f '介于两个数m 与M 之间，则有下面的不等式：证明ab a f b f --)()(形式不等式，可用拉格朗日中值定理法法.例25： 证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x .证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为11>-x e x 的形式， 或改写为100>--x e e x 的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，用拉格朗日中值定理，Mab a f b f m ≤--≤)()(令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0,x ]，00--x e e x ＝ξe ＞1所以，有不等式 1-x e ＞x .三、利用著名不等式证明（一）利用均值不等式]1[ 设na a a ,,,21 是个正n 实数，则nnn a a a na a a 2121≥+++，当且仅当n a a a === 21时取等号.例题26：求证：n x x x 221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n x n )12(+≥（x 为正数） 证：由算数平均值与几何平均值不等式，得1222221121+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥++⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n x x x n x x x ， 又等差数列求和为 n 2321+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=2)12(2+n n =)12(+n n , 故12221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n x x x =12)12(++n n n x =n x ， 所以n x x x 221+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n x n )12(+≥. (二)利用柯西不等式]2[定理：设()n i R b a i i 2,1,=∈则 ()22211nn b a b a b a ++≤()()2222122221n n b b b a a a++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.. 例题27：证明不等式 )(21n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++)111(21nx x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2n ≥ （其中1x ，2x ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，1x 均为正数）. 证明：若令121x a =，121x a =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，121x a =； 1211x b =，2221x b =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，nn x b 12=.根据柯西——布雅可夫斯基不等式，则有2121)(n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2121)111(n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++nn x x x x x x 1112211⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅≥ =n ，将上式两边平方后，得)(21n x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++)111(21nx x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2n ≥. （三）琴生（Jensen ）不等式]1[设()()x f n i R p i ,2,1 =∈+是区间D 上的严格的凸函数，则对任意()()()n n n n n n n p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f D x x x ++++++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∈ 21221121221121,有， 当且仅当时n x x x === 21，等号成立. 特别地，另(),2,11n n np i ==则有()()()n x f x f x f n x x x f n n +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ 2121 例题28：若+∈R x i （n i ≤≤1），∑=ni i x 1=1，求证：（111x x +） （221x x +）⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（n n x x 1+）≥n nn )1(+ 证明：对于，∑=ni i x 1=1，0>i x ，不妨设 )1ln()(x x x f +=，考虑证明对a ∀，)1,0(∈b 有)22ln(2)1ln()1ln(ba b a b b a a +++≥+++ 即证2)22()1)(1(ba b a b b a a +++≥++，即证2)2(1)2(122++++≥+++b a b a a b b a ab ab ，又2≥+a b b a ，2)2(b a ab +≤且y =xx 1+在（0,1）为减函数， 22)2(1)2(1b a b a ab ab +++≥+综上2)2(1)2(122++++≥+++b a b a a b b a ab ab ，即 )1ln()(x x x f +=，在（0 ,1 ）内是凸函数，又Jensen 不等式得所以)1ln()ln(])1ln([1111nn x n n x x x n n i ini i n i i i +=+≥+∑∑∑===所以（111x x +）（221x x +）⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（n n x x 1+）≥n nn )1(+ （四）切比雪夫不等式由于n a a a ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤21，n b b b ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤21，则⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=-+===n i i n i ni in i i n i i i b a n n b n a b a n 1111111例题29 : 已知：e d c b a ≤≤≤≤，1=++++e d c b a 求证：51≤++++ea be cb dc ad证明：先看bc ad +，由于d c b a ≤≤≤， 由切比雪夫不等式，4))((d c b a d c b a da cb bc ad ++++++≤+++，因此8)1(8)1(22a e ea be cb dc ad -+-≤++++ 下面只需要518)1(8)1(22≤-+-a e ，即588)1()1(22≤+-+-ac a e ，视a 为主元，记22)28(8)1()1()(2222+-+-+=+-+-=e e a e a ae a e a f ， 对称轴为e 41-，由已知条件e d c b a ≤≤≤≤及1=++++e d c b a 知5141≤≤-a e ，)(a f 在定义域内单调递增，因此)51()(f a f ≤. 取等条件是51=a ，因此51=====e d cb a ，故58)51()(=≤f a f ， 综上， 51≤++++ea be cb dc ad ，当且仅当51=====e d c b a 时取等号 （五）赫尔德（Holder ）不等式]3[设()n i b a i i ≤≤1,是2n 个正实数，,1,0,0=+>>βαβα则βαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i n i i i b a b a 111. 例题30：设,2,0,,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∈+πx R q p 求函数()x q x p x f cos sin +=的最小值.解：取,5,45==βα 于是 .111=+βα由Holder 不等式有： 5252545252545454)(cos )(cos )(sin )(sin x x qx x pq p +=+512254)cos (sin )cos sin (x x xqx p ++≤， )(x f =xq x p cos sin +455454)(q p +≥，当且仅当x x xq x p22cos sin cos sin =， 52)(tan qpx =时，等号成立.所以)(x f 的最小值是455454)(q p +.（六）伯努利不等式]1[ 设1->x ，则（ⅰ）当10<<α时，有x x αα+≤+1)1(；（ⅱ）当1>α或0<α时，有x x αα+≥+1)1(，上两式当且仅当0=x 时等号成立.例题31：证明不等式1)1(321111++<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++αααααααn n n .（α>0） 证：因为α>0，所以α+1>1 伯努利不等式，得n n αα++>⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111， nn αα+->⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11111， 将上述两个不等式的俩边同乘以α+1n ，得 ()()ααααn n n ++>+++1111，()()ααααn n n +->-++1111，从这两个不等式中，令n =1，2，3，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n ，则有ααα+-<<++1121111 ， αααααα+-<<+-+++1232112111， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ααααααα+-+<<+--++++1)1(1)1(1111n n n n n ，相加后，得ααααααα+-+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++11)1(321111n n n αα++<+1)1(1n ，所以1)1(321111++<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++<+++αααααααn n n .（七）三角形不等式定理 对于任意实数 i a 和 ),,2,1(n i b i = ，有211221122112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i i n i i n i i b a b a 当且仅当),,2,1(n i kb a i i == 时取等号.例题32 用三角不等式证明：当直角三角形的斜边为 c 时，两直角边的和小于或等于c 2证明：设两个角边为y x ,. 则222c y x =+.根据三角不等式，有222222)()(c c y x y c x c +≥++-+-，即 c y c x c )12()()(22-≥-+-c cy y c cx x c )12(222222-≥-++-+c y x c c )12()(232-≥+-222223)(23c c y x c c -≥+- c y x 2≤+小结通过学习初等与高等数学中证明不等式的几种简单的证明方法，了解到证明不 等式方法的多样化，从而可以更加深刻的认识到学习不等式的用途，不等式在各种数学 问题中的应用，希望读者可以受到启发，而找到不同的的证明方法使不等式证明更加完善，同时可以利用不等式解决生活中的一部分实际问题，培养读者的逻辑思维论证能力，在以后形成良好的学习思考能力. 不等式是数学中较为重要的一部分内容，为帮助数学爱好者掌握这方面的知识，故论述几种简单的证明方法.可以更加深刻了解 数学学科的特点，培养数学逻辑思维论证能力.在学习证明不等式中，可以更加深刻了 解数学学科的特点，培养数学逻辑思维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供 帮助，增加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、 探索不等式的证明使不等式证明更加完善.【参考文献】[M.北京：科学普及出版社，1983.9—73[1]吴德风.不等式与线性规划初步][2]张驰.不等式[M].上海：上海教育出版社，1963.48—72[3]科罗夫琴.不等式[M].北京：中国青年出版社，1951.5—24[4]茂木勇.方程与不等式[M].北京：文化教育出版社，1984.168—180[5]蒋邕平.常见的不等式问题解题思路[J].中学教学参考.2012,(25):86-87[][]()40证明问题之巧思妙解于发智.高考中不等式J6-：377，.广东教育.2009。