2刚体的转动惯量(大学物理---刚体部分)
大学物理实验报告测量刚体的转动惯量
大学物理实验报告测量刚体的转动惯量.doc“大学物理实验报告测量刚体的转动惯量.doc”是一份关于大学物理实验，它的目的是测量刚体的转动惯量。
本文将详细介绍这次实验的基本步骤、原理以及实验的结果。
一、实验的基本步骤1.准备实验仪器：本次实验使用的仪器包括：示波器、图形表、旋转惯量测试仪、调速装置、力传感器及其他部件。
2.组装实验装置：将准备好的实验仪器组装成实验装置，并将刚体放入实验装置内，使之受到示波器的旋转作用。
3.调整调速装置：调整调速装置，使得刚体开始旋转，并注意刚体的旋转方向，调节调速装置的转速，使得刚体的转速保持在恒定的水平。
4.记录数据：用示波器记录旋转角度随时间的变化，并同时记录力传感器所测量的旋转惯量。
5.分析实验结果：根据记录下来的数据，分析实验结果，计算出刚体的转动惯量。
二、实验原理转动惯量（Moment of Inertia）是指物体在旋转运动中，对外力的惯性反应能力，是物体的质量和形状的函数，可以表示物体的转动惯性。
转动惯量可以用符号I表示，它的单位是公斤·米²/秒²。
根据牛顿的第二定律，可以知道，物体受到外力的作用时，它的转动惯量会发生变化。
即：F=ma= dI/dt （F 为外力，m为物体的质量，a为物体的转动加速度，I为物体的转动惯量）。
因此，可以通过测量刚体受到外力作用时，它的转动惯量的变化来获得刚体的转动惯量。
三、实验结果本次实验结果显示，所测量刚体的转动惯量为I=3.7 kg·m²/s²。
因此，我们可以得出结论：当刚体受到外力作用时，它的转动惯量会发生变化，且转动惯量的变化量与外力的大小成正比。
总结本次实验的目的是测量刚体的转动惯量。
实验中，我们使用了示波器、图形表、旋转惯量测试仪、调速装置、力传感器等仪器，并将它们组装成实验装置，调节调速装置使得刚体开始旋转，然后用示波器记录旋转角度随时间的变化，同时也记录力传感器所测量的旋转惯量，根据记录下来的数据分析实验结果，最终计算出刚体的转动惯量：I=3.7 kg·m²/s²。
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
大学物理刚体的转动惯量的研究实验报告
大学物理仿真实验报告电子 3班实验名称：刚体的转动惯量的研究实验简介在研究摆的重心升降问题时，惠更斯发现了物体系的重心与后来欧勒称之为转动惯量的量。
转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。
本实验将学习测量刚体转动惯量的基本方法，目的如下：1．用实验方法验证刚体转动定律，并求其转动惯量；2．观察刚体的转动惯量与质量分布的关系3．学习作图的曲线改直法，并由作图法处理实验数据。
实验原理1．刚体的转动定律具有确定转轴的刚体，在外力矩的作用下，将获得角加速度β ，其值与外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即有刚体的转动定律：M = I β(1)利用转动定律，通过实验的方法，可求得难以用计算方法得到的转动惯量。
2．应用转动定律求转动惯量如图所示，待测刚体由塔轮，伸杆及杆上的配重物组成。
刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动。
设细线不可伸长，砝码受到重力和细线的张力作用，从静止开始以加速度 a 下落，其运动方程为 mg – t=ma ，在 t 时间内下落的高度为 h=at 2/2 。
刚体受到张力的力矩为T r和轴摩擦力力矩 M。
由转动定律可得到刚体的转动运动方程：T - Mf = I β 。
绳与塔轮间f r无相对滑动时有 a = r β，上述四个方程得到：m(g - a)r - M f = 2hI/rt2(2)M f与张力矩相比可以忽略，砝码质量m比刚体的质量小的多时有a<<g，所以可得到近似表达式：mgr = 2hI/ rt 2(3)式中 r 、h、t 可直接测量到， m是试验中任意选定的。
因此可根据（ 3）用实验的方法求得转动惯量 I 。
3．验证转动定律，求转动惯量从（ 3）出发，考虑用以下两种方法：A．作 m – 1/t 2图法：伸杆上配重物位置不变，即选定一个刚体，取固定力臂r 和砝码下落高度 h，（ 3）式变为：M = K 1/ t 2(4)式中 K1 = 2hI/ gr 2 为常量。
大学物理实验报告-刚体转动定律
大学物理实验报告-刚体转动定律
实验目的：探究刚体转动的基本定律。
实验仪器：转动台、刚体转轴、刚体、刻度盘、秤、细线、阻尼器。
实验原理：刚体转动的基本定律包括：1）转动定律：刚体受
