2019版一轮优化探究理数练习：第七章第一节不等关系与不等式含解析

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2019版高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课件理

方法技巧
比较两个数(式)大小的两种方法
1-1 已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系
是 ( A ) A.c≥b>a C.c>b>a B.a>c≥b D.a>c>b
答案 A ∵c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,
∴c≥b. ∵b+c=6-4a+3a2, ① c-b=4-4a+a2, ② 由①-②得2b=2+2a2, ∴b=1+a2.
当m=0时,f(a)=f(b); 当m≠0时,m2>0, 又a>b>1,∴f(a)<f(b). 综上,f(a)≤f(b).
考点二
不等式的性质
1 1 a b
典例2 (1)若 < <0,则下列结论不正确的是 ( A.a2<b2 C.a+b<0
a b c d a b C. > d c
)
B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+lt;
解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1), ∵a1,a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)>0,∴M>N.故选B. (2)易知a,b都是正数, = =log89>1,所以b>a.
b 2ln 3 a 3ln 2
1 3 ∵b-a=1+a2-a= >0, a + 4 2
2
∴b>a.即c≥b>a.
1-2
m2 x 已知m∈R,a>b>1, f(x)= ,则f(a)与f(b)的大小关系是 ( x 1

近年高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式作业本理(2021年整理)

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第一节不等关系与不等式A组基础题组1.设a，b∈[0，+∞）,A=+,B=,则A，B的大小关系是（)A。

A≤B B.A≥BC.A<B D。

A>B2.若m〈0,n〉0且m+n〈0,则下列不等式中成立的是（）A.—n<m〈n<—mB.—n<m〈-m<nC.m<-n<-m〈n D。

m<-n〈n〈-m3.已知a〉b>0,则下列不等式中总成立的是（)A。

a+>b+B。

a+>b+C.> D。

b->a-4。

下列四个命题中，正确命题的个数为( ）①若a〉|b|,则a2〉b2；②若a>b,c>d，则a—c〉b-d;③若a〉b，c>d,则ac>bd;④若a>b〉0，则>.A.3B.2C.1 D。

05。

(2017北京东城期末，5)已知x，y∈R,且x>y〉0,则( )A。

tan x—tan y〉0 B。

xsin x-ysin y>0C.ln x+ln y〉0D.2x-2y〉06。

用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2，设靠墙的一边长为x m,则其中的不等关系可用不等式（组)表示为.7.已知a，b∈R，则a〈b和<同时成立的条件是。

(北京专用)2019版高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式夯基提能作业本文

无解.
15。答案甲、丁、乙、丙
解析由题意得，甲+丙=乙+丁,①
甲+乙〉丙+丁,②
丁〉乙+丙,③
由①②可知，甲+乙+(甲+丙)〉丙+丁+（乙+丁）,甲+乙+（乙+丁)>丙+丁+（甲+丙）,可得甲>
丁，乙>丙.
由③知丁〉乙且丁>丙.
所以甲〉丁>乙〉丙。
16. 解析设该单位去的人数为 n(n∈N＊），一张全票的价格为 x(x>0）元,包甲车队共需 y1 元，包乙车队共需 y2 元,
③若 bc-ad>0， - >0,则 ab〉0。其中正确命题的个数是( ）
A。0 B。1
C。2 D.3
11.设 a>b〉1,c〈0,给出下列三个结论：
① > ；②ac<bc；③logb(a-c）〉loga（b—c）。其中所有的正确结论的序号是（）
A.① B。①②
C.②③
D。①②③
12。(2017 北京朝阳期末)已知非零实数 a，b 满足 a〈b,则下列不等式中一定成立的是
3。设 a>1〉b〉-1，则下列不等式中恒成立的是( )
A.a>b2 B. 〉
C. 〈
D.a2>2b
4.设 a，b 是实数,则“a>b>1"是“a+ >b+ "的（ ) A。充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.若角 α，β 满足— 〈α〈β〈π，则—1）= x+ xn， y2= nx。

