11.2 全等三角形的判定(SAS)
11.2全等三角形的判定(SAS边角边)
A/ E上截取A/C/＝AC； 3、连结B/C/. △A/B/C/就是所要画的三角形.
问：通过实验可以发现什么规律？
得到全等三角形的判定（二）：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等。简写成“边角边”或“SAS”
用符号语言表达为： 在△ABC和△DEF中 AB=DE
A
∠ A= ∠ D AC=DF
D
E
求证：1.BD=CE 2. ∠B= ∠C 3. ∠ADB= ∠AEC
知识应 用
例2、如图，有一池塘，要测池塘端A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接 到达A和B 的点C，连结AC并延长到D, 使CD=CA.连结BC并延长到E,使CE=CB. 连结DE,那么量出DE的长，就是A、B的 距离.为什么？
A C E D B
探究2
我们知道，两边和它们的 夹角对应相等的两个三角形全 等。由“两边及其中一边的对角 对应相等”的条件能判定两个三 角形全等吗？为什么？
A
B
C
D
说一说
1、今天我们学习了哪种方法判定 两三角形全等？ 答：SAS（边角边） 2、 “边边角”能不能判定两个三 角形全等“？ 答：不能
B
C
DEΒιβλιοθήκη F∴△ABC≌△DEF（SAS）
练习
已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证： △ABD≌△ACE
证明:∵∠BAC=∠DAE（已知） ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE AB=AC（已知） B ∠BAD= ∠CAE （已证） AD=AE（已知） C ∴△ABD≌△ACE（SAS) A
Ａ Ｂ'
全等三角形的判定(SAS)
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB (已知） AD=BD （已知） CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
(已知），
(已证），
(已证），
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点， 求证： BE=CE.
变式1
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
C
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
针对训练
例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
典例精析
证明：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
11.2三角形全等的判定(AAS-ASA)练习题及答案
11.2三角形全等的判定（AAS-ASA）◆随堂检测1．如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？2．已知如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，试说明BD=CE。
3．如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC。
试说明AD=CB。
4.如图，已知AC 、BD 相交于点0，∠A=∠B ，∠1=∠2，AD=BC. 试说明△AOD ≌△BOC.◆典例分析例:如图：已知AE 交BC 于点D ，∠1= AB=AD. 求证：DC=BE 。
证明：∵∠ADB=∠1+∠C ， ∠ADB=∠3+∠E ， 又∵∠1=∠3， ∴∠C=∠E 。
在△ABE 和△ADC 中， ∵∠E =∠C ， ∠2 =∠1， AB =AD ，∴ △ABE ≌△ADC （AAS ）。
∴DC=BE 。
解析:要证DC=BE,先观察DC 与BE 分别在可能全等的两个三角形中.根据所给条件选择方法◆课下作业●拓展提高5.玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（ ）A 、带①去B 、带②去C 、带③去D 、带①②③去6. 如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ．7.如图，已知AC 、BD 交于E ，∠A=∠B ，∠1=∠2．求证：AE=BE ．8.如图，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，，且MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC 的周长。
9．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，说明AB=ACABCDE10.已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。
⑴求证：∠ABE=∠C ；⑵若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
11.2 全等三角形的判定-边角边定理
证明:在△ABC和△DEC中,
CA CD 1 2 CB CE
1 C 2
∴△ABC≌△DEC（SAS）. ∴AB=DE.
E
D
从例2可以看出:因为全等三角形的对应边相等,对应角相等,所 以,证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,常 常通过证明这两个三角形全等来解决.
教学重难点
教学重点:三角形全等的判定定理二. 教学难点:利用三角形全等的判定定理二解题.
教学过程设计
活动一.动手探索,归纳结论. 1.探究3.学生分组活动:画一个三角形,使它的两条边长分别 是1.5cm,2.5cm,其中一个角是30°. 画好后同桌两人讨论:两个三角形的两条边和其中一边的对 角对应相等时,这两个三角形全等吗？ 有的组说全等,有的组说不全等,让各组派代表说说做法,比 较有什么不同,老师总结,有三种做法: (1)两条边长分别是1.5cm,2.5cm,并且长为1.5cm的这条边所 对应的角是 30°,这种做法得出的结论是:不全等. (2)两条边长分别是1.5cm,2.5cm,并且长为2.5cm的这条边所 对应的角是30°,这种做法得出的结论也是:不全等. (3)两条边长分别是1.5cm,2.5cm,这两条边的夹角为30°,这 样做出的两个三角形全等.
