2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练 40
精选2019年数学高考第一轮复习完整版考核题库(含答案)
2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --= D ．31y x =+（2012天津文）2．曲线=xy e 在点A （0,1）处得切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e D ．1e（2011江西文4） 3．由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为A.21B. 1C. 23D. 3二、填空题4．一份试卷有10个题目，分为,A B 两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至多选择4题，则考生有 ▲ 种不同的选答方法．5．已知空间中两点P 1（x ，2，3）和P 2（5，x +3，7）间的距离为6，则x= ．6．某小卖部为了了解冰糕销售量y(箱)与气温x(C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2-≈b ，预测当气温为25C ︒时， 冰糕销量为 杯．分析：线性回归方程a bx y+=ˆ恒过(,)x y ，由表中算得(,)x y ＝（10,40）代入回归方程，可得a ＝60，即ˆ260yx =-+，将5x =-代入回归方程，得ˆy ＝70. 7．已知225,xx-+= 则88x x -+=8．如果在今后若干年内我国国民经济生产总值都保持年平均9%的增长率，则要达到国民经济生产总值比2006年翻两番的年份大约是___.(0374.2109lg ,4771.03lg ,3010.02lg ===)9．已知函数))(2(log )(1*+∈+=N n n n f n ，定义使)()2()1(k f f f ⋅⋅⋅⋅为整数的数)(*∈N k k 叫做企盼数，则在区间[1，2009]内这样的企盼数共有 ▲ 个．10．已知直线,a b 相交于点P 夹角为60，过点P 作直线，又知该直线与,a b 的夹角均为60，这样的直线可作______条11．已知直线l m αβ⊥⊂平面，直线平面，有下列命题：;l m αβ①若∥，则⊥②若αβ∥，则l ∥m ;,,l m l m αβαβ③若∥则⊥；④若⊥则∥。
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题天天练 10 Word版含解析
天天练导数的应用(一)一、选择题．(·太原一模)函数＝()的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )．(－)为函数＝()的单调递增区间．()为函数＝()的单调递减区间．函数＝()在＝处取得极大值．函数＝()在＝处取得极小值答案：解析：由函数＝()的导函数的图象可知，当<－或<<时，′()<，＝()单调递减；当>或－<<时，′()>，＝()单调递增．所以函数＝()的单调递减区间为(－∞，－)，()，单调递增区间为(－)，(，＋∞)．函数＝()在＝－处取得极小值，在＝处取得极大值，故选项错误，选.．已知∈，函数()＝－＋＋的导函数′()在(－∞，)上有最小值，若函数()＝，则( ) ．()在(，＋∞)上有最大值．()在(，＋∞)上有最小值．()在(，＋∞)上为减函数．()在(，＋∞)上为增函数答案：解析：函数()＝－＋＋的导函数′()＝－＋，′()图象的对称轴为＝，又导函数′()在(－∞，)上有最小值，所以<.函数()＝＝＋－，′()＝－＝，当∈(，＋∞)时，′()>，所以()在(，＋∞)上为增函数．故选.．函数()＝＋－在[－]上的最大值和最小值分别是( )．，－．．，－．，－答案：解析：因为()＝＋－，所以′()＝＋，当∈[－，－)或∈(]时，′()>，()为增函数，当∈(－)时，′()<，()为减函数，由(－)＝，(－)＝，()＝－，()＝，故函数()＝＋－在[－]上的最大值和最小值分别是，－.．(·焦作二模)设函数()＝(－)－＋，则函数()的单调递减区间为( )．(，＋∞) ．(，＋∞)答案：解析：由题意可得()的定义域为(，＋∞)，′()＝(－)＋(－)·－＋＝(－)·.由′()<可得(－)<，所以(\\(－>，<))或(\\(－<，>，))解得<<，故函数()的单调递减区间为，选.．设′()是函数()的导函数，将＝()和＝′()的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案：解析：不存在选项的图象所对应的函数，因在定义域内，若上面的曲线是＝′()的图象，则′()≥，()是增函数，与图象不符；反之若下面的曲线是＝′()的图象，则′()≤，()是减函数，也与图象不符，故选.．