天津市十二区县重点学校2015年高三毕业班联考(一)数学文

2015年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

参考公式：∙锥体的体积公式Sh V31=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的） 1．i 为虚数单位,复数21ii+-= （ ) A. 2-i B. i -2 C.1322i + D. 1322i - 2．已知实数y x ,满足约束条件101020x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则y x z +=2的最小值是 （ )A ．4-B ．2-C ．0D ．2 3．阅读右面的程序的框图，则输出S ＝（ ）A ．30B ．50C ．60D ．704．设240.41log 3,b log 3,c ()2a ===则cb a ,,的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>5．下列四个命题①已知命题P ：2,0x R x x ∀∈+<，则P ⌝：2,0x R x x ∃∈+<；②xx y ⎪⎭⎫⎝⎛-=212的零点所在的区间是)2,1(；③若实数y x ,满足1=xy ，则222y x +的最小值为22；④设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则βαβα//,,⊥⊂b a 是b a ⊥的充分条件； 其中真命题的个数为( )A ．0 B.1 C.2 D.3 6. 将sin()3y x π=+的图像上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图像上所有点向左平移6π个单位，则所得函数图像的一条对称轴为（ ) A ．12x π=- B. 6x π=- C. 6x π= D. 2x π=7．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点)415,5(--，则双曲线的离心率为( ) A ．35 B.45 C. 34 D. 258．定义域为R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+2-，当(]2,0∈x 时，()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-=2,1,11,0,)(2x xx x x x f ，若(]4,0∈x 时，t x f tt -≤≤-3)(272恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A.[]2,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 D.[)+∞,2第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 已知集合{}2|≤=x x M ，{}1,0,1,2,3---=N ，则M N ⋂= ．10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 ．(第10题图) (第13题图)11. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若4a 是82,a a 的等比中项，则数列{}n a 的前5项和为=5S ．12. 已知直线3+=kx y 与圆054622=+--+y x y x 相交于,M N 两点，若32=MN ，则k 的值是 ．13. 如图ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O于点D ，若PA PE =，045=∠ABC ，且2=PD ，6=BD ，则=AC ． 14. 已知平行四边形ABCD 中，045=∠A ，2=AD ,2=AB ，F 为BC 边上一点，且2BF FC =，若AF 与BD 交于点E ，则=⋅ ．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某学校的三个学生社团人数分布如下表（每名学生只能参加一个社团）：俯视图P学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果相声社被抽出了6人. （Ⅰ）求相声社女生有多少人；（Ⅱ）已知三个社团各有社长两名，且均为一名男生一名女生，现从6名社长中随机选出2名（每人被选到的可能性相同）.①用恰当字母列举出所有可能的结果；②设M 为事件“选出的2人来自不同社团且恰有1名男社长和1名女社长”，求事件M 发生的概率.16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，55sin =A ，55cos -=C ，5=a ． （Ⅰ）求c b ,的值； （Ⅱ）求)32cos(π+A 的值．17.(本小题满分13分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，⊥A A 1平面ABC ，AC BC =，421==A A AB ．以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接D A 1和1DC ． （Ⅰ）求证：1A D ∥平面11BCC B ；AB1A1B1C（Ⅱ）若二面角A DC A --1为45o，①证明：平面11AC D ⊥平面AD A1； ②求直线A A 1与平面D C A 11所成角的正切值．18.（本小题满分13分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有834=-n n S a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令1221log log )1(4)1(+-+-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于N M 、两点，直线M A 1的斜率为21． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若MN A 1∆的外接圆在M 处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．20．（本小题满分14分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++(0x >，其中a 为实数). （Ⅰ）当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时,若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为2-,求a 的取值范围； （III ）若2()()(2)g x f x ax a x =-++时，令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足： 21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式 12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2015年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（一）数学试卷（文科） 评分标准9．{}1,0,1,2--； 10．π32； 11．30； 12．212或- ； 13．25； 14．1562三、解答题：本大题共6小题，共80分．15.解：（Ⅰ）由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，相声社被抽出了6人∴mm +++=+28402018286 ------------3分 ∴2=m ------------4分（Ⅱ）设3个社团的男社长依次为c b a ,,，3个社团的女社长依次为C B A ,,-----------5分从6名社长中随机选出2名所有可能结果为：{}A a ,，{}B a ,，{}C a ,，{}A b ,，{}B b ,，{}C b ,，{}A c ,，{}B c ,，{}C c ,{}B A ,，{}C A ,，{}C B ,，{}b a ,，{}c a ,，{}c b ,共15种 ------------9分M 所含基本事件为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a B a C b A b C c A c B 共6种， ----------11分62()155P M == ------------13分 16．（Ⅰ）解：在ABC ∆ 中，55cos -=C ，552cos 1sin 2=-=C C------------2分根据A a C c sin sin =，得522sin sin ===a AaC c ------------4分 根据C ab b a c cos 2222-+=，以及5=a ，52=c 可得01522=-+b b ，解得5,3-==b b （舍） ------------6分（Ⅱ）由于055cos <-=C ，知A 为锐角。

