完整版相遇问题整理

应用题—行程问题（相遇、流水行船）知识点：1. 相遇问题是行程问题中的一种情况。

这类应用题的特点是：两个运动的物体，同时从两地相对而行，越行越近，到一定的时候二者可以相遇。

2. 相遇问题的数量关系：速度和X相遇时间二两地路程两地路程+速度和二相遇时间两地路程+相遇时间二速度和3. 解题时，除掌握数量关系外，还要根据题意想象实际情景，画线段图来帮助理解和分析题意，突破题目的难点。

4. 流水行船问题船速：船在静水中的速度；水速：水流速度；顺水速度：船顺水航行的实际速度；逆水速度：船逆水航行的实际速度；行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。

顺水路程二顺水速度X时间逆水路程=逆水速度X时间行船问题中的两个基本关系式：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速- 水速由以上两个基本关系式还可以得到以下两个关系式：船速二（顺水速度+逆水速度）宁2水速二（顺水速度-逆水速度）宁2一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶 120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？解：设原速度是1.原吋间=甲乙讐,加速后时间=甲七距离 乜乳就得岀，加速2。

］°1 _ 5后，所用时间缩短到原时间的 ^20%=?这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比现在只少了 40分钟，72-40 = 32 （分钟）•说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样 .因此全程长120 X 〔1 + ” = 270〔千氷〕.答：甲、乙两地相距 270千米.用原速行驶需要 1 + C 1 - —） — 6（小时）同样道理，车速提高25%，所用时间缩短到原来的 1 -41+25% 换-句话兌縮短了割衽要充細用这伦如果一开始就加速25%,可少时间360X 1 = 72 （分钟〉的:一因此这段路所用吋间是32-|=160 （分钟）真巧, 320-160 = 160练习：1. 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%，可以提前1小时到达。

如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？解：设原速度是1.后来速度为1+20%=1.2这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.时间比值：6: 5这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时。

原来时间就是=1X 6=6小时。

同样道理，车速提高30%，速度比值：1： (1+30% =1： 1.3 时间比值：1.3 : 1这样也节省了0.3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为1.3 - 0.3=13/3所以前后的时间比值为(6-13/3 )：13/3=5 : 13。

所以总共行驶了全程的5/ (5+13) =5/182. 兄妹两人同时离家去上学。

哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校多远？答案：180X 2+( 90-60) =12 (分钟)12X60+180=900 （米）答：他们家离学校900 米。

例2甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.答案：第二次相遇两人总共走了 3 个全程，所以甲一个全程里走了 4 千米，三个全程里应该走4*3=12 千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3 千米，所以全程是12-3=9 千米，所以两次相遇点相距9- （3+4）=2千米。

练习：1. 甲乙两地的公路长195 千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时30千米，途中乙车出现故障，修车用了 1 小时，两车从出发到相遇经过了几小时？答案3（小时）乙车出故障修车 1 小时看成是甲车先走 1 小时解：甲车1小时行的路程=45X仁45千米路程和=195-45=150千米速度和=45+30=75（千米每小时）相遇时间=150 - 75=2 （小时）2+1=3（小时）答：两车从出发到相遇经过了 3 小时。

2.从A城到B城，甲汽车用6小时，从B城到A城，乙汽车用4 小时。

现在甲、乙两车分别从A、B 两城同时出发相对而行，相遇时甲汽车行驶了96千米，A、B两城相距多远？答案：240 千米速度比：4：6=2：3. 路程比：2：3. 96 2（2 3）240千米例3甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60 米，乙每分钟走67.5 米，丙每分钟走75 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？答案：解：那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）X 2=270 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=270+（67.5-60 ）=36分钟，所以路程=36X （60+75）=4860米。

练习： 1. 甲每分钟走50 米，乙每分钟走60 米，丙每分钟走70 米，甲乙两人从A地，丙一人从B地同事相向出发，丙遇到乙后两分钟又遇到甲，AB两地相距多少米？答案：fiMICM 问■卞碎一【科|*+* m 齐平itUMH 】丙遇到乙后2分钟再遇到甲,2分钟甲、丙两人的相遇路程 二甲乙两人的追及路程=(50+70) X 2=240(米),甲乙的追及时间二甲丙的相遇时间=240+(60-50 ) =24(分)两地距离二甲丙相遇路程=(60+70) X 24=3120(米)2 .甲乙丙三人的行走速度分别为每分钟 80米,60米,50米.甲, 乙两人从A 地，丙一人从B 地相向出发，如果在两地同时而行，乙丙比 甲丙迟2分钟相遇.AB 两地的距离是多少米？答案：设AB 两地的距离是x 米x/(60+50)-x/(80+50)=2x/110-x/130=2130x-110x=2860020x=28600 x=1430AB 两地的距离是1430米 甲 *3平尸丙U zlr . r r —* P - (1)屮驷毎用程 eli 那凸M £从 二各阿 即秸遁IfflnJ 全i 5E 他屋為 W申 ■ iTZ*fKgi&Cl 昭 p ■昨rgyg例4如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行。

