导数中证明不等式技巧
高考中利用导数证明不等式的一些策略
高考中利用导数证明不等式的一些策略1与lnx分开来考虑，即将f(x)分解为两个函数的和：f(x)=lnx+2ex-1.然后分别对这两个函数求导，得到f'(x)=1/x+2ex>0，说明f(x)在定义域上单调递增，且f(0)=1，因此f(x)>1成立。
评注：对于这种需要分离成两个函数的不等式，可以先观察不等式的特征，尝试将其分解为两个函数的和或差，然后分别对这些函数求导来证明不等式。
类型三、需要构造辅助函数的不等式1.利用辅助函数构造上下界例3（2016年全国卷1第23题改编）已知a,b,c>0，证明：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9分析：将(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)展开，得到a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b+3≥9.观察不等式中的每一项，可以发现这些项都可以表示为三个数的和，因此可以构造辅助函数f(x)=ln(x)+1/x-1，然后对f(x)求导，得到f'(x)=1/x^2-1，f'(x)>0当且仅当x1，因此f(x)在(0,1)和(1,∞)上分别是减函数和增函数。
接着，将a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b分别表示为f(ab)+f(ac)+f(bc)+3，然后应用均值不等式，得到f(ab)+f(ac)+f(bc)≥3f((abc)^(2/3))=3ln(abc)+3/(abc)^(2/3)-3.将此式代入原不等式中，得到3ln(abc)+3/(abc)^(2/3)≥6，即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)≥2/3.再次利用辅助函数，构造g(x)=lnx+(1/3)x^(-2/3)-2/3，对其求导得到g'(x)=1/x-(2/9)x^(-5/3)，g'(x)>0当且仅当x9/4，因此g(x)在(0,9/4)和(9/4,∞)上分别是减函数和增函数。
由于a,b,c>0，因此abc>0，因此可将不等式中的abc替换为x，得到g(abc)≥0，即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)-2/3≥0，即ln(abc)+(1/3)/(abc)^(2/3)≥2/3，因此原不等式成立。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!导数中的不等式证明导数中的不等式证明是高考中的一个经典考点。
由于不等式证明的灵活性和多样性，该考点备受命题者的青睐。
本文将从五个方面系统地介绍一些常规的不等式证明手段。
命题角度1：构造函数典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数$f(x)=1-\ln x+\frac{e}{x}$，$g(x)=x-\frac{e}{x}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
解析】（1）$a=b=-1$；2）$g(x)=-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{ e}{2\ln x}-\frac{x}{2}+\frac{e}{2x}\leq1$。
令$h(x)=f(x)+g(x)-\frac{2}{x}$，则$h(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\ln x-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$h'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2}+\frac{1}{2}-\frac{e}{2x^2}$，$h''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3e}{x^3}+\frac{2e}{x^3}$。
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧（附经典详解）
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明：2ln )()2(2)()(0a b b a b g a g -<+-+<分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。
分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。
证明：1ln )(+=¢x x g ，设)2(2)()()(xa g x g a g x F +-+=2ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g xa g x g x F +-=+-=´+-=¢当a x <<0时0)(<¢x F ，当a x >时 0)(>¢x F ， 即)(x F 在),0(a x Î上为减函数，在),(+¥Îa x 上为增函数上为增函数 ∴0)()(min==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ， 即0)2(2)()(>+-+ba gb g a g设2ln )()2(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+=)ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x xa x x G +-=-+-=¢\当0>x 时，0)('<x G ，因此)(x G 在区间),0(+¥上为减函数；上为减函数； 因为0)(=a G ，又a b > ∴0)()(=<a G b G ， 即 02ln )()2(2)()(<--+-+a x x a g x g a g故2ln )()2(2)()(a x xa g x g a g -<+-+ 综上可知，当综上可知，当b a <<0时，2ln )()2(2)()(0a b ba b g a g -<+-+< 本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。
高中数学解题方法-----构造函数法证明导数不等式的八种方法
高中数学解题方法构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：1.移项法构造函数 2、作差法构造函数证明3、换元法构造函数证明4、从条件特征入手构造函数证明5、主元法构造函数6、构造二阶导数函数证明导数的单调性7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）8.构造形似函数1.移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f −+=)1ln()(，求证：当1−>x 时，恒有x x x ≤+≤+−)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(−+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+−=−+=′x x x x f ∴当01<<−x 时，0)(>′x f ，即)(x f 在)0,1(−∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1−>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤−+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(−+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+−+=′x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′−∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(−∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞−上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1−>x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥−+++x x ∴111)1ln(+−≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤−+−>)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F −=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0， 证明：2ln )()2(2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。