(·江西金溪一中等校联考)已知函数()与′()的图象如图所示，则函数()＝的单调递减区间为( )．() ．(－∞，)，．()，(，＋∞)答案：解析：′()＝＝，令′()<，即′()－()<，由题图可得∈()∪(，＋∞)．故函数()的单调递减区间为()，(，＋∞)．故选.方法总结导数与函数的单调性()利用导数讨论函数单调性的步骤：①确定函数()的定义域；②求′()，并求′()＝的根；②利用′()＝的根将定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论′()的正负，确定()在该区间上的单调性．()求单调区间的步骤：①确定函数()的定义域；②求′()；③。
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题天天练 5 Word版含解析
天天练函数的周期性与对称性及性质的综合应用一、选择题．若函数()＝＋＋对一切实数都有(＋) ＝ (－)则( )．()<()< ()．()<()< ()．()<()< ()．()<()< ()答案：解析：由已知对称轴为＝，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小．．(·黑龙江双鸭山适应性考试)函数()对于任意实数满足条件(＋)＝，若()＝－，则[()]＝( ) ．－．．－答案：解析：由题意得(＋)＝＝()，则()＝()＝－，所以[()]＝(－)＝(－)＝＝－.故选.．(·山东临沭一中月考)已知定义在上的函数()满足(－)＝－()，(－)＝()，则( )＝( ) ．－．．．答案：解析：∵(－)＝－()，∴(－)＝－(－)，且()＝.又∵(－)＝()，∴()＝－(－)，∵(－)＝－(－)，∴()＝(－)，∴()是周期为的函数，∴( )＝(×＋)＝()＝()＝.故选.．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间(，＋∞)上单调递增的是 ( )．＝．＝－＋．＝．＝＋答案：解析：对于，函数＝关于原点对称且在(－∞，)和(，＋∞)上单调递减；对于，函数＝－＋关于轴对称且在(，＋∞)上单调递减；对于，函数＝无对称性且在上单调递增；对于函数＝＋关于＝－对称且在(－，＋∞)上单调递增；故选.．已知函数()为偶函数，且函数()与()的图象关于直线＝对称，若()＝，则(－)＝( )．－．．－．答案：解析：因为函数()与()的图象关于直线＝对称，且()＝，所以()＝.因为函数()为偶函数，所以(－)＝()＝.故选.．(·福建龙岩五校联考)若函数＝()在[]上单调递减，且函数(＋)是偶函数，则下列结论成立的是( )．()<(π)<() ．(π)<()<()．()<()<(π) ．()<(π)<()答案：解析：∵函数＝()在[]上单调递减，且函数(＋)是偶函数，∴(＋)＝(－＋)，()＝(－)，∴(π)＝(－π)，()＝()．∵<<－π<，∴(－π)<()<()，∴(π)<()<()．故选.．(·安徽合肥一中月考)已知定义在上的函数()满足：＝(－)的图象关于点()对称，且当≥时恒有()＝(＋)，当∈[]时，()＝－，则( )＋(－ )＝( )．－．－．－－．＋答案：解析：∵＝(－)的图象关于点()对称，∴()的图象关于原点对称．∵当≥时恒有()＝(＋)，∴函数()的周期为.∴( )＋(－)＝()－()＝－.故选.．定义在上的奇函数()满足(＋)＝－()，且在[)上单调递减，则下列结论正确的是( )．<()<() ．()<<()．()<<() ．()<()<答案：解析：由函数()是定义在上的奇函数，得()＝.由(＋)＝－()，得(＋)＝－(＋)＝()，故函数()是以为周期的周期函数，所以()＝(－)．又()在[)上单调递减，所以函数()在(－)上单调递减，所以(－)>()>()，即()<<()．故选.二、填空题．设()是定义在上的奇函数，且＝()的图象关于直线＝对称，则()＋()＋()＋()＋()＝ .答案：解析：∵()是定义在上的奇函数，∴()＝－(－)，又∵()的图象关于直线＝对称，∴()＝(－)＝－(－)＝－(－)⇒()＝(＋)，在()＝(－)中，令＝，∴()。
2019高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练 4 Word版含解析
A．增函数且最小值是－2 017
B．增函数且最大值是－2 017
C．减函数且最大值是－2 017
D．减函数且最小值是－2 017
答案：B
解析：因为奇函数f(x)在[2,8]上是增函数，所以f(x)在[－8，－2]上也是增函数，若奇函数f(x)在[2,8]上有最小值，且f(x)min＝f(2)＝2 017，则f(x)在[－8，－2]上有最大值，且f(x)max＝f(－2)＝－f(2)＝－2 017，故选B.