A
D
B
C
BECF NhomakorabeaE
F
活动五.知识梳理,课堂小结. 引导学生总结出本节的主要知识点,能解决哪些问题. 1.定理:如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等, 那么这两个三角形全等.可以简写为“边角边”或 “SAS”. 2.确定“两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角 形不一定全等. 活动六.知识反馈,作业布置. 课本第15页第3,4题.
全等三角形的判定(SAS)
第2课时全等三角形的判定(SAS)1．经历几何图形的基本变换：平移、旋转、轴反射，理解判定三角形全等的第一种方法：“边角边”；(难点)2．掌握用“边角边”证明两个三角形全等．(重点)一、情境导入如图，在△ABO中，延长AO到点C，使CO＝AO，延长BO到点D，使DO＝BO，连接CD，那么△ABO与△CDO全等吗？二、合作探究探究点：用“SAS”判定两个三角形全等【类型一】利用“边角边”添加条件，判定三角形全等如图，已知∠ABC＝∠BAD，只需添加条件____________，就可以用“SAS”判定△ABC≌△BAD.解析：由于公共边AB＝AB，又∠ABC＝∠BAD，用“SAS”判定△ABC≌△BAD，添加的条件应当是夹角的另一边对应相等，故填BC＝AD.方法总结：利用“边角边”判定两个三角形全等，“角”是两边的夹角，“两边”是夹这个角的两边，而不能是这个角的对边．【类型二】“边边角”不能证明三角形全等下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．【类型三】利用“边角边”证明两个三角形全等如图，AC∥BD，AC＝BD，E、F在AB上，且AE＝BF.求证：△ACF≌△BDE.解析：因为AC ∥BD ，所以有∠A ＝∠B ，由AE ＝BF ，可得AF ＝BE .有两边及一夹角对应相等，故可根据SAS 判定两三角形全等．证明：∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B .∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF 即AF ＝BE .在△ACF 和△BDE 中，AC ＝BD ，∠A ＝∠B ，AF ＝BE ，∴△ACF ≌△BDE (SAS)．方法总结：①在全等三角形中，常把两直线的平行关系转化为角之间的关系(相等或互补)．②“边角边”中的边必须是全等三角形中的边，而不能是边上的一部分． 【类型四】 利用“SAS ”证明三角形全等与等腰三角形性质的综合运用如图所示，∠BAC ＝∠ABD ，AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系，并给出证明．解析：首先进行判断：OE ⊥AB ，由已知条件不难证明△BAC ≌△ABD ，得∠OBA ＝∠OAB 再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．解：OE ⊥AB .证明：在△BAC 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠BAC ＝∠ABD BA ＝AB ，， ∴△BAC ≌△ABD (SAS)． ∴∠OBA ＝∠OAB ， ∴OA ＝OB .又∵AE ＝BE ，∴OE ⊥AB .方法总结：①本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识．②根据全等三角形可得对应边相等，对应角相等，所以要证明线段相等或角相等时，常常可转化为证明三角形全等．【类型五】“边角边”的实际应用如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量什么？为什么？解析：利用边角边可判定△AOB ≌△COD ，从而有CD ＝AB ，所以只要测量出CD 的长即可．解：只要测量CD .理由：连接AB ，CD .∵点O 分别是AC 、BD 的中点， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .在△AOB和△COD中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，∴△AOB≌△COD(SAS)．∴CD＝AB.答：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB.方法总结：本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形把需要测量的线段转化到容易测量的边上或者已知边上来，从而求解．三、板书设计边角边：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等(如图)．在课本情景引入中，采用了探究的方式，让学生经历几何图形的基本变换：平移、旋转、轴反射，学会了用观察、猜想等方法来得出结论，培养学生分析问题、解决问题的能力．用边角边判定两个三角形全等时，注意条件中的角必须是这两边的夹角．。
11.2.2(SAS)全等三角形
E
F
A
B
C
D
例题 推广
求证：△ADC≌△CBA 分析：观察图形，结合已知条件，知， A AD=CB，AC=CA，但没有给出两组 对应边的夹角（∠1，∠2）相等。 所以，应设法先证明∠1=∠2，才能 B 使全等条件充足。
2． 如图2，△AOB和△COD全等吗？
(第 1 题)
例题讲解 例1
已知：如图1，AC=AD，∠CAB=∠DAB 求证：（1）△ACB≌△ADB
C
证明：在△ACB和△ADB中 AC=AD（已知） ∠CAB=∠DAB（已知）A AB=AB（公共边） ∴△ACB≌△ADB（SAS）
B
图 1
D
（2）问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？
三角形全等的判定 11.2.2---------边角边
温故而知新:
A
P C
M
①
M O
S
B
A
N
③ T
C N O
B ②
D
