高中数学 2.3.2平面向量的坐标运算(1)教案 苏教版必修4
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.3.2 平面向量的坐标运算》2
《平面向量的坐标表示》的教学设计江苏省大丰高级中学唐丽一教材依据：普通高中课程标准试验教科书江苏凤凰教育出版社数学必修4二设计思想：1教材分析：本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及平面向量基本定理之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2学情分析：高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，且对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些问题3设计理念：设计本节课时，力求强调过程，注重学生自主探究新知识的经历和获得新知识的体验教学时不是简单的告诉学生平面向量的坐标表示及坐标运算,而是让学生自己去探究、去发现,充分体现学生的主体地位,激发学生的学习兴趣,提高学生解决问题的能力,培养学生的自主学习的能力4教学指导思想：结合学生的实际情况及本节课的内容特点，采用的是以学生自主探究为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发、引导下，让学生自己去分析、探究，在探究过程中得出结论，从而使学生在获得新知识的同时又提高了能力三教学目标：1知识与技能：会用坐标表示平面向量，掌握平面向量的加法、减法与数乘运算的坐标表示．2过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化3情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系，培养学生的学习兴趣及探索精神．教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：形到数的转化四教学准备：根据本节课的特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学知识，利用多媒体辅助教学五．教学过程：（一）复习引入1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的______向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.(2)基底：把_________的向量e1，e2叫做表示这一平面内______向量的一组基底．⏹思考：如何体现向量分解的“唯一性”的？确定本节课研究方向：如何实现向量的代数表示？（二）问题引领，探究新知⏹问题1：如何选择基底，更方便计算、研究？⏹ 问题2：讨论结果：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．⏹ 问题3：向量的线性运算如何通过坐标运算实现？a =ｘ１，ｙ１，b =ｘ２，ｙ２即：两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差。
高中数学必修四《平面向量的坐标运算》优秀教学设计
平面向量的坐标运算（教案）教学目标：知识与技能：（1）理解并掌握平面向量的坐标运算.过程与方法：（1）通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法。
（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力；（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观: （1）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质；（2）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律.教学重点和教学难点：教学重点：平面向量的坐标运算；教学难点：平面坐标运算的应用.教学方法： “探究学习”及“合作学习”的模式.教学手段：利用多媒体演示教学过程设计：一、复习回顾(1) 平面坐标的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量.(2)平面向量的坐标表示),(y x j y i x a =+=（向量轴方向相同的两个单位轴、分别是与y x j i ,）(3)起点在原点的向量的坐标表示已知A=(y x ,),则),(y x OA =二、创设问题情境，引入课题.我们知道向量的加法、减法以及实数与向量的积这几种运算的结果仍是向量，而向量是可以用坐标来表示的，因此，这些运算的结果也能用坐标来表示，那么如果是坐标的话，我们该如何来表示呢？这就是这节课我们要学习的平面向量的坐标运算。
三、探究，推导法则..,),,(),,(12211的坐标，求）已知探究一：（a b a b a y x b y x a λ-+==分析：b a +=)()(2211j y i x j y i x +++ 由向量线性运算的结合律和分配律，可得)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++即 b a +=（2121,y y x x ++）因此，两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和。
高中数学2.3.2平面向量的坐标运算(1)教案苏教版必修4
