数学：19.3一元二次方程的根的判别式课件(沪科版八年级下)
合集下载
《一元二次方程的根的判别式》课件2(16张PPT)(沪科版八年级下)
一元二次方程
九年义务教育三年制初级中学教科书
代数
DAISHU
的根的判别式
第三册
人民教育出版社中学数学室 编著
目的要求
• 使学生知道什么是一元二次方程的根的判 别式。
• 使学生会用判别式判定根的情况。
（1）写出一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
（2）用配方法将一元二次方程变形为
a 2a
a 2a
即
(x
Hale Waihona Puke b )2 2ab2 4ac 4a2
新课教学
现在我们来研究方程
ax2 bx c 0(a 0)
变形得到的
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
首先应说明，对上述方程的左边，是个平方 数，开平方后成两个数和，移项即得 x 。因此可 以不用考虑。我们主要研究方程的右边。
x1
2a
,
x2 b
b2 4ac 2a
这就是说，方程有两个不相等的实数根。
（2）当 b2 4ac 0 时，方程根的情况如何呢？
当 b2 4ac 0 时，方程右边是0，因此，方程有
x1
x2
b 2a
这就是说，方程有两个相等的实数根。
（3）当 b2 4ac 0 时，方程根的情况如何呢？
原方程变形为 16y 2 24 y 9 0
(24)2 416 9 576 576 0
原方程有两个相等的实数根.
事实上, 方程的两个根是 :
24 3
x1 x2
32
4
(3) 5(x 2 1) 7x 0
九年义务教育三年制初级中学教科书
代数
DAISHU
的根的判别式
第三册
人民教育出版社中学数学室 编著
目的要求
• 使学生知道什么是一元二次方程的根的判 别式。
• 使学生会用判别式判定根的情况。
（1）写出一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
（2）用配方法将一元二次方程变形为
a 2a
a 2a
即
(x
Hale Waihona Puke b )2 2ab2 4ac 4a2
新课教学
现在我们来研究方程
ax2 bx c 0(a 0)
变形得到的
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
首先应说明，对上述方程的左边，是个平方 数，开平方后成两个数和，移项即得 x 。因此可 以不用考虑。我们主要研究方程的右边。
x1
2a
,
x2 b
b2 4ac 2a
这就是说，方程有两个不相等的实数根。
（2）当 b2 4ac 0 时，方程根的情况如何呢？
当 b2 4ac 0 时，方程右边是0，因此，方程有
x1
x2
b 2a
这就是说，方程有两个相等的实数根。
（3）当 b2 4ac 0 时，方程根的情况如何呢？
原方程变形为 16y 2 24 y 9 0
(24)2 416 9 576 576 0
原方程有两个相等的实数根.
事实上, 方程的两个根是 :
24 3
x1 x2
32
4
(3) 5(x 2 1) 7x 0
最新沪科版初中数学八年级下第17章《一元二次方程》单元复习课件(共37张ppt)
∴b2-4ac=1+4=5＞0 1 5 ∴x= 2 1
1 5 1 5 ∴x1= ，x2= 2 2
解：（1）（配方法） （2）(x-3)2+2x(x-3)=0
x 2+ x - 1 = 0
1 1 = 1+ 4 4 1 2 5 ∴ ( x+ ) = 4 2
x 2+ x +
∴(x-3)(x-3+2x)=0
综合(1)(2)可得，当m≥实数根.
5 时，原方程有 4
典例讲解3
我校团委准备举办学生绘画展览，为美化 画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四 周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好 与原画面积相等，求彩纸的宽度.
解析：已知矩形长、宽可求出矩形面积 和镶边面积，设彩纸的宽度为xcm，然 后用x分别表示新矩形的长、宽，根据彩 纸面积与原画面的面积相等，列出方程 求解即可.