证明：1ln )(+='x x g ，设)2(2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=⨯+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ，即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ， 即0)2(2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2(2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)('<x G ，因此)(x G 在区间),0(+∞上为减函数；因为0)(=a G ，又a b > ∴0)()(=<a G b G ，即 02ln )()2(2)()(<--+-+a x x a g x g a g 故2ln )()2(2)()(a x x a g x g a g -<+-+ 综上可知，当 b a <<0时，2ln )()2(2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。
利用导数证明不等式的四种常用方法
利用导数证明不等式的四种常用方法方法一：使用函数的单调性如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），则对于任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。
举例说明：证明当x＞0时，e^x＞1+x。
我们考虑函数f(x)=e^x-(1+x)，取f'(x)=e^x-1、如果f'(x)≥0，则f(x)在x＞0上单调递增，且f(x)在x=0处取到最小值。
通过计算可得f'(x)≥0，所以f(x)在x＞0上单调递增，即e^x-(1+x)≥0。
即e^x＞1+x。
方法二：使用函数的极值点如果函数f(x)在一些点x0处取得极小值（或极大值），则该点附近的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明(1+x)^n > 1+nx，其中n为自然数。
我们考虑函数f(x) = (1+x)^n - (1+nx)，取f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n。
令f'(x) = 0，可得x = -1/(n-1)。
我们先考虑x ∈ (-∞, -1/(n-1))，在此区间上f'(x) > 0，所以f(x)在此区间上单调递增。
当x < -1/(n-1)时，有f(x) > f(-1/(n-1)) = 0。
所以在此区间上(1+x)^n > 1+nx。
同理可得，当x ∈ (-1/(n-1), +∞)时，也有(1+x)^n > 1+nx。
方法三：使用函数的凹凸性如果函数f(x)在一些区间上是凹的（或凸的），则函数的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明当a＞0时，有√a≤(a+1)/2我们考虑函数f(x) = √x，取f''(x) = -x^(-3/2)。
我们知道，当f''(x)≥0时，函数f(x)在该区间上为凹函数。
计算可得f''(x)≥0，所以f(x)在[0, +∞)上为凹函数。
导数中证明不等式技巧——构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔!在导数中证明不等式时，我们可以运用一些技巧来简化证明过程。
以下是几种常用的技巧：1.构造法：构造一个函数，使其导数的符号与要证明的不等式的符号相同。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以构造一个函数$h(x)=f(x)-g(x)$，然后证明$h'(x)>0$。
这样，当$h'(x)>0$时，$h(x)$就递增，从而$f(x)-g(x)$也递增，即$f(x)>g(x)$。
2.切线放缩法：通过构造一个切线来放缩函数。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以找到函数$f(x)$在其中一点处的切线，然后利用切线的性质来证明不等式。
具体地，找到函数$f(x)$在其中一点$x_0$处的切线$y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$，然后证明$h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)>g(x)$成立。
3.二元变量法：将不等式中的一些变量表示为另一个变量的函数，然后对新的不等式进行处理。
例如，对于$f(x)>g(x)$，我们可以将其中的一个变量表示为另一个变量的函数，例如$x=h(y)$，然后将不等式转化为$F(y)>G(y)$的形式进行证明。
4.凹凸反转法：利用函数的凹凸性质来证明不等式。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以证明$-f(x)<-g(x)$，然后利用函数的凹凸性质，通过证明$-f(x)$是凸函数，而$-g(x)$是凹函数，从而得到$-f(x)<-g(x)$成立。
最后，无论采用哪种技巧，熟练掌握基本的导数计算和不等式性质是非常重要的。
只有通过大量的练习，加深对导数和不等式的理解，才能真正掌握这些技巧，并在实际应用中灵活运用。
高考数学助手：导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转
高考数学助手：导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转
导数中不等式的证明是历年的高考中一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
今天将会通过五个方面系统的介绍一些常规的不等式的证明手段。
总的来说：
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
这五种命题角度，五种解题方法，同学们一定要会呢！导数在高考中占的比重还是挺大的！。
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当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
所以函数 在 上单调递增，
由于曲线 在 处的切线方程为 ， ，可猜测函数 的图象恒在切线 的上方.
先证明当 时， .
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ，所以 ，
所以存在 ，使得 ，
导数中的不等式证明
命题角度1构造函数
【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数 ，若曲线 与曲线 的一个公共点是 ，且在点 处的切线互相垂直．
（1）求 的值；
（2）证明：当 时， ．
【解析】（1） ；
（2） ， ，
令 ，则
，
，
因为 ，所以 ，
所以 在 单调递增， ，即 ，
所以当 时， ．
【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.
思路二：因为 ，只需证 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减， ，即证 .
由上述分析可知 .
【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于 （或 ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法.
思路三：要证明 ，只需证 .
【解析】由于 表示点 与点 之间的距离 ，而点 的轨迹是曲线 ，点 的轨迹是曲线 ，
如图所示，又点 到直线 的距离为 ，
自然想到转化为动点 到抛物线准线 的距离，
结合抛物线的概念可得
，所以 ，当且仅当 共线，
又以 为圆心作半径为 的圆与 相切，切点是 ，此时的公切线与半径垂直， ，即 ，所以 ，故 .正确答案为C.