2.3.2 平面向量的坐标运算（1）教学目标：1．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2．能正确理解向量加、减法、数乘的坐标运算法则，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；3．通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力．教学重点：平面向量线性运算的坐标表示．教学难点：对平面向量的坐标表示的理解．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？三、建构数学1．平面向量的坐标表示．如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i +y j ．我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a ),(y x =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，说明：（1）对于a ，有且只有一对实数),(y x 与之对应（2）相等向量的坐标也相同；（3）i )0,1(=，j )1,0(=，0)0,0(=；（4）从原点引出的向量−→−OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标．问题：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，你能得出a b +，a b -，λa 的坐标吗？结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．2．向量的坐标计算公式：已知向量−→−AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求−→−AB 的坐标．−→−AB ＝−→−OB －−→−OA ＝-),(22y x ),(11y x 2121(,)x x y y =--结论：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等．3．实数与向量的积的坐标：已知(,)a x y =和实数λ，则()(,)a xi y j xi y j x y λλλλλλ=+=+=结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．4．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；（3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．四、数学运用1. 例题.例1 如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝4 3 ，∠xOA ＝600．求向量OA →的坐标．例2 已知)4,3(),1,4(),3,1(),3,1(D C B A --，求向量−→−OA ，−→−OB ，−→−AO ，−→−CD 的坐标． 例3 已知(2,1)a =，(3,4)b =-，求a b +，a b -，34a b +的坐标．例4 用向量的坐标运算解2.3.1小节例2．例5 已知),(),,(222111y x P y x P ，P 是直线21P P 上一点，且λ=−→−P P 1−→−2PP )1(-≠λ，求点P 的坐标．例 6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-，(1,3)-，(3,4)，求顶点D 的坐标．2. 巩固深化，反馈矫正.（1）已知向量2(3,34)a x x x =+--与−→−AB 相等，其中(1,2)A ，(3,2)B ，求x ；（2）已知),(),0,2(),3,2(),2,1(y x D C B A ---，且=−→−AC −→−BD 2，则____=+y x ；（3）已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ，且3=−→−CM −→−CA ，=−→−CN −→−CB 2，求点M ，N 和−→−MN 的坐标；（4）已知点)3,2(),2,3(),1,2(),2,1(--D C B A ，请以−→−AB ，−→−AC 为一组基底来表示−→−AD ＋−→−BD ＋−→−CD ．五、小结1．正确理解平面向量的坐标意义；2．掌握平面向量的坐标运算；（向量加法运算、减法运算、实数与向量的积的坐标表示）；3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题．。
2013高中新课程数学(苏教版必修四)第七课时平面向量的坐标运算(一)教案
第七课时 平面向量的坐标运算（一）教学目标：理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法.教学重点：平面向量的坐标运算.教学难点：理解向量坐标化的意义.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x ，y )来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x ，y )来表示.Ⅱ.讲授新课1.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j 成立.2.平面向量的坐标运算若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2).即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标.3.实数与向量积的坐标表示若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λ y )4.向量平行的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，由a ∥b ⇔存在实数λ，使a ＝λb .∴(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)＝(λx 2，λ y 2)，∴x 1＝λx 2，y 1＝λy 2.消去λ得：x 1y 2－x 2y 1＝0，∴a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(b ≠0)［例1］已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，(1)若u ＝3v ，求x ；(2)若u ∥v ，求x .解：∵a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，∴u ＝(1，1)＋2(x ，1)＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3) v ＝2(1，1)－(x ，1)＝(2－x ，1)(1)u ＝3v ⇔(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1)⇔(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)∴2x ＋1＝6－3x ，解得x ＝1(2)u ∥v ⇔(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)⇔⎩⎨⎧=-=+λλ3)2(12x x ⇔(2x ＋1)－3(2－x )＝0⇔x ＝1 评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应要求学生引起重视.