(x-3)(3x-3)=0
∴x1=3，x2=1
1 5 1 5 ∴x1= ，x2= 2 2
1 5 ∴ x+ = 2 2
典例讲解2 若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0 有实数根，求m的取值范围. 解析：本题易认为所给方程是一元二次 方程，而用b2-4ac≥0且m2-1≠0来解.事 实上，题目中没有指明方程的次数，也 没有指明根的个数，因此应考虑方程为 二次方程和一次方程两种情况.
能力拓展
用换元法解方程：
x 1 x 3 x x 1 2
x1=1,x2=2 x 1 提示：设y= x 则原方程为2y2-3y-2=0
归纳小结
1.你能把本章的内容作一个书面整理吗？
2.利用方程（组）解决实际 问题的关键是什么？
沪科版数学八年级下册 一元二次方程的根的判别式课件
不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 5x2－3x = 2 (2) 25y2 + 4 = 20y (3) 2x2 +3 x +1=0
想一想 你能说出结论1的逆命题吗?
结论1：一般地，方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当Δ> 0时，有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，有两个相等的实数根； 当Δ<0时，没有实数根；
结论2： 当方程有两个不相等的实数根时，Δ> 0 ； 当方程有两个相等的实数根时，Δ= 0 ； 当方程没有实数根时，Δ< 0 .
试一试：
已知关于x的方程x2－3x + k
= 0，
ห้องสมุดไป่ตู้
问k取值时，这个方程有两个相等的
实解：数∵根方?程有两个相等的实数根，
∴Δ= 0
即 (－3)2－ 4k = 0, 解得k =9
相等， 则a的值为（ ）
A.a =0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2
或a =0
3. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 7t 2－ 5t +2 = 0Δ；< 0，方程无实数根
(2) x ( x +1) = 3 ； Δ> 0 ，方程有两不等实根 (3) 3 y 2 + 25 = 310 Δ= y0.，方程有两相等实根
小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
本节课的主要内容： 1、一元二次方程根的判别式的意义； 2、由根的判别式的符号判断一元二次方
程根的情况；（即结论1） 3、由一元二次方程根的情况判断根的判
别式的符号。（即结论2）
作业
课本第53页习题20.3 必做题：第1,3题； 选做题：第2,4,5题.
想一想 你能说出结论1的逆命题吗?
结论1：一般地，方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当Δ> 0时，有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，有两个相等的实数根； 当Δ<0时，没有实数根；
结论2： 当方程有两个不相等的实数根时，Δ> 0 ； 当方程有两个相等的实数根时，Δ= 0 ； 当方程没有实数根时，Δ< 0 .
试一试：
已知关于x的方程x2－3x + k
= 0，
ห้องสมุดไป่ตู้
问k取值时，这个方程有两个相等的
实解：数∵根方?程有两个相等的实数根，
∴Δ= 0
即 (－3)2－ 4k = 0, 解得k =9
相等， 则a的值为（ ）
A.a =0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2
或a =0
3. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 7t 2－ 5t +2 = 0Δ；< 0，方程无实数根
(2) x ( x +1) = 3 ； Δ> 0 ，方程有两不等实根 (3) 3 y 2 + 25 = 310 Δ= y0.，方程有两相等实根
小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
本节课的主要内容： 1、一元二次方程根的判别式的意义； 2、由根的判别式的符号判断一元二次方
程根的情况；（即结论1） 3、由一元二次方程根的情况判断根的判
别式的符号。（即结论2）
作业
课本第53页习题20.3 必做题：第1,3题； 选做题：第2,4,5题.