外力矩的作用产生角加速度，且角加速度与作用力矩成正比，与物体的转动惯量成反比；2）动量定理：刚体的角动量在无
外力矩作用下保持守恒。
实验步骤：
1. 将转动台放在水平桌面上，并调整水平度。
2. 将刚体转轴安装在转动台上，保证转轴能够自由转动。
3. 在转轴上放置刚体，并固定好。
4. 将刻度盘压在转轴上，确保盘面与刚体转动面平行，并零位对准。
5. 在刚体上绑上细线，另一端挂上适量的重物。
6. 调整阻尼器，使刚体转动不受外界干扰。
7. 按下计时器，同时放开刚体。
8. 记录刚体的转动时间，并测量刚体转过的角度。
9. 重复实验多次，取平均值。
实验数据处理：
1. 根据实验数据计算刚体的转动惯量，转动惯量的计算公式为：
I = m * g * R * T^2 / (2 * π^2 * θ)，其中m为挂在细线末端的
重物质量，g为重力加速度，R为细线长度，T为转动时间，θ
为刚体转过的角度。
2. 将实验得到的转动惯量与刚体的几何结构进行比较，检验是
否符合刚体转动定律。
3. 计算实验误差，评估实验结果的可靠性。
实验注意事项：
1. 安全操作，避免伤害自己和他人。
2. 实验时要保持转动台的稳定，阻尼器的正确调整。
3. 实验时要注意量具的准确读数和记录。
4. 实验结束后，保持实验环境整洁，归还实验器材。
大学物理—刚体的动轴转动
F
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
2. 刚体定轴转动定律 对刚体中任一质量元mi
O’
f i -内力
-外力
ω
Fi
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得： O
v v r sin r sin 900
和 构成的平面，如 图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为
v 的方向垂直于
2
r 78.5m / s
r
at ar 3.14m / s
3
2
2
an r 6.16 10 m / s 边缘上该点的加速度 a an al 其中 a l 的方向 与 v 的方向相反，a n 的方向指向轴心，a 的大小
1 m1 2m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2
22
1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动
1. 刚体 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力 作用下，系统内任意两质点间的距离恒保持不变。 2.平动和转动 刚体最简单的运动形式是平动和转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直 线，在运动中始终保持平行，这种运动叫平动。 刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中各质 点的位移相同。且在任何时刻，各质点的速度和加 速度都相同。
常见刚体的转动惯量
常见刚体的转动惯量
刚体是指在运动过程中形状和大小不变的物体。
在物理学中，常见的刚体有球体、圆盘、长方体等。
这些刚体在绕某一轴旋转时，会具有不同的转动惯量。
转动惯量是描述刚体在转动过程中惯性特征的物理量。
它与刚体的形状、质量分布以及绕轴旋转的位置有关。
对于球体来说，转动惯量与球的半径和质量有关。
球体的转动惯量是一个常量，与绕轴旋转的位置无关。
而对于长方体来说，转动惯量则与长方体的质量分布有关，不同位置的转动惯量也会有所不同。
转动惯量的大小决定了刚体在转动过程中的惯性。
转动惯量越大，刚体的转动越困难，需要更大的力来改变其转动状态。
而转动惯量越小，刚体的转动越容易，需要较小的力就可以改变其转动状态。
在日常生活中，我们可以观察到转动惯量的一些实际应用。
比如，当我们骑自行车时，如果车轮的转动惯量较大，那么在起步或者停车时会感到较大的阻力。
而如果车轮的转动惯量较小，那么起步和停车的时候则会感到比较轻松。
转动惯量还可以影响到一些运动的稳定性。
例如，当我们骑自行车或者滑冰时，如果身体的转动惯量较大，那么在转弯或者改变方向时会感到不稳定，容易失去平衡。
而如果身体的转动惯量较小，那么在转弯或者改变方向时会感到相对稳定。
转动惯量是刚体在转动过程中的一个重要物理量。
它与刚体的形状、质量分布以及绕轴旋转的位置有关。
转动惯量的大小决定了刚体转动的惯性特征，影响着刚体在转动过程中所受力的大小和方向。
通过研究转动惯量，我们可以更好地理解刚体的转动行为，并且应用到日常生活和工程实践中。
大学物理实验报告-刚体转动定律