［例2］平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且知AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，1)，求OB→坐标.分析：要求得OB →的坐标，只要求得DB →的坐标即可.解：由AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，1)，可有DB →＝AB →－AD →＝(－2，1)－(3，7)＝(－5，－6)∴OB →＝12 DB →＝12 (－5，－6)＝(－52，－3) 评述：向量的加、减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系.［例3］下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是( )(1)e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7); (2)e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10);(3)e 1＝(2，－3)，e 2＝(12 ，－34). A.(1) B.(1)(3) C.(2)(3)D.(1)(2)(3)解：(1)∵－1×7≠2×5∴e 1e 2故e 1、e 2可作为基底. (2)∵3×10=5×6.∴e 1∥e 2故e 1，e 2不能作为基底.(3)∵2×(－34 )=－3×12. ∴e 1∥e 2故e 1，e 2不能作为基底. 故选A评述：本题考查基底的概念，及两向量平行的充要条件的坐标形式.Ⅲ.课堂练习课本P 74练习1，2，3，4，5，6Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业课本P 76习题 1，2，3，4。
苏教版必修4高中数学2.3.2平面向量的坐标表示导学案
课题:2.3.2平面向量的坐标表示班级： 姓名： 学号： 第 学习小组、【学习目标】掌握平面向量的坐标表示及坐标运算【课前预习】1、在直角坐标平面内一点M 是如何表示的？ 。
2、以原点O 为起点，M 为终点，能不能也用坐标来表示OM 呢？例：)4,3(M3、平面向量的坐标表示。
4、平面向量的坐标运算。
已知),(11y x a = 、),(22y x b = 、实数λ，那么 =+b a ；=-b a ；=a λ 。
【课堂研讨】例1、如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，34||=OA ，︒=∠60xOA ，求向量OA 的坐标。
例2、如图，已知)3,1(-A ，)3,1(-B ，)1,4(C ，)4,3(D ，求向量OA ，OB ，AO ，CD 的坐标。
例3、用向量的坐标运算解：如图，质量为m 的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ， 求斜面对物体的摩擦力f 。
例4、已知),(111y x P ，),(222y x P ，P 是直线21P P上一点，且)1(21-≠=λλPP P P ，求点P 的坐标。
【学后反思】课题:2.3.2平面向量的坐标表示检测案班级： 姓名： 学号：【课堂检测】 1、与向量)5,12(=a 平行的单位向量为（ ）A 、)135,1312(B 、)135,1312(--C 、)135,1312(或)135,1312(-- D 、)135,1312(±± 2、已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，2||=OA ，︒=∠150xOA ， 求向量OA 的坐标。
3、已知四边形ABCD 的顶点分别为)1,2(A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，)2,6(D ，求向量AB ，DC 的坐标，并证明四边形ABCD 是平行四边形。
4、已知作用在原点的三个力)2,1(1F ，)3,2(2-F ，)4,1(3--F ，求它们的合力的坐标。
5、已知O 是坐标原点，)1,2(-A ，)8,4(-B ，且03=+BC AB ，求OC 的坐标。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
苏教版高中数学必修4教案：第二章 平面向量 第6课时 2.3.2向量的坐标表示(1)
第6课时 §2.3.2 向量的坐标表示（1）【教学目标】一、知识与技能掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算二、过程与方法从数的层面通过坐标来对向量进行考察，体现数学的简捷三、情感、态度与价值观数形结合让学生在学习本块知识的同时感受到数学的美，增强数学学习的兴趣【教学重点难点】坐标的运算、坐标的意义一、复习平面向量的基本定理：1212a e e λλ=+；二、创设情景：问题1 平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数对（它的坐标）惟一表示，对于直角坐标平面内的每一个向量，是否都可以用一对有序实数对（它的坐标）表示惟一表示？问题2 若向量以原点为起点，则如何用坐标刻画向量？若向量不以原点为起点呢？三、讲解新课：1．向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+，（,xy R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标，记作(,)a x y =． 其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标。
