高二数学学案3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式苏教版必修4
【高中数学】必修4 专题3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)
第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．已知sinα–cosα=43，则sin2α=A．–79B．–29C．29D．79【答案】A【解析】将sinα–cosα=43的两边进行平方，得sin2α–2sinαcosα+cos2α=169，即sin2α=–79．2．（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=A．12B2C．32D．1【答案】C【解析】因为sin75°=sin（90°–15°）=cos15°，cos75°=cos（90°–15°）=sin15°，所以（cos15°–cos75°）（sin75°+sin15°）=（cos15°–sin15°）（cos15°+sin15°）=cos215°–sin215°=cos30°3C．3．cos2π182的值为A．1 B．1 2C．22D．24【答案】D【解析】2π1cos 82-=π1cos1422+-=1πcos 24⋅D ．4．已知2θ是第四象限角，且cos 2θsin θ的值为A ．BC ．D【答案】D 【解析】∵2θ是第四象限角，且cos 2θsin 2θ=因此，sin θ=2sin2θcos 2θ=2×（×（）， ∵x ≤–1，∴sin θ．故选D ． 5．已知cos （π4θ+）•cos （π4θ-）θ∈（3π4，π），则sin θ+cos θ的值是 A．2 B ．–2C．2D．2【答案】C 【解析】ππcos cos 44θθ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππsin cos 44θθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1πsin 222θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1cos22θ=，∴cos22θ=．∵3ππ4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴3π22π2θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，∴1sin22θ=-． ∴211(sin cos )1sin2122θθθ+=+=-=，∵3ππ4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴sin θ+cos θ<0．∴sin cos 2θθ+=-．故选C ．6．已知θA ．sin 4θB ．cos4θ C ．–sin 4θD ．cos 4θ-【答案】A【解析】根据θ为第三象限角，得到θ∈（2k π+π，2k π+3π2）， 则2θ∈（k π+π2，k π+3π4），4θ∈（π2k +π4，π2k +3π8），所以cos 2θ<0，sin 4θ>0， 则原式4θ|=sin 4θ．故选A ． 7．已知α∈（π2，π），sin α=5tan2α等于A ．–43 B ．–47 C ．–34D ．–35【答案】A 【解析】∵α∈（π2，π），sin αcos α==，∴tan α=–12，∴tan2α=22tan 1tan αα-=212211()2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--=–43．故选A ．8．函数y =8sin x cos x cos2x 的周期为T ，最大值为A ，则 A ．T =π，A =4 B ．π42T A ==，C ．T =π，A =2D ．π22T A ==，【答案】D【解析】由于函数y =8sin x cos x cos2x =4sin2x •cos2x =2sin4x 的周期为T ，∴T =2π4=π2，且函数的最大值为A =2，故选D ．9．函数f （x ）=2cos x +cos2x （x ∈R ）的最小值是A ．–3B ．–32 C ．–1 D ．12【答案】B【解析】∵函数f （x ）=2cos x +cos2x =2cos x +2cos 2x –1=221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭–32，故当cos x =–12时，函数f （x ）有最小值等于–32，故选B ． 10．2tan151tan 165︒-︒的值是A BC ．6D 【答案】C【解析】∵15°+165°=180°，∴2tan151tan 165︒-︒=2tan151tan 15︒-︒=12⋅tan30°．故选C ． 11．已知tan a =3，则cos （2α+π2）= A ．–35 B ．35 C ．–35D ．35【答案】C【解析】由tan a =3，得cos （2α+π2）=–sin2α=–222sin cos sin cos αααα+=22tan 1tan αα-+=63195-=-+．故选C ．12．已知cos （π–α）α∈（0，π），则sin2α=A ．–1B ．2-C ．2D ．