2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第七章不等式7.1 Word版含答案

§7.1 不等关系与不等式最新考纲考情考向分析 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景. 以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝b a －b <0⇔a 1⇔a >b a b ＝1⇔a ＝bab<1⇔a 0) 2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a >b ⇔b <a ⇔ 传递性a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔可乘性 ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc 注意c 的符号⎭⎬⎫a >b c <0⇒ac <bc 同向可加性⎭⎬⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒ 同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒ 可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ＋，n >1) a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >n b (n ∈N ＋，n >1)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b. ②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m(b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )(4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c .( √ )。

2019版高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课件文

答案 -1,-2,-3(答案不唯一)
解析答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但不满足a+b>c.
考点突破
考点一比较两个数(式)的大小
典例1 (1)已知a1,a2∈(0,1).记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 ( )
A.M<N C.M=N
B.M>N D.不确定
3 2
=log89>1,所以b>a.
方法技巧比较两数(式)大小的三种常用方法 (1)作差法一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)特值法若是选择题、填空题,可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断.
=- x2 ≤0.
4
∴A2≤B2,由于A≥0,B>0,∴A≤B.故选C.
1-2 若a1<a2,b1<b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 .
答案 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 解析作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)·(b1-b2). ∵a1<a2,b1<b2,∴(a1-a2)(b1-b2)>0, 即a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.
(2)若a= ln 2 ,b= ln 3 ,则a

(新课标)19届高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件文

b b＋ 1 D. ＜ a a＋ 1
1 1 b－a 解：因为 a＜b＜0，所以 b－a＞0，ab＞0，－＝＞0， a b ab 1 1 1 因此 A 错误；由函数 f(x)＝ 2 是减函数知 2 ＞ 2 ，B 错误； 1 1 1 由a＋b－b＋a＝(a－b)1＋ab＜0 知 C 正确．或用特值法，
解： a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为 a1≤a2，b1≥b2，所以 a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故 a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1. 故填 a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.
点拨：作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．
2
类型二
不等式的性质
( )
下列说法正确的是 A．a，b∈R，且 a＞b，则 a2＞b2 a b B．若 a＞b，c＞d，则＞ c d a b C．a，b∈R，且 ab≠0，则＋ ≥2 b a
D．a，b∈R，且 a＞|b|，则 an＞bn(n∈N*)
解：当 a＝0，b<0 时 A 选项不正确； a b 当 a>0>b，0>c>d 时， <0， >0，所以 B 选项不正确； c d a b 当 ab<0 时， <0， <0，所以 C 选项不正确． b a D 正确．故选 D.
第七章
不等
考纲链接
式
1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2．一元二次不等式 (1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型． (2) 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

