023对偶规划 练习题PPT课件
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第一节线性规划的对偶问题 ppt课件
m a x S = 8 x 1 2 0 x 2 1 2 x 3 1 5 x 4 1 x 1 1 0 x 2 2 x 3 3 x 4 1 8 0 0 0
3 x 1 2 x 2 5 x 3 4 x 4 1 3 0 0 0 x 1 0 ,x2 0 ,x 3 0 ,x4 0
6
现在从另一个角度考虑问题。假设该厂不生 产A、B、C、D四种产品了，而是将甲、乙两种 资源出租给其它单位，其原则是：使别的单位 愿意租，又使本单位获利不低于原利润。问如 何给甲、乙两种资源定价最合理？
x1 x2 x3 12
x1 2x
1
x2 x
2
x3 x
3
10 14
x 1 , x 2 0
16
解 先化为对称形式
m ax S 3 x1 2 x2 x3
x1 x2 x3 12
x1 2x
1
x2 x
2
x3 x
3
10 14
x 1 , x 2 0
m a xS3x 12x 2x 3
10
对偶问题的矩阵表示： Y(y1,y2, ,yn)
原问题
m ax S CX
AX b
X
对偶问题
m in W b TY ATY C T Y
y1
Y
y
2
yn
C(c1,c2,
,cn), X
x1
x
2
,
b
b1
b2
,
xn
bm
11
对偶问题的矩阵表示： Y(y1,y2, ,yn)
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
3 x 1 2 x 2 5 x 3 4 x 4 1 3 0 0 0 x 1 0 ,x2 0 ,x 3 0 ,x4 0
6
现在从另一个角度考虑问题。假设该厂不生 产A、B、C、D四种产品了，而是将甲、乙两种 资源出租给其它单位，其原则是：使别的单位 愿意租，又使本单位获利不低于原利润。问如 何给甲、乙两种资源定价最合理？
x1 x2 x3 12
x1 2x
1
x2 x
2
x3 x
3
10 14
x 1 , x 2 0
16
解 先化为对称形式
m ax S 3 x1 2 x2 x3
x1 x2 x3 12
x1 2x
1
x2 x
2
x3 x
3
10 14
x 1 , x 2 0
m a xS3x 12x 2x 3
10
对偶问题的矩阵表示： Y(y1,y2, ,yn)
原问题
m ax S CX
AX b
X
对偶问题
m in W b TY ATY C T Y
y1
Y
y
2
yn
C(c1,c2,
,cn), X
x1
x
2
,
b
b1
b2
,
xn
bm
11
对偶问题的矩阵表示： Y(y1,y2, ,yn)
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
03.对偶问题
s.t
s.t
为其对偶问题，其中 为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为 原问题简记为 ，对偶问题简记为(D)
17
例3：求线性规划问 ： 题的对偶规划
Max s.t
Z = 5x1 + 6x2 3x1 − 2x2 ≤ 7 4x1 + x2 ≤ 9 x , x ≥ 0 1 2
28
练习2 练习2答案
max z = x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 − x1 + x2 − x3 − 3 x4 = 5 6 x + 7 x + 3 x − 5 x ≥ 8 1 2 3 4 s.t. 12 x1 − 9 x2 − 9 x3 + 9 x4 ≤ 20 x1, x 2 ≥ 0; x3 ≤ 0; x 4无约束.
