福州市高一下学期期中数学试卷B卷
2023-2024学年福建省福州市高一下学期期中考试数学模拟试题
2023-2024学年福建省福州市高一下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．复数z 满足()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．12-B ．12C ．12iD ．12i-【正确答案】B【分析】根据复数的运算法则，化简得的1122z i =-+，结合复数的概念，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得(1)z i i -=，可得(1)111222i i i z i i ⋅+===-+-故复数z 的虚部为12.故选：B.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::3:5:7a b c =，则此三角形中的最大角的大小为（）A ．150B ．120C ．92°D ．135°【正确答案】B【分析】根据三角形边的比设出三边，得到最大边，进而可得最大角，再根据余弦定理求最大角即可.【详解】::3:5:7a b c = ，设3,5,7,0a x b x c x x ===>，c ∴最大，即C 最大，2222222925491cos 2302a b c x x x C ab x +-+-∴===-，又0180C << ，120C ∴= .故选：B.3．已知向量(2,1),(,2)a b x ==- ，若//a b，则a b += （）A ．(－2，－1)B ．(2，1)C ．(3，－1)D ．(－3，1)【正确答案】A【分析】由//a b ，利用向量共线的坐标运算解得x ，再利用向量和的坐标运算求a b +.【详解】解析：因为//a b ，所以2(2)x ⨯-=，解得x ＝－4．所以()214,22,()()1a b +=---- ,＋＝.故选：A4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4b =，2c =，60C = 则此三角形的解的情况是（）A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定【正确答案】C【分析】根据正弦定理求解出sin B 的值，根据sin (0,1]B ∈，解出B 角，可判断出选项.【详解】由正弦定理可得，sin sin b cB C=，即42sin sin 60B =o ，解得sin 1B =>，由sin (0,1]B ∈可知，无解.故选：C.5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式i e cos isin x x x =+，其中e 是自然对数的底，i 是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（）A ．i e 10x+=B ．3112⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭C．i -i e e cos 2x xx +=D ．i i e e sin 2x xx -+=【正确答案】C【分析】根据题设公式可判断A,B ，由i e cos isin x x x =+可得-i s e co isin x x x =-，两式联立可判断C,D.【详解】对于A ，i e 1cos isin 1x x x +=++不一定等于0，故A 错误；对于B ，333πi πi31ππcos isin e e cos πisin π12233⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+===+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为i e cos isin x x x =+，①所以()()-i e cos isin x x x =-+-，即-i s e co isin x x x =-，②联立①②可得i -i e e cos 2x xx +=，i i e e sin i 2x xx ---=，故C 正确，D 错误，故选：C.6．在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，E 为AD 上一点，BE AC ⊥.若BE BA BC λμ=+则λμ+的值为（）A ．107B ．98C ．2516D ．2918【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，设(),3E a ，由向量垂直的坐标表示求出a ，再由向量运算的坐标表示求解即可.【详解】以B为坐标原点建立如图所示坐标系，由题意可得()()()0,0,0,3,4,0B A C ，设(),3E a ，所以()()()0,3,4,3,4,0BA AC BC ==-=，(),3BE a = ，因为BE AC ⊥，所以490BE AC a ⋅=-= ，解得94a =，又因为BE BA BC λμ=+ ，所以()()9,30,34,04λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即94433μλ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得9161μλ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以2516λμ+=，故选：C7．在△ABC 中，12BM BC = ，35N A C C =uuu r uuu r ，直线AM 交BN 于点Q ，若BQ BN λ=，则λ=（）A ．35B ．34C ．56D ．57【正确答案】D【分析】B 、M 、C 三点与B 、Q 、N 三点分别共线，根据平面向量共线定理，结合向量加减法，可找出BQ 与BN等式关系，即可求解出结果.【详解】设AQ AM μ=uuu r uuu r，12BM BC =uuu r uu u r Q，∴由平面向量基本定理可得，1122AM AB AC =+，35NC AC =uuu r uuu rQ ，52AC AN ∴=uuu r uuu r ，11524AQ AB AN μ∴=+uuur uu u r uuu r ，524AQ AB AN μμ∴=+uuu r uu u r uuu r ，5124μμ∴+=，解得47μ=，2577AQ AB AN ∴=+uuu r uu u r uuu r ，255777AB BQ AB AB BN ∴+=++uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r ，57BQ BN ∴=uu u r uuu r ，57λ∴=，故选：D.8．在ABC 中，BC ，3BAC π∠=，点D 与点B 分别在直线AC 的两侧，且1AD =，DC =则BD 的长度的最大值是（）AB ．C ．3D 【正确答案】B【分析】根据已知条件可以判断ABC 是直角三角形，且随着ADC ∠的变化ABC 三条边的长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定ADC ∠与边的变化关系，再构造一个关于BD 边的三角形，根据ADC ∠与边的关系在新构造的三角形中解出BD 的表达式，找出最大值.【详解】由tan BCBC BAC AC=⇒==∠可知，ABC 是6ABC π∠=，2ACB π∠=的直角三角形，如图所示：设AC x =，BC ，ADC θ∠=，则由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD θ=+-⋅⋅，即2134x θθ=+-=-由正弦定理得sin sin AD ACACD θ=∠，所以sin sin x ACD θ∠=.连接BD ，在BCD △中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD BCD=+-⋅⋅∠()222233cos 2336sin 336sin 34cos 36sin 156sin cos 1512sin 273BD x ACD x x ACD x πθθθθθπθ⎛⎫=+-+∠ ⎪⎝⎭=++∠=++=-++=+-⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭当5236πππθ=+=时，BD的长度取得最大值，为故选:B 思路点睛：可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题（以本题为例）：①确定变动图形的变化规律：如上题ABC 的变化是角度不变，边长可等比例变化②确定图形变化与某个变量的联系：ADC ∠变化→AC 发生变化→ABC 整体变化③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学生根据已知条件活用所学的数学知识.二、多选题9．已知复数12z z ，满足12||0z z ⋅≠，则下列结论正确的是（）A ．若12z z =，则12z z =±B ．1212z z z z +≤+C ．若12z z =，则2212z z =D ．1212z z z z =⋅【正确答案】BD【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设121z i z =+=，则())22221212122z z z i i z i==+===-，，不满足12=±z z ，也不满足2212z z =，故选项AC 错误；对于B ，设12z z ，在复平面内对应的向量分别为12OZ OZ ，，且120OZ OZ ≠，，由向量加法的几何意义知1212OZ OZ OZ OZ +≤+，故1212z z z z +≤+，故选项B 正确；对于D ，设12z a bi z c di a b c d R =+=+∈，，，，，，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，所以12z z ==，1212z z z z ⋅=，故选项D 正确；故选：BD.10．若向量,a b满足||||2,||a b a b ==+= ）A ．2a b ⋅=-B ．a 与b的夹角为π3C ．(2)a ab ⊥-D ．a b - 在b上的投影向量为12br 【正确答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得2a b ×=，再根据数量积的性质确定a 与b 的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为||||2==r r a b ，所以a b += 则2a b ×=，故A 不正确；又21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅ ，0,πa b ≤≤ ，所以π,3a b = ，即a 与b 的夹角为π3，故B 正确；又2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=，所以(2)a a b ⊥- ，故C 正确；又a b -在b 上的投影向量为()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b ba b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅，故D 不正确.故选：BC.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列条件能判断△ABC 是钝角三角形的有（）A ．0AB BC ⋅> B ．2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=C ．sin sin sin a b Cc b A B-=++D ．tan tan tan 0A B C ++<【正确答案】ACD【分析】利用平面向量数量积的定义，判断夹角的范围即可判断A 选项；对于B 选项，利用正弦定理进行边化角处理，化简可得到角的关系；对于C 选项，利用正弦定理进行角花边处理，再利用余弦定理求得A ；对于D ，利用角的正切值在(0,π)的正负关系，直接得出结果.【详解】对于A 选项：||||cos ,0AB BC AB BC AB BC ⋅=>uu u r uu u r uu u r uu u u r uu r uu u rπ,2AB BC ∴<uu u r uu u r ，则π,2BA BC >uu u r uu r ，故A 选项正确；对于B 选项：2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=Q ，∴由正弦定理可得，2222sin sin sin sin 2sin B C C B B ⋅+⋅=sin cos cos C B C⋅⋅⋅则sin sin cos cos B C B C ⋅=⋅，即cos()0B C +=，故π2B C +=，则π2A =，故B 错误；对于C 选项：sin sin sin a b Cc b A B-=++Q∴由正弦定理可得，a b c c b a b-=++，即222b c a bc +-=-，解得()1cos 0,π2A A =-∈，2π3A =，故C正确；对于D 选项：tan tan tan 0A B C ++<Q ∴tan A 、tan B 、tan C 三个必有一个为负值又A ，B ，(0,π)C ∈，故D 正确.故选：ACD.12．中华人民共和国国旗上的五角星均为正五角星，正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，依次连接A ，B ，C ，D ，E 形成的多边形为正五边形，且PT AT =）A ．|1BS TEPQ-= B ．若32λ=+ AC AR AS ，则12λ-=C ．若1PT =，则AC QR ⋅=D．CT =+ 【正确答案】BCD【分析】根据平面向量的线性运算，向量共线定理得推论，结合平面向量数量积的定义和平面几何知识综合判断.【详解】对于A 选项，BS TE BS BP PS -=-=uu r uu r uu r uu r uu rQ ，又易知36ASP PAS ︒∠=∠=，PS PA ∴=又PT AT =||12||BS TE PS PA AT PQ PQ PT PQ -∴====uu r uu ruu u r ，故A 选项错误；对B选项，AC AR AS λ=+uuu r ur uu r Q ，又C ，R ，S三点共线，1λ=，解得12λ=，故B 选项正确；对于C 选项，1PT =Q，又12PT AT =，AT ∴=2AC QR QC QR⎛∴⋅=+⋅ ⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu ur 211132222224QR ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确；对于D 选项，设AP a =，12PT AP =Q，12PT a ∴=，12CP a =，32CA a =，CP ∴uu r uu r，PT ==uu u r r ur ，CT CP PT =+uu u r uu r uu u rQ，1122CT CA CE -+uu u r uu r uur，CT ∴=+=+uu u r r r ，故D 选项正确；故选：BCD.三、填空题13．在ABC 中，1AB =，3BC =，1AB BC ⋅=-，则ABC 的面积为__________．【分析】根据平面向量的夹角公式可求得cos B ，从而可得到sin B ，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】依题意可得()()=cos π=13cos =1AB BC AB BC B B ⋅⋅⋅-⨯⨯-- ，解得1cos =3B ，又()0,πB ∈，所以sin 3B ，所以ABC 的面积为11sin 1322ABCS AB BC B =⋅⋅⋅=⨯⨯=14．已知关于x 的实系数方程222460x ax a a -+-+=的一个虚根为1+，则=a ___________.【正确答案】1【分析】根据方程的根为1+，将根代入方程即可求解.【详解】因为关于x 的实系数方程222460x ax a a -+-+=的一个虚根为1+，所以()()22011246a a a -+-++=，即212i 460a a a -+--+-+=，也即265)i 0a a a -++-=，所以26501=0a a a ⎧-+=⎨-⎩，解得1a =，故答案为:1.15．在一座尖塔的正南方向地面某点A ，测得塔顶的仰角为30 ，又在此尖塔北偏东30 地面某点B ，测得塔顶的仰角为45 ，且,A B 两点距离为7m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为___________m.【正确答案】2【分析】根据题意作出直观图，可知当OC 取得最小值时，在C 处的仰角最大，利用余弦定理可构造方程求得,,OP OA OB 的长，利用面积桥可求得()min OC .【详解】设塔高为OP，如下图所示，由题意知：()909030150AOB ∠=+-=，30PAO ∠= ，45POB ∠= ，PO ⊥平面AOB ，7AB =，若在C 处的仰角最大，即PCO ∠最大，则tan PCO ∠取得最大值，tan OPPCO OC∠=，∴当OC 取得最小值时，tan PCO ∠最大，设OP h =，则tan OP OA PAO =∠，tan OPOB h PBO==∠，2222222cos 4749AB OA OB OA OB AOB h h h ⎛∴=+-⋅∠=-⨯== ⎝⎭，解得：h，OA ∴=，OB =，111sin 222AOBSOA OB AOB ∴=⋅∠=⨯=当OC AB ⊥时，OC 最小，()min41722AOB S OC AB ∴===，即若在C 处的仰角最大，则C 点到塔底O的距离为m 2.故答案为.216．在ABC 中，点E F ，分别是线段AB AC ，的中点，点P 在直线EF 上，若ABC 的面积为2，则2PB PC BC ⋅+ 的最小值是_____________.【正确答案】【分析】如图，取BC 中点为M ，做PN BC ⊥，将2PB PC BC ⋅+ 化为2234PM BC + ，后找到，，PM BC PN 间关系，可得答案.【详解】如图，取BC 中点为M ，做PN BC ⊥，则()()2214PB PC PB PC PC PB ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦，又2PB PC PM += ，PC PB BC -=，则2214PB PC PM BC ⋅=-，得22234PB PC BC PM BC ⋅+=+ .注意到1222ABC S BC PN BC PN =⋅⋅=⋅=，则2BC PN= .又由图可得PM PN ≥，则2222223332234PM BC PN PN PN PN+≥+≥⋅= ，当且仅当PM BC ⊥，且223PNPN= ，即43PN =时取等号.故23四、解答题17．已知z 为虚数，若R 1i z ∈+，且121iz -<<+.(1)求z 的实部的取值范围；(2)求|3|z z +的取值范围.【正确答案】(1)(1,0)(0,2)- (2)(0,45)【分析】（1）利用复数的概念以及除法运算求解；（2）利用复数的模的概念求解.【详解】（1）设()i,R,R,0z a b a b b =+∈∈≠,则(i)(1i)()i 1i (1i)(1i)2z a b a b a b +-++-+==++-，又R 1i z ∈+，则a b =，所以1iza =+，因为121iz-<<+，所以1a 2-<<且0a ≠，所以z 的实部的取值范围是(1,0)(0,2)- .（2）∵3i 3(i)42i z z a a a a a a +=++-=-，又(1,0)(0,2),a ∈- 所以2222|3|16420z z a a a +=+=，所以2|3|(0,80)z z +∈，因此|3|(0,z z +∈.18．设向量()(2,0,.a b ==(1)求与a b +垂直的单位向量；(2)若向量+ta b 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【正确答案】(1)1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭(2)()()2,12-⋃-【分析】(1)先设单位向量坐标，再应用与a b +垂直求向量坐标即可；(2)因为向量+ta b 与向量a tb + 的夹角为钝角可得数量积小于0，列式计算可得取值范围.【详解】（1）由已知()((2,0a b +=+= ，设与a b +垂直的单位向量为()e x,y =则22301x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即与a b +垂直的单位向量为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭；（2）由已知222a b a b ⋅===，，，所以()()()22221282ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量+ta b 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()202820ta b a tb t t ++<++< ，，解得22t <<，又因为向量+ta b 不与向量a tb + 反向共线，设()()0ta b k a tb k +=+< ，则()21t 2t k ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩从而11k t =-⎧⎨=-⎩或11k t =⎧⎨=⎩（舍去），所以解得()()2,11,2.t ∈-⋃-19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2S CB =⋅（其中S 为△ABC 的面积）.