说明：（1）对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； （2）相等的向量的坐标也相同； （3）(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=；（4）从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 就是点A 的坐标。
问题3 ()()a b a b a y x b y x a λ，，，你能得出，，，已知-+==2211的坐标吗？2.由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：(1)两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）(2)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，(3)一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
y x O (,)A x y ji a3．向量的坐标计算公式：已知向量AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求AB 的坐标．2211(,)(,)AB OB OA x y x y =-=-2121(,)x x y y =--． 归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；（2）两个向量相等的等价条件是这二个向量的坐标相等。
2.3向量的坐标表示2.3.2的坐标运算教案苏教版必修4
2．3.2平面向量的坐标运算整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．课时安排2课时教学过程第1课时对于平面内的任意向量 a ，过定点 O 作向量OA ＝a ，则点 A 的位置被向量 a 的大小和方注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA 的坐标就等于点 A 的坐标．(2)若 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．|AB|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面内两点间的距离公式．若 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则 P 1P 2 的中点 P( 1x ＋x 2 y 1＋y 2 2 2导入新课→向所惟一确定．如果以定点 O 为原点建立平面直角坐标系，那么点 A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量 a 也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？推进新课新知探究1．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量 i ，j 作为基底，对任一向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得 a ＝x i ＋y j ，则实数对(x ，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝(x ，y)．→(2)两个向量相等 对应坐标相等．2．平面向量的坐标运算(1)若 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．→即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．→ (3)若 a ＝(x ，y)，则 λ a ＝(λ x ，λ y)，λ ∈R.3．线段的中点坐标公式， )．应用示例思路 1例 1 课本本节例 1.变式训练已知平面向量 a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量 a － b 等于()用向量加法的平行四边形法则求得向量OD 的坐标，进而得到点 D 的坐标．解题过程中，∵AB ＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC ＝(3－x,4－y)， 由AB ＝DC ，得(1,2)＝(3－x,4－y)．⎩ ⎩ 方法二：如图 1，由向量加法的平行四边形法则可知BD ＝BA ＋AD ＝BA ＋BC ＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD ＝OB ＋BD ＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，1 32 2A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)答案：D例 2 课本本节例 2.变式训练1.如图 1，已知 ABCD 的三个顶点 A 、B 、C 的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点 D 的坐标．图 1活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利→关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图 1，设顶点 D 的坐标为(x ，y)．→ →→ →⎧⎪1＝3－x ， ∴⎨ ⎪2＝4－y.⎧⎪x ＝2，∴⎨ ⎪y ＝2.∴顶点 D 的坐标为(2,2)．→ → → → →→ → →∴顶点 D 的坐标为(2,2)．点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．2.如图 2，已知平面上三点的坐标分别为 A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点 D 的坐标，PP 2由P 1P ＝λ PP 2，知(x －x 1，y －y 1)＝λ (x 2－x ，y 2－y)，⎧⎪x －x1＝λ x 2－x ⎧⎪x ＝x ＋λ x ， ⇒ ⎨⎪⎩y ＝y ＋λ y .图 2使这四点构成平行四边形的四个顶点．解：当为ABCD 时，仿例 2 得 D 1＝(2,2)；当为当为ACDB 时，仿例 2 得 D 2＝(4,6)；DACB 时，仿例 2 得 D 3＝(－6,0).例 3 课本本节例 4.