多自由度系统的振动__2

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结构力学(二) ( 复习资料汇总 )

第1次作业（结构力学二）一、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分）1. 位移法的基本结构是( )A. 静定刚架；B. 单跨静定梁的组合体；C. 单跨超静定梁的组合体D. 铰结体系2. ：以下关于影响线的说法不正确的一项为( )A. 影响线指的是单位力在结构上移动时所引起的结构的某一内力(或反力)变化规律的图形B. 利用影响线可以求结构在固定荷载作用下某个截面的内力C. 利用影响线可以求结构某个截面内力的最不利荷载位置D. 影响线的横坐标是截面位置，纵坐标为此截面位置处的截面内力值3.A. B. C. D. 仅由平衡条件不能确定4. 不计杆的分布质量，图示体系的动力自由度为( )A. 1；B. 2；C. 3；D. 45. 用力法计算超静定结构时，其基本未知量为A. 杆端弯矩；B. 结构角位移；C. 结点线位移；D. 多余未知力6. 单元坐标转换矩阵是（） A. 奇异矩阵 B. 对称三对角矩阵 C. 对称非奇异矩阵 D. 正交矩阵7. 位移法的基本未知量包括（）A. 独立的角位移B. 独立的线位移C. 独立未知的结点角位移和线位移D. 结点位移8. 图乘法计算位移的公式中( )A. A和yC 可取自任何图形B. A和yC必须取自直线图形C. 仅要求A必须取自直线图形D. 仅要求yC必须取自直线图形9. 已知材料屈服极限 =300MPa,结构截面形状如图所示，则极限弯矩Mu=（）A. 20kN•mB. 25kN•mC. 30kN•mD. 35kN•m.10. 整体坐标系下单元刚度矩阵与下面的哪一个因素无关A. 局部坐标与整体坐标的选取B. 结构的约束信息C. 单元的几何参数D. 杆端位移与杆端力之间的变换关系11. 欲减小图示结构的自振频率，可采取的措施有（）A. 减小质量mB. 增大刚度EIC. 将B支座改为固定端D. 去掉B支座12. 图（b）为图（a）所示结构MK影响线，利用该影响线求得图（a）所示固定荷载作用下的MK值为（）A. 4kN•mB. 2kN•mC. -2kN•mD. -4kN•m13. 图示为三自由度体系的振型，其相应的频率是ωa 、ωb、ωc，它们之间的大小关系应是( )A. B. C. D.14. 图（a）所示一组移动荷载作用在图（b）所示的梁上，则C截面弯矩的最不利位置为（）A. P1作用在C点上 B. P2作用在C点上 C. P3作用在C点上 D. P3作用在B点上15. 平面杆件自由单元(一般单元)的单元刚(劲)度矩阵是( )A. 非对称、奇异矩阵B. 对称、奇异矩阵C. 对称、非奇异矩阵D. 非对称、非奇异矩阵16. 对称结构在反对称荷载作用下，内力图中为正对称的是( )A. 弯矩图B. 剪力图C. 轴力图D. 弯矩图、剪力图和轴力图17. 由于温度改变，静定结构（） A. 会产生内力，也会产生位移； B. 不产生内力，会产生位移； C. 会产生内力，不产生位移； D. 不产生内力，也不产生位移。

第六讲--多自由度系统振动-2

解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主振
型矩阵
第一振型
1

振动力学［PDF］

第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。

振动理论07(1-2)-二自由度系统

振动理论(7-1)第七章二自由度系统陈永强北京大学力学系二自由度自由振动●单自由度系统⏹解释共振,计算固有频率,测振仪器原理,振动隔离●为了解释更复杂的现象，必须建立更复杂的理论⏹实际工程需要更多的自由度来描述⏹多自由度系统●二自由度系统⏹最简单的多自由度系统⏹本质上是相同的模型简化建立运动微分方程求解系统的响应特性2●典型的二自由度系统⏹耦合的弹簧-质量体系⏹两个单自由度系统通过弹簧耦合起来⏹对应的扭振/电磁激荡二自由度系统二自由度自由振动3m 1m 2●自由振动●整理之后二自由度自由振动4二自由度自由振动●假定质量和作谐振动⏹具有相同的频率⏹不同的振幅和●代入振动微分方程：5方程有非零解的条件为和的系数行列式为零●上式展开后是的二次方程，即为频率方程，或称特征方程●有两个根，称为特征值，确定了系统的两个固有频率6现在从另一个角度考虑这一问题方程组在任何瞬时都成立的条件：求出和使上面方程成立7得到频率方程：令，，，有解得这就是系统的两个固有频率：第一阶固有频率(基频)和第二阶固有频率8自由振动的振幅比利用第二个方程其中, 9B 频率方程改写成圆方程的形式：二自由度自由振动O D A EC2a OA ω=2b OB ω=2abBC ω=作图法：Mohr’s circle10考虑如下对称简化情形：,二自由度自由振动k x 1kmm x 2k 311系统的固有频率二自由度自由振动k 1x 1k 2m 1m 2x 2k 3起始扰动：1,起始扰动：,起始扰动：x 1=+1,x 2=0节点12二自由度自由振动起始扰动：x1=+1,x2=0看成是两部分的和：1. ＋2.－11221211cos cos2211cos cos22x t tx t tωωωω=+=-假定振动是以下两个运动的迭加：满足微分方程和初始条件，因而是正确的解13●持续振动是第一种振动方式（振幅和频率）,迭加在第二种方式的振动上（振幅,频率)●只要不为零，和必不相等，因此合成运动肯定不是正弦运动●如果相对很小，和很接近，合成运动会有拍的现象发生，两个频率之间的差别会把两个振动的相位改变。