3
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 ≤ 30 3x1 + 2x2 ≤ 60 2x2 ≤ 24 x1，x2 ≥ 0
约束条件
s.t
如果因为某种原因，不愿意自己生产， 如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希 望通过将现有资源承接对外加工来获得收益， 望通过将现有资源承接对外加工来获得收益，那 么应如何确定各资源的使用价格？
Max
s.t
Z = 5x1 + 6x2 3x1 − 2x2 ≤ 7 − 3x + 2x ≤ −7 1 2 4x1 + x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0
20
上式已为对称型对偶问题， 上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划
第二章 对偶问题ppt课件
y1 >=0, y精2选无约束，y3 <=0
6
原问题
对偶问题
max 2Z.3C对X 偶问题基本min性 质 Yb
一s、.t.对XAX称对性0偶b定问（理题1）的对偶是原s.t问.YY题A。0C（2）
二、弱对偶定理
如果 X , Y 分别是（1）和（2）的可行解，
则有
CX。Yb
三、最优性定理
如果 Xˆ , Yˆ 分别是(1)和(2)的可行解，且
-X1 +5X2 + 4X3 =80
st. 4X1+ 2X2 -4X3 < =50 X1 < =0, X2 > =0, X3 无约束
其对偶问题为：
MAX w=30 y1 +80 y2 +50y3
y1 - y2 +4y3 〉=2
st. 3 y1 +5y2 +2 y3 <=8
-3y1 +4y2 -4y3 =-4
yi 0 i 1,2,3
换一角度：将设备卖出，售价定为多少适宜？
精选
1
两个互为对偶规划问题之间的关系 （对称形式）
1）目标函数的目标互为相反。(max,min) 2）目标函数的系数是另一个约束条件右端 的向量
3）约束系数矩阵是另一个的约束系数矩阵 的转置
4）约束方程的个数与另一个的变量的个数 相等
对于一对对偶问题，若一个有无界解，
则另一个无可行解。
精选
8
例 3 已知原问题
m Z ax 1 x 2 x 2 3 x 3 4 x 4
2x1x12xx22
2x3 3x3
3x4 2x4
20 20
xj 0 ( j 1,2,3,4)
对偶问题线性规划ppt
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
那么该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
那么其对应的对偶变量一定为零。 即
n
如果yˆi 0，则 aij xˆ j bi j 1 n
如果 aij xˆ j bi，则 yˆi 0 j 1
原 : m ax Z x1 2 x2
x1 x2 x3 2
2
x1
x2
x3
1
x1 ,
x2
,
x3
0
对 : m in W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
y1 y1
y2 2 y2 0
y 1 , y 2 0
试用对偶理论证明原问题无界。
__
解：X =（0.0.0）是 P 的一个可行解，而 D 的第一
练习 线性规划问题
min 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5 s.t. x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 3 xj 0, j 1, 2, ,5
已 知 原 问 题 的 最 优 解 为 x(1 ,0,0,0,1 )T 试 用 互 补 松 弛 性 质 找 出 对 偶 问 题 的 最 优 解 .
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的方法，而是利
用对偶理论求解原问题的解的方法。
对于标准线性规划问题：
minf CX
AX b
s.t.
X
0
maxzbY
s.t. ATY C
可行基B 假设B对应的根本解是可行解
最优基B 假设B对应的根本解是最优解
对偶可行基B 假设CBB-1是对偶问题可行解
例2 给定线性规划问题 min 2x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2x2 x3 2 x1, x2 , x3 0
《管理运筹学》03-对偶原理ppt课件
yi
=
cj，
j = 1,
2,…,n
i=1
因此，性质7(1) 的经济解释是: 当一个单位的任一运营活动 j在严厉 正程度( xj > 0 )上运营时，它所耗费的各种资源的边沿价值总和必定等 于 该项活动所产生的单位价值 cj 。
3.3 对偶关系的经济解释
譬如范例，知 X*= (4, 6, 4, 0, 0)T， Y*= (0, ½ , 1, 0, 0)T x1 = 4 > 0 → y4 = 0， 那么使 y1 +3y3 -y4 = 3 → y1 +3y3 = 3
8 F (8，6，0，0 ,- 12) 否 54 是 (3,5/2, 0, 0,0)
3.2 线性规划的对偶性质
6. 互补松弛性Ⅰ 设 = ( x1 , x2 , … , xn , xn+1, … , xn+m )T = ( y1 , y2 , … , ym , ym+1, … , ym+n )T 是(P⑴1)x(j Dym1)+的j =一0对，互补j根=本1解, ，2 ,那…么, n
