第7章_卡尔曼滤波-(简化版)-修改版
第7章_卡尔曼滤波-(简化版)-修改版
n-1
于是有迭代关系（原教材有误）
ˆ (n | n ) = x ˆ (n | n-1 ) + b* (n ) a (n ) x
(7.1.11)
结论：以新息过程作为维纳滤波器的输入，若用 n - 1
ˆ (n | n-1 ) 时刻以前的输入对期望响应 x (n) 的估计 x
已获得 ，则可按迭代的方法计算出 n 时刻期望响应
为在最小均方误差意义下的预测误差。
UESTC 何子述 5
ˆ(n) =z(n) -z ˆ(n| n-1) =z(n) -wHzn-1 a(n) =z(n) -d
(7.1.5)
根据维纳滤波的正交原理（估计误差与输入信号向 量正交）， 正交，因此， a (n) 与输入信号向量 z a ( n) n-1 包含了存在于当前观测样本 z (n) 中的新的信息，“新 息”的含义即在于此。
i =1
UESTC 何子述 14
n-1
问题: 若用n-1个输入 {z (1) z (2)
z (n-1)}
估计 x (n) 为
ˆ (n | n-1 ) ，应满足 A(n -1) b (n -1) = pa (n -1) x
2ù 2ù H ù é é é A(n -1) = E êëan-1an-1 úû = diag E ê a (1) ú ,, E ê a (n -1) ú ë û ë û
T
新息过程向量
a(n) = éëa1 (n) a2 (n) aN (n)ùû Î N´1 在 n 时刻，对输入向量 z (n) 的最佳线性预测向量
ˆ (n | n-1 )可表示为 z
ˆ (n | n-1 ) = éê w z z ë
UESTC 何子述
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
卡尔曼滤波
1背景介绍斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器.卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器. 关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与Kalman and Bucy (1961)发表.2实现形式目前,卡尔曼滤波已经有很多不同的实现.卡尔曼最初提出的形式现在一般称为简单卡尔曼滤波器.除此以外,还有施密特扩展滤波器,信息滤波器以及很多Bierman, Thornton 开发的平方根滤波器的变种.最常见的卡尔曼滤波器是锁相环，它在收音机,计算机和几乎任何视频或通讯设备中广泛存在.3典型实例卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，对物体位置的，包含噪声的观察序列预测出物体的坐标位置及速度. 在很多工程应用(雷达, 计算机视觉)中都可以找到它的身影. 同时，卡尔曼滤波也是控制理论以及控制系统工程中的一个重要话题.4应用范围比如,在雷达中,人们感兴趣的是跟踪目标,但目标的位置,速度,加速度的测量值往往在任何时候都有噪声.卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响,得到一个关于目标位置的好的估计。
这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波),也可以是对于将来位置的估计(预测)，也可以是对过去位置的估计(插值或平滑).扩展卡尔曼滤波（EKF）EXTEND KALMAN FILTER扩展卡尔曼滤波器是由kalman filter考虑时间非线性的动态系统，常应用于目标跟踪系统。
5相关原理状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。
一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。
比如对飞行器状态估计。
状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义，所应用的方法属于统计学中的估计理论。
最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。
卡尔曼滤波Kalman filter
卡尔曼滤波器– Kalman Filter1．什么是卡尔曼滤波器（What is the Kalman Filter ）在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波入门
卡尔曼滤波入门卡尔曼滤波是一种对采样数据进行滤波的方法，其基本假设是“被观测系统是线性的，采样数据存在噪声，而且噪声符合高斯分布”，其目的是尽可能排除掉噪声的影响，找到真实值。
要想理解卡尔曼滤波的基本思想，需要先从算术平均滤波和加权平均滤波说起。
算术平均滤波算法的核心思想是：假设误差是随机出现、均匀分布的，那么连续采样N 次，并取这N次采样值的平均值为有效值即可。
算术平均滤波适合于消除在某个值范围内随机波动的噪声，但是无法消除脉冲性噪声，而且N次采样才能确定一个有效值，对数据的利用率较低，而且算术平均滤波对观测量的变化反应较为迟钝。
算数平均滤波的滤波特性和N的取值关系比较大，当N较大时，平滑度高，灵敏度低；当N较小时，平滑度低，但灵敏度高。
加权平均滤波是对算术平均滤波的改进，其核心思想是：给队列中的数据赋权重，越靠近本次时刻的数据权重越大。