（4）在同一张坐标纸上，分别准确作出空载时的 — 直线和载荷时的 — 直线，从图上准备读出 、 和 、 （这是关键，对计算结果的误差影响很大）；
（5）由公式再分别算出 、 、 、 、 ；
（6）算出理论值 ，将理论值与实验值比较，算出 和 的相对误差，作实验讨论，进行误差分析。
可见： 和 呈线性关系，以 为纵坐标，以 为横坐标，作出 — 曲线（这种处理数据的方法称为曲线改直法），如果各点的连线是一条直线，就验证了转动定律，并可由直线的斜率 和在纵坐标轴上的截距C分别求出转动惯量和摩擦力矩为：
， 。为求出 ，必须在同一张坐标纸上，分别作出空载时的 — 直线和载荷时的 — 直线，由图上分别准备读出 、 和 、 ，再分别算出 、 和 、 ，则算出 ，并与 的理论值进行比较，已知圆盘转动惯量的理论值为： 。式中： 为圆盘的质量， 为圆盘的半径。
在外力矩 和摩擦力矩 的共同作用下，由转动定律得知： — =
式中： 是转动体系的转动惯量， 是角加速度， 是下落砝码的质量， 是绕线轮的半径。由式看出：测定转动惯量的关键是角加速度 ，这可由下述方法确定：
1．单角度设置法（ =0）求出刚体的转动惯量和摩擦力矩
在恒力矩作用下，转动体系将作均匀变速转动，故有下列公式：
方法、步骤：
1．单角度设置法（ =0）
（1）调节实验装置。用水准仪器调节承物台水平，使转轴垂直于底座，尽量减少摩擦。选用合适的塔轮半径。调整塔轮和定滑轮之间的拉线呈水平状态，并保持定滑轮的滑槽与所选用的塔轮半径垂直。
（2）承物台空载。接通毫秒计电源，预置数N，毫秒计复零准备记录，将遮光细棒紧靠光电门，轻轻放手，使（ =0），使塔轮在砝码作用下，从静止开始转动，记下时间t，以后每次增加砝码5g，重复测时3次，从5g一直增加到55g，记入表5-9；
刚体转动惯量的测定
刚体转动惯量的测定转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。
对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。
对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测定其转动惯量。
因此，学会用实验的方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。
实验上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。
测定转动惯量的实验方法较多，如拉伸法、扭摆法、三线摆法等，本实验是利用“刚体转动惯量实验仪”来测定刚体的转动惯量。
为了便于与理论计算比较，实验中仍采用形状规则的刚体。
【实验目的】１. 学习用转动惯量仪测定物体的转动惯量。
２. 研究作用在刚体上的外力矩与刚体角加速度的关系，验证刚体转动定律和平行轴定理。
３. 观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况。
【实验仪器】ZKY-ZS 转动惯量实验仪及其附件（砝码，金属圆柱、圆盘及圆柱）, ZKY-J1通用电脑计时器.图1 转动惯量测定装置实物图【实验原理】根据刚体的定轴转动定律dtd JJ M ωβ==， 只要测定刚体转动时所受的合外力矩及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量，这是恒力矩转动法测定转动惯量的基本原理和设计思路。
一、转动惯量J 的测量原理砝码盘及其砝码是系统转动的动力。
分析转动系统受力如图2所示：当砝码钩上放置一定的砝码时，若松开手，则在重力的作用下，砝码就会通过细绳带动塔轮加速转动。
当砝码绳脱离塔轮后，系统将只在摩擦力矩的作用下转动。
图2 转动系统受力图本实验中待测试件放在实验台上，随同实验台一起做定轴转动。
设空实验台（未加试件）转动时，其转动惯量为0J ，加上被测刚体后的转动惯量为J ，由转动惯量的叠加原理可知，则被测试件的转动惯量被测J 为0J J J -=被测 或 被测物J J J +=0实验时，先测出系统支架（空实验台）的转动惯量0J ，然后将待测物放在支架上，测量出转动惯量为J ，利用上式可计算出待测物的转动惯量。
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三、典型的几种刚体的转动惯量
r2 r1
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
J 1mr2 2
圆筒转轴沿几何轴
J 12m(r12r22)
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
r
l
圆柱体转轴沿几何轴