它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的D点，问，这个圆周的长是多少？解：如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A点出发的应爬行8X 3=24（厘米），比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8X 3—6=18（厘米），一个圆周长就是：（8 X 3—6）X 2=36（厘米）答：这个圆周的长是36厘米。

练习：1 .某体育场的环形跑道长400m,甲、乙二人在跑道上练习跑步，已知甲的速度为250m/min,乙的速度为290m/min,在两人同时从同一地点同向出发，经过多长时间两人才能再次相遇？答案：乙的速度比甲快，所以再次相遇的时候情况是乙正好比甲多跑一圈,也就是400m,设Xmin后两人再次相遇，列式：乙跑的路程-甲跑的路程=400米290X-250X=400X=10mi n答：10分钟后两人再次相遇.2 .甲乙两人骑自行车从一环形公路的同一地点同时出发，背向行驶，甲行一圈要6 0分钟，在出发4 5分钟后两人相遇，甲立即调转车头，与乙再次相遇需要多少分？解；乙的速助转■糸击，相遇时胃=1+需需八2=1 ■■- ----- - ■ISO=90 （甘钟）!甲乙再次相遏第姜汕分钟.故昔秦荚：郭+例5甲乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，甲每分钟行120 米，乙每分钟行80米。

如果有一只狗与甲车同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止，这时狗共跑了多少米？【答案】2500米。

【解析】狗行驶的时间就是甲乙两人的相遇时间，抓住相遇时间二路程和—速度和。

解：路程和=1000米速度和=120+80=200 （米每分）相遇时间=1000宁200=5 （分钟）这5分钟狗一直在跑所以狗行驶的路程=500X 5=2500米答：狗共跑了2500米练1.甲乙两辆汽车冋时从东站开往西站。

甲车每小时比乙车多行12千米。

甲车行驶4.5小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？答案31.5 X 2- 12=5.25 （小时）5.25-4.5=0.75 （小时）31.5 - 0.75=42 （千米）答：甲车每小时行42千米。

从图上可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了两个31.5千米，即63千米，由题意可知，甲车每小时比乙车多行12千米，就可求出两车的相遇时间，即63- 12 = 5.25（小时），已知甲车行驶 4.5小时到达西站，可求出甲车从西站返回到与乙车相遇共用了 5.25-4.5=0.75（小时），共行了31.5千米，进而运用公式“路程+ 时间二速度”求出甲车每小时行31.5 - 0.75=42 （千米）。

2 .甲乙两人相向而行，甲以每小时8千米的速度由A地出发到B 地走了15千米后,乙以每小时10千米的速度由B地出发,结果在两地中点相遇,A、B两地相距多少千米？答案：甲每小时8千米，乙每小时10千米，说明乙比甲每小时多行2千米，甲乙两人在两地中点相遇，说明甲乙两人所行路程相同，甲先出发，走了15千米，乙比甲每小时多行2千米，所以乙要用时间15/2=7.5小时才能将所行路程补上，从而A B两地相距：10*7.5*2=150千米.例6一只轮船的速度是每小时3600米，船在水的流速为30米/分钟的河里航行，从下游的一个港口到上游的某地，再返回到原港口，共用了3小时20分，则这条船从下游港口到上游某地共航行了多少米？【答案】3600米/小时=60米/分钟一一静水速度；60+30=90 （米/ 分钟）一一顺水速度；60-30=30 （米/分钟）一一逆水速度；顺水速度：逆水速度=90 : 30=3 : 1 说明顺水航行的时间与逆水航行的时间比为： 1 : 3 往返总共用时3小时20分=200分钟200 丄50那么顺水航行所用的时间为 1 3 （分钟）全程：（60+30）X 50=4500 （米）答：这条船从下游港口到上游某地共航行4500米。