2019年高考数学(理)一轮复习第七章不等式习题及答案

第七章⎪⎪⎪不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式突破点(一) 不等式的性质1．比较两个实大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a ，b ∈，a －b ＝0⇔a ＝b a ，b ∈，a －b <0⇔a 1⇔a >b a ∈R ，b ，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b，ab <1⇔a b，ab>0⇒1a<1b.②a<0<b⇒1a<1b.③a>b>0,0<c<d⇒ac>bd.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.(2)有关分的性质若a>b>0，m>0，则：①ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)．②ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0).[例1] (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是( )A．M<N B．M >NC．M＝N D．不确定(2)若a＝ln 22，b＝ln 33，则a________b(填“＞”或“＜”)．[解析] (1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M >N.(2)易知a，b都是正，ba＝2ln 33ln 2＝log89＞1，所以b＞a.[答案] (1)B (2)<[方法技巧] 比较两个(式)大小的两种方法[例2] (1)( )A.1a<1bB．ab<b2C．－ab<－a2 D．－1a<－1b(2)下列命题中，正确的是( ) A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若ac2<bc2，则a<bD．若a>b，c>d，则a－c>b－d(3)(2016·西安八校联考)“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析] (1)法一(性质判断)：对于A项，由a<b<0，得b－a>0，ab>0，故1a－1b＝b－aab>0，1a>1b，故A项错误；对于B项，由a<b<0，得b(a－b)>0，ab>b2，故B项错误；对于C项，由a<b<0，得a(a－b)>0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；对于D项，由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－1a－⎝⎛⎭⎪⎫－1b＝a－bab<0，－1a<－1b成立，故D项正确．法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则1a＝－12>1b＝－1，ab＝2>b2＝1，－ab＝－2>－a2＝－4，－1a＝12<－1b＝1.故A、B、C项错误，D项正确．(2)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a<b，∴B错误；∵ac2<bc2，∴c≠0，又c2>0，∴a<b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．(3)x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝12，x2＝20，x1＋x2＝412>6，x1x2＝10>9，但x1<3.故“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的充分不必要条件．[答案] (1)D (2)C (3)A[方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是( )A．A≤B B．A≥BC．AB解析：选B 由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2.[考点二]若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．3.[考点二]若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个为3.4.[考点二]设a ，b 是实，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab ，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．突破点(二) 一元二次不等式1．三个“二次”之间的关系2.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件 (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[例1] (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] (1)原不等式可为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1. [方法技巧]1．解一元二次不等式的方法和步骤(1)：把不等式变形为二次项系大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转为一次不等式或二次项系为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转为求二次函的最值或用分离参求最值．考法(一) 在实集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实m 使得对所有的实x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实m 使不等式恒成立．考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.所以m ＜67，则0＜m ＜67. 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ 0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1. 因为函y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67. 考法(三) 在参的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转为关于m 的一次函问题．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参．即把变元与参交换位置，构造以参为变量的函，根据原变量的取值范围列式求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}．2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x－6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3. 3.[考点二·考法一若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]． 4.[考点二·考法二若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3. 5.[考点二·考法三要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：选A A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：选 D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )A．A∩B＝∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，故选B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强运算能力]1．若a>b>0，则下列不等式不成立的是( )A.1a<1bB．|a|>|b|C ．a ＋b <2ab D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .故C 项不成立． 2．函f (x )＝1－x x ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B 要使函f (x )＝1－x x ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ －x x ＋，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函的定义域为(－2,1]．3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x－2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)． 5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2] 解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >b c⇒a >b C. ⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab <0⇒1a >1b D. ⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a 0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.3．已知a >0，且a ≠1，m ＝a a 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：选 B 由题易知m >0，n >0，两式作商，得m n＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a 的解集不是空集，则实a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：选 B 不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －a ＋的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a 的解集不为空集的a的取值范围是a ≥－4.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实x 恒成立，则实a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32解析：选D 由定义知，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＋1a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实a 的最大值为32. 二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 20知命题正确．答案：②③8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a . 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a 9．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2016·西安一模)若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实m 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：[－2,2]三、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a －a 3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3±3，b ＝－3. 故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12．已知函f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R.(1)若a ＝2，试求函y ＝f x x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4. 因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域1．二元一次不等式(组)表示的平面区域本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出．[例1]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大[解析]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1.[答案] B[方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参不等式组中的参影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参的取值范围确定这条直线的变趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函的变趋势，确定极限情况求解；如果目标函中含有参，则要根据这个目标函的特点考察参变时目标函与平面区域的关系，在运动变中求解．[例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞[解析]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.[答案] D[易错提醒]此类问题的难点在于参取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π.2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．3.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整的点，则整a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个共9个，故整a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题1．线性规划中的基本概念在确定线性约束条件和线性目标函的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即线性目标函的最值[例1] 足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 [解析] 由约束条件作出可行域如图所示，目标函可为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.[答案] B [方法技巧]求解线性目标函最值的常用方法线性目标函的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函求出相应的值，从而确定目标函的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义求最值．非线性目标函的最值[例2](2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12 [解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.[答案] C[方法技巧]非线性目标函最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋b cx ＋d(ac ≠0)型的目标函，可利用斜率的几何意义求最值，即先变形为z ＝a c·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题为求可行域内的点(x ，y )与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c，－b a 连线的斜率的ac 倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函，可先变形为z＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2的形式，将问题为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．线性规划中的参问题[例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3 [解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.[答案] B [方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参当成常用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函确定最值，通过构造方程或不等式求解参的值或范围；(2)先分离含有参的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x－y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.2.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝y x ＋1的最大值为( )A.12 B.32 C ．1D.14解析：选 C如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝yx ＋1＝y －0x －－表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－－＝1.3.[考点一](2017·银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 作出实x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3，故选A.4.[考点三]x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax取得最大值的最优解不唯一，则实a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C＝2a －2，要使目标函取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.5.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80.答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用解线性规划应用题的一般步骤应用[典例] B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.[答案] D[易错提醒]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整、是否为非负等．(3)正确地写出目标函，一般地，目标函是等式的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( )A ．10B ．12C ．13D ．16解析：选C 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x＝6＋7＝13.2．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 700[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x－若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12C ．1D ．2解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分所示，由目标函z＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.3．(2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x ＋y ＝0，当直线经过A 点时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A 1，12，z max＝1＋12＝32.答案：324．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 0005．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx的最大值为3.答案：36．(2012·新课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．解析：依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC ，显然，当直线y ＝12x －z2过点A (1,2)时，z 取得最小值为－3；当直线过点B (3,0)时，z 取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为[－3,3]．答案：[－3,3][课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强运算能力]1．下面给出的四个点中，位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0)解析：选C 将四个点的坐标分别代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0验证可知，满足条件的只有(0，－2)．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32 D ．2解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x ＋2y ＝0并上下平移，易知当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P (－2，－3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝92，故选B.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函z＝3x －y 的最大值为________．解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4.答案：4[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋3≥0，y ≥－1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．11B ．－11C ．13D ．－13解析：选A 将z ＝3x ＋y 为y ＝－3x ＋z ，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y ＝－3x ＋z 经过点D 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝－1，得D (4，－1)，此时z max ＝4×3－1＝11，故选A.2．(2017·河南八市高三质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是( )A ．20B ．22C ．24D ．26 解析：选A 由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，即C (2，－1)，将其代入直线方程－2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20，故选A.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：选 D作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ≥0时，如图(1)所示，此时可行域为x 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4，即k ＝－12.故选D.。