1【答案】A【解析】由cos（π–α）=2，得–cos2α=，则cos2α=-，∴α∈（0，π），∴sinα2 =，则sin2α=2sinαcosα=2⎛⎝⎭=–1．故选A．13．已知sin（π12+α）sin（π3–2α）=A．4B．34CD．–34【答案】B【解析】sin（π12+α），则sin（π3–2α）=cos（2α+π6）=1–2sin2（π12+α）=1–2×2=34．故选B．14．若5πsinπ132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，则tan2α的值为A．120119B．120119-C．119120D．119120-【答案】B【解析】∵5πsinπ132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，∴cosα=–1213，∴tanα=sincosαα=–512，则tan2α=22tan1tanαα-=2521251()12⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭--=–120119，故选B．15．已知α为第四象限角，sinα+cosα=3，则cos2α=A ．B ．C D 【答案】D【解析】∵α为第四象限角，sin α+cos α1+2sin αcos α=13，即2sin αcos α=–23，∴sin α–cos α==∴cos2α=cos 2α–sin 2α=–（sin α+cos α）×（sin α–cos α）=–3×（–3）=3，故选D ． 二、填空题16．若sin （π8α-）=3，则cos （π24α-）=_____________． 【答案】59【解析】cos （π24α-）=cos[2（π8α-）]=1–22πsin 8α⎛⎫- ⎪⎝⎭=1–2×259=．故答案为：59． 17．若ππ3sin 225αα-<<=，，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____________．【解析】∵ππ3sin 225αα-<<=，，∴cos α=45， ∴sin2α=2sin αcos α=2×45×324525=，cos2α=1–2sin 2α=1–2×972525=，∴πsin 26α⎛⎫+⎪⎝⎭=sin2αcos π6+cos2αsin π24625=725×12=．18．设cos2θsin 4θ+cos 4θ的值是_____________．【答案】7 8【解析】由于cos2θ=2，则cos4θ+sin4θ=（sin2θ+cos2θ）2–2sin2θcos2θ=1–12sin22θ=1–12（1–cos22θ）=1–12（1–34）=78，故答案为：78．19．函数y=1–2cos2x的最小正周期是_____________．【答案】π【解析】∵y=1–2cos2x=1–（1+cos2x）=–cos2x．∴T=2π2=π．故答案为：π．20．若cosα–sinα=14，则sin2α=_____________．【答案】15 16【解析】∵cosα–sinα=14，∴（cosα–sinα）2=116，可得1–sin2α=116，∴sin2α=1516．故答案为：1516．21．函数y=sinαcosα–cos2α的最小正周期为_____________．【答案】π【解析】∵y=sinαcosα–cos2α=111sin2cos2222αα--=π12242α⎛⎫--⎪⎝⎭，∴三角函数的最小正周期是T=2π2=π，故答案为：π．三、解答题22．在△ABC中，cos（π4+A）=513，求cos2A的值．【解析】在△ABC中，cos（π4+A）=513，∴sin（A+π4）=1213．∴cos2A=sin（π2+2A）=2sin（A+π4）cos（A+π4）=2×513×1213=120169．23．求值：cos 2π7+cos4π7+cos6π7．【解析】原式=π2π4π6πsin cos cos cos7777πsin7⎛⎫++⎪⎝⎭=π2ππ4ππ6πsin cos sin cos sin cos 777777πsin7++=13ππ15π3π17π5πsin sin sin sin sin sin 277277277πsin 7⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=–12． 24．已知a 为第二象限角，cos a =–45，求sin2a ． 【解析】∵a 为第二象限角，cos a =–45，∴sin a=35，则sin2a =2sin a cos a =2×35×（–45）=–2425．25．求函数y =2cos 2x 的单调增区间．【解析】函数y =2cos 2x =cos2x +1， 令2k π–π≤2x ≤2k π，解得k π–π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 故函数的增区间为[k π–π2，k π]，k ∈Z ． 26．已知111cos sin αα-=，求sin2α的值． 【解析】∵111cos sin αα-==sin cos cos sin αααα-， ∴sin α–cos α=sin αcos α，两边平方可得1–2sin αcos α=（sin αcos α）2． 即1–sin2α=21sin 24α，2sin 24sin 240αα+-=，解得sin2α–2，或sin2α=––2（舍去）．。
