专题2.4：双层最值问题的研究与拓展

专题2.4：双层最值问题的研究与拓展
【问题提出】
（1）若定义运算,,,⎩⎨
⎧<≥=⊕b
a a b
a b b a 则函数)2()(x x x f -⊕=的值域是______.
（2）定义},,min{c b a 为c b a ,,中的最小值，则}2
2,3,12min{x x x M --+=的最大值为__________. 5
9 （3）函数2|()||()|()
()21,()1,()()|()|()x f x f x g x f x g x x F x g x f x g x ≥⎧=-=-=⎨-<⎩
则F (x )的最小值为 1-．
【探究拓展】
探究1：函数)(x f 满足22)2(2)(a x a x x f ++-=，8)2(2)(22+--+-=a x a x x g .设
)}(),(max{)(1x g x f x H =，)}(),(min{)(2x g x f x H =（),max(q p 表示q p ,中的较大值，),min(q p 表
示q p ,中的较小值），记)(1x H 的最小值为A ，)(2x H 的最大值为B ，则=-B A ________. 变式1：设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x =+
+∈∈+最大值为()g m ,则()g m 的最小值为__________. 34
:变式2：已知ABC ∆面积为1,,D E 分别在边,AC BC 上,DE ∥AB 连BD ,设
,,DCE DBE DBA ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ,123max(,,)y S S S =,则min y =
变式3：有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且
AB=AC=13km ，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标
系如图）
（1）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何
处？
（2）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？
探究2：设0,0a b >>，22
min{,
}b
h a a b
=+，其中min{,}x y 表示,x y 两数中最小的一个数，则h 的最大值为 .
2
2 变式1：已知y x ,是正数，且}1
,1,
min{)(y x
y x x F +=，则函数)(x F 的最大值为_____.2
变式2：已知y x ,是正数，且},1,
1max{)(22
y x y
x x F +=，则函数)(x F 的最小值为_____. 3
2
变式3：已知y x ,是区间()1,0内的两个实数，把12,2,2---y y x x 的最小值记为),(y x F ，则),(y x F 的最大值为_____________.3
2
1 变式4：对任意实数b a ,，不等式C b b a b a ≥--+}2016,,max{恒成立，则C 的最大值为_______. 1008
变式5：},,max{c b a 为c b a ,,中的最大值，令}2,21,21max{b b a b a M +-+++=，则对任意实数M b a ,,的最小值为________.
3
4
探究3：已知a b c ，
，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫
=+++⎨⎬⎩⎭
，，，则M 的最小值为_________. 变式1：设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于0，且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=1，则
},,,max{54433221x x x x x x x x ++++的最小值是__________．3
1
变式2：设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是__________．
【答案】 解：不妨设31x x ≤,则由⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥54433
2x
x h x x h x x h ，所以729729452
42323≥≥≥x x x x x h
当1,942531=====x x x x x 时等号成立，所以最小值为9 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。