cj
3
基 解 0 x1
5 00
x2
x3
0 x3 4 x40 x5 0 1 1/3 -
5 x2 16/3 0
1 0 1/2
3 x1 40 1
0 0 -2/3 1/3
比值
42 0
0 0 1/2 1
y4 y5 y1 y2 y3
σ1 σ2 σ3 σ4 σ5
X*= (4, 6, 4, 0, 0)T, z* = 42
s.t. 0y1+2y2+4y3 ≥ 5
②
①
y1， y2， y3 ≥ 0 ③
023对偶规划 练习题PPT课件
于是当 rj 0 时,不等式(1)自然成立;
jj r rk jk0(j1 ,2, ,n ) (1)
又因为 r k0 ,k 0 , j 0 (j 1 ,2 , ,n ),
于是当 rj 0 时,不等式(1)自然成立;
否则,当
rj 0 时,要使不等式(1)成立,必须
k j rk rj
可见正则解的有负分量,由于 x4 1,所以取x4为换
出变量，取
min{
j 4 j
4 j
0}
min{
4 5/ 2
,,
} 1
1/ 2
8 5
2 42
x2为换入变量，得新基{x2,x1} ，42=-5/2为主元
进行基变换，得新正则解的单纯形表：
-2
XB b
x1
x2 2/5 0
x1 11/5 1 28/5 0
min{-3,-4}=-4
x5为换出变量，取
min{
j 5 j
5 j
0}
min{
2 2
,
,
} 4
3
1
1 51
x1为换入变量，得新基{x4,x1} ，51=-2为主元
基变换的过程： 1. 主元变为1，即用-2去除单纯形表中基变量x5所在
的行；
2. 主元所在列的其它元变为0，消去非基变量x1所在 的列的其余元-1，-2；
（4）确定换入变量：若
min{ j kj
rj
0,1
j m}
l kl
则取x l 为换入变量。以 kl为主元进行换基运算得
到新的正则解，返回（2）
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
jj r rk jk0(j1 ,2, ,n ) (1)
又因为 r k0 ,k 0 , j 0 (j 1 ,2 , ,n ),
于是当 rj 0 时,不等式(1)自然成立;
否则,当
rj 0 时,要使不等式(1)成立,必须
k j rk rj
可见正则解的有负分量,由于 x4 1,所以取x4为换
出变量，取
min{
j 4 j
4 j
0}
min{
4 5/ 2
,,
} 1
1/ 2
8 5
2 42
x2为换入变量，得新基{x2,x1} ，42=-5/2为主元
进行基变换，得新正则解的单纯形表：
-2
XB b
x1
x2 2/5 0
x1 11/5 1 28/5 0
min{-3,-4}=-4
x5为换出变量，取
min{
j 5 j
5 j
0}
min{
2 2
,
,
} 4
3
1
1 51
x1为换入变量，得新基{x4,x1} ，51=-2为主元
基变换的过程： 1. 主元变为1，即用-2去除单纯形表中基变量x5所在
的行；
2. 主元所在列的其它元变为0，消去非基变量x1所在 的列的其余元-1，-2；
（4）确定换入变量：若
min{ j kj
rj
0,1
j m}
l kl
则取x l 为换入变量。以 kl为主元进行换基运算得
到新的正则解，返回（2）
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
对偶问题课件ppt
拉格朗日乘数法是一种求解无约束优化问题的数学方法， 通过构造拉格朗日函数，将原问题转化为求极值的问题。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
运筹学课件 第三章-线性规划对偶问题
??????????????????????????????????????????????0322252min21321321321321xxxxxxxxxxxxxxz????????????????????????????????????????????????????0121213225max21321321321321yyyyyyyyyyyyyyw最小化问题
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）
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到可行）
二、对偶单纯法的迭代步骤：
（1）找一个正则基B和初始正则解X(0)，将问题（P） 化为关于基B的典式，列初始对偶单纯形表.
设正则解 x1, x2 ,, xm的典式为：
max z z0
x m1 m1 n xn
x1 x2 x j 0
x 1(m1) m1 x 2(m1) m1
复习题
1、应用对偶理论，证明下面的线性规划问题 有可行解，但无最优解。
min w x1 x2 x3
x1 x3 4
x1
x2
2x3
3
x1, x2 , x3 0
2、应用对偶理论，证明下面的线性规划 问题的最大值不会超过1。
max z x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
0 0 ... 1 m,m1 ... m,n
z0 0 0 ... 0 m1 ... n
概念：正则解
如果原问题(P)的一个基解X 对应的检验数向量满足 条件
( B , N ) (0,CN CB B1N ) 0
则称X为(P)的一个正则解，同时称这一基为正则基.