高中数学必修4《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案
课题: 二倍角的正弦、余弦、正切公式教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时一、教学目标1.知识目标：以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。
2.能力目标：灵活运用二倍角公式，培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.德育目标：激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，培养学生的发散性思维、创新意识，提高数学素养。
二、教学重点与难点重点：掌握二倍角公式，灵活运用二倍角公式解决有关问题。
难点：二倍角公式的灵活运用，培养学生的转化、化归的数学思想。
三、教学方法与手段教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学并通过多媒体辅助教学。
四、教学过程二倍角的正弦、余弦、正切公式教案说明在教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学，逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”。
整个教学过程的设计主要体现以下五点：第一、提出问题，纠正学生常犯直觉性错误,激发学生新的求知欲。
引导学生自主探究二倍角公式，让学生亲身经历公式的“发现”过程。
这样设计突出学生的主体地位，能够让学生明白知识的来龙去脉，加深对知识的理解，培养学生的探究意识和丰富的联想能力。
第二、在学生推导出二倍角公式后，立即让学生做些简单练习，目的是为了使学生更好的理解、运用和记忆二倍角公式，以及让学生感到找出C公式变形的必要性。
2第三、在解题教学过程中，启发学生先分析条件与求解目标之间的差异，然后选择适当的公式，明确解题思路，最后严格规范解答过程，培养逻辑思维能力。
通过一题多解训练学生发散性思维，培养学生创新意识，提高学生的数学素养。
第四、为巩固所学知识，本设计通过设置多重练习，让学生能更深刻的认识公式特点，感受公式的各种形式运用，提高灵活运用公式的能力。
2022版高中数学必修四导学案313二倍角的正弦余弦正切公
2022版高中数学必修四导学案313二倍角的正弦余弦正
切公
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；
2.会应用二倍角公式进行简单的求值、化简与证明；
3.理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.
【新知自学】知识回顾：
co(αβ-)=
co(αβ+)=
in(αβ+)=
in()αβ-=
tan()αβ+=
tan()αβ-=新知梳理
由上述公式能否得到in2,co2,tan2ααα的公式呢？
in2α=
co2α=
tan2α=
注意：2,22kkπ
π
απαπ≠+≠+()kz∈思考感悟对点练习：
（1）已知αco=－33
,且0tan<α，则α2in的值等于（）A．322B．13
C．－32
2D．－13
（2）若∈=ππ
in，则α2tan的值为（）
A、119120
B、119120
C、120229
D、120229
（3）已知53
)2in(=-απ
,则=α2co
【合作探究】典例精析：
例1、已知5in2,,
1342π
π
αα=<<
求in4,co4,tan4ααα的值．
变式练习：
1、已知),2(,61)4in()4in(
ππππ∈=-+某某某，求某4in的值.例2、在△ABC中，5
4co=A，BAB的值求)22tan(,2tan+=。
高中数学 3.2.1二倍角的正弦 余弦 正切1教案 苏教版必修4
3.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切（1）教学目标1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系；2.会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；3.领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重、难点倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。
教学过程（一）复习：1．复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2．提出问题：若β=α，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（二）新课讲解：1．二倍角公式的推导：sin 22sin cos ααα=22cos2cos sin ααα=-22tan tan 21tan ααα=- 说明：（1）“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的二倍角； （2）观察公式特征：“倍角”与“二次”的关系； （3）利用三角函数关系式22sin cos 1αα+=，可将余弦的倍角公式变形为：22cos 22cos 112sin ααα=-=-， 22cos2cos sin ααα=-，2cos 22cos 1αα=-，2cos 212sin αα==-统称为升 幂公式。
