导数的应用利用导数证明不等式

导 数 的 应 用

--------利用导数证明不等式

教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式

2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力； 教学重点：利用导数证明不等式

教学难点：利用导数证明不等式

教学过程：

一、复习回顾

1、利用导数判断函数的单调性；

2、利用导数求函数的极值、最值；

二、新课引入

引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用．

三、新知探究

1、利用导数得出函数单调性来证明不等式

例1：当x>0时,求证：x 2x 2

-＜ln(1+x) . 证明：设f(x)= x 2x 2-－ln(1+x) (x>0), 则f '(x)=2x 1x

-+． ∵x>0,∴f '(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，

所以x>0时,f(x)

-－ln(1+x)<0成立． 小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的．

随堂练习：课本P32：B 组第一题第3小题

2、利用导数解决不等式恒成立问题（掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式）

例２．已知函数21()2

x f x ae x =- (1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围;

(2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x

解：(1)f ′(x)＝ ae x －ｘ，

∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f ′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，

即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立

记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e -x ，

当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．

知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数,

∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a ≥1/e,

即a 的取值范围是[1/e, + ∞)

(2)记F(X)=f(x) －(1+x) =)0(12

12>---x x x e x 则F ′(x)=e x -1-x,

令h(x)= F ′(x)=e x -1-x,则h ′(x)=e x -1

当x>0时, h ′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数,

又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0

即F ′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续, ∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x ．

小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(x f m >(或)(x f m <)恒成立，于是m 大于)(x f 的最大值（或m 小于)(x f 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．

例3．（2004年全国）已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+=

(1)求函数)(x f 的最大值；

(2)设b a <<0,证明 ：2ln )()2

(

2)()(0a b b a g b g a g -<+-+<. 分析：对于（II ）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下： 证明：对x x x g ln )(=求导,则1ln )('+=x x g . 在)2

(2)()(b a g b g a g +-+中以b 为主变元构造函数, 设)2(2)()()(x a g x g a g x F +-+=,则2

ln ln )]2([2)()('''x a x x a g x g x F +-=+-=. 当a x <<0时，0)('

当a x >时,0)('>x F ,因此)(x F 在),(+∞a 上为增函数.

从而当a x =时, )(x F 有极小值)(a F .

因为,,0)(a b a F >=所以0)(>b F ,即.0)2(

2)()(>+-+b a g b g a g 又设2ln )()()(a x x F x G --=.则)ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x x a x x G +-=-+-=.

当0>x 时,0)('

因为,,0)(a b a G >=所以0)(

(2)()(a b b a g b g a g -<+-+. 综上结论得证。

对于看起来无法下手的一个不等式证明，对其巧妙地构造函数后，运用导数研究了它的单调性后，通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单解决.

四、课堂小结

1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；

2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；

3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式；

总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现．

五、思维拓展

（2008联考）已知函数)0(1)(>--=x x e x f x ，)0(2)(2

>?=x e ax x g x ； （1） 求证：当1≥a 时对于任意正实数x , )(x f 的图象总不会在)(x g 图象的上方；

（2） 对于在（0，1）上任意的a 值，问是否存在正实数x 使得)()(x g x f >成立？

如果存在，求出符合条件的x 的一个取值；否则说明理由。

（3）