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
复习巩固：
我们知道：若两个三角形的三条边对 应相等，则这两个三角形全等（SSS）
探讨： 那么判定三角形全等中，是否可以找 到其他的判定方法？
如果给出 三个条件画三角形，你能说 出最多有几种选法： 三条边 三个角 边角角 两角一边 角角边
C A
D
B
D
两边及一边所对的角？
以3cm、4cm为三角形的两边，长度 3cm的边所对的角为45° ，请画出此三 C 角形
A
45°
B
B’ M
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三 角形不一定全等
(完整版)全等三角形判定2(SAS)学案及题型
C'B'A'CBACBADCBA2111.2三角形全等的判定（2）SAS营山希望学校任画一个△ABC求作：'''A B C∆，使''A B AB=，''B C BC=，'A A∠=∠作图步骤：(2) 把△'''A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）(4)用数学语言表述全等三角形判定（二）在△ABC和'''A B C∆中,∵''AB A BBBC=⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC≌三、合作探究例如图，AC=BD，∠1＝∠2,求证:BC＝AD.1、如图，已知AC，BD相交于O，AO=DO，BO=CO，证明：∠A=∠D2．如图，AE是，BAC的平分线∠AB=AC.证明△ABD≌△ACD3 已知：如图，BD=CE，AD=AE，求证：BE=CD.5 如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证：BE=DCDABQCPE1图2图3图6 如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。
7 如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.证明：△ABC ≌△BAD（提高题）如图，已知CA=CB,AD=BD,M 、N 分别是CA 、CB 的中点，求证：DM=DNAC E DDC12 O。
徐闻县和安中学数学教学导学案设计：11.2 三角形全等的判定(SAS)
徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！C 'B 'A 'C B A C B A 第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 3 课时 姓名：________课题：《11.2三角形全等的判定》（SAS ）学习目标 我的目标 我实现1、掌握三角形全等的“S ＡS ”条件，能运用“S ＡS ”证明简单的三角形全等问题2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程． 3、积极投入，激情展示，做最佳自己。
突破：【重点】SAS 的探究和运用.【难点】领会两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.导学过程 我的课堂 我作主☆☆导学活动4☆☆自主学习 我探索 我快乐 1、复习思考（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。
2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？ (1)动手试一试 已知：△ABC求作：'''A B C ∆，使''A B AB =，''B C BC =，'A A ∠=∠(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？ (3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） (4)用数学语言表述全等三角形判定（二） 在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B B BC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？通过画图或实验可以得出：◆八年级数学导学案设计：林朝清设计时间2013年8月30日4.例题学习（再次温馨提示：证明的书写步骤：①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。
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必要时画出反例图形
通过反例证明：已知两边及其中一边
的对角对应相等的两个三角形全等不成
立
三、应用新知、体验成功
练习分别找出各题中的全等三角形
例1 已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
例题拓展已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠
CBD ，问AD=CD， BD 平分∠ ADC 吗？
例2、如图，有一池塘，要测池塘端A、
B的距离，可先在平地上取一个能够直
接到达A和B 的点C，连结AC并延长到
D, 使CD=CA.连结BC并延长到E,使
CE=CB. 连结DE,那么量出DE的长，就
是A、B的距离.为什么？
三、总结提升
师生小结
1、用“边角边”来判定两个三角形全等
2、用三角形全等来证明线段的相等或
角的相等
四、作业布置
见课时作业
学生观察图形中有没有能够全等
的三角形，如果有可能全等的三
角形，还需要哪些条件
学生练习规范书写证明过程
学生归纳本节内容，归纳当前证
明三角形全等都有哪些方法
巩固知识点，强化
条件“SAS“的使
用方法
强化学生把实际
问题转化为数学
问题的意识，同时
规范证明的过程
的书写
系统归纳本节知
识点，提升归纳问
题的水平
：
一、创设情境、提出问题三、应用新知、体验成功四、总结提升
二、探究发现：“SAS”公理例1
例2。