J 1mr2 2
r
l 圆柱体转轴通过中 心与几何轴垂直
J mr2 ml2 4 12
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
解：细杆为线质量 分布，单位长度的 质量为：
m
l
ml
dm x
o xdx l
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
dm dx
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
J r2dm
l
l
J x2dm x2dx
0
0
x3 3
l 0
1 l3
3
m l
ml
dm x
1 3
ml
2
结果与前相同。
§4.刚体的转动惯量/ 四、平行轴定理
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
J 2mr2 5
球壳转轴沿直径
J 2mr2 3
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理
定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
JJCm2 d
J
JC
d Cm
§4.刚体的转动惯量/ 四、平行轴定理
例1：再以绕长为 l、质量为 m 的匀质细
杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴
定理计算转动惯量 J 。 J
解：绕细杆质心的
ml
JC
转动惯量为：
JC
1 ml2 12
o
C
l/2
绕杆的一端转动惯量为 JJCm2 d
J
112m2lm2l2
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
J
n
miri2
i1
J r2dm
ri r
mi
dm
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例1：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。
解：由转动惯量的定义
2m m
J
2
miri2
o b 3b
i1
m 1 r 1 2m 2 r2 2
2m2b m(3b)2
11mb2
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕 与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
J r2dm
细杆为线质量分布，单位长
ml
dm x
度的质量为：
m
l
l
o xdx l
2
2
建立坐标系，坐标原点选在质心处。 分割质量元 dm ,长度为 dx ,
dm dx
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
J r2dm
l/2
l/2
J x2dm x2dx
l /2
l /2
x3 3
l/2 l /2
1 l3
12
m l
J 1 ml2 12
ml
dm x
l
o xdx l
2
2
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例3：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕 细杆一端轴转动，求转动惯量 J。
Ek
1mv2 2
n
miri2
相当于描写转动惯性的物理量
i1
转动惯量的定义：
J
n
miri2
i1
单位：千克·米2
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？
①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
第二节 转动惯量
一、转动惯量
刚体的动能等于各 质点动能之和。
mn m1
rn r1
r2 m2
Ek
12m1v12
1 2
m2v22
12mnvn2
n
i1
12mivi2
i n 1 1 2mi(ri)2
1 2(i n 1 miri2) 2
刚体的动能 Ek1 2(i n 1 miri2) 2
与平动动能比较
o xdx l
J 1ml2 3
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。
解： 分割质量元 dm
圆环上各质量元到 轴的距离相等，
M
J R2dm
0
M o R dm
R20M dmMR2
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算