思路 2例 1 设点 P 是线段 P 1P 2 上的一点，P 1、P 2 的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．(1)当点 P 是线段 P 1P 2 的中点时，求点 P 的坐标；(2)当点 P 是线段 P 1P 2 的一个三等分点时，求点 P 的坐标．P P 活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当 1＝λ 时，点 P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：→ →即⎨⎪⎩y －y 1＝λy 2－y1 2 1＋λ121＋λ这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索 λ 的取值符号对 P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图 3，由向量的线性运算可知OP＝(OP1＋OP2)＝(1222x＋x2y1＋y2所以点P的坐标是(1，)．PP22PP2PP222x＋x22y1＋y2＝(1，)．2x＋x22y1＋y2即点P的坐标是(1，)．P P x＋2x2y1＋2y2PP23322图3→1→→x＋x2y1＋y2，)．22P P1P P(2)如图4，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即1＝或1＝2.如P P1果1＝，那么→→→→1→→1→→OP＝OP1＋P1P＝OP1＋3P1P2＝OP1＋3(OP2－OP1)2→1→＝3OP1＋3OP2图43333同理，如果1＝2，那么点P的坐标是(1，)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△ABC中，已知点A(3,7)、B(－2,5)．若线段AC、BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标．解：(1)若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上．3＋x y＋5设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．例 2 已知点 A(1,2)，B(4,5)，O 为坐标原点，OP ＝OA ＋tAB.若点 P 在第二象限，求实数解：由已知AB ＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)，∴OP ＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．⇒ － <t<－ .⎪ 故 t 的取值范围是(－ ，－ )．(2)若 AC 的中点在 x 轴上，则 BC 的中点在 y 轴上，同理可得 C 点坐标为(2，－7)．综合(1)(2)，知 C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7).→ → →t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．→→⎧3t ＋1<0 若点 P 在第二象限，则⎨⎪⎩3t ＋2>02 13 32 13 3点评：此题通过向量的坐标运算将点 P 的坐标用 t 表示，由点 P 在第二象限可得到一个关于 t 的不等式组，这个不等式组的解集就是 t 的取值范围．知能训练课本本节练习 1～6.课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．作业课本习题 2.3 1～8.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P ＝λ PP 2的实数 λ 的值．例 1 已知点 A(－2，－3)，点 B(4,1)，延长 AB 到 P ，使|AP|＝3|PB|，求点 P 的坐标． 解：因为 P 点在 AB 的延长线上，P 为AB 的外分点，所以AP ＝λ PB ，λ <0. 又根据|AP|＝3|PB|，可知 λ ＝－3，由分点坐标公式易得 P 点的坐标为(7,3)． x ＋λ x 2 y ＋λ y 2 1＋λ 1＋λ 让 ⎨2⎪⎩y ＝2＋λ ³3，⎪⎩y ＝49.5例 3 如图 5，已知三点 A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，D 点内分AB 的比为 1∶3，E 点困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点． 学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、关于点 P 分有向线段所成的比的探讨→ →→ →→ → →→ →(2)公式法：依据定比分点坐标公式．x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，结合已知条件求解 λ .1 →例 2 已知两点 P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点 P(2，y)分P 1P 2所成的比 λ 及 y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎧⎪1＝3＋λ －8， 1＋λ1＋λ⎧⎪λ ＝17，解得⎨22→在 BC 边上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求 DE 中点的坐标．→ 1→|DB| 3 3 → 4又△S BDE 1 1 → →△S A BC 2 2|DB||BE| 1 |BE| 2 → → 2 → 3 |BE| →→ ⎪⎩y ＝0＋2³－3＝－2，1＋2＝ ＝ 1⎧ 0＋31³－4 ⎪x ＝ ＝－1， 1 ⎨ 3 ⎪y ＝ 8 ＝6，⎩1＋1⎪⎩y ＝－2＋6＝2，2 1＝2图 5分析：要求 DE 中点的坐标，只要求得点 D 、E 的坐标即可，又由于点 E 在 BC 上，△BDE与△ABC 有公共顶点 B ，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解．→解：由已知有AD ＝ DB ，则得 ＝ ，|AB|＝ ，则 △S BDE |DB||BE|sin∠DBE，1 → →△S ABC 2|AB||BC |sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC，→ → → ∴ ＝ ，即得 ＝ .