------------7分 所以552sin 1cos 2=-=A A ------------8分 从而,54cos sin 22sin ==A A A ------------9分 53sin 212cos 2=-=A A ------------10分 3sin2sin 3cos2cos )32cos(πππA A A -=+------------11分10343-=------------13分17、（Ⅰ）证明：连结1BC ，Q 三棱柱111ABC A B C -中11//A B AB ∴且11A B AB =，由平行四边形ABCD 得//CD AB 且CD AB =，∴11//A B CD 且11A B CD =∴四边形11A B CD 为平行四边形， 11//A D B C ------------1分Q 1B C ⊂平11BCC B 面，A D ⊄B BCC 平面 ------------ 2分∴1//A D 平面11BCC B ------------3分（Ⅱ）①取CD 的中点O ，连接1,AO AO ，在平行四边形ABCD 中AD BC =，又AC BC =， 所以AC AD =O 是CD 中点，所以CD AO ⊥⑴Q 1AA ⊥平面ABC ，⊂AD AC ,平面ABC11,AA AD AA AC ∴⊥⊥，又AC AD =所以11A D AC ∴=，O 是CD 中点，所以CD O A ⊥1⑵ 由⑴，⑵可知OA A 1∠是二面角1A DC A --的平面角，即145AOA ︒∠=, ------------5分 所以在AO A Rt 1∆中21==A A AO ，平行四边形ABCD 中4==CD AB所以在等腰三角形ADC 中DC AO 21=，所以AC DA ⊥ ------------6分 Q 1AA ⊥平面ABC ，⊂AC 平面ABC又AC A A ⊥1, A DA A A =⋂1 ------------7分 所以⊥AC 平面AD A 1 三棱柱三棱柱111ABC A B C -中11//C AAC AC ∴⊥AD A 平面 ------------8分 11AC ⊂Q 平面11AC D ， ∴平面11AC D ⊥平面1AA D ------------9分②过A 作1AM A D ⊥于M ， ------------10分A BCD 1A1B1COM平面11AC D ⊥平面1AA D , 又平面⋂D C A11平面11A AD A D =， AM ∴⊥平面11AC D ， ------------11 分∴1A M 是1AA 在平面11AC D 上的射影，1AA M ∠是1AA 与平面11AC D 所成角，-----12分在AD A Rt 1∆中，12,AA AD ==∴11tan ADAAM AA ∠===分 18、解：（Ⅰ）由834=-n n S a ，得83411=-a a ，解得81=a ． ------------1分 由834=-n n S a ……①，当2n ≥时， ------------2分 有83411=---n n S a ……②， ------------3分 ①－②得：14-=n n a a ， ------------4分∴数列{}n a 是（首项81=a ，公比4=q 的）等比数列 ------------5分12111248+--=⨯==n n n n q a a ， ------------6分 （Ⅱ）由（1）12log 2+=n a n 知． ------------7分)32)(12()1(4)1(log log )1(4)1(11221+++-=+-=-+-n n n a a n b n n n n n ）（ ------------8分所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-321121)1(1n n b n n ------------9分当n 为偶数时，)321121()121121()7151()5131(+++-++-+++-+=n n n n T n ------------10分11323n =-+------------11分 当n 为奇数时，)321121()121121()7151()5131(++++++--++-+=n n n n T n 11323n =++ ------------12分所以1132311,323n n n T n n ，为奇数为偶数⎧+⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩------------13分19、（Ⅰ）解：(1)由题意),(2ab c M -------------1分因为)0,(1a A -，所以212=+c a a b -------------2分将222c a b -=代入上式并整理得211=-=-e a c a （或c a 2=）----------3分 所以21=e ------------4分（Ⅱ）由（1）得c a 2=，c b 3= （或1342222=+cy c x ） ------------5分所以)0,2(1c A - )23,(cc M ，外接圆圆心设为)0,(0x P由PM PA =1，得22020)23()()2(c c x c x +-=+ ------------6分 解得：80cx -= ------------7分所以34823=+=c c ck PM ------------8分所以MN A 1∆外接圆在M 处切线斜率为43-,设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC 方程为)(4323c x c y --=-，即4943cx y +-= ------------9分 与椭圆方程2221243c y x =+联立得22718110x cx c -+= ------------10分解得1211,7cx c x == ------------11分由弦长公式2121x x k MC -+=115|77c c -= ------------12分解得1=c ------------13分所以椭圆方程为13422=+y x ------------14分 20．解：（Ⅰ）当1=a 时，2'1()3ln ,()23f x x x x f x x x=-+=-+. ------------1分 因为2)1(,0)1('-==f f . ------------2分 所以切线方程是.2-=y ------------3分（Ⅱ）212(2)1(21)(1)'()2(2)(0)ax a x x ax f x ax a x x x x-+---=-++==> ---------4分 因为0>a ，故令0)('=x f ，得21=x 或ax 1=. ------------5分·11· （1）当110≤<a，即1≥a 时，)(x f 在［1，e]上单调递增， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1(-=f ，适合题意； ------------6分（2）当e a <<11时，在1[1,]a 上()0f x '<，)(x f 单调递减，在1[,]e a上()0f x '>，)(x f 单调递增，所以)(x f 的最小值是2)1()1(-=<f af ，不合题意； ------------8分 （3）当e a≥1时，)(x f 在（1，e ）上单调递减， ------------9分 所以，)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意综上可知，a 的取值范围是[1,)+∞. ------------10分 （Ⅲ）1()()()ln ,F x g x g x x x '=+=+22111'()0x F x x x x -=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ------------11分 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ------------12分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ------------13分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈------------14分。