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程根的判别式》公开课课件1
(a≠0)的求根公式： x b b2 4ac 2a
因为a ≠0,所以 （1）当b2-4ac>0时， b2 4ac 是正实数，因此， 方程有两个不相等的实数根：
x1b2 ba 24ac,x2b2 ba 24ac
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
a2xb xc0(a0)中
若a与c异号 ,则方程 （ A ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
b2 4ac
D.根的情况无法确定 b24ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x23xk0， 问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
原方程有两个相等的实数根。
32x2 3x10
解： （ 3 ） 2 4 2 1 5 ＜ 0
原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 2 5 x 4 0 27t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
满足 b3a2c。试判断ABC的
形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a411(2bc) 0 4
a2bc 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 ac 又 b3a2cc abc
A B C 是 等 边 三 角 形 。
问题 设关于x的方程,x2 2 m 2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
解 : 4 m 2 4 2 m 4
4m28m16
因为a ≠0,所以 （1）当b2-4ac>0时， b2 4ac 是正实数，因此， 方程有两个不相等的实数根：
x1b2 ba 24ac,x2b2 ba 24ac
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
a2xb xc0(a0)中
若a与c异号 ,则方程 （ A ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
b2 4ac
D.根的情况无法确定 b24ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x23xk0， 问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
原方程有两个相等的实数根。
32x2 3x10
解： （ 3 ） 2 4 2 1 5 ＜ 0
原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 2 5 x 4 0 27t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
满足 b3a2c。试判断ABC的
形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a411(2bc) 0 4
a2bc 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 ac 又 b3a2cc abc
A B C 是 等 边 三 角 形 。
问题 设关于x的方程,x2 2 m 2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
解 : 4 m 2 4 2 m 4
4m28m16
沪科版数学八年级下册17.3《一元二次方程根的判别式》ppt课件1
的根的判别式，用符号“”来表示.
即一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 ，
当＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当=0时，方程有两个相等的实数根； 当＜ 0时，方程没有实数根。
反之，同样成立！
练一练
练习：按要求完成下列表格：
方程
2y2 2 4y
Δ的值
0 0
b2 2a
4ac
;
x2
b
b2 4ac ;
2a
当b2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
实数根： 当b2
x1
x2
b 2a
;
4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况 b2 4ac
反过来，对于方程ax2 bx c 0a 0 ，
如果方程有两个不相等的实数根，那么b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
我们把叫b2 做 4一ac元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
根的 情况
有两个相等 的实数根
2(x2 1) x 0 2x2 3x 1 0
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
让我们一起学习例题
例:不解方程，判别下列方程根的情况.
(1)5x2 3x 2 0 (2)25 y 2 4 20 y (3)2x2 3x 1 0
b 2a
2
第17章一元二次方程-根的判别式 课件 22--23学年沪科版八年级下册数学
例6 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若此方程的两根为不相等的整数，求整数m的值． 分析（2）利用因式分解法解方程可得出x1＝1，x2＝m2 ，根据整除的性质，结合m为整数即可求出m值． 解答（2）∵方程的两根为不相等的整数，∴ Δ＝(m﹣2)2＞0，∴m≠2，
当m≠0时，则方程mx2﹣4x＋1＝0为关于x的方程为一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x＋1＝0有实数根，
∴Δ＝(﹣4)2﹣4×m×1＝16﹣4m≥0， 解得：m≤4且m≠0．
综上所述，m的取值范围是m≤4．
易错点：忽略二次项系数可以为零的情况．
对于二次项系数含有参数的方程，要分两种情况考虑，第一种情况是二次项系数为零时，则此方程为一元一次方
A A′
bb
c′ c
⑥ 若a2＋b2＜c2，则△ABC为钝角三角形．
C
a
B
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=a，BC=b，AB=c′
作A′C=AC, 连接A′B
在△ A′ BC中， A′ C=a，BC=b，令A′ B=c
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2 ，即a2＋b2=c′2. 因为c＜ c′，所以a2＋b2=c′2＞ c2 此时△ A′ BC为锐角三角形，且满足：a2＋b2＞c2 所以可得结论：若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形.