|AB||BC| |BC|→又点 E 在边 BC 上，∴ ＝2.∴点 E 分BC 所成比 λ＝2.|EC|⎧⎪x E ＝－4＋2³5＝2，由定比分点坐标公式有⎨E即 E(2，－2)，又由DD31＋有 D(－1,6)．⎧⎪x ＝2＋－ 1，记线段 DE 的中点为 M(x ，y)，则⎨22 2．已知 A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x ，y)，若AB 和CD 是相反向量，则 D 点的坐标3．若点 A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使AB ＝λ BC 的实数 λ 的值为( )5．若 A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且AB ＝2AC ，则 x ＝________，y ＝________.6．已知 ABCD 中， A D ＝(3,7)，AB ＝(－2,1)，则 C O 的坐标 (O 为对角线的交点 )为7．向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k)，当 k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 8．已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP ＝AB ＋λ AC(λ ∈R)，试问：当 λ 为何值→ 1→ → 1→4 21即 M( ，2)为所求．二、备用习题1．已知 a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于()A ．(7,1)B ．(－7，－1)C ．(－7,1)D ．(7，－1)→ →是()A ．(－2,0)B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2)→ →A ．1B ．－2C ．0D ．24．已知 A 、B 、C 三点共线，且 A(3，－6)，B(－5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 C 点的纵坐标为()A ．－2B ．9C ．－9D ．13→ →→ → →________．→ → →→ → →时，点 P 在第一与第三象限的角平分线上？当 λ 在什么范围内取值时，点 P 在第三象限内？9．如图 6 所示，已知△AOB 中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC ＝ OA ，OD ＝ OB ，AD 与BC 相交于点 M ，求点 M 的坐标．2 2 7．解：∵OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k)，∴AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(6，k －5)．∵AB ∥BC ，∴存在实数 λ ，使得(4－k ，－7)＝λ (6，k －5)．8．解：∵AB ＝(3,1)，AC ＝(5,7)，∴AB ＋λ AC ＝(3＋5λ ，1＋7λ )．而AP ＝AB ＋λ AC(已知)，∴OP ＝OA ＋AP ＝(2,3)＋(3＋5λ ，1＋7λ )＝(5＋5λ ，4＋7λ )．(1)若点 P 在第一与第三象限的角平分线上，则 5＋5λ ＝4＋7λλ ＝ ；⎪ → 1→ 15 5 9．解：∵OC ＝ OA ＝ (0,5)＝(0， )，∴C(0， )．→ 1→1 3 3 ∵OD ＝ OB ＝ (4,3)＝(2， )，∴D(2， )．设 M(x ，y)，则AM ＝(x ，y －5)，AD ＝(2－0， －5)＝(2，－ )．∵AM ∥AD ，∴存在实数 λ ，使得(x ，y －5)＝λ (2，－ )，即 7x ＋4y ＝20.①4 4 5图 610．已知四边形 ABCD 是正方形，BE∥AC，AC ＝CE ，EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F ，求证：AF ＝AE.参考答案：7 11．B 2.B 3.D 4.C 5.4 6.(－ ，－4)→ → →→ → → → → →→ →∴k 2－9k －22＝0.解得 k ＝11 或 k ＝－2.→ →→ → → → →→ → →1 2⎧5＋5λ <0 (2)若点 P 在第三象限内，则⎨⎪⎩4＋7λ <0⇒ λ ∈(－∞，－1)．4 4 4 42 2 2 2→ →3 7 2 2→ →7 2→→ 7 又CM ＝(x ，y － )，CB ＝(4， )，∵CM∥CB，∴存在实数μ，使得(x，y－)＝μ(4，)，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y>0，于是AC＝(1,1)，BE＝(x－1，∵AC∥BE，∴存在实数λ，使得(1,1)＝λ(x－1，y)，即1³y－(x－1)³1＝0⇒y＝⎧⎪x＝3＋由y>0，联立①②解得⎨⎪⎩y＝1＋即E(3＋3，1＋3)．AE＝OE＝3＋322→→1＋3－1＋322∵F，C，E三点共线，∴FC∥CE.∴存在实数μ，使得(1－t，t)＝μ(，)，即(1－t)³－→→574412127710．证明：建立如图7所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD的边长→→y)．图7→→x－1.①∵AC＝OC＝CE(已知)，∴CE2＝OC2(x－1)2＋(y－1)2＝2.②223，3，221＋32＋2＝3＋1.设F(t,0)，则FC＝(1－t,1)，CE＝(，)．→→1＋3－1＋3－1＋31＋32222³1＝0，解得t＝－1－3.∴AF＝OF＝1＋3.∴AF＝AE.第2课时导入新课向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的．本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深．由 a ＝λ b ，(x 1，y 1)＝λ (x 2，y 2) ⇒ ⎨ 1 ⎩ x 1 x 2⇔ ⎪⎨ ⎧⎪x 2＝λ x 1， x 1x 1x 1(x 2，y 2)＝(x 2， 2y 1)＝ 2(x 1，y 1)．令 λ ＝ 2，则 b ＝λ a ，所以 a ∥b .