加权平均滤波和算术平均滤波相比，可以较快的反应观测量的变化（它减少了采样时刻较远的数据对本次采样数据的影响），它一定程度上协调了平滑度和灵敏度之间的矛盾。
算术平均滤波可以理解为一种特殊的加权平均滤波，即所有时刻的权值相同。
加权平均滤波存在一个核心缺陷，就是权重是非常粗暴的按时间序列给定的，是固定的，它可能在某些阶段表现很好，而在另外一些阶段表现很差，所以一种自然地想法就是能够动态的对权重进行调整，卡尔曼滤波就是一种可以动态调整权值的滤波方法，它的核心还是加权平均，但是它的权值是根据系统状态和噪声计算出来的最优权值，在线性系统中是最优的。
卡尔曼滤波的核心思想是：（假定观测的系统是线性的，噪声都满足高斯分布）这一刻系统的状态（最优估计）是这一刻的“预测量”和这一刻的“观测量”的加权平均，当得到最优估计之后，再将这一刻的最优估计和预测量进行对比，如果相差比较小，则说明“预测”比较准确，下次计算就加大“预测量”的权值，反之，则说明“预测”不准确，下次计算就加大“观测量”的权值，下一时刻重复该过程。
卡尔曼滤波的原理说明(通俗易懂)
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卡尔曼滤波的原理说明在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名RudolfemilKalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《AnewApproachtoLinearFilteringandpredictionproblems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（IntroductiontotheKalmanFilter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
卡尔曼滤波介绍ppt课件(共29张PPT)
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7.1 基于新息过程的递归最小均方误差估计
7.1.1 标量新息过程及其性质
z (n)
1 Z z -1
z (n -1)
1 Z z -1
z ( n - 2)
z (1)
* wn -2
1 Z z -1
* wn -1
w1*
d (n) = z (n)
ˆ ( n) d
a (n) = e ( n)
l11 = UESTC 何子述
E éêë z (2)a* (1)ùúû E éêë z (1) a (1)ùúû
*
=-
E éêë z (2) a* (1)ùúû
2ù é E ê z (1) ú ë û
8
再令
a (3) = z (3) + l21 z (2) + l22 z (1)
a* (2) ，并取数学期望，根据 上式两边分别乘 a* (1) 、 E éêëa (3)a* (2)ùúû = E éêëa (3)a* (1)ùúû = 0 ，得方程组
n-1
于是有迭代关系（原教材有误）
ˆ (n | n ) = x ˆ (n | n-1 ) + b* (n ) a (n ) x
(7.1.11)
结论：以新息过程作为维纳滤波器的输入，若用 n - 1
ˆ (n | n-1 ) 时刻以前的输入对期望响应 x (n) 的估计 x
已获得 ，则可按迭代的方法计算出 n 时刻期望响应
为在最小均方误差意义下的预测误差。
UESTC 何子述 5
ˆ(n) =z(n) -z ˆ(n| n-1) =z(n) -wHzn-1 a(n) =z(n) -d
(7.1.5)
根据维纳滤波的正交原理（估计误差与输入信号向 量正交）， 正交，因此， a (n) 与输入信号向量 z a ( n) n-1 包含了存在于当前观测样本 z (n) 中的新的信息，“新 息”的含义即在于此。
第7章 卡尔曼滤波
UESTC 何子述
1
海基 导弹 拦截 示意 图
2
何子迭代方法直接利用观 测数据进行运算，可得到原系统状态向量的估计。 •介绍新息过程的概念 •然后导出卡尔曼滤波算法，讨论其统计性能和推 广 •介绍卡尔曼滤波在目标跟踪等方面的应用
UESTC 何子述 3
ˆ (1| 0 ) = 0，由式，有a (1) = z (1) 由于z (0) = 0，所以 z
a (2) = z (2) + l11 z (1) 令 * a 上式两边乘 (1) ，并取数学期望，根据 性质(2)有
* * * é ù é ù é E êëa (2) a (1)úû = E êë z (2) a (1)úû + l11 E êë z (1)a (1)ùúû = 0
T
新息过程向量
a(n) = éëa1 (n) a2 (n) aN (n)ùû Î N´1 在 n 时刻，对输入向量 z (n) 的最佳线性预测向量
ˆ (n | n-1 )可表示为 z
ˆ (n | n-1 ) = éê w z z ë
UESTC 何子述
T
H 1 1(n-1)
w z
H 2 2(n-1)
(3) 序列{a (1) , a (2) ,, a (n )}和 { z (1), z (2),, z (n)} 包含了相同的信息，即
等价 {z (1), z (2),, z (n)} {a (1), a (2),, a (n)}
UESTC 何子述
7
性质(1)和(2)可由维纳滤波的正交原理证明。下面 对性质(3)进行推导 ：