根的判别式
知识梳理
一元二次方程根的判别式的定义
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
x2 b x c 0 aa
(x≥ 2b0a )2
b＞＜=2 40ac ＞4a02
根的判别式Δ
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程根的判别式》公开课课件1.ppt
(a≠0)的求根公式： x b b2 4ac 2a
因为a ≠0,所以
（1）当b2-4ac>0时， b2 4ac 是正实数，因此，
方程有两个不相等的实数根：
bb24a x1 2a
c,x2b2 ba 24a
c
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
b; 2a
解 : 4 m 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4m 121 20
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根。
Ø 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
a2bc 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 ac 又 b3a2cc abc
A B C 是 等 边 三 角 形 。
问题 设关于x的方程,x2 2 m 2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
因为a ≠0,所以
（1）当b2-4ac>0时， b2 4ac 是正实数，因此，
方程有两个不相等的实数根：
bb24a x1 2a
c,x2b2 ba 24a
c
（2）当b2-4ac=0时 ， b2 4ac 0 ，因此，方
程有两个相等的实数根：
x1
x2
b; 2a
解 : 4 m 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4m 121 20
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根。
Ø 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
a2bc 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 ac 又 b3a2cc abc
A B C 是 等 边 三 角 形 。
问题 设关于x的方程,x2 2 m 2 x m 40
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
上海科学技术出版社初中数学八年级下册 一元二次方程的根的判别式 精品
蒙山县新圩中学课堂教学设计
学科数学（沪科版）授课年级八年级学校蒙山县新圩中学教师姓名甘济银
章节名称
一元二次方程根的判别式
计划学时
2
学习内容分析
本节课是在充分掌握一元二次方程解题方法的基础上开展的，通过本节内容的学习，首先可以让学生掌握判别方程根的情况，其次能让学生了解反向应用根的情况，去推断方程系数的情况
学习者分析
1、要让学生重新明确应用判别式是在一般式的前提下的；
2、牢记判别式的三种情况；
3、对从根的情况反推方程系数范围的逆向思维训练；
教学目标
课程标准：理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况
知识与技能：通过知识的学习与掌握提高观察、分析、归纳的能力
四、过关测评（印制小卷）
布置四道小题，一道中等题，作为本节的过关测评，当堂完成，当堂批改、讲评。
五、课堂小结（课件体现）
对本节课的教学实施过程以及不足进行小结，然后布置相关的课后练习。
过程与方法：抓住从特殊到一般的归纳方法
情感、态度与价值观：体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想
教学重点及解决并完成课本上的习题，达到学会、会用的目标；充分利用多媒体进行内容拓展与迅速反馈。
教学难点及解决措施
把问题放下去，以小组探究的形式，教师引领学生一同探讨当知道根的情况时，对应方程的系数会有怎样的情形；
教学设计思路
一、情境导入
简要复习前文知识，引出本节内容
二、合作探究（课件体现）
（一）利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
设计一道例题，一道习题
（二）根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围
设计一道例题，一道习题
学科数学（沪科版）授课年级八年级学校蒙山县新圩中学教师姓名甘济银
章节名称
一元二次方程根的判别式
计划学时
2
学习内容分析
本节课是在充分掌握一元二次方程解题方法的基础上开展的，通过本节内容的学习，首先可以让学生掌握判别方程根的情况，其次能让学生了解反向应用根的情况，去推断方程系数的情况
学习者分析
1、要让学生重新明确应用判别式是在一般式的前提下的；
2、牢记判别式的三种情况；
3、对从根的情况反推方程系数范围的逆向思维训练；
教学目标
课程标准：理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况
知识与技能：通过知识的学习与掌握提高观察、分析、归纳的能力
四、过关测评（印制小卷）
布置四道小题，一道中等题，作为本节的过关测评，当堂完成，当堂批改、讲评。
五、课堂小结（课件体现）
对本节课的教学实施过程以及不足进行小结，然后布置相关的课后练习。
过程与方法：抓住从特殊到一般的归纳方法
情感、态度与价值观：体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想
教学重点及解决并完成课本上的习题，达到学会、会用的目标；充分利用多媒体进行内容拓展与迅速反馈。
教学难点及解决措施
把问题放下去，以小组探究的形式，教师引领学生一同探讨当知道根的情况时，对应方程的系数会有怎样的情形；
教学设计思路
一、情境导入
简要复习前文知识，引出本节内容
二、合作探究（课件体现）
（一）利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
设计一道例题，一道习题
（二）根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围