类似地也有公式（降幂公式）：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 这两个形式今后常用； （4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：,()242k k k Z πππαπα≠+≠+∈． 2．例题分析：例1：已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。
例2：化简（1（2（3（4课堂练习1.求值：（1）sin 2230cos2230''⋅= ．（2）=-π18cos 22 ． （3）=π-π8cos 8sin 22 ． （4）8sin cos cos cos 48482412ππππ= 2. ①已知：tan 2x =，则tan 2()4x π-= ；tan 2()4x π+= ．②已知：1sin 2x =，则sin 2()4x π-= ． 课堂小结1．二倍角公式是和角公式的特例，体现了一般化归为特殊的基本的数学思想方法；2．二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角α的三角函数值复角（和、差、倍）的三角函数值没，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
高中数学苏教版必修四《二倍角的正弦余弦正切》课件
2
，
cos 1 sin2 1 ( 5 )2 12
13 13
sin 2 2sincos 2 5 (12) 120
13 13 169
cos2 cos2 sin2 (12)2 ( 5 )2 119
13 13 169
tan 2 sin 2 120 119 120 cos2 169 169 119
练习．1、已知：cos
4 5
,
,
3
2
求： sin 2,cos2, tan 2
练习．2、已知：tan 1 求： tan 2,co2t 2
练习．3、求：2sin2 1 的值
12
例2．证明：
sin 2 sin 2cos2 2sin2 cos
tan
证明：左边
2sincos sin 2(cos2 sin2 ) 2sin2
2 tan 1- tan2
tan 2
练习．化简：sin co s 22
１、本节课学习的二倍角公式是在两角和的三角函数公式 的基础上导出的，记忆时注意联想相应的公式。 ２、二倍角公式适用于二倍角与单角的三角函数间的互化 问题。广泛应用于三角函数式的求值，化简，证明，应灵 活理解“二倍角”的含义，熟悉公式的逆用，并注意公式 成立的条件。
cos
sin (2cos 1) tan =右边 cos (2cos 1)
练习：证明： cos4 sin4 cos
2
2
例3．化简：1-
1
tan
1+
1
tan
解：原式
1+ tan
-
1- tan
(1- tan )(1+ tan ) (1- tan )(1+ tan )
高中数学必修四教案：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
这时教师适时地向学生指出， 我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦， 余弦， 正切公
式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的
“倍角 sin2α +co2sα =1思考 ,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右
表中的公式 .
这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）
展开新课 .
思路 2.(问题导入 )出示问题，让学生计算，若
3
sin α＝, α∈ ( , π求), sin2 α， cos2 α的值 .
52
学生会很容易看出： sin2 α=sin( α+α)=sin αcosα+cosαsin α=2的sin，α以c此os展α开新课，并由
此展开联想推出其他公式 .
.倍角公式给出了 α的三角
函数与 2α的三角函数之间的关系 .
问题④ ,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首 先公式左边角是右边角的 2 倍；左边是 2α的三角函数的一次式，右边是 α的三角函数的二
次式，即左到右 → 升幂缩角，右到左 → 降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，
正切是分式 .
问题⑤ ,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观 察思考并初步感性认识到： (Ⅰ )这里的 “倍角 ”专指 “二倍角 ”遇，到 “三倍角 ”等名词时 , “三 ”字等
不可省去； (Ⅱ )通过二倍角公式 ,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；
( Ⅲ)二倍角
2
44
44
2
2 tan 40 1 tan2 40
=tan80 °， cos22α-sin22α =cos4，αtan2 α =2tan α-ta(n12α）等等 .