求解原问题(P)时，可以从(P)的一个正则解开始,迭代 到另一个正则解，使目标函数值增加，当迭代到正 则解满足原始可行性条件(即xi≥0)时，就找到了原问 题(P)的最优解。这一方法称为对偶单纯形法.
X ( 0 ) 0
(0) N
0
X ( k ) 0
(k ) N
0
c1 c2 ... cm
cm1 ... cn
XB
b
x1 x2 ... xm
xm1 ... xn
c1
x1
a1
1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n
c2
x2
a2
0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm
am
停以 Biblioteka l为主元作基变换例：用对偶单纯形法计算
min w 2x1 3x2 4x3
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n
（2）若 b B1b 0 ,则迭代停止，已求得原问题
（P）的最优解；否则转下一步。
（3）确定换出变量：若
' k
min{
' i
' i
0,1 i
m}
则取相应的变量 xk为换出变量。若
kj 0( j 1,2,, n)
一、对偶单纯形法的基本思想
先回顾一下单纯形算法： 它是从线性规划的一个基可行解迭代到另一个 基可行解的过程，在迭代过程中，保持基解的
可行性，逐步消除基解的检验数的非负性，即
X ( 0 ) 0
(0) N
0
X ( k ) 0
(k ) N
0
c1 c2 ... cm
cm1 ... cn
XB
xm x m(m1) m1
j 1, 2, , n
1n xn 1 2n xn 2
mn xn m
将上面的典式转换成前面所学习过的单纯形表：
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
则迭代停止，原问题无解；否则转下一步。
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n
b
x1 x2 ... xm
xm1 ... xn
c1
x1
a1
1 0 ... 0
1,m1 ... 1,n
c2
x2
a2
0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm
am
0 0 ... 1 m,m1 ... m,n
z0 0 0 ... 0 m1 ... n
为了求解线性规划，我们也可以从线性规划的一 个基解迭代到另一个基解，在迭代过程中，保持 基解的检验数的非正性，逐步消除基解的不可行 性，即
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
x5
0
§2.3 对偶单纯形法
对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方 法，它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设 计出来的，因此称为对偶单纯形法。
不要简单地将对偶单纯形法理解为求解对偶问 题的单纯形法。
一、对偶单纯形法的基本思想
二、对偶单纯形法的具体步骤
三、对偶单纯形法的理论解释
前提条件 最优性检验 换入、出基 变量的确定
原始基本解 的进化
原始单纯形法
所有 b i ≥0
所有 j ≤0？
先确定换入基变量 后确定换出基变量
可行→最优 （对偶问题的解从 不可行到可行）
对偶单纯形法
所有 j ≤0
所有 b i ≥0？
先确定换出基变量 后确定换入基变量
非可行→可行（最优） （原问题的解从不可行
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n
对
找初始正则解X0及可行基B
偶 单 纯
i 0?
N
Y 写出最优解 与最优值
法
确定换出变量x k,
计
k=min{i | i<0}
停
算
框 图
是否有 kj<0
N
无可行解
Y
确m 定in{换 kj入j 变kj量0 x}lkll
x1
x2
x3
1
2x1 x2 x3 2
x1 0, x2 0
引例：求解线性规划：
min w 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 3
2x1 x2 3x3 4
x1
,
x2 ,
x3
0
解：引入松弛 变量x4,x5 ，将 问题变形为：
min w' 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 x4 3 2x1 x2 3x3 x5 4
（4）确定换入变量：若
min{ j kj
rj
0,1
j m}
l kl
则取x l 为换入变量。以 kl为主元进行换基运算得
到新的正则解，返回（2）
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
二、对偶单纯法的迭代步骤：
（1）找一个正则基B和初始正则解X(0)，将问题（P） 化为关于基B的典式，列初始对偶单纯形表.
设正则解 x1, x2 ,, xm的典式为：
max z z0
x m1 m1 n xn
x1 x2 x j 0
x 1(m1) m1 x 2(m1) m1
复习题
1、应用对偶理论，证明下面的线性规划问题 有可行解，但无最优解。
min w x1 x2 x3
x1 x3 4
x1
x2
2x3
3
x1, x2 , x3 0
2、应用对偶理论，证明下面的线性规划 问题的最大值不会超过1。
max z x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
0 0 ... 1 m,m1 ... m,n
z0 0 0 ... 0 m1 ... n
概念：正则解
如果原问题(P)的一个基解X 对应的检验数向量满足 条件
( B , N ) (0,CN CB B1N ) 0
则称X为(P)的一个正则解，同时称这一基为正则基.
