北京市海淀区2016届高三查漏补缺数学试题 Word版含答案综述

2016年北京市海淀区高三数学查漏补缺题说明： 个别题目有难度 ，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！1、 提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。

2、 教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。

3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习，合理安排学生时间。

4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。

简易逻辑部分 ：1.已知实数a ，直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +++=，则“1a =”是“1l //2l ”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B2.已知曲线C 的方程为221x y a b+=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C3.设集合*{},,241n A n n ∈⋯≥=N ，，，若,X A ⊆且2()2Card X n ≤≤-，（Card （X ）表示集合X 中的元素个数）令X a 表示X 中最大数与最小数之和，则 （1）当n=5时，集合X 的个数为 20 （2）所有X a 的平均值为 n+1 解答（2）,对所有的X 进行配对， 当()2Card X =时，令12{,}X x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈，必有/X A ⊆不妨设12x x <，则12X a x x =+，/12121122()X a n x n x n x x =+-++-=+-+.如果/X X ≠则有/22X X a a n +=+，如果/X X =则1X a n =+。

同理，当()(22)Card X k k n =<≤-时令12{,,...}k X x x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈必有/X A ⊆,不妨设12...k x x x <<<，则1X k a x x =+，/122()k X a n x x =+-+。

如果/X X ≠则有/22X X a a n +=+，如果/X X =则1X a n =+。

所以，在每一组元素个数相同的子集中，X a 的平均值为n+1. 综上，所有X a 的算术平均值为n+1三角函数部分1.若角α的终边过点(1,2)-，则sin 2_____α=45-解：1,2,x y r ==-==sinαα∴== 4sin 22sin cos 2(5ααα∴==⨯=-2.把函数sin(2)4y x π=-向右平移8π个单位，然后把横坐标变为原来的2倍，则所得到的函数的解析式为________________解：函数sin(2)4y x π=-向右平移8π个单位，得sin[2()]cos248y x x ππ=--=，把横坐标变为原来的2倍，得cos y x =3.设函数()sin()cos(),(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ><＝＋＋＋的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则：A ．()f x 在(0,)2π上单调递减 B.()f x 在3(,)44ππ上单调递减C ．()f x 在(0,)2π上单调递增 D.()f x 在3(,)44ππ上单调递增解：()sin()cos())4f x x x x πωϕωϕωϕ++＝＋＋＋，由最小正周期得2ω=，又由于()()f x f x -=，可知函数为偶函数，因此()42k k ππϕπ∈Z ＋＝＋，又因为2πϕ<，可得4πϕ=，所以()f x x ，在(0,)2π上单调递减。

所以选A4. 已知函数()|sin ||cos |f x x x =+，现有如下几个命题： ①该函数为偶函数； ②该函数最小正周期为π；③该函数值域为； ④该函数单调递增区间为[,]242k k πππ+k Z ∈. 其中正确命题为. 解：答案：①③④先分析函数奇偶性为偶函数，从而只用考虑y 轴一侧的图像，如右侧.然后由诱导公式或者π（I ）求角B 的取值范围； （II ）若3A C π-=，求sin B ；解：（I ）22222222()3322cos 228a c a c a c ba c ac B acac ac++-+-+-===62182ac ac ac -≥=又0B π<<, (0,]3B π∴∈（II ）（2）2a c b +=sin sin 2sin A C B ∴+=11113sin sin sin sin()sin sin()2223226B AC C C C ππ∴=+=++=+sin sin[()]sin()sin(2)3B AC A C C ππ∴=-+=+=+3sin(2)sin()326C C ππ∴+=+32sin()cos()sin()6626C C C πππ∴++=+ 3cos()64C π∴+=，13sin()64C π∴+=331339sin sin()6B C π∴=+=⨯= 6. 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4cos sin 22)(πx x x f 。

