第十二章传热数值解简介

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由 (1) 式，得： f ( x) f ( x x) df O (x) x dx 2 由 (2) 式，得： f ( x x) f ( x) df O (x) x dx 2

所以向前和向后差分的截断误差是与∆ x同级的小量O (∆ x) 中心差分和二级差分的截断误差是与∆ x2同级的小量O (∆ x2) 因此当 ∆ x 较小时：
式中 ：n 表示在第 n 个 t 的时刻。
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而在第 i 层温度对时间的一次导数可表示为：
T T Ti n 1 Ti n t t t 式中: n 1 表示第 (n 1) t 时刻, 即在 n 时刻加上 t 时刻。 将上述方程代微分方程，得：
n n n Ti n 1 Ti n Ti T 2 T i 1 i 12 t x
2 f f ( x x) f ( x x) 2 f ( x) d 2 f 2 2 2 x x dx
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12.3 一维不稳定导热的有限差分法
Finite Difference Method for One-Dimensional Unsteady Heat Conduction

一维不稳定导热微分方程（以一无限大平板为例）：
T 2T 2 t x
例：现以第 i 层为例说明如何由 已知的第几段时刻的温度分 布，求解下一时间( n+1 时刻) 的温度分布。 解：首先将空间离散（剖分）成 如图所示。
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在第 i 层中心有：
n Ti n Ti T T 1 |i 1 |i 1 x x x n n Ti T T T |i 1 1 i |i 1 x x x n n n Ti T 2 T 2T 1 T T 1 i 1 i ( | | ) i 1 i 1 x 2 x x x x 2
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中心差商： f f ( x x) f ( x-x) x 2x f df 显然当 x 0 时， x dx f df 所以当 x 较小时， x dx
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其误差可以用 Taylor 级数展开获得:
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将函数 f ( x) 在 2 点周围展开：
2 df 1 2 d f f ( x x) f ( x) x x 2 dx 2 2 dx 2
上述的差分方法称为显式差分方法。
2 t 1 成立时，方程才能有数值解。 只有当 2 x
可见∆ x 越小， ∆ t 越小，计算时间长。
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对所有的层列出上述差分方程，则每层有一方程。
有 n 层的平板共有 N 个显示方程，可解出 N 未知数。 从初始条件开始，在时间上每次增加 ∆ t 段时间，则最终得到所
第四篇 数值模拟
Part IV Numerical Simulation
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第十二章 传热数值解简介
Chapter 12 Numerical Simulation of Heat Transfer
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12.1 空间区域离散方法
Space Discretization
把计算域划分成许多互不重叠的子区域，或称为网格单元。用有 限个点的信息代表各自周围一定区域内的信息，一般分为有限元 法和有限差分法。 经划分网格（剖分）后得到： (1)节点：需要求解的未知量的几何位置； (2)控制体积：在该体积上控制方程必须得到满足； (3)界面：各节点控制体积之间的分界面。 有限元网格(FEM)可较好地描述空间区域，但计算复杂。 有限差分法(FDM)计算简单，但网格不能精确描述几何形状。

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有限元网格
有限差分网格
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有限元网格
有限差分网格
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节点及控制体积的划分方法：
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网格可以是均匀的，也可以设不均匀的。
均匀网格
不均匀网格
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12.2 有限差商

定义：把一个连续函数 f (x) 的增量∆ f 与自变量增量∆ x 的比值定 义为有限差商。
向前差商： f f ( x x ) f ( x ) x x 向后差商： f f ( x ) f ( x x ) x x
n n n Ti T 2 T 1j i 1 j ij
x
2

Tijn1 Tijn1 2Tijn y
2
) )
n 1 n 1 n 1 Ti T 2 T 1j i 1 j ij 2
1 n 1 Tijn11 Tijn 2 T 1 ij
x 2t 2t 稳定条件： ( 1 )0 2 2 x y 4t 当 x y 时， 1 0 2 x
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这个方程不能直接求解，必须同其它方程联立，有 N 个节点就有 N 个方程，解出 N 个未知数，叫作隐式。此时没有时间步长限制。 可用计算机求解联立线性方程组。 对二维、三维情况类似。
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显式： 隐式：
Tijn 1 Tijn t Tijn 1 Tijn t
( (
有时间及所有层的温度 Tin。 2 T 不用当前时刻温度而用新时刻的温度表示， 当在计算 x 2 则：
n 1 n 1 n 1 Ti n 1 Ti n Ti T 2 T i 1 i 1 t x 2 t n 1 n 1 n 1 n 1 n Ti 2 (Ti 1 Ti 2 T ) T 1 i i x
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y
2
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第十三章 特殊问题的数值处理
Chapter 13 Some Special Topics
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13.1 潜热处理
The treatment of latent heຫໍສະໝຸດ t232425
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13.2 边界条件（Boundary Conditions）

给定速度边界条件（ Given velocity boundary ）
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2. 3. 4. 5.
6. Check whether the converged solution is independent of
the initial guesses and the relaxation factors. 7. Interchangethe x and y coordinates to solve the same problem. 8. Check the symmetry of the computed solution by using a symmetric problem. 9. Check the correctness of the program by calculating problems with theoretical solutions or experimental measurements. 10. Compare with published experiments or numerical solutions.
(1)
2 df 1 2 d f f ( x x) f ( x) x x 2 (2) dx 2 2 dx 2 将上两式相减：
f ( x x) f ( x x) df 2 = O ( x ) 2x dx 2 将上两式相加： d2 f f ( x x) f ( x x) 2 f ( x) 2 = O ( x ) 2 2 x dx 2
解得： Ti
n 1 n n t Ti t 1 Ti 1 =2 2 (1 2 2 Ti n ) x 2 x
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上式可见：
当 2 t n n 1 1 时， T 越大， T 越小， 方程不稳定。 i i 2 x 2t x 2 1，为限制条件即 t 2 x 2
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给定压力边界条件（ Given pressure boundary ）
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13.3 数值稳定性分析 Numerical Stability Analysis
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13.4 传热与流动偶合计算 Coupling fluid flow and heat transfer
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13.5 计算机编程注意事项 Suggestions for Computer Programming
1. Decide on the scope and limitations of the program
( two or three dimensions, Cartesian or cylindrical coordinates, uniform or non-uniform grids, constant or variable density, steady or unsteady problems). When a computer program is developed, it must be thoroughly tested. Test separate parts of the program before entire assembly. Start the test on simple problems with coarse grids and simple geometry. Check the overall conservation of the dependent variable for overall conservation must be perfectly satisfied for any number of grid points for a wellconverged solution.