第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解

k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制（此系统有一、两千个自由度（3D实体单元））
Z Y
X
第二章：多自由度系统的运动微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系

动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法

3 4
则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法三种情形)。时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统

建筑工程之结构力学讲义两个自由度体系的自由振动(参考2)

1）假设位移形状函数为抛物线
Y (x) x(l x)
2

2EIl ml5 / 60
满足边界条件且与第一振型相近
2

120EI ml4
x y
EI m
l
10.95 EI
l2 m
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
Y (x) q x(l 3 2lx 2 x3 ) 24EI
整理得： (12 22 )(m1Y11Y12 m2Y21Y22 ) 0
因 1 2 ，则存在：
m1Y11Y12 m2Y21Y22 0 (15.51)
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。3
由功的互等定理：
(m112Y11)Y12 (m212Y21)Y22 (m122Y12 )Y11 (m222Y22 )Y21
D

11m1

1
2
21m1
12m2
22m2

1
2
0
令

1
2
2 (11m1 22m2 ) (11 22m1m2 12 21m1m2 ) 0
1 2

1 2
(11m1
22m2 )
1
1
1
(11m1 22m2 )2 4(11 22 12 21)m1m2

2

0l qY( 0l mY 2
x)dx (x)dx
q m
x
2l 5 120EI
q 24EI
2
31 630
l
9

9.87 l2
EI m

多自由度体系

最后求第三主振型。将将3和3代入式（a),得
-6.054
K
32M
=
k 15
5
0
5 -5.027
3
0
3
-10.027
代入式（4-3-4），后两个方程为
-5Y13 5.027Y23 +3Y33 0 3Y23 +10.027Y33 0
令Y33 1，故式（f）的解为
Y (3) = Y13，Y23，Y33 T 2.760, 3.342,1T
M
M
kn1
kn2
L
k1n
k2n
0
M
knn -2mn
（4-3-3b）
n个根12，22， n2
Y (i)表示与频率i相应的主振型：
Y (i)T =（Y1i Y2i Yni )
将i和Y (i)代入式（4-3-2）得
（K i2M）Y (i) 0
（4-3-4）
令，i 1, 2,, n，可得n个向量方程，由此可求的n个主振型向量 Y (1)，Y (2)，，Y (n)
（1）验算正交关系式（4-3-8）
2 0 0 0.924
Y (1)T MY (2) =(0.163, 0.569,1) 0 1 0 1.227 m
0 0 1 1
m0.163 2 (0.924) 0.5691 (1.227) 111
0.0006m 0
同理，
Y (1)T MY (3) 0.002m 0，Y (2)T MY (3) 0.002m 0
3
0
3
1.707
代入式（4-3-4）中并展开，保留后两个方程，得
-5Y11 6.707Y21 3Y31 3Y21 1.707Y31 0

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多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
-
1
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
————
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
是
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
——————————————————————— 代数余子式矩阵转置 ——————
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
振型叠加法
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
( 0) ( 0)
—————
0
—————
——
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
2 上式是关于的 n 次多项式，由它可求出 n 个固有频率 —— 2 n个值（或称特征值）。固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等 i 1,2 n 物理参数。
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
系统的质量矩阵 M 是正定的，刚度矩阵 K 是正定的或半正定的。刚度矩阵K为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
代入方程，得：
f (t ) a sin(t ) f (t ) at b
( 0) ( 0)
对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
f (t ) a sin(t ) f (t ) at b 0
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
或第一阶固有频率
一般地，振动系统的 n 个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
或固有振型
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
－－－
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
固有（主）振型的正交性
n 自由度的振动系统，具有 n 个固有频率和与之对应的 n 阶主振型，且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。
多自由度系统的振动
教学内容
多自由度系统的运动微分方程
无阻尼系统的自由振动
——确定系统的固有频率与固有振型
方程组的解耦振型叠加法
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
教学内容
系统的固有频率系统的固有振型固有振型的正交性方程组的解耦振型叠加法
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
— —
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多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
B 0 BadjB 0
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
———————
——————
注：将以上二式相比较可知，
振型矢量与特征矩阵的伴随矩阵 adjB(i )中
(i )
的任何非零列成比例，所以伴随矩阵 adjB(i )
的每一列就是主振型矢量 (i )或者差一常数因子。
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
Байду номын сангаас
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
——— — ——— —
——— — ——— —
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动
主振型的正交性：系统两个不同的振型关于质量矩阵是正交的；同时，系统两个不同的振型关于刚度矩阵也是正交的
第i 阶主质量
—
第i 阶主刚度
—
多自由度系统的振动 / 无阻尼系统的自由振动