8．(2018·四川双流中学必得分训练)函数y＝log3(x2－2x)的单调递减区间是()
A．(－∞，1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案：B
解析：由对数函数的定义得x2－2x>0，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(2，＋∞)．因为函数u(x)＝x2－2x在(－∞，1)上为减函数，结合原函数的单调性和定义域，得其单调递减区间为(－∞，0)．
∴f(x)在[－2,0]上也单调递减，
∴f(x)在[－2,2]上单调递减，
又∵f(1＋m)＋f(m)＜0⇔f(1＋m)＜－f(m)＝f(－m)，
∴1＋m＞－m即m＞－ ②
由①②可知：－ ＜m≤1
故答案为：
三、解答题
12．设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.
(1)讨论f(x)的奇偶性；
二、填空题
9．设函数f(x)＝ 为奇函数，则a＝________.
答案：－1
解析：f(x)＝ (x＋1)(x＋a)为奇函数⇔g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练 24 Word版含解析
天天练24 不等式的性质及一元二次不等式一、选择题1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．ac >bd B ．ac <bd C ．ad <bc D ．ad >bc 答案：B解析：根据c <d <0，有－c >－d >0，由于a >b >0，故－ac >－bd ，ac <bd ，故选B.2．若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b 答案：A解析：因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .3．(2018·河南信阳月考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④若a >b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B解析：因为ac 2>bc 2，可见c 2≠0，所以c 2>0，所以a >b ，故①正确．因为a >b ，c >d ，所以根据不等式的可加性得到a ＋c >b ＋d ，故②正确．对于③和④，用特殊值法：若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝bd ，故③错误；若a ＝2，b ＝0，则1b 无意义，故④错误．综上，正确的只有①②，故选B.4．(2018·辽宁阜新实验中学月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：x >a ，若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]答案：A解析：将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以命题p ：x >1或x <－3.因为綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以p 的一个充分不必要条件是q ，所以(a ，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集，所以a ≥1.故选A.5．(2018·南昌一模)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( )A ．T >0B ．T <0C ．T ＝0D ．T ≥0 答案：B解析：通解 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三个数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc，因为ab <0，－c 2<0，abc >0，所以T <0，故选B. 优解 取特殊值a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.6．不等式x2x －1>1的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 答案：A解析：原不等式等价于x2x －1－1>0，即x －(2x －1)2x －1>0，整理得x －12x －1<0，不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.故选A. 7．(2018·河南洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235 答案：B解析：由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (5)≥0，f (1)≤0，解得－235≤a ≤1，故选B.8．不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的必要不充分条件是( )A ．m >2B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1 答案：C解析：当不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立时，对于方程x 2－2x ＋m ＝0，Δ＝4－4m <0，解得m >1，所以m >1是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充要条件；m >2是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充分不必要条件；0<m <1是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的既不充分也不必要条件；m >0是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的必要不充分条件．故选C.二、填空题9．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52解析：设2a －b ＝mf (1)＋nf (－1)＝(m －n )·a ＋(m ＋n )b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2，m ＋n ＝－1，解得m ＝12，n ＝－32，∴2a －b ＝12f (1)－32f (－1)，∵0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，∴0<12f (1)<1，－32<－32f (－1)<32，则－32<2a－b <52.10．(2018·江苏无锡一中月考)若关于x 的方程(m －1)·x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数的平方和不大于2，则m 的取值范围为________．答案：{m |0<m <1或1<m ≤2}解析：根据题意知方程是有两个根的一元二次方程，所以m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)·(－1)>0，得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2，所以m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．11．(2018·内蒙古赤峰调研)在a >0，b >0的情况下，下面四个不等式：①2ab a ＋b ≤a ＋b 2；②ab ≤a ＋b 2；③a ＋b 2≤ a 2＋b 22；④b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .其中正确不等式的序号是________． 答案：①②③④解析：2ab a ＋b －a ＋b 2＝4ab －(a ＋b )22(a ＋b )＝－(a －b )22(a ＋b )≤0，所以2aba ＋b≤a ＋b2，故①正确；由基本不等式知②正确；⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－a 2＋b 22＝－(a －b )24≤0，所以a ＋b 2≤ a 2＋b 22，故③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫b2a＋a 2b －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab ＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ，故④正确．综上所述，四个不等式全都正确．三、解答题12．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意可得m ＝0或⎝ ⎛m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]．(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <67.。
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题天天练 37 Word版含解析
天天练算法初步
一、选择题
．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )
．．
．．
答案：
解析：分析程序框图可知，当为偶数时，＝，当为奇数时，＝，
而程序在＝时跳出循环，故输出的为，故选.．要计算＋＋＋…＋)
的结果，如图所示的程序框图的判断框内可以填( )
．< ．≤
．＞．≥
答案：
解析：通过分析知，判断框内为满足循环的条件，
第次循环，＝，＝＋＝，
第次循环，＝＋，＝＋＝，
……
当＝时，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出的值．
所以结合选项知，判断框内的条件应为≤ .故选.
．(·太原二
模)如图是一算法的程序框图，若输出结果为＝，则在判断框中可填
入的条件是( )
．≤．≤
．≤．≤
答案：
解析：第一次执行循环体，得到＝，＝；第二次执行循环体，得
到＝，＝；第三次执行循环体，得到＝，＝，此时满足条件．故选.．(·云南大理统
测)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺．瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果＝(
)
．．
．．
答案：
解析：模拟执行程序，可得＝，＝，＝，＝；
不满足条件≥，执行循环体，＝，＝，＝；
不满足条件≥，执行循环体，＝，＝，＝；
不满足条件≥，执行循环体，＝，＝，＝；
不满足条件≥，执行循环体，＝，＝，＝；
不满足条件≥，执行循环体，＝，＝，＝.