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求a cb+的取值范围.【正确答案】(1)π3B =(2)2]【分析】（1）利用向量的数量积公式和三角形的面积公式求解；（2）利用正弦定理边化角将a cb +转化为三角函数，利用三角函数的性质求解.【详解】（1）因为2S CB =⋅，则sin cos ac B B =，所以tan B =()0,πB ∈，则π3B =；（2）由△ABC 为锐角三角形及π3B =，得2ππ(0,)32C A =-∈且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ(,)62A ∈，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin sin sin )sin a c A C A C b B ++=+2πsin()]3A A =+-3πsin sin cos 2sin()26A A A A A ⎛⎫=+=+⎪⎪⎭，因为ππππ2π(,),sin()1623636A A A π∈<+<<+≤，2sin(26A <+≤π，即a cb+的取值范围是2].20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin 2++=B Ca A B c .(1)若4,3a bc ==，求△ABC 的周长；(2)已知1,3bc ==，且边BC 上有一点D 满足3ABDADCS S=，求AD .【正确答案】(1)9；【分析】（1）利用诱导公式，正弦定理边化角，结合二倍角正弦求出A ，再利用余弦定理求解作答.（2）由余弦定理求出a ，由面积关系可得3BD DC =，再利用余弦定理建立方程组求解作答.【详解】（1）由πA B C ++=可得：()()πsin sin πsin sin sin cos 222B C A AA B C C +-+=-===，，又()sin sin2++=B Ca A B c ，得sin cos 2A a C c =，由正弦定理得sin sin sin cos 2A A C C =，因为sin 0C ≠，即有sin cos 2A A =，显然2sin cos cos 222A A A =，又π022A <<，有cos 02A≠，于是1sin22A =，即π26A =，则π3A =，若4,3a bc ==，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得()()2222π162cos393b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，解得5b c +=，所以△ABC 的周长为9.（2）设BDA α∠=，则πADC α∠=-，由（1）知π3A =在△ABC 中，由3,1c b ==及余弦定理得：222π31231cos73a =+-⨯⨯⨯=，即a =由3ABDADCSS=，知3BD DC ==在△ABD 中，2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD AD α=+⋅，在△ADC 中，()271cos π162AD AD α=+⋅⋅-，即271cos 162AD AD α=++⋅⋅，联立解得，4AD =，所以AD =.21．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？【正确答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）当OA OB =时，OM 取最大值4+.【分析】（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出2222cos6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最后通过50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OABAOBθ==∠∠，π6AOB ∠=，AB =所以56OAB πθ∠=-，OA θ=，566OB ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为AB =π6MAB MBA ∠=∠=，所以2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+⎪⎝⎭，即2248sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭312cos 2sin 22822823233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎭，当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即512πθ=时，2OM 取最大值28+OM 取最大值4+此时51264OA πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭512643OB ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当OA OB =OM 取最大值4+关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.22．锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2b =且b c ≠，()cos 41cos bc B c C =-.(1)求证：2A C =；(2)将AC 延长至D ，使得3CD AC =，记ABD △的内切圆与边AD 相切于点T ，AT 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)AT 为定值23【分析】（1）利用正弦定理边化角可整理得到sin sin 2A C =，结合,A C 的范围和c b ≠可证得结论；（2）将sin 2sin cos A C C =进行角化边可整理得到,a c 的关系，根据向量线性运算可得到4133BD BC BA =-，根据向量数量积运算律可求得BD 长，根据切线长相等的原理可推导得到结果.【详解】（1）由()cos 41cos bc B c C =-，2b =得：()2cos 1cos bc B b c C =-，即()cos 1cos c B b c C =-，整理得：cos cos cos c B b C bc C +=，由正弦定理得：()()sin cos sin cos sin sin πsin sin cos C B B C B C A A b C C +=+=-==，又2b =，sin 2sin cos sin 2A C C C ∴==，π,0,2A C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，3π20,2A C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又c b ≠，C B ∴≠，2πA C A B C ∴+≠++=，2A C ∴=.（2）由（1）得：sin 2sin cos A C C =，22222a b c a c ab+-∴=⋅，又2b =，整理可得：()()()2222c a c c c -=-+2c b ≠= ，222a c c ∴=+，设内切圆圆心为O ，内切圆与边,AB BD 分别相切于点,E F ，则BE BF =，AE AT =，DT DF =，()44413333BD BA AD BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=- ，2222216811681cos 999999BD BC BA BA a ac B c ∴=-⋅+=-+ ()2222222168414116411629929339339a c a ac c a c c c c ac +-=-⋅+=-+=+-+228164393c c c ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，43BD c ∴=+，43BD BA BF FD BE AE DT AT ∴-=+--=-=，又83DT AT AD +==，23AT ∴=.。
福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题
福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数z=21+i，则z=（）A．2 B．0 C．2D．1−i2．已知a,b是两个不共线的向量，且AB=a+5b,BC=−2a+8b,CD=3a−3b，则（）A．A,B,D三点共线B．A,B,C三点共线C．B,C,D三点共线D．A,C,D三点共线3．在△ABC中，a=3,b=1,B=π6，则A=（）A．π3B．π6或5π6C．2π3D．π3或2π34．在矩形ABCD中，AB=22，AD=2，E为线段BC的中点，F为线段CD上靠近C的四等分点，则AE⋅AF的值为（）A．4 B．8 C．92D．55．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A．63πB．93πC．123πD．273π6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c sin A=3a cos C，c=23，ab=8，则a+b的值是（）A．6 B．8 C．4 D．27．中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为18cm，底面直径AB=12cm，CD=20cm，EF=14cm，中间圆台的高为3cm，下面圆台的高为4cm，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（）A．375πcm2B．377πcm2C．379πcm2D．381πcm28．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：e i x=cos x+isin x，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数e π2i为实数B．e i对应的点位于第二象限C．若z1=eπ3i，z2=eθi在复平面内分别对应点Z1，Z2，则△OZ1Z2面积的最大值为32 D．e i x−sin x+icos x=2二、多选题9．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（）A．i22=1B．复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2C．若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则q=−8D．若复数z满足z−i=1，则z的最大值为210．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标，记OP=(x,y)．在上述xOy坐标系中，若a=(1,2)，b=(2,−1)，则（）A．a+b=(3,1)B．|a|=|b|C．a⊥b D．a与b夹角的余弦值为211411．给出下列命题，其中正确的选项有（）A．若a=4， b=1，向量a与向量b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为−2b B．已知a=1,2，b=1,1，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是−53,+∞C．若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则P是△ABC的垂心D．在△ABC中，向量AB与AC满足ABAB +ACAC⋅BC=0，且BABA⋅BCBC=12，则△ABC为等边三角形12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的有（）A．当a=5，b=7，A=60°时，满足条件的三角形共有1个B．若△ABC是钝角三角形，则tan A⋅tan C<1C．若a2tan B=b2tan A，则a=bD．若A=60°，a=2，则△ABC面积的最大值为3三、填空题13．已知向量a,b满足 a−b⊥b，且a=2, b=1，则a与b的夹角为．14．如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图△A′O′B′（图中虚线分别与x′轴，y′轴平行），则原图形△AOB的面积是．15．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为36海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为23海里处；货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则灯塔C与D处之间的距离为海里.16．赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形ABCD的边长为13，正方形EFGH边长为1，则AE⋅AG的值为；tan∠EAB=．四、解答题17．已知向量a=(2,1)，b=(1,2)，c=(3,λ)．(1)若c∥a，求|c|的值；(2)若(ka+b)⊥a，求k的值．18．如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为2，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D得到一个三棱锥.求：(1)三棱锥A′−BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′−BC′D的外接球的表面积和体积.19．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上一点，OP=xOA+yOB.(1)若BP=2PA，求实数x，y的值；(2)若BP=3PA， OA=2， OB=4，且OA与OB的夹角为120°，求OP⋅AB的值.20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a=b+2c cos B.(1)求角C的大小；(2)若a+b=215，且△ABC的外接圆半径为23，求AB边上的高ℎ.21．某种植园准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且3PQ∥OA.(1)当OQ=50米时，求PQ的长和郁金香区的面积；(2)综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区△OPQ的面积尽可能的大；设∠AOP=θ，求△OPQ面积的最大值.22．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC边上的中点为M，点N是边AC上的动点（不含端点），AM，BN相交于点P.(1)求BC；(2)当点N为AC中点时，求：∠MPN的余弦值；(3)求：NA⋅NB的最小值；当NA⋅NB取得最小值时设BP=λBN，求λ的值.。
福建省福州高一下学期期中考试数学试题(解析版)
福建省福州高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．复数（为虚数单位）的虚部为（ ） 2i z =-i A ． B ．1C ．D ．1-i i -【答案】A【分析】根据给定条件，利用复数的定义直接作答. 【详解】复数的虚部是. 2i z =-1-故选：A2．已知向量满足，则（ ）,a b 2π1,2,,3a b a b ==<>= ()a ab ⋅+= A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】. ()22π112cos 1103a ab a a b ⋅+=+⋅=+⨯⨯=-= 故选：C3．已知向量，，，则的值是（ ）(cos ,3)a α= (sin ,4)b α=- //a b 3sin cos 2cos 3sin αααα+-A ．B ．C ．D ．12-2-43-12【答案】A【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代//a b 4tan 3α=-3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--入即可得解.【详解】因为向量，，(cos ,3)a α= (sin ,4)b α=- //a b，即4cos 3sin a a ∴-=4tan 3α=-3sin cos 3tan 1412cos 3sin 23tan 2412αααααα++-+∴===--+-故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--4．在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ） ABCD E BC AC a = DB b = AE =A ．B ．1124a b - 2133a b + C ． D ．12a b +3144a b + 【答案】D【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求1122CB b a =- 12AE AC CE AC CB =+=+解.【详解】如图所示，可得，11112222CB OB OC DB AC b a =-=-=-所以. 111131222244AE AC CE AC CB a b a a b ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭故选：D ．5．如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到300BC m =Q 建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高C 15 A45 60BAC ∠= 度为（ ）PQA ．B ．C ．D ．100m 200m 300m 400m 【答案】B【解析】计算出和，利用正弦定理求出，由此可得出，即可计算出AC ACQ ∠AQ sin 45PQ AQ = 所求结果.【详解】在中，，，Rt ABC ∆60BAC ∠= 300BC =sin 60BC AC ∴===在中，，，ACQ ∆451560AQC ∠=+= 180456075QAC ∠=--= .18045ACQ AQC QAC ∴∠=-∠-∠= 由正弦定理，得，得sin 45sin 60AQ AC=sin 45sin 60AC AQ ==在中，， Rt APQ ∆sin 45200PQ AQ === 故此无人机距离地面的高度为， 200m 故选：B.【点睛】本题考查高度的测量问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半ABC A 2π3A =1AB =G ABC A AG AB AG AC ⋅=⋅ ABC A 径为( )A B ．1C ．2D ．【答案】B【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AG ⊥CB ，结合G 为AG AB AG AC ⋅=⋅ 0AG CB ⋅=△ABC 重心可得△ABC 为等腰三角形，再根据几何关系即可求△ABC 外接圆半径． 【详解】延长AG 交BC 于D ，∵G 是△ABC 重心，∴AD 为△ABC 中线．，()000AG AB AG AC AG AB AG AC AG AB AC AG CB ⋅=⋅⇒⋅-⋅=⇒⋅-=⇒⋅=即AD ⊥BC ，故△ABC 是等腰三角形，且， AB AC =则△ABC 外接圆圆心在AD 上，设为O ，则OA =OC ， ∵∠OAC =，∴△OAC 是等边三角形，∴OA =OC =AC =AB =1，即△ABC 外接圆半径为1． π3故选：B ．7．在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若﹐则中最ABC A 2015120aBC bCA cAB ++=ABC A 小角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D 453435【答案】A【分析】由已知，根据题意，将展开，从而得到，再根据BC(2015)(1220)0a b AC c a AB -+-= AC 和为不共线向量，即可得到a ，b ，c 三边关系，从而使用余弦定理可直接求解出中最小ABABC A 角的余弦值.【详解】由已知，，所以， 2015120aBC bCA cAB ++=20()15120a AC AB bCA cAB -++= 即，又因为和为不共线向量，(2015)(1220)0a b AC c a AB -+-= AC AB所以，所以，，2015012200a b c a -=⎧⎨-=⎩43b a =53c a =在中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，所以边长a 最小， ABC A 所以，所以中最小角的余弦值等于.2224cos 25b c a A bc +-==ABC A 45故选：A.8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且ABC A A B C a b c S ABC A ，则的取值范围为（ ）()222S a b c =--222b c bc+A ． B ． C．D ．