设计一道例题，一道习题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 a x (2b c ) 0 4
a b c
b 3a 2c
ABC
解 原方程有两个相等的实数根
1 a 4 1 (2b c) 0 4 a 2b c 0
b 3a 2c a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c
时，原方程有两个不相等的实数根
试一试
1.方程 x a ax 有等根时,实数 a 的个数是( c ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2
2. 关于 x 的一元二次方程
(m 1) x 2mx m 0
2
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
议一议
ABC
x
2
a b c
2
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
1 5 x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
2
1 5x
解：
2 25 y
3x 2 0 2 3） 4 5 2） 49 ＞0 （ （ 原方程有两个不相等的实数根。
b 4ac 2 b 4ac 0
2
D.根的情况无法确定
例2：已知关于 x 的方程
x 3 x k 0，
2
问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
2 解： 3） 4 1 k 9 4k （
2
2
4 20 y
2
解：原方程可变形为
25 y 20 y 4 0 2 20） 4 25 4 0 （
3 2 x
原方程有两Байду номын сангаас相等的实数根。
2
3x 1 0
解： 3 2 4 2 1 5＜0 （ ） 原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7 t 5 t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3
2
y
ax bx c 0(a 0)中
2
若a与c异号, 则方程
（ A）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根
又 b 3a 2c c a b c
ABC是等边三角形。
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
⑴
方程有两个不相等的实数根
当 k ＜
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9 4 9
4 ⑵ 方程有两个相等的实数根 9 9 4k 0 解得 k 4 9 当 k 4 时，原方程有两个相等的实数根 9 ⑶ 9 4k＜ 0 解得 k ＞ 4 9 当 k ＞ 时，原方程没有实数根 4
19.3 一元二次方程的根的判别式
利用公式法解下列方程
1 5 x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
2
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
a b c
b 3a 2c
ABC
解 原方程有两个相等的实数根
1 a 4 1 (2b c) 0 4 a 2b c 0
b 3a 2c a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c
时，原方程有两个不相等的实数根
试一试
1.方程 x a ax 有等根时,实数 a 的个数是( c ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2
2. 关于 x 的一元二次方程
(m 1) x 2mx m 0
2
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
议一议
ABC
x
2
a b c
2
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
1 5 x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
2
1 5x
解：
2 25 y
3x 2 0 2 3） 4 5 2） 49 ＞0 （ （ 原方程有两个不相等的实数根。
b 4ac 2 b 4ac 0
2
D.根的情况无法确定
例2：已知关于 x 的方程
x 3 x k 0，
2
问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
2 解： 3） 4 1 k 9 4k （
2
2
4 20 y
2
解：原方程可变形为
25 y 20 y 4 0 2 20） 4 25 4 0 （
3 2 x
原方程有两Байду номын сангаас相等的实数根。
2
3x 1 0
解： 3 2 4 2 1 5＜0 （ ） 原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7 t 5 t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3
2
y
ax bx c 0(a 0)中
2
若a与c异号, 则方程
（ A）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根
又 b 3a 2c c a b c
ABC是等边三角形。
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
⑴
方程有两个不相等的实数根
当 k ＜
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9 4 9
4 ⑵ 方程有两个相等的实数根 9 9 4k 0 解得 k 4 9 当 k 4 时，原方程有两个相等的实数根 9 ⑶ 9 4k＜ 0 解得 k ＞ 4 9 当 k ＞ 时，原方程没有实数根 4
19.3 一元二次方程的根的判别式
利用公式法解下列方程
1 5 x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
2
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?