精品2019届高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课后作业理

推荐下载【创新方案】2017届高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课后作业理[全盘巩固]一、选择题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．(2016·包头模拟)若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么 c 的取值范围是( )A ．9≤c ≤18B ．15＜c ＜30C ．9≤c ≤30D ．9＜c ＜304．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |5．若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( ) A.1a <1bB ．log 2a >log 2bC ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2 D ．b <ab <a ＋b2<a二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c>b ·2c.其中正确命题的序号是__________．7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 8．若60<x <84,28<y <33，则x －y 的取值范围是________，x y的取值范围是________．三、解答题9．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．10．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c2>e b －d2.推荐下载[冲击名校]1．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b <ab ＋c <ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a 0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若a >b >0，且a ＋mb ＋m >ab，则实数m 的取值范围是________． 4．若－1≤lg x y ≤2,1≤lg xy ≤4，则lg x 2y的取值范围是________．5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．答案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B .2．解析：选A 由a －b >0得a >b ≥0，由a 2－b 2>0得a 2>b 2，即a >b ≥0或a 0”是“a 2－b 2>0”的充分不必要条件．3．解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a .∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30.4．解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z可得xy >xz ，故选C.5．解析：选C 选项A 中，由a >b >0，可知1a <1b成立；选项B 中，根据对数函数y ＝log 2x 的递增性质可知，log 2a >log 2b成立；选项C 中，a 2＋b 2－(2a ＋2b －2)＝(a －1)2＋(b －1)2>0，故C 不成立；选项D 中，根据基本(均值)不等式可推荐下载知b ＝b ·b <ab <a ＋b 2<a ＋a2＝a 成立．二、填空题6．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立．答案：②③7．解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c8．解析：∵－33<－y <－28，∴27<x －y <56. ∵133<1y <128， ∴2011<x y<3. 答案：(27,56) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2011，3 三、解答题9．解：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a >1时，a ＋2>31－a ；当a <1时，a ＋2<31－a.10．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0， ∴0<1a －c2<1b －d2.又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2.[冲击名校]1．解析：选A 因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，由ca ＋b <ab ＋c，得cb ＋c 2<a 2＋ab ，整理得(c －a )(a ＋b ＋c )<0，所以c <a ，同理由ab ＋c <ba ＋c得a 0，则说明P 、Q 、R 可能都大于零，或者有两个为负数，一个为正数，假设a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，相加得b <0，与b ∈R ＋矛盾，故假设不成立，即P 、Q 、R 都大于零，因此“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的充要条件．3．解析：由a ＋mb ＋m >a b ，得a ＋m b ＋m －a b >0，整理得b －a mb b ＋m>0，可得m (b ＋m )<0，得－b <m <0.推荐下载答案：(－b,0)4．解析：由1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y＝2lg x －lg y＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x2y≤5. 答案：[－1,5]5．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。