4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭)⎡+∞⎣【答案】C【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求ABC A sin A cos A C B 出的取值范围，即可求出的取值范围． sin sin b B c C =222b c bc+【详解】解：在中，由余弦定理得， ABC A 2222cos a b c bc A =+-且的面积，ABC A 1sin 2S bc A =由，得，化简得， 222()S a b c =--sin 22cos bc A bc bc A =-sin 2cos 2A A +=又，，联立得，(0,2A π∈22sin cos 1A A +=25sin 4sin 0A A -=解得或（舍去）， 4sin 5A =sin 0A =所以， sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C cC C C C ++====+因为为锐角三角形，所以，，所以，ABC A 02C π<<2B AC ππ=--<22A C ππ-<<所以，所以，所以， 13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设，其中，所以， b t c =35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭221212222b c b c t tbc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 12y t t =+35⎛ ⎝53⎫⎪⎪⎭当时，；当时，；t =y =35t =4315y =53t =5915y =所以，即的取值范围是．5915y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈222b c bc +5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：C.【点睛】关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及2222b c b cbc c b+=+求出的取值范围. sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C c C C C C ++====+b c二、多选题9．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（ ）i z ()2022i 2iz -=A ．复数的模为B ．复数的共轭复数为z 15z 21i 55--C ．复数的虚部为D ．复数在复平面内对应的点在第一象限z 1i 5z 【答案】ABC【分析】利用可将化简，求出复数，再根据复数模长求法，共轭复数定义，复数的几2i 1=-2022i z 何意义求解即可. 【详解】，()101122022i i12i i 2i 22i 5z +====---，z 的虚部为，z =21i 55z =-15故选ABC ．10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()22cos 2π13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭A ．任意，x ∈R ()()πf x f x =-B ．任意，x ∈R ()()33ππ+=-f x f x C ．任意， 12ππ36x x -<<<()()12f x f x >D ．存在， 12,R x x ∈()()124f x f x -=【答案】ACD【分析】根据余弦函数的性质：周期性、对称性、单调性、最值分别判断各选项． 【详解】因为的最小正周期是，因此A 正确； ()f x 2ππ2T ==时，， π3x =2π4π2π,Z 33x k k +=≠∈不是图象的对称轴，B 错； π3x =()f x时，，由余弦函数性质知在是单调递减，C 正确；ππ36x -<<2π02π3x <+<()f x ππ(,36-同样由余弦函数性质知的最大值是3，最小值是，两者差为4，因此D 正确． ()f x 1-故选：ACD ．11．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且，c =2．则下列结论正确π3C ∠=（ ）A ．△ABCB ．的最大值为AC AB ⋅2C ． D ．的取值范围为coscos b A a B+=cos cos BA )∞∞⎛-⋃+ ⎝【答案】AB【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B 选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到2242b a AC AB +-⋅= ，结合B 的取值范围求出最大值；C 选项，利用正弦定理进行求解；D 22π26b a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取()cos cos B A C =-+cos 1cos 2B A A =-cos cos B A 值范围.【详解】由余弦定理得：，解得：，2241cos 22a b C ab +-==224a b ab +=+由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 2242a b ab ab +=+≥a b =所以，故A 正确； 4ab ≤1sin 2ABC S ab C =≤A ， 222224cos 22b c a b a AC AB AC ABA bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=其中由正弦定理得： 2πsin sin sin3a b A B ===所以 ()22222216162πsin sin sin sin 333b aB A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，4π1cos 2161cos 2π323226B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥-=- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为，所以，2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故，22π26b a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的最大值为222224cos22b c a b a ACAB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=2B 正确； ， )()cos cos sin cossin cos 2b A a B B A A B A B C +=+=+===故C 错误；， πcos cos13cos cos 2A B A A A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===-因为，所以，2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(()tan ,0,A ∞∞∈-⋃+，D 错误. ()11,2,22A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭故选：AB【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.12．设，为单位向量，满足，，则，的夹角为，则1e 2e 12e 12a e e =+123b e e =+ a bθ的可能取值为（ ）2cos θA ．B ．C ．D ．1192020292829【答案】CD【分析】设单位向量，的夹角为，根据已知条件，然后利用1e 2eα12e 3cos 14α≤≤夹角公式可将表示成关于的函数，利用不等式的性质求出其值域即可．2cos θcos α【详解】设单位向量，的夹角为，1e 2eα由，解得，12e54cos 2α-≤3cos 14α≤≤又，， 12a e e =+123b e e =+，同理||a ∴==r||b =r 且，44cos a b α=+⋅r r，cos b b a a θ∴==⋅⋅r r r r =，令，244cos cos 53cos αθα+∴=+2cos t θ=则， 844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++，，，3cos 14α≤≤Q 2953cos 84α∴≤+≤81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以，即的取值范围为 84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦2cos θ28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD三、填空题13．已知向量为单位向量，其夹角为，则__________.,a b π3|2|a b +=【分析】利用模长公式直接求解【详解】|2|a b +===14．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____.【答案】92【分析】将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由12x i =+()()32420m n m i --++-=复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将代入方程x 2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i )2－m (1＋2i )＋2n ＝0，即12x i =+，即，由复数相等的充要条件，得144220i m mi n +---+=()()32420m n m i --++-=解得 320420m n m --+=⎧⎨-=⎩522n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩故. 59222m n +=+=故答案为：9215．的内角，，的对边分别为，，，满足.若ABC A A B C a b c ()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为________.ABC A 3a =ABC A【答案】/34π34π【分析】先用正弦定理及余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式可得当为等边三角形A ABC A 时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可. ABC A 【详解】∵，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-则由正弦定理可得，整理得，22()b c a bc -=-222b c a bc +-=则. 2221cos 22b c a A bc +-==∵为锐角三角形，则，故，ABC A π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =由面积为，ABC A 11sin 22△ABC S bc A bc ===可得当面积取到最大值，即为取到最大值. ABC A bc ∵，即，即， 222b c a bc +-=2292b c bc bc +=+≥9bc ≤当且仅当，即为等边三角形时等号成立. 3==b c ABC A故当为等边三角形时， ABC A ABC A 9=设的内切圆半径为，则 ABC A r ()1922△ABC r S r a b c =++==r =故内切圆面积为. 23ππ4r =故答案为：.3π416．中，，若，ABC A ()min |2AB AC AB BC R λλ==+=∈ 2AM MB =，其中，则的最小值为__________.22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦MP【分析】由平面向量的加法法则得到为点A 到BC 的距离为2，从而为等腰min 2||AB BC λ+=ABC A 直角三角形，斜边为4，再根据，其中，得到点P 在线段22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦DE 上，且D ，E 为BC 的四等分点求解. 【详解】解：如图所示：在中，由平面向量的加法法则得为点A 到BC 的距离， ABC A min ||AB BC λ+即，则为等腰直角三角形，斜边为4，2AN =ABC A 又，其中，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅ ,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以点P 在线段DE 上，且D ，E 为BC 的四等分点， 又，2AM MB =则， AM =当点P 在点D 时，的最小，MP由余弦定理得， 22252cos 459MD AM BD AM BD =+-⋅⋅=四、解答题17．已知是虚数单位，复数，i ()()242z a a =-++i a R ∈（1）若为纯虚数，求实数的值；z a （2）若在复平面上对应的点在直线上，求的值． z 210x y ++=z z ⋅【答案】（1）2；（2）10．【分析】（1）根据纯虚数的定义：实部为零，虚部不为零求解；（2）根据复数的几何意义得到复数对应的点的坐标，代入直线方程求得的值，进而利用共轭复a 数的定义和复数的乘法运算求得.【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且， z 240a -=20a +≠解得实数的值为2；a （2）在复平面上对应的点，z ()24,2a a -+由条件点在直线上，()24,2a a -+210x y ++=则， 242(2)10a a -+++=解得．1a =-则， 3i z =-+3i z =--所以.()23110z z ⋅=-+=18．已知向量，，.()1,3a = ()1,3b =- (),2c λ=（1）若，求实数，的值；3a mb c =+m λ（2）若，求与的夹角的余弦值.()()2a b b c +⊥- a 2b c + θ【答案】（1） （2 01m λ=⎧⎨=-⎩【解析】（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值.m λ（2）根据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而2,a b + ,b c -λ表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.2b c +θ【详解】（1）由,得, 3a mb c =+()()()1,3,33,6m m λ=-+即,解得. 13336m m λ=-+⎧⎨=+⎩01m λ=⎧⎨=-⎩（2）,.()21,9a b +=()1,1b c λ-=-- 因为,所以,即.()()2a b b c +⊥-190λ--+=8λ=令, ()26,8d b c =+=则cos a d a dθ=⋅=【点睛】本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.19．在①，②，③这三个条件中()()3a b c a b c ab +++-=tan tan tan tan 1A BA B +=-sin cos 2sin sin cos C C B A A=-任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足___________. ABC A A B C a b c (1)求的值；tan C(2)若为边上一点，且，，，求. D BC 6AD =4BD =8AB =AC【答案】(1)tan C =(2)AC =【分析】（1）选择①，由余弦定理可求解，选择②，由正切的两角和公式可求解，选择③，由正弦的两角和公式可求解；（2）由余弦定理及正弦定理可求解.【详解】（1）选择①，由，可得，于是得，即()()3a b c a b c ab +++-=222a b c ab +-=1cos 2C =，所以3C π=tan C =选择②，由，有tan tan tan tan 1A BA B +=-tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+==-tan C =选择③，由，有，sin cos 2sin sin cos C CB A A=-sin cos 2sin cos cos sin C A B C C A =-即，即，又因为，所以，于是得sin()2sin cos A C B C +=sin 2sin cos B B C =0B π<<sin 0B ≠，即，所以1cos 2C =3C π=tan C =（2）由在中，，，，由余弦定理得，所ABD △6AD =4BD =8AB =3616641cos 2644ADB +-∠==-⨯⨯以， sin sin ADB ADC ∠=∠=在中，由正弦定理有，得.ADC △sin sin AC ADADC C=∠∠AC =20．某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形（如图所示），为ABCDE ,,,,DC CB BA AE ED 赛道，根据比赛需要，在赛道设计时需设计两条服务通道（不考虑宽度），现测得：,AC AD，，千米，23ABC AED π∠=∠=4CAD BAC π∠=∠=BC =CD =(1)求服务通道的长；AD (2)如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大？并求出最大值． AED AE ED +【答案】(1)千米8(2)当时，折线赛道千米 AE ED =AED【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得； ABC A AC ACD A AD （2）方法一：在中，利用余弦定理构造方程，结合基本不等式可求得的最大值，ADE V AE ED +由此可得结果；方法二：在中，设，，，利用正弦定理可表示出ADE V ADE α∠=EAD β∠=,0,3παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,AE ED，利用三角恒等变换知识化简为关于的正弦型函数的形式，利用正弦型函数的最大值可AE ED +α求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得：ABC A sin sin BC ABCAC BAC⋅∠===∠在中，由余弦定理得：，ACD A 2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅⋅∠即，解得：，234182cos4AD AD π=+-⨯⨯8AD =服务通道的长为千米．∴AD 8（2）方法一：在中，由余弦定理得：， ADE V 22222cos3AD AE ED AE DE π=+-⋅⋅即，；222AD AE ED AE ED =++⋅()264AE ED AE ED ∴=+-⋅（当且仅当时取等号），()24AE ED AE ED +⋅≤AE ED =，即， ()23644AE ED ∴+≤()22563AE ED +≤（当且仅当 AE ED ∴+≤AE ED ==当时，折线赛道∴AE ED =()AED AE ED +方法二：在中，设，，，ADE V ADE α∠=EAD β∠=,0,3παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin sin sin AE DE ADAED αβ====∠AE α∴DE β=)1sin sin sin sin sin sin 32AE DE παβααααα⎫⎤⎛⎫∴+=+=+-=-⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭， 1sin 23πααα⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，， 03πα<< 2333πππα∴<+<当，即时，取得最大值，此时，∴32ππα+=6πα=sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭16πβ=时，折线赛道千米． 6AEDE π∴===()AED AE ED +21．已知向量，，函数. ()sin 2,cos 2m x x = 12n ⎫=⎪⎪⎭()f x m n =⋅(1)求函数的解析式和对称轴方程；()f x (2)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ()()1sin R 6f x x πλλλ⎛⎫+++=∈ ⎪⎝⎭1x 2x ，，求实数的取值范围及的值.3x λ123xx x ++【答案】(1)，对称轴方程是，； π()sin(26f x x =+ππ26k x =+Z k ∈，． 13λ≤<1233π2x x x ++=【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，结合正弦函数的对称轴求得的对称轴； ()f x ()fx （2）方程化简得和，由正弦函数性质和的范围，同时得出和，求得sin 1x =1sin 2x λ-=λ1x 23x x +结论．