高中数学课件：第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
三 角 恒 等 变 换
读教材·填要点
3.1 两角 和与 差的 正弦 、余 弦和 正切 公式
3.1.3
二倍 角的 正弦、 余弦、 正切 公式
课前预习·巧设计
小问题·大思维
考点一
名师课堂·一点通
考点二
考点三 解题高手
NO.1课堂强化
பைடு நூலகம்
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
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[读教材·填要点]
π 2x＝2sin2x＋6，
π 3 ∴sin2x0＋6 ＝ . 5
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π π π 2π 7π 又∵x0∈4 ，2 ，∴2x0＋ ∈ 3 ， 6 . 6 π ∴cos2x0＋6 ＝－
π 4 ＝－ . 1－sin 2x0＋6 5
二倍角的正弦、余弦、正切公式
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[小问题·大思维] 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、 余弦、正切公式有什么关系？ 提示：在两角和的公式中β＝α即可得二倍角公式，即二 倍角公式是和角公式的特殊情况．
2．写出由sin α求sin 2α，cos 2α，tan 2α的过程．由sin α
的值怎样求sin 2α，cos 2α，tan 2α？
③对于二次根式，注意倍角公式的逆用．
④注意利用角与角之间的隐含关系． ⑤注意利用“1”的恒等变形．
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[通一类]
6 3． 已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos x－1(x∈R)． f(x0)＝ ， 若 5
2
π π x0∈4，2 ，求
cos 2x0 的值．
解：∵f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1 ＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝ 3sin 2x＋cos
高中数学 第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切教案(3) 苏教版必修4
第九课时二倍角的正弦、余弦、正切(三)教学目标：灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力. 教学重点：和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用. 教学难点：二倍角公式的变形式的灵活应用. 教学过程： Ⅰ.课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB ＝θ，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ，所以矩形ABCD 的面积S ＝a sin θ·2a cos θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ≤a 2当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a 2sin2θ＝a 2＝S不难看出，这时A 、D 两点与O 点的距离都是22a ，矩形的面积最大，于是问题得到解决. Ⅱ.讲授新课［例1］求证sin2α2 ＝1－cos α2分析：此等式中的α可作为α2的2倍.证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin 2α中以α代替2α，以α2 代替α，即得cos α＝1－2sin2α2 ∴sin 2α2 ＝1－cos α2请同学们试证以下两式: (1)cos2α2 ＝1＋cos α2 (2)tan 2α2 ＝1－cos α1＋cos α证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos 2α－1中以α代替2α、以α2 代替α，即得cos α＝2cos2α2 －1， ∴cos 2α2 ＝1＋cos α2(2)由tan 2α2 ＝sin 2α2cos 2α2sin 2α2 ＝1－cos α2 cos 2α2 ＝1＋cos α2得tan2α2 ＝1－cos α1＋cos α这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的). 这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法. 另外，在这三式中，如果知道cos α的值和α2 角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin α2 、cos α2 与tan α2.下面，再来看一例子.［例2］求证：sin α·cos β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］分析：只要将S (α＋β)、S (α－β)公式相加，即可推证.证明：由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ② ①＋②得：sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β即：sin α·cos β＝12 ［sin(α＋β)＋sin(α－β)］请同学们试证下面三式：(1)cos α·sin β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)cos α·cos β＝12 ［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)sin α·sin β＝－12 ［cos(α＋β)－cos(α－β)］证明：(1)由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ②①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β 即：cos αsin β＝12 ［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β② ①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β 即：cos αcos β＝12 ［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β 即：sin αsin β＝－12［cos(α＋β)－cos(α－β)］不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.