退出循环，输出的值为.故选.。
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题天天练 36 Word版含解析
天天练统计案例一、选择题．(·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区户高收入家庭、户中等收入家庭、户低收入家庭中选出户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的名艺术特长生中选出名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是( )．①简单随机抽样，②系统抽样．①分层抽样，②简单随机抽样．①系统抽样，②分层抽样．①②都用分层抽样答案：解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的名艺术特长生中选出名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法，故选.．(·贵州遵义联考)某校高三年级有名学生，随机编号为，…， .现按系统抽样方法，从中抽出人，若号被抽到了，则下列编号也被抽到的是( )．．．．答案：解析：系统抽样就是等距抽样，被抽到的编号满足＋，∈.因为＝＋×，故选.．(·江西九校联考(一))一组数据共有个数，其中有，还有一个数没记清，但知道这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为( )．．．－．答案：解析：设这个数是，则平均数为，众数为，若≤，则中位数为，此时＝－，若<<，则中位数为，此时＝＋，所以＝，若≥，则中位数为，此时＝＋，所以＝，所以这个数的所有可能值的和为(－)＋＋＝.．(·新课标全国卷Ⅲ，)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．( )．月接待游客量逐月增加．年接待游客量逐年增加．各年的月接待游客量高峰期大致在月．各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳答案：解析：根据折线图可知，年月到月、年月到月等月接待游客量都是减少，所以错误．．(·山西长治四校联考)某班组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)，[)，[)，[]．若低于分的人数是，则该班的学生人数是( )．．．．答案：解析：由题图可知，数据落在[)，[)内的频率为(＋)×＝，∴该班的学生人数是＝.．(·云南曲靖一中月考)下表是，的对应数据，由表中数据得线性回归方程为( )．．．答案：。
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练 38 Word版含解析
天天练推理与证明一、选择题．要证明＋<可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) ．综合法．分析法．反证法．归纳法答案：解析：综合法由已知条件入手开始证明，分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件，反证法适合证明含有“存在”“唯一”等字眼的题目，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，本题的证明适合采用分析法．．(·洛阳一模)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数答案：解析：中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故错误；、都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以、都不正确，只有正确，故选.．用数学归纳法证明＋＋＋…＋<(∈*，>)时，第一步应验证不等式( )．＋<．＋＋<．＋＋<．＋＋＋<答案：解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当＝时，不等式为＋＋<，故选.．(·新课标全国卷Ⅱ，)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )．乙可以知道四人的成绩．丁可以知道四人的成绩．乙、丁可以知道对方的成绩．乙、丁可以知道自己的成绩答案：解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“个优秀，个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选.．