【详解】（1）由已知，1π()2cos 2sin(226f x m n x x x =⋅=+=+ ，，所以对称轴方程是，；ππ2π62x k +=+ππ26k x =+ππ26k x =+Z k ∈（2），2ππ(sin(2)cos 212sin 62f x x x x +=+==-时，递增，时，递减，，ππ[,]62x ∈-sin y x =π2π[,]23x ∈sin y x =2πsin 3=π1sin(62-=-， πsin 12=方程为，()()1sin R 6f x x πλλλ⎛⎫+++=∈ ⎪⎝⎭212sin (1)sin x x λλ-++=即， 22sin (1)sin 10x x λλ-++-=，(sin 1)(2sin 1)0x x λ-+-=或，sin 1x =1sin 2x λ-=因为，所以时，，设，π2π,63x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 1x =π2x =1π2x =， 112λ-≤<13λ≤<在上有两个解，记为，则，1sin 2x λ-=π2π[,]3323,x x 23πx x +=所以． 1233π2x x x ++=22．如图，在中，，是角的平分线，且．ABC A ()AB mAC m R =∈AD A ()AD kAC k R =∈（1）若，求实数的取值范围．3m =k （2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．3BC =2m ≥ABC A k【答案】（1）；（2）当的面积取最大值.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k =ABC A 3【分析】（1）设，则，利用可得出，由此可2BAC θ∠=02πθ<<ABC BAD CAD S S S =+A A A 3cos 2k θ=求得的取值范围；k （2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理化简可得22sin 2ABC S AC m θ=△29sin 2212cos 2ABC m S m m θθ=+-△，可得出，利用辅助角公式可得出，()2214cos 29sin 2ABC ABCS mmSm θθ+=+△△()22228141ABCm Sm≤-△结合函数单调性可求得的最大值及其对应的，即可得出结论. ABC S A k 【详解】（1）设，则，其中，2BAC θ∠=BAD CAD θ∠=∠=02πθ<<由，可得， ABC BAD CAD S S S =+A A A 111sin 2sin sin 222AB AC AB AD AC AD θθθ⋅=⋅+⋅所以，，()2cos AB AC AD AB AC θ+⋅=⋅即，所以，； ()212cos m AC kAC mAC θ+⋅=2cos 33cos 0,122m k m θθ⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭（2），可得，221sin 2sin 222ABC m S mAC AC θθ==⋅△22sin 2ABC S AC m θ=△由余弦定理可得，()222222cos 212cos 29BC AB AC AB AC m m AC θθ=+-⋅=+-⋅=所以，，所以，， 222912cos 2sin 2ABC S AC m m m θθ==+-△29sin 2212cos 2ABCm S m m θθ=+-△可得()2214cos 29sin 2ABC ABC S m mS m θθ+=+≤△△所以，，()22228141ABCm Sm≤-△，则，2m ≥ ()2991212ABC m S m m m ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭△由于函数在时单调递增， ()1f m m m=-2m ≥所以，随着的增大而减小，则当时，，ABCS A m 2m =()max93322ABC S ==⨯△此时，，由，可得， 93tan 244ABCm mS θ==△22sin 23tan 2cos 24sin 2cos 2102θθθθθθπ⎧==⎪⎪+=⎨⎪<<⎪⎩4cos 25θ=所以，cos θ==2cos 4cos 13m k m θθ===+【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； a b c （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.。
福州市高一下学期期中数学试卷B卷(模拟)
福州市高一下学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一下·南阳期中) 一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥的事件是（）A . 至多有一次中靶B . 两次都中靶C . 恰有一次不中靶D . 至少有一次中靶2. （2分）掷两个面上分别记有数字1至6的正方体玩具，设事件A为“点数之和恰好为6”，则A所基本事件个数为（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个3. （2分）当输入x=﹣1，y=20时，如图中程序运行后输出的结果为（）A . 3； 43B . 43；3C . ﹣18；16D . 16；﹣184. （2分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A .B .C . 36D .5. （2分）要从编号1到60的60枚最新研制的某种导弹中随机选取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A . 5，10，15，20，25，30B . 3，13，23，33，43，53C . 1，2，3，4，5，6D . 2，4，8，16，32，486. （2分） (2018高一下·南阳期中) 若一组数据的方差为1，则的方差为（）A . 1B . 2C . 4D . 87. （2分）(2013·上海理) 已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ • ，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线8. （2分） (2018高一下·葫芦岛期末) 已知实数是利用计算机产生之间的均匀随机数，设事件，则事件发生的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一下·鹤壁期末) 下列各数中最大的数是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·南昌期末) 有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2017·南京模拟) 集合L={l|l与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线l′∈L，点P（﹣1，2）到直线l′的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为________．12. （1分）如图所示流程图的运行结果是________．13. （1分）如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为________.14. （1分）用秦九韶算法求多项式f（x）=3x4+2x2+x+4当x=10时的值的过程中，V1的值等于________三、解答题 (共5题；共45分)15. （10分）(2020·漳州模拟) 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示参考数据：参考公式：回归直线方程，其中（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？16. （5分） (2016高二上·郑州开学考) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图；（Ⅱ）估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120，130）内的概率．17. （5分）设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t ，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{an}．（1）写出数列{an}的前三项；（2）求a36 ．18. （15分）(2017·邵阳模拟) 某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表身高（cm）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）频数 2 5 1413 4 2表2：女生身高频数分布表身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）频数 1 7 12 6 3 1（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．19. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，且t≠0)，其中0，在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:：=2sin， C3:=2cos（1）求C2与C3交点的直角坐标（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|最大值参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共45分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、第11 页共11 页。
福建省福州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
福州外国语学校2023-2024学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位、越界答题！在试题卷上作答的答案无效．3．考试结束，考生必须将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（ ）A. 1B.C. 1或D. 或【答案】C 【解析】【分析】根据平面共线定理，由向量平行，求得满足满足的方程，求解即可.【详解】由，且均不为零向量，则，可得，则，整理得，解得或．故选：C ．2. 已知i 是虚数单位，复数，则（ ）A. 1 B. 2C.D. 0【答案】C 【解析】a b (),32m xa b n a x b =+=+- //m n u r rx 13-13-1-13x //m n u r r ,m n ()32,m n a x b λλλλ==+-∈R()132x x λλ=⎧⎨=-⎩()3210x x --=23210x x --=1x =13x =-2i i z =+z =【分析】利用复数的运算及复数模的计算公式即可求解.【详解】,所以.故选：C.3. 四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）A.B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据台体的体积公式运算求解.【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为.故选：A.4.如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（ ）A. 6B.C.D. 12【答案】D 【解析】【分析】由直观图和原图的之间的关系，还原是一个直角三角形，直接求解其面积即可.【详解】如图，由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，，∴.故选：D.2i i 1i z =+=-+z ==40cm,20cm 24cm 322400cm 332400cm 344800cm 367200cm (()223140202422400cm 3+⨯=O A B '''△OAB OAB OAB OAB 6OA =4OB =11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=5. 祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h ），其中：三棱锥的体积为V ，四棱锥的底面是边长为a 的正方形，圆锥的底面半径为r ，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ）A.，， B. ，，C. ，， D. ，，【答案】D 【解析】【分析】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据锥体体积公式即可求解.【详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.6. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）A. B. C. D. 3V a h =3V r π=1a r π=3V a h =3V r h π=ar π=a =r =a r=a =r =a r=213V a h =⋅⋅a =213V r h π=⋅⋅r =ar=ABC D BC 2,BD DC E =AC ,AC m AD n == BE =533n m - 732n m - 732m n - 532m n -【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.【详解】，故选：D ．7. 在中，角的对边分别为，若的平分线，则边上的高线的长等于（ ）A.B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得.【详解】由题意知，设，则，如图所示，1()2BE AE AB AC AC CB =-=-+()113322AC CD AC AD AC=--=---553322AC AD m n =-=- ABC 、、A B C a b c 、、3,2,c b BAC ∠==AD BC AH 43ABC ABD ACD S S S =+ cos αcos 2αsin 2αa 11sin 2||22ABC S bc a AH α==⋅△||AH BAD CAD α∠=∠=2BAC α∠=由可得，整理得，即，又因为，所以所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由可得，解得故选：B.8. 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）A.B. C.D. 【答案】A 【解析】【分析】由意在可知，代入数量积的运算公式求，再根据正弦定理说明时，也取得最大值.【详解】， ，，，且，当时，时，也取得最大值.ABC ABD ACD S S S =+ 11132sin 232222ααα⨯⨯=⨯+⨯3sin 2αα=sin (3cos 0αα=sin 0α≠cos α=21cos 22cos13=-=ααsin 2α==ABC 22232232cos 21349a α=+-⨯⨯=-=3a =11sin 2||22ABC S bc a AH α==⋅△11323||22AH ⨯⨯=⨯||AH =O ABC ∆A B C a b c 3a =2BO AC ⋅=C ABC ∆()BO AC BO BC BA BO BC BO BA ⋅=⋅-=⋅-⋅c =90A = sin C sin C =()BO AC BO BC BA BO BC BO BA ⋅=⋅-=⋅-⋅cos cos BO BC OBC BO BA OBA =⨯⨯∠-⨯⨯∠2222111122222BC BA a c =-=-=3a = 25c c ∴=⇒=sin sin a A c C ==A C >sin 1A =90A = sin C sin C =此时， ，.故选：A【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理，且，说明时，也取得最大值，后面的问题迎刃而解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知向量、满足，，，则下列正确的是（ ）A.B. C. 向量与的夹角为 D. 向量与的夹角为【答案】AD 【解析】【分析】根据向量的模长公式和夹角公式计算即可判断.【详解】对于AB ，因，，，所以，故A 正确，B 错误；对于CD ，，所以又，所以，故C 错误，D 正确.故选：AD.10. 约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（ ）为2b ==11222ABC S bc ∆==⨯=sin sin a A c C ==A C >90A = sin C a b ||2a = 1b = 1a b ⋅=r r a b -= 2a b -= aa b -π3aa b -π6||2a = 1b = 1a b ⋅=r r a b -====()22213a a b a a b ⋅-=-⋅=-= ()cos a a b a a bθ⋅-===- []0,πθ∈π6θ=A. 共有15条棱B. 表面积为C.D. 外接球的体积为【答案】ACD 【解析】【分析】由台塔的结构特征，数棱的条数，计算表面积和高，由外接球半径计算体积.【详解】台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条棱，A选项正确；台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均为1，表面积为，B 选项错误；上底面正三角形在下底面正六边形内的投影为，则点是正六边形的中心，也是的中心，和都是正三角形，是的中心，由棱长为1，则所以台塔的高，C 选项正确；设上底面正三角形的外接圆圆心为，则半径，下底面正六边形的外接圆圆心为，则半径，3+4π311611311411322S =⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ABC DEFGHI A B C ''' O DEFGHI A B C ''' A B C ''' ODE C 'ODE EC '=CC '===ABC 1O 1r =DEFGHI 2O 21r =设台塔的外接球半径为，，则有或，解得，所以，台塔的外接球体积，D 选项正确.故选：ACD11. 在中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，则（ ）A. 的面积为2 B. 外接圆的半径为C. D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形面积公式逐项分析计算即可得解.【详解】设外接圆的半径为R ，由正弦定理，得B 正确；的面积，A 正确；由，得，C 错误；由，得，即，由，得，因此，R 2OO a =22221a a ⎛+=+ ⎝22221a a ⎫+=-+⎪⎪⎭0a =21R r ==344ππ33V R ==ABC 1sin sin sin 8A B C =abc =ABC ABC 4ab ≤211()32sin sin sin C A B+≥ABC 2sin sin sin a b cR A B C===3(2)sin sin sin abcR A B C==R =ABC 111sin 22222c S ab C ab R ==⋅==1sin 22S ab C ==44sin ab C=≥sin 0,sin 0A B >>2(sin sin )4sin sin A B A B +≥22(sin sin )4(sin sin )sin sin A B A B A B +≥1sin sin sin 8A B C =432sin sin sin C A B =22(sin sin )32sin (sin sin )A B C A B +≥所以，D 正确．故选：ABD【点睛】策略点睛：求三角形面积是解三角形的一种常见类型，经常利用正弦定理，进行边角转化求解.三、填空题：本题共3小題，每小题5分，共15分．12. 已知a ，，，则______.【答案】6【解析】【分析】由复数的四则运算以及复数相等的充要条件即可列式求解.【详解】，故，，得，，所以.故答案为：6.13. 已知的内角所对的边分别为，，，角为锐角，的面积为，若是边上的中线，那么_________．【解析】【分析】由三角形面积公式得出角，再根据平面向量的运算即可求出中线．【详解】，解得，因为为锐角，所以，因为是边上的中线，所以，，所以，211(32sin sin sin C A B+≥b ∈R ()()1i 2i b a -+=a b +=()()()()1i 2i 22i b b b a -+=++-=2b a +=20b -=2b =4a =6a b +=ABC ,,A B C ,,ab c 2a=b =C ABC CD AB CD=C 11sin 2sin 22ABC S ab ACB C =∠=⨯=1sin 2ACB ∠=ACB ∠π6ACB ∠=CD AB 2CD CB CA =+ 222()2CB CA CB CA CB CA+=++⋅ 42842233=++⨯=11||||22CD CB CA =+==．14. 已知平面凸四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，其中，，则________；若，则四边形ABCD的面积的最大值为________．【答案】 ①.②. 12【解析】【分析】由同角三角函数的关系和正余弦定理化简已知等式，得，故；由，有，利用基本不等式求最大值.【详解】，则有，，得，在中，由正、余弦定理可知，，整理得，故；因，故；又，则，而，故，当且仅当得四边形ABCD 的面积的最大值为12.故答案为：；12.