(I) 若在B A f AB BC ABC 的角，求使，中，△0)4(22=-==π.(II)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2417,2ππ上的取值范围； 解：（I ）()22sin cos 044f A A A ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭sin 0cos 04A A π⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭或，.42A ππ∴=在三角形中，得或;24A B ππ∴==当时，时，由正弦定理得，（II）222()22sin cos sin2sin cos2sin22f x x x x x x x⎛⎫=-=-⎪⎝⎭22sin2cos212sin2cos212sin21224x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1755,2,224443x xπππππ≤≤∴≤+≤22sin21,4xπ⎛⎫∴-≤+≤-⎪⎝⎭由正弦函数的性质可知，352()21428x x f xπππ+==--当，即时，取最小值；52() 2.442x x f xπππ+==-当，即时，取最大值所以)(xf在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2417,2ππ上的取值范围是212⎡⎤---⎣⎦，.7.如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线3(0)y x x=≥交于点Q，与x轴交于点M．记MOPα∠=，且ππ(,)22α∈-．（Ⅰ）若1sin3α=，求cos POQ∠；（Ⅱ）求OPQ∆面积的最大值.M解：﹙Ⅰ﹚因为1sin 3α=，且ππ(,)22α∈-，所以22cos 3α=．所以πππ223cos cos()cos cos sin sin 3336POQ ααα+∠=-=+=．（Ⅱ）由三角函数定义，得(cos ,sin )P αα，从而(cos ,3cos )Q αα所以 1|cos ||3cos sin |2POQ S ααα∆=- 21|3cos sin cos |2ααα=- 133cos2113π|sin2||sin(2)|2223ααα=+-=+-1331|1|22≤+=+ 因为ππ(,)22α∈-，所以当π12α=-时，等号成立所以OPQ ∆面积的最大值为312+ .立体几何部分：1. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α,n ⊥平面β,直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（）A ．//αβ，且//l β B ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l答案D2.(理科) 已知正方体1111D C B A ABCD -中，P 为直线1BC 上的动点，Q 为直线11B A 上的动点，则PQ 与面11B BCC 所成角中最大角的正弦值为_________. 解：点P 在1BC 中点，点Q 在1A 时成角最大，最大成角的正弦值为363. 如图所示几何体中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，BE //PD ,22AB PD BE ===,F 为AD 的中点.（I ）证明：BF // 平面PAE ；(II) 线段PE 上是否存在一点N ，使PE ⊥平面NAC ？若存在，求PN 的长；若不存在，说明理由.解：（I ）取PA 中点Q ，连QF 、QE .则QF //PD //BE ，112QF PD BE ===, 所以四边形QFBE 是平行四边形，所以//BF EQ ， 又因为QE ⊂平面PAE ，BF ⊄平面PAE ，所以BF // 平面PAE .（取PD 中点M ，连ＦＭ，ＢＭ，通过面面平行证明也可）(II) 线段PE 上存在一点N ，使PE ⊥平面NAC ，2PN =．过A 做AN PE ⊥于N ，连CN ，因为PD ⊥平面ABCD ，AD,CD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥，2AD CD PD ===，所以AP CP == 因为BE //PD ,所以BE ⊥平面ABCD ，AB,CB ⊂平面ABCD ，所以BE AB ⊥，BE CB ⊥，2,1AB CB BE ===，所以AE CE ==所以PAE 与PCE 全等，因为AN PE ⊥，所以CN PE ⊥，又因为AN CN N =，AN,CN ⊂平面NAC ，所以PE ⊥平面NAC因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD DC ⊥，BE //PD ， 所以3PE =，在PAE 中222cos 2PA PE AE APE PA PE +-∠===⋅所以22222cos =⨯=∠=APE PA PN4.如图，已知三棱锥BCD A -中，2===BA DC DB ，DC BD ⊥，⊥AB 平面BCD ，E 为BC 的中点.(1)求证：DE AC ⊥；(2)求二面角D AC B --的大小；(3)在棱AC 上是否存在点F ，使得AD EF ⊥？ 解答：(1).证明：⊥AB 平面BCD ，⊂DE 平面BCD ，DE AB ⊥∴ 又BCD ∆ 为等腰直角三角形，E 为BC 的中点，DE BC ⊥∴B BC AB = ，⊥∴DE 平面ABC⊂AC 平面ABC ， 故DE AC ⊥(2).在平面ABD 内，过点D 作BA 的平行线DP 故⊥DP 平面BCD 所以DP DC DB ,,两两垂直， 以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系)0,0,0(D )2,0,2(A ，)0,0,2(B ，)0,2,0(C因为⊥DE 平面ABC ，所以)0,1,1(=为平面ABC 的一个法向量，设),,(z y x =为平面ACD 的一个法向量，)2,0,2(),0,2,0(==，故⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0⇒⎩⎨⎧==+02022y z x 不妨设1=x ，则0,1=-=y z ，故)1,0,1(-= 所以21,cos =>=<nDE ，所以二面角D AC B --的大小为3π.(3)假设存在点),,(c b a F 在棱AC 上，则λ=，]1,0[∈λ 即)2,2,2()2,,2(λλλ--=--c b a所以)22,2,22(λλλ--F ，则)22,21,21(λλλ-+--=，)2,0,2(=，有04442=-+-=⋅λλ，即43=λ， 即存在点)21,23,21(F 为AC 的靠近点C 的四等分点使得AD EF ⊥5. 已知一几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为___ ； 表面积为____.参考答案：4,1233V S ==+ 概率：1. 在一个盒中放置6张分别标有号码1，2，…，6的卡片,现从盒中随机抽出一张，设卡片编号为a .调整盒中卡片，保留所有号码大于a 的卡片，然后第二次从盒中再次抽出一张，则第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片的概率值为. 解：设“第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片”为事件A.则()13121132171(1)6563665345P A =⋅+⋅+⋅=++=. 所以第一次抽出奇数号卡片，第二次抽出偶数号卡片的概率为1745.２.袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差.解：（Ⅰ）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A ，摸出一球得白球的概率为25， 摸出一球得黑球的概率为35，所以P （A ）＝25×35＋35×25＝12.25答：两球颜色不同的概率是12.25（Ⅱ）由题知ξ可取0，1，2，依题意得323(0),5410P ξ==⨯=32233(1),54545P ξ==⨯+⨯=211(2)5410P ξ==⨯=则3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=，22243434190125105551025.D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答： 摸出白球个数ξ的期望和方差分别是45，925.解析几何1．已知圆C ：22(2)1x y ++=，若椭圆M 以圆心C 及（2，0）为左、右焦点，且圆C 与椭圆M 没有公共点，则椭圆M 的离心率的取值范围是. 解： 203e <<2. 双曲线E ：22221yx a b-=的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 是线段OA 2的中垂线与双曲线E的渐近线的交点（O 为双曲线中心），若PA 1⊥PA 2，则双曲线E 的离心率e ＝_________. 解：23. 曲线C 是平面内与三个定点12(10)F F (-1,0)，，和3(0,1)F ，的距离的和等于轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 关于x 轴、y 轴均对称②曲线C 上存在一点P ,使得3||3PF =③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积最大值是1○4三角形23PF F 面积的最大值为2其中所有真命题的序号是3,命题意图：定义一个新曲线，考察学生即时学习的能力，培养学生创新意识。