推进新课新知探究若向量 a 与非零向量 b 为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数 λ ，使得 a ＝λ b ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中 b ≠a ，⎧⎪x ＝λ x 2， ⎪y 1＝λ y 2，消去 λ ，得 x 1y 2－x 2y 1＝0.结论：a ∥b (b ≠0) ⇔ x 1y 2－x 2y 1＝0.教师应向学生特别提醒感悟：1°消去 λ 时不能两式相除，∵y 1、y 2 有可能为 0，而 b ≠0，∴x 2、y 2 中至少有一个不为 0.y y 2°此条件不能写成 1＝ 2(∵x 1，x 2 有可能为 0)．3°从而向量共线的条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)⎧a ＝λ b ， ⎪⎩x 1y 2－x 2y 1＝0.由此我们得到：设向量 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果 a ∥b ，那么 x 1y 2－x 2y 1＝0； 反过来，如果 x 1y 2－x 2y 1＝0，那么 a ∥b .证明：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，因为 a ≠0，所以 x 1、y 1 不全为 0.不妨假设 x 1≠0.(1)如果 a ∥b ，则存在实数 λ ，使 b ＝λ a ，即(x 2，y 2)＝λ (x 1，y 1)＝(λ x 1，λ y 1)，所以⎨⎪⎩y 2＝λ y 1.①②x 因为 x 1≠0，由①得 λ ＝ 2.③x 将③代入②，得 y 2＝ 2y 1，即 x 1y 2－x 2y 1＝0.x (2)反之，如果 x 1y 2－x 2y 1＝0，因为 x 1≠0，所以 y 2＝ 2y 1.x x x x 1 x 1 x 1应用示例例 1 已知 a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数 k 为何值时，向量 k a －b 与 a ＋3b 平行？并确3 此时，k a －b ＝(－ ，－1)＝－ (7,3)＝－ (a ＋3b )．t ，使得OA ＋tOB ＝OC 成立？解释你所得结论的几何意义．解：设存在常数 t ，使得OA ＋tOB ＝OC ，则(3,4)＋t(－1,2)＝(1,1)，所以 t(－1,2)＝上述结论表明向量AC 与OB 不平行.＝0，∴AB ∥AC ，且直线 AB 、直线 AC 有公共点 A ，→ → ⎪定此时它们是同向还是反向．解：k a －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)．1由向量平行的条件，可得 3²(k－2)－(－1)²7＝0，所以 k ＝－ .7 1 13 3 3因此，它们是反向的.变式训练已知 a ＝(4,2)，b ＝(6，y)，且 a ∥b ，求 y.解：∵a ∥b ，∴4y－2³6＝0.∴y＝3.例 2 已知点 O ，A ，B ，C 的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(－1,2)，(1,1)，是否存在常数→ → →→ → →⎧－t ＝－2， (1,1)－(3,4)＝(－2，－3)．所以⎨⎪⎩2t ＝－3.此方程组无解，故不存在这样的常数 t.→ →变式训练已知 A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断 A 、B 、C 三点之间的位置关系．活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的条件来判断这两个向量是否共线，从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图形领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出 A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想 A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AC ＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，又 2³6－3³4→ →∴A、B 、C 三点共线．2 →→ABCD 的对角线的交点，→ →AB ＝(－2,3)，则CD点评：本题的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.知能训练课本本节练习 1、2、3.课堂小结代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想．设计感想本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的．在平面几何中平行问题占着重要的地位．本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法．本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用．由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容．备课资料备用习题1．若 a ＝2i ＋3j ，b ＝4i ＋y j ，且 a ∥b ，则 y 等于()A ．2B ．4C ．6D ．812．已知 A(1，－3)，B(8， )，若 A 、B 、C 三点共线，则 C 点坐标可能是()A ．(－9,1)B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)3．向量 a ＝(n,1)与 b ＝(4，n)共线且方向相同，则 n ＝________.4．已知 O 点是AD ＝(2,5)， →坐标为________，DO 坐标为________，CO 坐标为________．△5． ABC 中，A(2，－1)，B(－3,2)，C(0，－4)，D 、E 、F 是 BC 、AB 、AC 的中点，若EF 与 AD 交于 M 点，求DM. → 1→ 1 → → 1→ 1→ 11 72 2 4 2 4 2 4 6．解：∵AB ＝(－2, 3)，DC ＝(－4, 6)，∴2AB ＝DC. ∴AB ∥DC 且|AB |≠|DC|.→6．已知四点 A(5, 1), B(3, 4)，C(1, 3)，D(5, －3)，求证：四边形 ABCD 是梯形．7．若 a ＝(－1，x)与 b ＝(－x, 2)共线且方向相同，求 x.参考答案：1．C 2.C3．2 n 2－4＝0，∴n＝±2.又 a 与 b 方向相同，∴n＝2.4．(2，－3) (－2，－1) (0，－4)5．解：由 EF 为中位线，得 EF 平分 AD ，∴DM ＝ DA ＝ (DB ＋BA)＝ CB ＋ BA ＝ (－3,6)＋ (5，－3)＝( ，0)．→ → → →→ → → →∴四边形 ABCD 是梯形．7．解：∵a ＝(－1，x)与 b ＝(－x, 2)共线，∴(－1)³2－x²(－x)＝0.∴x＝± 2.∵a 与 b 方向相同，∴x＝ 2.。