为13DC AB =sin tan sin sin BAD ABD ABD ADB ∠⋅∠=∠⋅∠ADB =∠2DC =90 222AD BD AB +=90ADB ∠=︒13DC AB = 4233ABCD ABD S S AD BD ==⋅△sin tan sin sin BAD ABD ABD ADB ∠⋅∠=∠⋅∠sin sin sin sin cos ABDBAD ABD ADB ABD∠∠⋅=∠⋅∠∠sin 0ABD ∠≠sin cos sin ∠=∠∠BADABD ADBABD △2222BD AB BD AD AB AB BD+-=⋅222AD BD AB +=90ADB ∠=o 13DC AB = 13= BCD ABD S S ||2DC = ||6AB = 2236+=AD BD 22422123332ABCD ABD BCDABD AD BD S S S S AD BD +=+==⋅≤⋅=△△△AD BD ==90四、解答题：本题共5小题，共77分．解筸应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知复数，其中.（1）设，若是纯虚数，求实数的值；（2）设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角以及在上的数量投影.【答案】（1）；（2，3【解析】【分析】（1）由，利用是纯虚数求解；（2）由，得到，，从而，，再利用在上的数量投影公式求解.【小问1详解】解：，因为是纯虚数，所以且，解得.【小问2详解】当时，，故，；，故，.设，则，所以在上的数量投影为.16. 已知的内角所对的边分别为，向量与平行.（1）求；（2）若，求的面积．3i z m =+m ∈R ()113i z z =+1z m 1m =-z 2z A BOA OB OA OB 1m =()()()113i 3i 339i z m m m =++=-++1z 1m =-3i z =-286i z =-()3,1A -()8,6B -OA OB()()()113i 3i 339i z m m m =++=-++1z 330m -=90m +≠1m =1m =-3i z =-()3,1A -()3,1OA =- 22(3i)86i z =-=-()8,6B -()8,6OB =- ,OA OB θ= cos OA OB OA OB θ⋅===⋅ OA OB cos 3OA θ⋅= ABC ,,A B C ,,a b c ()m a = (cos ,sin )n A B = A 2a b ==ABC【答案】（1） （2【解析】【分析】（1）由，得到，根据正弦定理求得，即可求解；（2）根据题意，利用余弦定理，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】解：由向量，，因为，可得，又由正弦定理，可得，因为，可得，所以，即，又因为，所以.小问2详解】解：因为且，由余弦定理得，即，可得，解得或（舍去），所以的面积为17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E 为棱的中点，平面与棱交于点F ．（1）求证：平面；【π3//m n sin sin 0a B A =sin 0A A =3c =()m a = (cos ,sin )n A B = //m n sin cos 0a B A =sin sin cos 0A B B A -=(0,π)B ∈sin 0B >sin 0A A =tan A =(0,π)A ∈π3A =2a b ==π3A =2222cos a b c bc A =+-2π7422cos3c c =+-⨯2230c c --=3c =1c =-ABC 11πsin 23sin 223S bc A ==⨯⨯=P ABCD -ABCD PC ABE PD //PA BDE（2）求证：F 为的中点；【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，根据ABCD 为平行四边形，得到G 为AC 的中点，再由E 为PC 的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；（2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF ，再利用线面平行的性质定理得到求解.【小问1详解】证明：如图所示：连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，因为ABCD 为平行四边形，所以G 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以，又平面BDE ，平面BDE ，所以平面；【小问2详解】因为底面为平行四边形，所以，又 平面ABEF ， 平面ABEF ，所以 平面ABEF ，又平面平面，所以，又因为E 为PC 的中点，所以F 为的中点.18. 记是内角的对边分别为．已知，点在边上，．PD //GE PA //AB CD //CD //CD EF //GE PA PA ⊄GE Ì//PA BDE ABCD //AB CD AB ⊂CD ⊄//CD ABEF ⋂PDC EF =//CD EF PD ABC ,,A B C ,,a b c 2b ac =D AC sin sin BD ABC a C ∠=（1）证明：；（2）若，求．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边及已知条件即可证明；（2）首先由等面积法得出，进而得出，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，结合，在中，由余弦定理即可求解．【小问1详解】证明：设的外接圆半径为，由正弦定理得，，因为，所以，又，且，所以．【小问2详解】由（1）知，，因为，所以，，即，由，则，故有或（不合题意舍去），在中，由正弦定理得，所以，即，在中，由正弦定理得，，①又，所以，②BD b =3AD DC =cos ABC ∠1324ADB ABC ∠=∠ABD C ∠=∠ABC 3sin sin 4C A =ABC 34c a =2b ac =ABC ABC R sin sin ,22b c R ABC C R ==∠sin sin BD ABC a C ∠=BD b ac ⋅=2b ac =0b ≠BD b =BD AC b ==3AD DC =31,44AD b CD b ==34ABD ABC S S =△△21331sin sin 2442b ADB ac ABC ⨯∠=⨯∠2b ac =sin sin ADB ABC ∠=∠ADB ABC ∠=∠πADB ABC ∠+∠=ADB sin sin AD BD ABD A=∠34sin sin b b C A=3sin sin 4C A =ABC 34c a =2b ac =2234ac b a ==在中，由余弦定理及①②得，．19. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，设第个面的棱数为，所以，按照公式计算总曲率即可.【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.ABC 2222229313164cos 322424a a a a cb ABC ac a a +-+-∠===⨯⨯2π3π233πππ-⨯=4π2=4πn l m i i x 122m x x x l +++=可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率：.（2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有设第个面的棱数为，所以所以总曲率为：所以这类多面体的总曲率是常数.【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键．为()25424ππππ⨯-+=n l m 2n l m -+=i i x 122m x x x l+++= ()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦()222n l m ππ=--()24n l m ππ=-+=。
福建福州高一下学期期中考试数学试题(解析版)
高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量，，若与共线，则实数=（ ）(3,1)a = (21,3)b m =- a bm A ．B ．C ．D ．1132572【答案】B【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由题意， ()331210m ⨯-⨯-=解得. 5m =故选：B2．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） a 2(1)(1)z a a i =-++z A ． B ．C ．D ．12i 1±2【答案】D【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.z a z 【详解】由已知，解得，故，其虚部为，21010a a ⎧-=⎨+≠⎩1a =2z i =2故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.3．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间()ln(1)1f x x x =++-[]0,10.01的次数最少为（ ） A ． B ．C ．D ．5678【答案】C【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为，n 12n据此可得，解可得的取值范围，即可得答案． 10.012n <n 【详解】解：开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， ()0,1经过此操作后,区间长度变为， n 12n用二分法求函数在区间上近似解,()()ln 11f x x x =++-()0,1要求精确度为，0.01，解得， 10.012n∴≤7n ≥故选：C.4．函数的图像大致是（ ）2()ln f x x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数为偶函数排除D ；再根据当时， ，排除AC 得到答案.0x →()f x →-∞【详解】，()2ln f x x x =+ ,()()22ln ln ()f x x x x f x x -=-∴=+-+=所以为偶函数，排除D ； ()f x 当时， ，排除AC ； 0x →()f x →-∞故选：B.5．设，，，则，，的大小sin 35sin 72sin 55sin18a =︒︒-︒︒cos3214sin172cos188b ︒-=︒︒221tan 361tan 36c -︒=+︒a b c 关系为（ ） A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>【答案】C【分析】利用三角变换化简，再根据正弦函数的单调性可得正确的选项. ,,a b c 【详解】，sin 35cos18cos35sin18sin17a =︒︒-︒︒=︒，2cos3212sin 16sin164sin172cos1884sin 8cos8b ︒-︒===︒︒︒︒︒， 22221tan 36cos 36sin 36cos 72sin181tan 36c -︒==︒-︒=︒=︒+︒因为，故. 016171890︒<︒<︒<︒<︒sin16sin17sin18︒<︒<︒故， c a b >>故选：C.6．已知sin = ，则cos 的值为（ ）3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ．231313-23-【答案】C【分析】已知条件由诱导公式可化为cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】解： sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭sin cos 266πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 221cos 22121363cos ππαα⎛⎫⎪⎝⎛⎫∴+=+-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎭故选：．C 7．在中，角、、所对的边分别是、、，若，ABC AA B C a b c 2b =AC 的最大值为（ ）ABC ∠A ．B ．C ．D ．π6π3π22π3【答案】B【分析】利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理和基本不等式可得出sin ac ABC ∠=，可得出求出角的取值范2≤πsin 3ABC ⎛⎫∠+≥⎪⎝⎭0πABC <∠<ABC ∠围，即可得解.【详解】因为， 11sin 222ABC S ac ABC =∠=⨯=△sin ac ABC ∠=由余弦定理可得， 22242cos 22cos b a c ac ABC ac ac ABC ==+-∠≥-∠当且仅当时，等号成立， a c =即，()1cos 2ac ABC -∠≤2≤因为，则，整理可得 0πABC <∠<sin 0ABC ∠>sin ABC ABC ∠∠≥即，π2sin 3ABC ⎛⎫∠+≥ ⎪⎝⎭πsin 3ABC ⎛⎫∠+≥ ⎪⎝⎭因为，则，可得，ππ4π333ABC <∠+<ππ2π333ABC <∠+≤π03ABC <∠≤故的最大值为. ABC ∠π3故选：B.8．已知，将的图象向右平移个单位，再向下平移()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π61个单位，得到的图象．若对，都有成立，则()y g x =R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3g a ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）．A ．B ．C D ． 1212-【答案】A【分析】根据三角恒等变换化简，再求出变换后的函数的解析式，根据条件结合正弦函()f x ()g x 数性质列方程求出，从而可计算出答案. a 【详解】()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22x x x x x ⎫+=+⎪⎪⎭ ()11112sin cos cos 2222x x x =+++ 11sin 2cos 2122x x =++， π214x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位， ()y f x =π6， ()πππ21126412g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以对，都有成立，R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数关于点对称， ()π212g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，则， ππ,Z 12a k k -=∈ππ,Z 12a k k =+∈所以 πππ23312g a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππ2π1212k ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3π2π4k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π4=. 12=故选：A.二、多选题9．（多选题）已知集合，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是{},nM m m i n N ==∈（ ） A ． B ．C ．D ．()()11i i -+11ii-+11ii+-()21i -【答案】BC【解析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，{},nM m m i n N ==∈时，； ()4n k k N =∈1n i =时，()41n k k N =+∈；时，；n i i =()42n k k N =+∈1n i =-时，， ()43n k k N =+∈n i i =-.{}1,1,,M i i ∴=--选项A 中，；()()112i i M -+=∉选项B 中，； ()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+选项C 中，； ()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-选项D 中，.()212i i M -=-∉故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 10．如图，平行四边形中，，为的中点，与交于ABCD 243AB AD BAD π==∠=，，E CD AE DB ，则（ ）FA ．在方向上的投影向量为B ．C ．D ．BF AB0 1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u r 2AF AB ⋅=AF =【答案】AB【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项．【详解】解：平行四边形中，，ABCD 2,4,3AB AD BAD π==∠=所以DB ===则，所以，222AB BD AD +=AB BD ⊥为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，E CD AE DBF BF AB即在方向上的投影向量为，所以A 正确； BF AB0 因为，所以，则， AB CD ∕∕2AF ABEF DE==2AF EF =故， 21,32AF AE AE AD DE AB AD ==+=+ ，所以B 正确；∴1233AF AB AD =+u u u ru u u r u u u r ，所以C 不正确；221212121()24243333332AF AB AB AD AB AB AD AB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯=1233AF AB =+=D 不正确．故选：AB ．11．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．函数在单调递减()y f x =5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数图象关于中心对称 ()y f x =19,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象()y f x =3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 ()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AD【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB 的正误，利用图像变换可 判断C 的正误，根据正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】由图象可得，且，故即，2A =37ππ3π41264T =+=πT =2ω=而，故， 7ππ22π,122k k Z ϕ⨯+=+∈2π2π,3k k Z ϕ=-+∈因为，故，故，ϕπ<2π3ϕ=-()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，当，， 5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3π2ππ2232x -≤-≤-而在上为减函数，故在为减函数，故A 正确.sin y t =3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于B ，，故为函数图象的对称轴， 1919π2π2sin 21263f π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1912x π=故B 错误.对于C ，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图()y f x =3π2π2π2sin 22sin 233y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭象，故C 错误.对于D ，当时，， 2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π2π2π22333x a ≤-≤-因为函数的值域为，故， ⎡-⎣3π2π7π2233a ≤-≤故，故D 正确. 13π3π122a ≤≤故选：AD.12．已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到()21,04ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()()R f x k k =∈大依次记为，，，则（ ） 1x 2x 3x 4x A ． B ． 104k <<3e 02x <<C ．D ．