{
}
pa (n -1) = E éêëan-1 x * (n )ùúû 为 pa (n) 的前n-1个元素。
所以，b (n -1) 为 b (n ) 的前n-1个元素，故有
ˆ (n | n-1 ) = b H (n - 1)an-1 = å b* (i ) a (i ) x
i =1
UESTC 何子述 15
由此可知，序列{a (1) a (2) a (n)}可由序列 { z (1) z (2) z (n)}线性表出，性质(3)得证。
UESTC 何子述 11
7.1.2 最小均方误差估计的新息过程表示
若信号 x (n)的最小均方误差估计为
H ˆ x ( n | n ) = w ( n) zn
21
将其表示为向量的形式，为
x (n) = Ax (n -1) + Bf (n -1)
x (n) Î N´1 为状态变量
f ( n) Î
S´1
为输入向量 为状态转移矩阵 为输入控制矩阵
22
AÎ
UESTC 何子述
N ´N
N ´S
BÎ
系统输出方程：内部状态的测量输出
ê ú=ê ê ú ê ê ú ê ê zM (n)ú êë cM 1 ë û
* wn -1
* w1
d (n) = z ( n)
ˆ ( n) d
a (n) = e ( n)
z1 ( n )
z2 ( n )
1 ( n )
2 (n)
zN (n)
UESTC 何子述
N (n)
17
输入信号向量
z (n) = éë z1 (n) z2 (n) z N (n)ùû Î N´1
ìE éa (3)a* (1)ù = E é z (3)a* (1) + l z (2)a* (1) + l z (1)a* (1)ù = 0 ï 21 22 ï êë úû êë úû ï í ï E êëéa (3)a* (2)úûù = E êëé z (3)a* (2) + l21 z (2)a* (2) + l22 z (1) a* (2)úûù = 0 ï ï î
UESTC 何子述
2ù 2ù 2ù é é é A(n) = diag E ê a (1) ú , E ê a (2) ú ,, E ê a (n) ú ë û ë û ë û
{
}
13
权向量 b (n) 的各元素为
pa (i ) b (i ) = ,i = 1, 2,, n 2 E éê a (i ) ùú ë û
x (n) 的估计值 x ˆ (n | n ) ，这种方法带来计算上的
极大方便。
UESTC 何子述 16
7.1.3 向量新息过程及其性质 设有N个线性预测器：
z ( n)
1 Z z -1
z (n - 1)
1 Z z -1
z ( n - 2)
z (1)
* wn -2
1 Z z -1
UESTC 何子述
10
写成矩阵的形式 an = Ln zn 其中
é 1 0 ê ê l11 1 ê l21 Ln = êê l22 ê ê êl êë (n-1)(n-1) l(n-1)(n-2)
(7.1.7)
0 0 1 l(n-1)(n-3) 0ù ú 0ú ú 0úú Î n´n úú 1úú û
i =1
UESTC 何子述 14
n-1
问题: 若用n-1个输入 {z (1) z (2)
z (n-1)}
估计 x (n) 为
ˆ (n | n-1 ) ，应满足 A(n -1) b (n -1) = pa (n -1) x
2ù 2ù H ù é é é A(n -1) = E êëan-1an-1 úû = diag E ê a (1) ú ,, E ê a (n -1) ú ë û ë û
* é = p i E a i x ( ) ( ) (n)ùúû为 pa (n) 的第 i 个元素。 其中，a êë
将式(7.1.8)展开，可进一步表示为
ˆ (n | n ) = b H (n )an = å b* (i ) a (i ) x
i =1 n
= å b* (i ) a (i ) + b* (n ) a (n )
é x1 (n) ù é a ê ú ê 11 ê x ( n) ú ê a ê 2 ú = ê 21 ê ú ê ê ú ê ê ú ê ê xN (n)ú êë aN 1 ë û
UESTC 何子述
S 个输入
b1S ù é f1 (n - 1) ù ú úê b2 S ú êê f 2 (n - 1)úú ú ú úú êê ú bNS úúû êêë f S (n - 1)ûúú
图7.1.1
UESTC 何子述
n -1 阶线性预测器结构
4
在n时刻，预测误差为 ˆ (n) = z (n) - w H z e (n) = d (n) - d n-1
(7.1.4)
在最小均方误差意义下，当式中的权向量满足 维纳-霍夫方程时，预测的均方误差最小，为最佳 线性预测，定义
新息过程
a ( n) e ( n)
w z
H N N (n-1)
ù úû
T
18
新息过程的性质，可推广到向量新息过程，为: (1) n 时刻的新息过程向量a(n)和过去所有观测向量 n-1 = {z (1), z (2), , z (n - 1)} 正交，即
E éêëa(n) z H (k )ùúû = 0,
k = 1, 2,n -1
等价 {z (1), z (2), z (n)} {a(1), a(2),a(n)}
UESTC 何子述
20
7.2 系统状态方程和观测方程的概念
一个多输入多输出的离散时间LTI系统，可用状态方程 和输出方程进行描述: 状态方程：描述系统的内部运动状态 N 个状态变量