［例3］求证sin θ＋sin ϕ＝2sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 分析：θ可有θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2代替， ϕ＝θ＋ϕ2 －θ－ϕ2证明：左式＝sin θ＋sin ϕ＝sin ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］＋sin ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］ ＝sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2sinθ－ϕ2 ＋sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2－cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＝右边请同学们再证下面三式.(1)sin θ－sin ϕ＝2cos θ＋ϕ2 ·sin θ－ϕ2 ；(2)cos θ＋cos ϕ＝2cos θ＋ϕ2 ·cos θ－ϕ2 ；(3)cos θ－cos ϕ＝－2sin θ＋ϕ2 ·sin θ－ϕ2.证明：(1)令θ＝θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ，ϕ＝θ＋ϕ2 －θ－ϕ2则左边＝sin θ－sin ϕ＝sin ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］－sin ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］ ＝sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2 sinθ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＋cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2cos θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝右边(2)左边＝cos θ＋cos ϕ＝cos ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］＋cos ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］ ＝cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2sinθ－ϕ2 ＋cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＋sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝2cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2＝右边(3)左边＝cos θ－cos ϕ＝cos ［θ＋ϕ2 ＋θ－ϕ2 ］－cos ［θ＋ϕ2 －θ－ϕ2 ］ ＝cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2 －sin θ＋ϕ2sinθ－ϕ2 －cos θ＋ϕ2 cos θ－ϕ2－sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝－2sin θ＋ϕ2 sin θ－ϕ2＝右边.这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆. Ⅲ.课堂练习1.已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝π2证法一：由已知得3sin 2α＝cos2β ① 3sin2α＝2sin2β②①÷②得tan α＝cos2βsin2β ＝sin （π2 －2β）cos （π2 －2β）＝tan （π2－2β）∵α、β为锐角，∴0＜β＜π2 ，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，∴－π2 ＜π2 －2β＜π2∴α＝π2 －2β，α＋2β＝π2证法二：由已知可得： 3sin 2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β∴cos(α＋2β)＝cos α·cos2β－sin α·sin2β＝cos α·3sin 2α－sin α·32 sin2α＝3sin 2αcos α－sin α·3sin αcos α＝0又由α＋2β∈(0，3π2 )∴α＋2β＝π2证法三：由已知可得⎩⎨⎧==βαβα2sin 22sin 32cos sin 32 ∴sin(α＋2β)＝sin αcos2β＋cos αsin2β＝sin α·3sin 2α＋32 cos α·sin2α＝3sin α(sin 2α＋cos 2α)＝3sin α又由②，得3sin α·cos α＝sin2β ③ ①2＋③2，得9sin 4α＋9sin 2αcos 2α＝1 ∴sin α＝13 ，即sin(α＋2β)＝1又0＜α＋2β＜3π2 ，∴α＋2β＝π2①②评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－π2，π2)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.2.在△ABC中，sin A是cos(B＋C)与cos(B－C)的等差中项，试求(1)tan B＋tan C的值.(2)证明tan B＝(1＋tan C)·cot(45°＋C)(1)解：△ABC中，sin A＝sin(B＋C)∴2sin(B＋C)＝cos(B＋C)＋cos(B－C)∴2sin B cos C＋2cos B sin C＝2cos B cos C∵cos B cos C≠0 ∴tan B＋tan C＝1(2)证明：又由上：tanβ＝1－tan C＝(1＋tan C)·1－tan C1＋tan C＝(1＋tan C)·tan(45°－C)＝(1＋tan C)·cot(45°＋C)Ⅳ.