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2.3.2 平面向量的坐标运算（1）
教学目标：
1．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．能正确理解向量加、减法、数乘的坐标运算法则，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
3．通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力．
教学重点：
平面向量线性运算的坐标表示．
教学难点：
对平面向量的坐标表示的理解．
教学方法：
引导发现、合作探究．
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
复习平面向量基本定理：
如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．
二、学生活动
提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那
么，每一个向量可否也用一对实数来表示？
三、建构数学
1．平面向量的坐标表示．
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i +y j ．
我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a ),(y x =
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，
说明：（1）对于a ，有且只有一对实数),(y x 与之对应
（2）相等向量的坐标也相同；
（3）i )0,1(=，j )1,0(=，0)0,0(=；
（4）从原点引出的向量−→−OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标．
问题：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，你能得出a b +，a b -，λa 的坐标吗？
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
2．向量的坐标计算公式：
已知向量−→−AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求−→−AB 的坐标．
−→−AB ＝−→−OB －−→
−OA ＝-),(22y x ),(11y x 2121(,)x x y y =--
结论：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等．
3．实数与向量的积的坐标：
已知(,)a x y =和实数λ，则()(,)a xi y j xi y j x y λλλλλλ=+=+=
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
4．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：
（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；
（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
（3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
四、数学运用
1. 例题.
例1 如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝4 3 ，
∠xOA ＝600．求向量OA →的坐标．
例2 已知)4,3(),1,4(),3,1(),3,1(D C B A --，求向量−→−OA ，−→−OB ，−→−AO ，−→
−CD 的坐标． 例3 已知(2,1)a =，(3,4)b =-，求a b +，a b -，34a b +的坐标．
例4 用向量的坐标运算解2.3.1小节例2．
例5 已知),(),,(222111y x P y x P ，P 是直线21P P 上一点，且λ=−→−P P 1−→−2PP )1(-≠λ，求点P 的坐标．
例 6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-，(1,3)-，(3,4)，求顶点D 的坐标．
2. 巩固深化，反馈矫正.
（1）已知向量2(3,34)a x x x =+--与−→−AB 相等，其中(1,2)A ，(3,2)B ，求x ；
（2）已知),(),0,2(),3,2(),2,1(y x D C B A ---，且=−→−AC −→−BD 2，则____=+y x ；
（3）已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ，且3=−→−CM −→−CA ，=−→−CN −→−CB 2，求点M ，N 和−→−MN 的坐标；
（4）已知点)3,2(),2,3(),1,2(),2,1(--D C B A ，请以−→−AB ，−→−AC 为一组基底来表示−→−AD ＋−→−BD ＋−→−CD ．
五、小结
1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；（向量加法运算、减法运算、实数与向量的积的坐标表示）；
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题．。