121x x +=-21234e 04x x x x <<【答案】ACD【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出k 的取值范围，并得到1x ，，，之间的关系，其中，是方程的实数根，根据二元一次方程和韦达2x 3x 4x 1x 2x 214x x k ++=定理即可找到关系；，满足等式.3x 4x ()34ln 1ln 1x x --=-【详解】当时，，在单调递减，，在0x <()214f x x x =++1,2x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦()[)0,f x ∈+∞1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭单调递增，；()10,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，，在单调递减，，在单调递增，0x >()ln 1f x x =-(]0,e x ∈()[)0,f x ∈+∞()e,x ∈+∞，若有四个不同的实数解，则，A 正确；()()0,f x ∞∈+()()R f x k k =∈104k <<因为，所以，，所以104k <<()104f x <<(]30,e x ∈34333110ln 1ln 10e e44x x x <-<⇒-<-<⇒<<，B 错误；，根据韦达定理可知中，C 正确； ()12,,10x x ∈-()214f x x x k =++=121x x +=-，，所以()2343434ln 1ln 1ln 1ln 1e x x x x x x -=-⇒--=-⇒=12110,44x x k ⎛⎫⋅=-∈ ⎪⎝⎭21234e 04x x x x <<，D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知i 是虚数单位，设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是，，则点C 对应的复数是________. 32i +24i -【答案】52i -【解析】分别得出点，点，点的坐标，再由四边形ABCD 是平行四边形得出A B D AC AB AD =+计算即可.【详解】依题意得，，，，，()0,0A ()3,2B ()2,4D -()3,2AB = ()2,4AD =-四边形ABCD 是平行四边形，，故点C 对应的复数为. ()()()3,22,45,2AC AB AD +-∴=+==-52i -故答案为：52i -【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.14．已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范(),8a ()()1bf x a x =-()()130f m f m +-<m 围为_________．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据幂函数的定义，可求得a 值，代入点坐标，可求得b 值，根据的奇偶性和单调()f x 性，化简整理，即可得答案.【详解】因为为幂函数，所以，解得a =2()()1bf x a x =-11a -=所以，又在上，代入解得， ()b f x x =(2,8)()f x 3b =所以，为奇函数3()f x x =因为，所以， ()()130f m f m +-<()(13)(31)f m f m f m <--=-因为在R 上为单调增函数， 3()f x x =所以，解得， 31m m <-12m >故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若如图所示的角，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为()045αα︒<<︒1:4tan α______.【分析】将面积之比表示关于的三角函数，从而可求的值.αtan α【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为，a ()cos sin a αα-故，故即， ()222cos sin 14a a αα-=112sin c 4os αα-=3sin cos 8αα=故，所以即， 22sin cos 3sin cos 8αααα=+2tan 3tan 18αα=+23tan 8tan 30αα-+=故，故，tan α=tan α045α︒<<︒0tan 1α<<所以 tan α=16．已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得()()sin 0,0f x A x A ωω=>>[]12,,2x x ππ∈，则实数的取值范围是________． ()()122f x f x A +=ω【答案】9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最2T π>2T π<[],2x ππ∈[],2x ωπωπω∈大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.0ω>【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，[]12,,2x x ππ∈()()122f x f x A +=当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；∴42T ππω>=4ω>[]12,,2x x ππ∈当，即时，，2T π<04ω<<[],2x ωπωπω∈，；()225222k k Z k ππωπππωπ⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩()12254k k Z k ωω⎧≤+⎪⎪∴∈⎨⎪≥+⎪⎩当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；0k ≤∅1k =9542ω≤≤2k =1344ω≤<综上所述：实数的取值范围为.ω9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故答案为：.9513,,424⎡⎤⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.πω四、解答题17．已知向量，，(cos ,sin )a αα=r (cos ,sin )b ββ= a - （1）求的值；cos()αβ-（2）若，，且，求的值. 02πα<<02πβ-<<5sin 13β=-sin α【答案】（1）；（2）. 353365【分析】（1=，进而通过两边同时平方以及同角的平方关系以及两角差的余弦公式的逆用即可求出结果；（2）结合角范围以及同角的平方关系求出和的值，进而利用两角和的正弦公式凑()sin αβ-cos β角即可求出结果.【详解】（1）因为向量，，(cos ,sin )a αα=r (cos ,sin )b ββ= 所以，(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--又因为 a - =， 22224cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin 5αβαβαβαβ+-++-=即，所以； ()422cos 5αβ--=()3cos 5αβ-=（2）因为，，所以， 02πα<<02πβ-<<0αβπ<-<所以， ()4sin 5αβ-==又因为，所以 5sin 13β=-12cos 13β==所以()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦. 412353351351365⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭18．已知集合，.(){}2log 12A x x =-<{}22210B x x ax a =-+-<(1)若，求；1a =A B ⋃(2)求实数的取值范围，使___________成立.a 从①，②，③中选择一个填入横线处求解.R A B ⊆ðR B A ⊆ð()A B =∅R I ð注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；{}05x x <<(2)选，或1A 0a ≤6a ≥选，或；2A 0a ≤6a ≥选，.3A 24a ≤≤【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A ，根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念和运算即可得出结果；(1)根据(1)和补集的概念和运算求出和，利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对R A ðB R ð应条件的参数.【详解】（1），2{log (1)2}{014}{15}A x x x x x x =-<=<-<=<<，{}22{210}[(1)][(1)]{11}B x x ax a x x a x a x a x a =-+-<=---+=-<<+当时，，所以；1a ={02}B x x =<<A B ⋃={05}x x <<（2）由(1)知，，，{15}A x x =<<{11}B x a x a =-<<+所以或，或，{1R A x x =≤ð5}x ³{1R B x x a =≤-ð1}x a ≥+若选①，，则或，R A B ⊆ð11a +≤15a -≥解得或，所以的取值范围为或；0a ≤6a ≥a 0a ≤6a ≥若选②，，则或，R B A ⊆ð11a +≤15a -≥解得或，所以的取值范围为或；0a ≤6a ≥a 0a ≤6a ≥若选③，，则， ()R A B ⋂=∅ð1115a a ≤-⎧⎨+≤⎩解得，所以的取值范围为.24a ≤≤a 24a ≤≤19．设虚数z 满足.22z +（1）求证：为定值；z （2）是否存在实数k ，使为实数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. z k k z+【答案】（1）见解析；（2）存在，.k =【解析】（1）设（x ，，），代入已知条件可得结果；z x yi =+R y ∈0y ≠（2）假设存在实数k ，使得为实数，利用复数的模的性质将化为z k k z =z k k z+，从而，继而可求得k 的值. 33R x kx y ky k k i ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝+-⎭03y ky k -=【详解】（1）依题意，设（x ，，），代入，z x yi =+R y ∈0y≠22z +得，整理得，所以为定值； )232x yi +++-223x y +=z （2）假设存在实数k ，使得为实数，即： z k k z =()()()i i i i i i k x y z k x y k x y k z k x y k x y x y -+++=+=+++-为实数，， ()333k x yi x yi x kx y k k kk i y ⎛-+=+=⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-03y ky k ∴-=，k ，使为实数，此时. 0y ≠ k ∴=z k k z =k =【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数的基本概念，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.20．如图，在中，，，为上一点，且满足，ABC ∆23BAC π∠=3AD DB = P CD 12AP mAC AB =+若的面积为ABC ∆(1)求的值;m (2)求的最小值.AP 【答案】(1)13【解析】（1）建立如图所示直角坐标系，设，，求出，的坐标，可知由AC b =AB c =CD PD C，，三点共线，即，列方程即可求出的值；P D //CD PDm （2）由(1)得，由面积可得，利用基本不等式可得最小值.2AP 8bc =【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，设，，AC b =AB c =则，，(),0B c 2b C ⎛- ⎝由得， 3AD DB = 3,04c D ⎛⎫ ⎪⎝⎭故， 3,42c b CD ⎛=+ ⎝由得， 12AP mAC AB =+22c bm P ⎛- ⎝所以，,42c bm PD ⎛=+ ⎝ 因为，，三点共线，所以，C PD //CD PD 所以，304242c b c bm ⎛⎛⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎝解得. 13m=(2)由(1)得，26c b P ⎛- ⎝因为12sin 23ABC S bc π∆===所以，8bc =所以， 22222426943c b AP b c ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭ 4433≥=所以时取得等号. minAP = b =c =【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角形面积公式，属于中档题.21．如图，在中，，D 为AC 边上一点且，. ABC A 23ABC π∠=AB BD ⊥2BD =（1）若，求的面积；CD BCD △（2）求的取值范围. 21AD CD+【答案】（12）. ⎤⎥⎦【分析】（1）在中，利用正弦定理求得，进而通过二角和差公式求出，再BCD △sin C sin BDC ∠通过面积公式得到答案；（2）由正弦定理求出、的表达式，求出的代数式，在运用角的关系和范围求AD CD 21AD CD+的取值范围. 21AD CD+【详解】（1），， 23ABC π∠=AB BD ⊥，6DBC π∴∠=在中，，解得：BCD △sin sin DC BD DBC C =∠sin C =4C π∴=44sin sin sin sin cos cos sin 666464BDC πππππππππ∴⎡⎤⎛+⎫⎛⎫∠=-==+= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦+⎣11sin 222BDC S BD DC BDC ∴=⋅⋅∠=⨯=A （2）在中，得：， BCD △sin sin DC BD DBC C =∠2sin 16sin sin CD C C π==在中，得：， ABD △sin sin AD BD ABD A =∠2sin 22sin sin AD A Aπ==，sin sin 21sin si 22n 11A C C C A A D D ∴++=+=， 23ABC π∠= ，3A C π∴+=， sin sin sin sin 231A C C AD CD C π⎛⎫+=∴+⎪⎝⎭-+= 整理得：， n 2i 31s C AD CD π⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=， 30C π<<， 2,333C πππ⎛⎫∴∈ ⎝+⎪⎭， sin 3C π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦故的取值范围为. 21AD CD +⎤⎥⎦【点睛】思路点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22．若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上()f x x ()()f x k f x -=-⋅Z k ∈()f x 的“阶局部奇函数”．k （1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”，并说明理由； ()tan 2sin f x x x =-()f x ()0,π（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；()()lg f x m x =-[]22-,m （3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值(],2t ∈-∞()22f x x x t =-+R k k 集合．【答案】（1）是上的“二阶局部奇函数”，理由见解析；（2）；（3）()f x ()0,π(．{}5,4,3,2,1-----【解析】（1）当时，解方程，即可得出结论；()0,x π∈()()20f x f x -+=（2）由可得出在上有解，再结合对数的真数恒为正数可得出()()0f x f x +-=221m x =+[]2,2x ∈-关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；m m （3）由可得出在上有解，然后分和()()0f x k f x -+⋅=()()()212210k x k x k t ++-++=R 10k +=两种情况讨论，在时验证即可，在时可得出，综合可解得实数的取10k +≠10k +=10k +≠0∆≥k 值范围，再由可得出结果.Z k ∈【详解】（1）由题意得，，即()()()()20tan 2sin 2tan 4sin f x f x x x x x -+=⇒---=-+，tan 2sin x x =由，可得且，得， ()0,x π∈sin 0x ≠sin tan cos x x x=1cos 2x =，．()0,x π∈ 3x π∴=所以，是上的“二阶局部奇函数”；()f x ()0,π（2）由题意得，，()()()()()220lg lg lg 0f x f x m x m x m x -+=⇒++-=-=所以，，可得在时有解，221m x -=221m x =+[]2,2x ∈-当时，，即；[]2,2x ∈-2115x ≤+≤215m ≤≤，，可得；[]2,2x ∀∈-0m x +>()max 2m x >-=，，可得.[]2,2x ∀∈-0m x ->()max 2m x >=所以，，解得. 2152m m ⎧≤≤⎨>⎩2m <≤综上所述，实数的取值范围是； m (（3）由题意得，在上有解，()()0f x k f x -+⋅=R 可知有解，即有解， ()()()22220x x t k x x t ---++-+=()()()212210k x k x k t ++-++=当时，，满足题意；1k =-0x R =∈当时，对于任意的实数，， 1k ≠-(],2t ∈-∞()()2222410k k t ∆=--+≥，()()22241222061033k k k k k ⎡⇒+⋅--≤⇒++≤⇒∈---+⎣由，故．Z k ∈{}5,4,3,2,1k ∈-----【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“阶局部奇函数”，解本题的关键就是利用新定义将k 问题转化为方程在对应区间上有解的问题来处理，解决本题的第（2）问时要注意对数的真数在所给区间上恒成立，第（3）问在求解时要注意对变系数的二次方程的首项系数进行分类讨论，结合进行求解.∆。
福建省福州高一下学期期中考试数学试题