(·山东菏泽模拟)设，，都是正数，则＋，＋，＋三个数( )．都大于．都小于．至少有一个大于．至少有一个不小于答案：解析：依题意，令＝＝＝，则三个数为，排除，，选项，故选.．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于，因为是实数，所以的绝对值大于”，你认为这个推理( )．大前提错误．小前提错误．推理形式错误．是正确的答案：解析：大前提是任何实数的绝对值大于，显然是不正确的．故选.．(·合肥一模)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中恰有一个是偶数”的正确假设为( )．自然数，，中至少有两个偶数．自然数，，中至少有两个偶数或都是奇数．自然数，，都是奇数．自然数，，都是偶数答案：解析：“自然数，，中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数，，均为奇数或自然数，，中至少有两个偶数”．．(·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设>>，且＋＋＝，求证：<”，则索的因应是( )．－> ．－>．(－)(－)> ．(－)(－)<答案：解析：要证<，需证－<，因为＋＋＝，所以即证(＋)－<，即证＋＋－－<，即证－＋＋<，即证－－>，即证(＋)(－)>，即证(－)(－)>.故选.二、填空题．(·河北唐山一中调研)用数学归纳法证明：(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(－)(∈*)时，从“＝到＝＋”时，左边应增加的代数式为．答案：(＋)解析：首先写出当＝时和＝＋时等式左边的式子．当＝时，左边等于(＋)(＋)…(＋)＝(＋)(＋)…()，①当＝＋时，左边等于(＋)(＋)…(＋)(＋)(＋)，②∴从＝到＝＋的证明，左边需增加的代数式是由得到＝(＋)．．(·山东日照一模)有下列各式：＋＋>＋＋…＋>，＋＋＋…＋>，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：.答案：＋＋＋…＋>(∈*)解析：观察各式左边为的和的形式，项数分别为，…，∴可猜想第个式子中左边应有＋－项，不等式右边分别写成，，，…，∴猜想第个式子中右边应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：＋＋＋…＋>(∈*)．．(·长沙二模)在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则＝.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体－的内切球体积为，外接球体积为，则＝.答案：解析：由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正四面体－的棱长为，为等边三角形的中心，为内切球与外接球的球心，则＝，＝.设＝，＝，则＝－，又在△中，＝＋，即＝＋，∴＝，＝，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是，故正四面体－的内切球体积与外接球体积之比等于，即＝.三、解答题．(·安徽合肥测试)给出四个等式：＝；－＝－(＋)；－＋＝＋＋；－＋－＝－(＋＋＋)；……()写出第个等式，并猜测第(∈*)个等式；()用数学归纳法证明你猜测的等式．解析：()第个等式：－＋－＋＝＋＋＋＋；第个等式：－＋－＋－＝－(＋＋＋＋＋)；猜测第(∈*)个等式为－＋－＋…＋(－)－＝(－)－(＋＋＋…＋)．()证明：①当＝时，左边＝＝，右边＝(－)×＝，左边＝右边，等式成立；②假设当＝(∈*)时，等式成立，即－＋－＋…＋(－)－＝(－)－，则当＝＋时，－＋－＋…＋(－)－＋(－)(＋)＝(－)－·＋(－)(＋)＝(－)(＋)＝(－)，∴当＝＋时，等式也成立．根据①②可知，对于任何∈*等式均成立．。
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天天练 40 选修系列
1．(2017·北京卷，11)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________．
答案：1
解析：由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，
圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.