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
解析：（1）由于 ，则 ，
设 ，则 .
令 ，解得 .
所以当 时， ；当 时， .
所以 .
①当 时， ，所以函数 单调递增，没有极值点；
②当 时， ，且当 时， ；当 时， .
此时， 有两个零点 ，不妨设 ，则 ，
所以函数 有两个极值点时，实数 的取值范围是 ；
【一题多解】本题也可以变形为 ，转化为过原点的直线 与函数 图象有两个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.
（2）由题意， ， ，
因为 是函数 两个不同的极值点，
不妨设 ， ，即 ，两式相减得 .
要证 ，即证明 ，
只需证 ，即 ，亦即 .
令 ，只需证当 时，不等式 恒成立，
【解析】（1） ；
（2）设数列 的前 项的和分别为 ，则
由于 ，解得 ；
同理， ，所以只需证明 .
由（1）知 时，有 ，即 .
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ；
再证明 ，亦即 ，
因为 ， ，
所以只需证 ，
现证明 .令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减， ，
所以当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
综上， ，
所以对数列 分别求前 项的和，得 .
【典例13】（咸阳市2018届三模）已知函数 ， .
（1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证： .
（1）求证： 时， ；
（2）求证： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
又 ， ，所以该切线方程为 ．
设 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，故 时， ；
所以 ，
化简可得 ，得证.
【方法归纳】本题 ，其 ， ，说明函数 为凹函数，因此有 .此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点.
（2） ， ， ，
因为 分别是函数 的两个零点，所以 ，两式相减，得 ，
，
要证明 ，只需证 .
思路一：因为 ，只需证 .
令 ，即证 .
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减， ，即证 .由上述分析可知 .
【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把 转化为 的函数，常把 的关系变形为齐次式，设 等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法.
【答案速得】函数 有两个极值点实质上就是其导数 有两个零点，亦即函数 与直线 有两个交点，如图所示，显然实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知， 为 的两个实数根， ， 在 上单调递减.
下面先证 ，只需证 .
由于 ，得 ，
所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ， ，所以 .
由于函数 在 上也单调递减，所以 .
【思路点睛】对于含有 与 型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征，灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式 的合理代换.
命题角度3切线法
【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）求证：当 时， .
【解析】（1） ， ，
由题设得 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
（1）当 时，方程 在区间 上有两个不同的实数根，求 的取值范围；
（2）当 时，设 是函数 两个不同的极值点，证明： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，当 时， ，当 时， ，
要使方程 在区间 上有两个不同的实数根，则 ，解得 ，
故 的取值范围是 ；
【解析】（1） ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）要证明 ，即证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 .
要证 ，只需再证 即可.
易证 ，当且仅当 时取等号（证明略），所以 ，
综上所述，当 时，都有 .
命题角度2放缩法
【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数 ，在 处的切线方程为 .
（1）求 ；
（2）若 ，证明： .
【解析】（1） ， ；
（2）由（1）可知 ， ，
由 ，可得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，
当 时，设 ，则 ，
故函数 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
【典例12】（成都市2018届高中毕业班二诊文科）已知函数 .
（1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，证明： .
【解析】（1）由 ，得 恒成立，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 ，即 ，故 的取值范围是 ；
（2）有（1）知 时，有 ，
设 ，则 ，
易证 ，所以 ，
所以 在 上单调递减， ，即 .
综上所述， 成立.
【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题.
【典例9】（2018届合肥三模）已知函数 有两个极值点 ( 为自然对数的底数).
所以 .
①要证 ，可证 ，只需证 ，
易证 （证明略），所以 ；
②要证 ，可证 ，
易证 （证明略），由于 ，所以 ，
所以 ，
综上所述，当 时，证明： .
【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法.
即证 ，由对数平均数易得.
【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.
【知识拓展】对于 ，则 ，其中 称之为对数平均数.简证如下：不妨设 ，只需证明 即可，即 （下略）.
【典例8】（A10联盟2018年高考最后一卷）已知函数 .
故 ，即 ，所以实数 的取值范围是 .
思路2：因为函数 有零点 ，所以 的解分别为 ，
因为函数 有零点 ，所以 的解分别为 ，
令 ，①若 ，如图，总有 ，不适合题意；
②若 ，如图，总有 ，欲使 ，亦即 ，
所以 ，即 ，
两边平方，化简可得 ，所以 .
所以实数 的取值范围是 .正确答案为C.
思路3：因为函数 有零点 ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，即 .
故 .
【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.
【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数 .
（1）当 时，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
（2）当 时，证明：
【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为
【答案】 .
命题角度4二元或多元不等式的解证思路
【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
1）求实数 的值；（2）设 分别是函数 的两个零点，求证： .
【解析】（1） ；
任意两点所连的线段都不落在图象的上方. ，则 单调
递减， 在 上为凸函数；
②总有 （当且仅当 时，取等号），
则函数 在 上是凹函数，其几何意义：函数 的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的下方. ，则 单调递增， 在 上为凹函数.