福州八中第二学期期中考试高一数学 必修3考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上)1．下列选项中，正确的赋值语句是( ) A ．A ＝x 2－1＝(x ＋1)(x －1) B ．5＝AC ．A ＝A*A ＋A －2D ．4＝2＋22. 把77化成四进制数的末位数字为A ．4B ．3C ．2D ．13．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为A.13B.110C.25D.3104.将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则 A. A 与B 是对立事件 B. A 与B 是互斥而非对立事件C. B 与C 是互斥而非对立事件D. B 与C 是对立事件5．从2 012名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 012人中剔除12人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 012人中，每人入选的概率A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为140D ．都相等，且为251 0066. 如图所示是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的6场比赛得分的茎叶图，12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的标准差，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这个赛季得分的平均数，则有A ．12x x > ，12s s >B ．12x x < ，12s s <C ．12x x < ，12s s >D ．12x x > ，12s s < 7．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入A ．K ＜10？B ．K≤10？C ．K ＜9？D ．K≤11？8．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为45，则河宽为A ．80 mB ．100 mC ．50 mD ．40 m二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9.一个容量为100的样本分成10组，组距为10，在对应的频率分布直方图中某个小长方形的高为0.03，那么该组的频数是 10．若输入的数字是“68”，则下列程序运行后输出的结果 是_________11．通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，那么表示恰有三次击中目标，那么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为____12.一只蚂蚁在边长为3的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为三、解答题(本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)13．(本小题满分10分)(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数. (2)用秦九韶算法计算函数24532)(34=-++=x x x x x f 当时的函数值.14．(本小题满分10分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]. (1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.15．(本小题满分10分)《聪明花开》栏目共有五个项目，分别为“和一斗”、“斗麻利”、“文士生”、“讲头知尾”、“正功夫”．《聪明花开》栏目组为了解观众对项目的看法，设计了“你最喜欢的项目是哪一个 ”的调查问卷(每人只能选一个项目)，对现场观众进行随机抽样调查，得到如下数据(单位：人)：喜欢“斗麻利”，求n 的值及所抽取的人中最喜欢“合一斗”的人数；(II)在(I)中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，任选2人参加栏目组互动，求恰有1人最喜欢“合一斗”的概率．16．(本小题满分10分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元(利润＝销售收入－成本)？第Ⅱ卷一、选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上)17. 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC < 12V S －ABC 的概率是Ａ．78B ． 34C ．12D ．1418. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为A.13B ．－13C ．－223D.22319. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为A.π3B ． 3C. 2π3D ．220．下列说法正确的是 A ．在⎝⎛⎭⎫0，π2内sin x>cos xB ．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象的一条对称轴是x ＝45π C ．函数y ＝π1＋tan 2x 的最大值为πD ．函数y ＝sin 2x 的图象可以由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到二、填空题(本大题共2小题，每小题4分，共8分)21.已知a 、b 、c 为集合A ＝{1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数a ＝5的概率是________22．已知函数f(x)＝3sin πxk 的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f(x)的最小正周期为_______三、解答题(本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)23．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，点P 的坐标为(x －2 ， x －y ).(1)在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x ，y ， 求｜OP ｜的最大值，并求事件“｜OP ｜取到最大值”的概率；(2)若随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x ，y ，求P 点在第一象限的概率.24．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，其中A>0且ω>0， 0<φ<π2 的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．福州八中第二学期期中考试高一数学 必修3 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CDDA DCAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 9. 30 10. 86 11. 25% 12.19π-三、解答题：本大题共有4个小题，共40分13. 解：(1)用辗转相除法求840与1 764 的最大公约数.1 764 = 840×2 + 84 ………2分 840 = 84×10 +0 ………4分 所以840与1 764 的最大公约数是84 ………5分(2)根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=(((2x+3)x+0)x+5)x-4 ………7分 从内到外的顺序依次计算一次多项式当x=2时的值：v 0=2 v 1=2×2+3=7 ………8分v 2=7×2+0=14 v 3=14×2+5=33 v 4=33×2-4=62 所以，当x=2时，多项式的值等于62 ………10分14. 解：(1)依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =………3分 (2)这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分) ………6分(3)数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=，数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯=， 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=， 数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯= 所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=。
2022-2023学年福建省福州十八中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年福建省福州十八中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z 满足z •（1+2i ）＝5，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．2iC ．﹣2D ．﹣2i2．设集合M ＝{x |x ≤1或x ≥3}，N ＝{x |log 2x ≤1}，则集合M ∩N ＝（ ） A ．（﹣∞，1]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（﹣∞，0]3．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是增函数，且f （﹣1）＝0，则使f （x ）＞0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，0） B ．（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）4．在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且AE →=3EC →，则ED →=（ ）A ．−12AB →+14AC →B ．12AB →−23AC →C ．12AB →−14AC →D ．−12AB →+23AC →5．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I （单位：W /m 2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：L =101g(I10−12)．若提速前列车的声强级是100dB ，提速后列车的声强级是50dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．106倍B ．105倍C ．104倍D ．103倍6．已知向量a →，b →满足|a →|＝5，|b →|＝6，a →•b →=−6，则cos ＜a →，a →+b →＞=（ ） A ．−3135B ．−1935C ．1735D ．19357．设a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log a b ，则下列关系正确的是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b8．如果函数f （x ）＝sin ωx +√3cos ωx （ω＞0）的两个相邻零点间的距离为2，那么f （1）+f （2）+f （3）+…+f （9）的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．√3D ．−√3二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知向量a →=(2，−1)，b →=(−4，2)，c →=(1，2)，则（ ） A ．a →∥b → B ．b →⊥c →C ．|a →|=|c →|D ．∃λ，μ∈R ，使得c →=λa →+μb →10．已知 i 为虚数单位，复数z 1＝a ﹣2i ，z 2＝2+ai ，（a ∈R ），下列结论正确的有（ ） A ．|z 1|＝|z 2|B ．z 1=z 2C ．若2（z 1+z 2）＝z 1•z 2，则a ＝2D ．若z 2＝﹣i ，则a ＝011．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则（ ） A ．0＜a ≤1B ．0＜ab ≤1C ．a 2+b 2≥2D ．0＜b ＜212．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =√2，弦AC ，BD 均过点P ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA →⋅PC →为定值B ．OA →⋅OC →的取值范围是[﹣2，0] C ．当AC ⊥BD 时，AB →⋅CD →为定值D ．AC ⊥BD 时，|AC →|⋅|BD →|的最大值为12三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=(−4，3)，b →=(1，3)，则a →在b →方向上的投影向量坐标为 ．14．复数z 1＝1+2i ，z 2＝﹣2+i ，z 3=−√3−√2i ，z 4=√3−√2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC +∠ADC ＝ ．15．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝ ．16．如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=3DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，则m ＝ ；若△ABC 的面积为3√32，则|AP →|的最小值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知复数z ＝（1+i ）m 2﹣3im +2i ﹣1． （1）当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数；（2）当实数m 为何值时，复数z 表示的点位于第四象限． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2−a 2sinB=a 2+c 2−b 2sinA．（1）证明：A ＝B ．（2）若D 为BC 的中点，从①AD ＝4，②cosC =14，③CD ＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19．（12分）四边形ABCD 中，AB →=(6，1)，BC →=(x ，y)，CD →=(−2，−3) （1）若BC →∥DA →，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积． 20．（12分）如图，函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象经过P(0，√22)，M(−π4，0)，N(3π4，0)三点． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）将函数f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标缩短到原来的12，得到g （x ）图象．若ℎ(x)=f 2(x −π8)+g(x)，求函数h （x ）的单调增区间．21．（12分）某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D ．（Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低（请说明理由），最低造价为多少？ （√3=1.732，√2=1.414）22．（12分）设复平面中向量OP →对应的复数为z P ，给定某个非零实数z ，称向量z(OP →)=(Re(z ⋅z P )，Im(z ⋅z P ))为OP →的z ﹣向量．（1）已知OA →=(x 0，y 0)，求z(OA →)；（2）设v →=(x ，y)(x ＞0，y ＞0)，i →=(1，0)，j →=(0，1)的z ﹣向量分别为OV ′→，OE →，OF →，已知S△OV ′E＝1，S △OV ′F ＝2，求v →的坐标（结果用z 表示）；（3）若对于满足S △OAB ＝1的所有A ，B ，z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →能取到的最小值为8，求实数z 的值．2022-2023学年福建省福州十八中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z 满足z •（1+2i ）＝5，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．2iC ．﹣2D ．﹣2i解：因为z •（1+2i ）＝5，所以z =51+2i =5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i ，所以z 的虚部是﹣2． 故选：C ．2．设集合M ＝{x |x ≤1或x ≥3}，N ＝{x |log 2x ≤1}，则集合M ∩N ＝（ ） A ．（﹣∞，1]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（﹣∞，0]解：由题知，N ＝{x |log 2x ≤1}＝{x |0＜x ≤2}，又M ＝{x |x ≤1或x ≥3}，则M ∩N ＝{x |0＜x ≤1}，即x ∈（0，1]． 故选：B ．3．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是增函数，且f （﹣1）＝0，则使f （x ）＞0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，0） B ．（0，1）C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，在区间（﹣∞，0]上单调递增，且f （﹣1）＝0， ∴f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减，且f （1）＝f （﹣1）＝0， ∴当x ∈（﹣∞，0]时，f （x ）＞0⇔0＝f （﹣1）＜f （x ）⇔﹣1＜x ≤0， 当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0⇔f （x ）＞f （1）＝0⇔0＜x ＜1， 综上所述，x 的取值范围是（﹣1，1）． 故选：C ．4．在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且AE →=3EC →，则ED →=（ ）A ．−12AB →+14AC →B ．12AB →−23AC →C ．12AB →−14AC →D ．−12AB →+23AC →解：如图，∵AE →=3EC →，∴EC →=14AC →，∵D 为BC 边的中点，CD →=12CB →=12AB →−12AC →， ∴ED →=EC →+CD →=14AC →+12AB →−12AC →=12AB →−14AC →．故选：C ．5．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I （单位：W /m 2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：L =101g(I10−12)．若提速前列车的声强级是100dB ，提速后列车的声强级是50dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．106倍B ．105倍C ．104倍D ．103倍解：不妨设普通列车的声强是I 1，高速列车声强是I 2， 100＝101g （I 110−12），50＝10lg （I 210−12），即1g （I 110−12）＝10，lg （I 210−12）＝5，则1g （I 110−12）﹣lg （I 210−12）＝5，即lg I 1I 2=5， 解得I 1I 2=105．故选：B ．6．已知向量a →，b →满足|a →|＝5，|b →|＝6，a →•b →=−6，则cos ＜a →，a →+b →＞=（ ） A ．−3135B ．−1935C ．1735D ．1935解：向量a →，b →满足|a →|＝5，|b →|＝6，a →•b →=−6，可得|a →+b →|=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√25−12+36=7，cos ＜a →，a →+b →＞=a →⋅(a →+b →)|a →||a →+b →|=a →2+a →⋅b →5×7=25−65×7=1935． 故选：D ．7．设a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log a b ，则下列关系正确的是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解：因为a ＝log 23＞log 2243=43=log 3343＞log 34＝b ＞1，所以c ＝log a b ＜log a a ＝1，所以a ＞b ＞c ． 故选：A ．8．如果函数f （x ）＝sin ωx +√3cos ωx （ω＞0）的两个相邻零点间的距离为2，那么f （1）+f （2）+f （3）+…+f （9）的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．√3D ．−√3解：函数f （x ）＝sin ωx +√3cos ωx ＝2sin （ωx +π3）， 且f （x ）的图象两个相邻零点间的距离为2， 所以f （x ）的最小正周期为4， 即T =2πω=4，解得ω=π2； 所以f （x ）＝2sin （π2x +π3），所以f （1）+f （2）+f （3）+…+f （9） ＝2sin （π2+π3）+2sin （π+π3）+2sin （3π2+π3）+…+2sin （9π2+π3）＝2cos π3＝1． 故选：A ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知向量a →=(2，−1)，b →=(−4，2)，c →=(1，2)，则（ ） A ．a →∥b → B ．b →⊥c →C ．|a →|=|c →|D ．∃λ，μ∈R ，使得c →=λa →+μb →解：因为a →=(2，−1)，b →=(−4，2)，c →=(1，2)，则b →=−2a →，即a →∥b →，A 正确；b →⋅c →=−4×1+2×2＝0，即b →⊥c →，B 正确； |a →|=√5，|c →|=√5，C 正确；当c →=λa →+μb →=（2λ﹣4μ，2μ﹣λ）＝（1，2），则{2λ−4μ=12μ−λ=2，此时λ，μ不存在，D 错误．故选：ABC ．10．已知 i 为虚数单位，复数z 1＝a ﹣2i ，z 2＝2+ai ，（a ∈R ），下列结论正确的有（ ） A ．|z 1|＝|z 2|B ．z 1=z 2C ．若2（z 1+z 2）＝z 1•z 2，则a ＝2D ．若z 2＝﹣i ，则a ＝0解：A 选项，|z 1|=√a 2+4=|z 2|，A 选项正确． B 选项，当a ≠2时，z 1=a +2i ≠z 2，B 选项错误．C 选项，2（z 1+z 2）＝2a +4+（2a ﹣4）i ，z 1⋅z 2=4a +(a 2−4)i ， 若2（z 1+z 2）＝z 1•z 2，则{2a +4=4a 2a −4=a 2−4，解得a ＝2，所以C 选项正确．D 选项，当a ＝0时，z 2＝2≠﹣i ，所以D 选项错误． 故选：AC ．11．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则（ ） A ．0＜a ≤1B ．0＜ab ≤1C ．a 2+b 2≥2D ．0＜b ＜2解：由于a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，所以b ＝2﹣a ＞0， 所以0＜a ＜2，同理0＜b ＜2，A 错误，D 正确；由ab ≤(a+b2)2=1，当且仅当a ＝b 时取等号，所以0＜ab ≤1，B 正确；结合B 可知，a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝4﹣2ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，C 正确； 故选：BCD ．