∵ 点P 的坐标为(1,0)，∴ 点P 在圆C 外．
又∵ 点A 在圆C 上，∴ |AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.
2．(2017·天津卷，11)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．
答案：2
解析：由4ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π6＋1＝0得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0， 故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0.
由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，
故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，
即x 2＋(y －1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为1.
∵ 圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|(23)2＋2
2＝34＜1，∴ 直线与圆相交，有两个公共点．
3．(2018·山西五校联考(一))在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.
解析：(1)由题意知，直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.
(2)解法一：由(1)知，曲线C 是以点(0,2)为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，则|AB |＝2× 4－12＝
14.
解法二：由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－4y ＝0可取A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋72，3＋72，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－72，3－72， 由两点间的距离公式可得|AB |＝14.
解法三：设A ，B 两点所对应的参数分别为t A ，t B ， 将⎩⎨⎧
x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t 代入x 2＋y 2－4y ＝0，并化简整理可得t 2＋2
t －3＝0，
从而⎩
⎪⎨⎪⎧ t A ＋t B ＝－2，t A t B ＝－3，因此|AB |＝(t A ＋t B )2－4t A t B ＝14. 4．(2017·新课标全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的
参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .
解析：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.
当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由⎩⎨⎧
x ＋4y －3＝0，
x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425.
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，－2125，2425.
(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin
θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17
. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917
. 由题设得a ＋917
＝17，所以a ＝8； 当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117
. 由题设得－a ＋117
＝17， 所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16.
5．设函数f (x )＝|x |＋|x ＋10|，不等式f (x )≤x ＋15的解集为M .
(1)求M ；
(2)当a ，b ∈M 时，求证：5|a ＋b |≤|ab ＋25|.
解析：(1)由f (x )≤x ＋15得，
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋15≥0，x ≤－10，－x －x －10≤x ＋15
或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋15≥0，－10<x <0，－x ＋x ＋10≤x ＋15
或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋15≥0，x ≥0，x ＋x ＋10≤x ＋15， 解得－5≤x ≤5，所以f (x )≤x ＋15的解集M ＝[－5,5]．
(2)当a ，b ∈M ，即－5≤a ≤5，－5≤b ≤5时，
要证5|a ＋b |≤|ab ＋25|，即证25(a ＋b )2≤(ab ＋25)2.
因为25(a ＋b )2－(ab ＋25)2＝25(a 2＋2ab ＋b 2)－(a 2b 2＋50ab ＋625)＝25a 2＋25b 2－a 2b 2－625＝(a 2－25)(25－b 2)≤0，所以25(a ＋b )2≤(ab ＋25)2，即5|a ＋b |≤|ab ＋25|.
6．(2017·新课标全国卷Ⅰ，23)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于
x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①
当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；。