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一、填空题
1．设a >0，b >0，则以下不等式中，不恒成立的是________．
①(a ＋b )(1a ＋1b )≥4 ②b ＋2a ＋2>b a
③a ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b
④a a b b ≥a b b a 解析：对于答案②，当a b a
不成立．(可取特殊值验证) 答案：②
2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是________．
①b －a >0 ②a 3＋b 2<0
③b ＋a >0 ④a 2－b 2<0
解析：由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a 0，于是选③.
答案：③
3．若x <0且a x >b x >1，则下列不等式成立的是________．
①01b >1，得0<a 0才成立，已知条件不能保证a ＋b >0，故①不恒成立；ab 2<a 2b ⇔ab (b －a )<0，在a <b 的条件下，
只有当ab <0才成立，已知条件不能保证，故②不恒成立；1ab 2<1a 2b ⇔1ab 2－1a 2b <0
⇔a －b a 2b 2<0⇔a －b <0⇔a b 且c >d ”是“a ＋c >b ＋d ”的________条件．
解析：由不等式性质可得充分性成立，但必要性不成立，如a ＝1，c ＝6，b ＝4，d ＝2.
答案：充分不必要
6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则________先到教室．
解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2显然v 1<v 2，
总路程为2s ，
则甲用时间为s v 1＋s v 2
，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2
＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2) ＝s (v 1－v 2)2
v 1v 2(v 1＋v 2)
>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2
，故乙先到教室．答案：乙
7．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.
∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.
答案：(－3,3)
8．下列四个不等式：①a <0x >0，且x ＋y ＝1则x ，y,2xy ，x ＋y 2的大小关系为________．
解析：∵y >x >0，x ＋y ＝1，取特殊值x ＝14，y ＝34，
∴x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y .
答案：x <2xy <x ＋y 2<y
二、解答题
10．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4，求f (3)的范围．
解析：设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．
⎩⎨⎧ f (1)＝a ＋c f (2)＝4a ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝f (2)－f (1)3，c ＝4f (1)－f (2)3.
f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f (1)－f (2)3
＝8f (2)－5f (1)3
. ∵1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，
∴5≤5f (1)≤10,24≤8f (2)≤32，
14≤8f (2)－5f (1)≤27.
∴143≤8f (2)－5f (1)3
≤9，即143≤f (3)≤9.
11．已知奇函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R 且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0.试说明f (α)＋f (β)＋f (γ)的值与0的关系．
解析：由α＋β>0，得α>－β.
∵f (x )在R 上是单调减函数，∴f (α)<f (－β)．
又∵f (x )为奇函数，∴f (α)<－f (β)，
∴f (α)＋f (β)<0，
同理f (β)＋f (γ)<0，f (γ)＋f (α)<0，
∴f (α)＋f (β)＋f (γ)<0.
12．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划
从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．
(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解析：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．
则y ＝2 000＋60x 800＋ax
(a ∈N *,1≤x ≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x
>3，解得x >403>10.
所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．
(2)设1≤x 1<x 2≤10，
则f (x 2)－f (x 1)
＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1
＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)
>0，所以60×800－2 000a >0，得a <24.
所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．。