12．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =√2，弦AC ，BD 均过点P ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA →⋅PC →为定值B ．OA →⋅OC →的取值范围是[﹣2，0] C ．当AC ⊥BD 时，AB →⋅CD →为定值D ．AC ⊥BD 时，|AC →|⋅|BD →|的最大值为12解：如图，设直线PO 与圆O 于E ，F ．则PA →⋅PC →=−|PA →||PC →|=−|EP →||PF →|=−(|OE →|−|PO →|)(|OE →|+|PO →|)=|PO →|2−|EO →|2=−2，故A 正确； 取AC 的中点为M ，连接OM ，则OA →⋅OC →=(OM →+MA →)⋅(OM →+MC →)=OM →2−MC →2=OM →2−(4−OM →2)=2OM 2→−4， 而0≤OM →2≤|OP|2=2，故OA →⋅OC →的取值范围是[﹣4，0]，故B 错误； 当AC ⊥BD 时，AB →⋅CD →=(AP →+PB →)⋅(CP →+PD →)=AP →⋅CP →+PB →⋅PD →=−|AP →||CP →|−|PB →||PD →|=−2|EP →||PF →|=−4，故C 正确； 当AC ⊥BD 时，圆O 半径r ＝2，取AC 中点为M ，BD 中点为N ， 则|AC →|2|BD →|2＝4（r 2−|OM →|2）•4（r 2﹣|ON →|2）≤16•(4−|OM →|2+4−|ON →|2)24=4（8﹣2）2＝144，|OM →|2+|ON →|2＝|OP →|2＝2，不等式等号成立，当且仅当|OM →|2＝|ON →|2＝1，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →=(−4，3)，b →=(1，3)，则a →在b →方向上的投影向量坐标为 (12，32) ．解：由已知得a →在b →方向上的投影向量坐标为a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=√1+9⋅√1+9=(12，32)．故答案为：(12，32)．14．复数z 1＝1+2i ，z 2＝﹣2+i ，z 3=−√3−√2i ，z 4=√3−√2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC +∠ADC ＝ 180° ．解：由题意可知A （1，2），B （﹣2，1），C （−√3，−√2），D （√3，−√2），|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|=√5，所以ABC 在以原点为圆心，半径为√5的圆上． ∴∠ABC +∠ADC ＝180°． 故答案为：180°．15．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝34．解：由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为3√2，又由于E ，F 为三等分点，所以AE ＝EF ＝BF =√2，又△ACE ≌△BCF ，在△ACE 中有余弦定理得：CE 2＝AC 2+AE 2﹣2AC •AE cos45°⇒CE =√5=CF ，在△CEF 中，利用余弦定理得：cos ∠ECF =CF 2+CE 2−EF 22CF⋅CE =5+5−22√5⋅√5=45，在△ECF 中利用同角间的三角函数关系可知：tan ∠ECF =34． 故答案为：3416．如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=3DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，则m ＝13；若△ABC 的面积为3√32，则|AP →|的最小值为 √3 ．解：∵AP →=mAC →+12AB →，又AD →=3DB →，∴AB →=43AD →，∴AP →=mAC →+23AD →， 又因为C ，P ，D 三点共线，则m +23=1，即m =13，AP →=13AC →+12AB →，AP →2=19AC →2+14AB →2+13AB →⋅AC →≥2×13×12×|AB →||AC →|+13×|AB →||AC →|cos π3=12|AB →||AC →|， △ABC 的面积为3√32=12|AB →||AC →|×sin π3，∴|AB →||AC →|=6，∴AP →2≥3，∴|AP →|的最小值为√3． 故答案为：13；√3．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知复数z ＝（1+i ）m 2﹣3im +2i ﹣1． （1）当实数m 为何值时，复数z 为纯虚数；（2）当实数m 为何值时，复数z 表示的点位于第四象限． 解：（1）z ＝（1+i ）m 2﹣3im +2i ﹣1＝（m 2﹣1）+（m 2﹣3m +2）i ， ∵复数z 为纯虚数，∴{m 2−1=0m 2−3m +2≠0，解得m ＝﹣1． （2）复数z 表示的点（m 2﹣1，m 2﹣3m +2）位于第四象限， 则{m 2−1＞0m 2−3m +2＜0，解得1＜m ＜2，故m 的取值范围为（1，2）．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2−a 2sinB=a 2+c 2−b 2sinA．（1）证明：A ＝B ．（2）若D 为BC 的中点，从①AD ＝4，②cosC =14，③CD ＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． （1）证明：因为b 2+c 2−a 2sinB=a 2+c 2−b 2sinA ，由余弦定理可得2bccosA sinB=2accosB sinA， 即bcosA sinB=acosB sinA，又由正弦定理bsinB=a sinA，得cos A ＝cos B ，角A ，B 为△ABC 中内角，所以A ＝B ．（2）△ABC 中，A ＝B ，D 为BC 的中点，如图所示， ①②⇒③，已知AD ＝4，cosC =14，求证CD ＝2．证明：AC ＝2CD ，△ACD 中，cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅CD =4CD 2+CD 2−164CD 2=14，解得CD ＝2． ①③⇒②，已知AD ＝4，CD ＝2，求证cosC =14．证明：AC ＝2CD ＝4，所以△ACD 中，cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅CD=16+4−162×4×2=14． ②③⇒①，已知cosC =14，CD ＝2，求证：AD ＝4． 证明：AC ＝2CD ＝4，在△ACD 中，由余弦定理，AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CDcosC =16+4−2×4×2×14=16， 所以AD ＝4．19．（12分）四边形ABCD 中，AB →=(6，1)，BC →=(x ，y)，CD →=(−2，−3) （1）若BC →∥DA →，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．解：BC →=(x ，y)DA →=−AD →=−(AB →+BC →+CD →)=−(x +4，y −2)=(−x −4，−y +2) （1）∵BC →∥DA →∴x •（﹣y +2）﹣y •（﹣x ﹣4）＝0， 化简得：x +2y ＝0；（2）AC →=AB →+BC →=(x +6，y +1)， BD →=BC →+CD →=(x −2，y −3) ∵AC →⊥BD →∴（x +6）•（x ﹣2）+（y +1）•（y ﹣3）＝0 化简有：x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣15＝0，联立{x +2y =0x 2+y 2+4x −2y −15=0解得{x =−6y =3或{x =2y =−1∵BC →∥DA →AC →⊥BD →则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当{x =−6y =3AC →=(0，4)BD →=(−8，0) 此时S ABCD=12⋅|AC →|⋅|BD →|=16 当{x =2y =−1AC →=(8，0)BD →=(0，−4)， 此时S ABCD =12⋅|AC →|⋅|BD →|=16． 20．（12分）如图，函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象经过P(0，√22)，M(−π4，0)，N(3π4，0)三点． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）将函数f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标缩短到原来的12，得到g （x ）图象．若ℎ(x)=f 2(x −π8)+g(x)，求函数h （x ）的单调增区间．解：（1）由图可得函数f （x ）的最小正周期T =2[3π4−(−π4)]=2π， ∴ω=2πT=1， 又函数f （x ）过点(−π4，0)，且图象在该点附近单调递增， ∴−π4+φ=2kπ(k ∈Z)，即φ=π4+2kπ(k ∈Z)， 又∵0＜φ＜π，∴φ=π4， ∵f （x ）过点(0，√22)， ∴Asin π4=√22，即A ＝1，∴f(x)=sin(x +π4)；（2）将函数f （x ）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标缩短到原来的12得到g(x)=12sin(2x +π4)． ∴ℎ(x)=sin 2(x +π8)+12sin(2x +π4)=1−cos(2x+π4)2+12sin(2x +π4)=√22sin2x +12， 令−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z 得：−π4+kπ≤x ≤π4+kπ，k ∈Z ， ∴h （x ）的单调增区间为[−π4+kπ，π4+kπ]，k ∈Z ．21．（12分）某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D ．（Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低（请说明理由），最低造价为多少？ （√3=1.732，√2=1.414）解：（1）在△ABC 中，由余弦定理得cos C =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC =64+25−AB 280，在△ABD 中，由余弦定理得cos D =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD =49+49−AB 298， 由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D ， ∴89−AB 280=98−AB 298，解得AB ＝7，所以AB 长度为7米． （Ⅱ）小李的设计符合要求． 理由如下： S △ABD =12×AD ×BD ×sinD ，S △ABC =12×AC ×BC ×sinC ， 因为AD •BD ＞AC •BC ，所以S △ABD ＞S △ABC ， 故选择△ABC 建筑环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°， 故S △ABC =12×AC ×BC ×sinC =10√3，所以总造价为5000×10√3=50000√3≈86600（元）．22．（12分）设复平面中向量OP →对应的复数为z P ，给定某个非零实数z ，称向量z(OP →)=(Re(z ⋅z P )，Im(z ⋅z P ))为OP →的z ﹣向量．（1）已知OA →=(x 0，y 0)，求z(OA →)；（2）设v →=(x ，y)(x ＞0，y ＞0)，i →=(1，0)，j →=(0，1)的z ﹣向量分别为OV ′→，OE →，OF →，已知S △OV ′E ＝1，S △OV ′F ＝2，求v →的坐标（结果用z 表示）； （3）若对于满足S △OAB ＝1的所有A ，B ，z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →能取到的最小值为8，求实数z 的值． 解：（1）∵OA →=(x 0，y 0)，则z A ＝x 0+y 0i ， ∴z •z A ＝z （x 0+y 0i ）＝zx 0+zy 0i ，向量z(OP →)=(Re(z ⋅z P )，Im(z ⋅z P ))为OP →的z ﹣向量． 故z(OA →)=(zx 0，zy 0)．（2）由（1）可得：z(v →)=(zx ，zy)，z(i →)=(z ，0)，z(j →)=(0，z)，即OV ′→=(zx ，zy)，OE →=(z ，0)，OF →=(0，z)， 故S △OV′E =12×|z|×|zy|=1，S △OV′F =12×|z|×|zx|=2， ∵x ＞0，y ＞0，z ≠0，则x =4|z|，y =2|z|， ∴v →=(4|z|，2|z|)． （3）设OA →=(x 1，y 1)，由（1）可得：z(OA →)=(zx 1，zy 1)=zOA →，同理可得：z(OB →)=zOB →， 则z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →=zOA →2+zOB →2， 设OA →与OB →的夹角为θ∈（0，π），则sin θ∈（0，1]，12|OA →|×|OB →|sinθ=1，则|OB →|=2|OA →|sinθ，故z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →=zOA →2+4z OA →2sinθ，当z ＜0时，则z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →=zOA →2+2z OA →2sinθ＜0，不符合题意，当z ＞0时，则z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →=zOA →2+4z OA →2sinθ≥2√zOA →2×4z OA →2sinθ=4z√sinθ， 当且仅当zOA →2=4z OA →2sinθ，即|OA →|=(4sinθ)14时等号成立，即z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →≥4zsinθ， 又∵sin θ∈（0，1]，则z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →≥4zsinθ≥4z ，当且仅当sin θ＝1时等号成立， 即z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →≥4z ，当且仅当|OA →|=|OB →|=√2，且OA →⊥OB →时等号成立， 对于满足S △OAB ＝1的所有A ，B ，z(OA →)⋅OA →+z(OB →)⋅OB →能取到的最小值为8， 则4z ＝8，即z ＝2． 综上所述：实数z 的值为2．。
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福州市高一下学期期中数学试卷B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
2. （2分）下列命题为真命题的是（）
A . 若，则或
B . 若，则∥
C . 在方向上的投影为
D . 若向量与同向，且，则
3. （2分）(2017·江西模拟) 《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”
若把以上这段文字写成公式，即S= ．现有周长为2 + 的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016高一下·重庆期中) 已知△ABC中，AB=3，AC=2，点D在边BC上，满足 = ，若 = ， = ，则 =（）
A . +
B . +
C . +
D . +
5. （2分） (2016高二上·方城开学考) 设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）
A . X+Z=2Y
B . Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）
C . Y2=XZ
D . Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）
6. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 已知空间中非零向量，不共线，并且模相等，则 + 与
﹣之间的关系是（）
A . 垂直
B . 共线
C . 不垂直
D . 以上都有可能
7. （2分） (2017高一下·武汉期中) 等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则（）
A . A+B=C
B . B2=AC
C . （A+B）﹣C=B2
D . A2+B2=A（B+C）
8. （2分）在中，角所对的边分别为，若，，则（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100米到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（）
A . 50米
B . 60米
C . 80米
D . 100米
10. （2分）如图所示，四边形ABCD是菱形，边长为2，∠BAD=60°，E为边AD的中点，点F在边AB上运动，点A关于直线EF的对称点为G，则线段CG的长度最小值为（）
A .
B . 2
C .
D .
11. （2分）在数列中，“ ”是“ 是公比为的等比数列”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
12. （2分）等差数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为S，T，R，则（）
A . S2+T2=S（T+R）
B . R=3（T﹣S）
C . T2=SR
D . S+R=2T
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2017·杭州模拟) 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若
，则与的夹角的余弦值等于________．
14. （1分） (2016高一下·浦东期末) 在△ABC中，若AB=3，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则BC等于________．
15. （1分）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，a2•a4=16则S4=________
16. （1分） (2017高一下·宿州期末) 数列{an}中，若an= ，则其前6项和为________．
三、解答题） (共6题；共55分)
17. （10分） (2017高三上·惠州开学考) 已知： =（﹣sinωx，cosωx）， =（cosωx，cosωx），ω＞0，记函数f（x）= • ，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递减区间．
18. （5分）已知函数f（x）=2sin cos﹣2sin2．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．
19. （5分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求{ }的前n项和．
（Ⅲ）求{anbn}的前n项和．
20. （10分）(2016·绵阳模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，向量 =（Sn ， 1）， =（2n﹣1，
），满足条件∥ ，
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（）x，数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）= ．
①求数列{bn}的通项公式，
②设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn．
21. （15分）(2019高三上·烟台期中) 若各项均为正数的数列的前n项和满足
，且 .
（1）判断数列是否为等差数列？并说明理由；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求数列的前项和 .
22. （10分） (2016高一下·赣州期中) 已知Sn为等比数列{an}的前n项和•且S4=S3+3a3 ， a2=9．（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题） (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
19-1、20-1、
20-2、
21-1、21-2、
21-3、
22-1、
22-2、
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