求解原问题(P)时，可以从(P)的一个正则解开始,迭代 到另一个正则解，使目标函数值增加，当迭代到正 则解满足原始可行性条件(即xi≥0)时，就找到了原问 题(P)的最优解。这一方法称为对偶单纯形法.
X ( 0 ) 0
(0) N
0
X ( k ) 0
(k ) N
0
c1 c2 ... cm
cm1 ... cn
XB
b
x1 x2 ... xm
xm1 ... xn
c1
x1
a1
1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n
c2
x2
a2
0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm
am
停以 Biblioteka l为主元作基变换例：用对偶单纯形法计算
min w 2x1 3x2 4x3
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n
（2）若 b B1b 0 ,则迭代停止，已求得原问题
（P）的最优解；否则转下一步。
（3）确定换出变量：若
' k
min{
' i
' i
0,1 i
m}
则取相应的变量 xk为换出变量。若
kj 0( j 1,2,, n)
一、对偶单纯形法的基本思想
先回顾一下单纯形算法： 它是从线性规划的一个基可行解迭代到另一个 基可行解的过程，在迭代过程中，保持基解的
可行性，逐步消除基解的检验数的非负性，即
X ( 0 ) 0
(0) N
0
X ( k ) 0
(k ) N
0
c1 c2 ... cm
cm1 ... cn
XB
xm x m(m1) m1
j 1, 2, , n
1n xn 1 2n xn 2
mn xn m
将上面的典式转换成前面所学习过的单纯形表：
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
则迭代停止，原问题无解；否则转下一步。
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n
b
x1 x2 ... xm
xm1 ... xn
c1
x1
a1
1 0 ... 0
1,m1 ... 1,n
c2
x2
a2
0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n
cm xm
am
0 0 ... 1 m,m1 ... m,n
z0 0 0 ... 0 m1 ... n
为了求解线性规划，我们也可以从线性规划的一 个基解迭代到另一个基解，在迭代过程中，保持 基解的检验数的非正性，逐步消除基解的不可行 性，即
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
x5
0
§2.3 对偶单纯形法
对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方 法，它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设 计出来的，因此称为对偶单纯形法。
不要简单地将对偶单纯形法理解为求解对偶问 题的单纯形法。
一、对偶单纯形法的基本思想
二、对偶单纯形法的具体步骤
三、对偶单纯形法的理论解释
前提条件 最优性检验 换入、出基 变量的确定
原始基本解 的进化
原始单纯形法
所有 b i ≥0
所有 j ≤0？
先确定换入基变量 后确定换出基变量
可行→最优 （对偶问题的解从 不可行到可行）
对偶单纯形法
所有 j ≤0
所有 b i ≥0？
先确定换出基变量 后确定换入基变量
非可行→可行（最优） （原问题的解从不可行
cm xm am 0 0 ... 1 m,m1 ... m,n z0 0 0 ... 0 m1 ... n
对
找初始正则解X0及可行基B
偶 单 纯
i 0?
N
Y 写出最优解 与最优值
法
确定换出变量x k,
计
k=min{i | i<0}
停
算
框 图
是否有 kj<0
N
无可行解
Y
确m 定in{换 kj入j 变kj量0 x}lkll
x1
x2
x3
1
2x1 x2 x3 2
x1 0, x2 0
引例：求解线性规划：
min w 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 3
2x1 x2 3x3 4
x1
,
x2 ,
x3
0
解：引入松弛 变量x4,x5 ，将 问题变形为：
min w' 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 x4 3 2x1 x2 3x3 x5 4
（4）确定换入变量：若
min{ j kj
rj
0,1
j m}
l kl
则取x l 为换入变量。以 kl为主元进行换基运算得
到新的正则解，返回（2）
c1 c2 ... cm cm1 ... cn
X B b x1 x2 ... xm xm1 ... xn
c1 x1 a1 1 0 ... 0 1,m1 ... 1,n c2 x2 a2 0 1 ... 0 2,m1 ... 2,n