课时小结通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.Ⅴ.课后作业课本P111习题 7、8、10.二倍角的正弦、余弦、正切1．已知sinα＝13，2π＜α＜3π，那么sinα2＋cosα2等于（）A.63B.－63C.233D.－2332．sin10°sin30°sin50°sin70°的值是（）A. 116B. 18C. 14D.316 3．已知f (sin x )＝cos2x ，则f (x )等于（ ）A.2x 2－1B.1－2x2C.2xD.－2x 4．设sin α∶sinα2＝8∶5，则cos α等于（ ）A. 45B. 725C. 1213D.15．（sin π12 ＋cos π12 )(sin π12 －cos π12 )＝ .6．化简cos(π4 －α)·cos（π4 ＋α)＝ .7．sin2π12 －12＝ . 8．3tan67.501＋tan 267.50 ＝ . 9．已知cos2α＝725 ，α∈(0， π2 )，sin β＝－513 ，β∈(π， 3π2 )，求cos(α＋β).10．已知sin α＋sin β＝12 ，cos α＋cos β＝13 ，求cos α－β2 的值.11．已知sin(α＋3π4 )＝513 ，cos(π4 －β)＝35 ，且－π4 ＜α＜π4 ，π4 ＜β＜3π4 ，求cos(α－β).二倍角的正弦、余弦、正切答案1．D 2．A 3．B 4．B 5．－32 6．12 cos2α 7．－34 8．3249．已知cos2α＝725 ，α∈(0， π2 )，sin β＝－513 ，β∈(π， 3π2)，求cos(α＋β).解：由α∈(0， π2 )得sin α＝1－cos2α2 ＝35 ，cos α＝45∵β∈(π， 3π2)，∴cos β＝－1－sin 2β ＝－1213代入cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45 ×(－1213 )－35 ×(－513 )＝－336510．已知sin α＋sin β＝12 ，cos α＋cos β＝13 ，求cos α－β2的值.两式平方相加，得1＋1＋2（cos α·cos β＋sin αsin β)＝14 ＋19 ＝1326∴cos(α－β)＝－5972 ，cos 2α－β2 ＝1＋cos(α－β)2 ＝1－5972 2 ＝13144∴cos α－β2 ＝±131211．已知sin(α＋3π4 )＝513 ，cos(π4 －β)＝35 ，且－π4 ＜α＜π4 ，π4 ＜β＜3π4 ，求cos(α－β).∵－π4 ＜α＜π4 ，∴2＜α＋3π4 ＜π∴cos(α＋3π4)＝－1－sin 2(α＋3π4 ) ＝－1213∵π4 ＜β＜3π4 ，∴－π2 ＜π4 －β＜0 ∴sin(π4－β)＝－1－cos 2(π4 －β) ＝－45∴cos(α－β)＝－cos ［(α＋3π4 )＋(π4－β)］＝sin(α＋3π4 )sin(π4 －β)－cos(α＋3π4 )·cos(π4 －β)＝513 ×(－45 )－(－1213 )×35 ＝1665 .。
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莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
编者：刘毅
【学习目标、细解考纲】
1、 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2、 能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式变形。
【知识梳理、双基再现】
1、 在两角和的三角函数三角函数公式TCS,,中，当时就可以得到二倍角
的三角函数公式，
____;__________2sin
______________________________________________2cos
；
____;__________2tan
2、 余弦二倍角公式有三种形式，可得变形公式
.______________cos____;__________sin22
（即降幂公式）
【小试身手、轻松过关】
1．sin2230’cos2230’=__________________;
2．18cos22_________________;
3．8cos8sin22____________________;
4．12cos24cos48cos48sin8__________________.
5．)125cos125)(sin125cos125(sin__________________;
6．2sin2cos44____________________;
7．tan11tan11___________________;
8．2coscos212______________________.
【基础训练、锋芒初显】
9、 已知180°＜2α＜270°，化简2sin2cos2=（ ）
A、-3cosα B、3cosα C、-3cosα D、3sinα-3cosα
10、已知)3,25(，化简sin1+sin1= （ ）
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
A、-2cos2 B、2cos2 C、-2sin2 D、2sin2
11、已知sin2=53，cos2=－54，则角是 （ ）
A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角
12、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。
13、已知),2(,135sin，求sin2，cos2，tan2的值。
14、已知),,2(,61)4sin()4sin(求4sin的值。
15、已知21)2tan(，31)2tan(，求)tan(的值。
【举一反三、能力拓展】
16、（2002，天津）已知的值。求)42cos(,232,53)4cos(
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
17、（2002全国）已知12coscos2sin2sin2•，),0(，则
tan,sin
的值是多少？
【名师小结、感悟反思】
1、角的变换体现出将未来转换为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用
的数学方法。