2018.12.30北大微积分(答案版)

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微积分各章习题及详细答案(供参考)

微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。

2(4 3x)22、 lim2)。

xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。

4、 lim xksin10 建立的 k 为。

xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。

x 0在 x 0处连续，则 b 。

x 0。

8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。

9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。

10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。

xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。

12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。

1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。

x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。

xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。

n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。

2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。

1 x1（Ａ）是比高阶的无量小；（Ｂ）是比低阶的无量小；（ C ）与是同阶无量小；（ D ）~。

3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题(二)

18.()(,),,()0.()()0(,)(),()()0,[,](,)),.Rolle ()(()())0,()()0.19.3x f x a b f x f x f x a b f x g a g b g a b a b g x e f x f x f x f x A x -∞+∞='+==='''∈=+=+=设函数在内可导且是方程的两个实根证明方程在内至少有一个实根.设在连续, 在可导根据定理, 存在 c (a,b),使得即决定常数的范围,使方程x 证 g(x)=e 43243232322212318624.()38624,()1224122412(22)12[(2)(2)]12(2)(1)12(2)(1)(1)0,.1,1, 2.()19,(1)13,(2)8.((x x x A P x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x P x P P P --++'=--+=--+=--+=---=--=--+==-===-==-有四个不相等的实根根据这些数据画图，由图易知当在区间解4321),(2))(13,8)38624P x x x x A -=----++时有四个不相等的实根.For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use2300220.()1(1).:()023,.0()0,21lim (),lim (),,,,()0,()0.(,),()0.()1nn x x x x x f x x f x n nn x f x f n k f x f x a b a b f a f b x a b f x f x x x →-∞→+∞=-+-++-=≤>=-=+∞=-∞<><∈='=-+-L 设证明方程当为奇数时有一个实根当为偶数时无实根当时故只有正根当为奇数时,存在根据连续函数的中间值定理,存在使得证 ,2122222110(0),0,,1.1210, 1.101,()0,1,()0,(1)0,(1)0,().21.()()()()[,k k k k x x x x f x x n k x x x x x x f x x f x f x f n f x u x v x u x v x a ---++-=<>>---+'=-+-++===--''<<<>>>>''L L 当时严格单调递减故实根唯一当为偶数时,f (x)=是时的最小值故当为偶数时无实根设函数与以及它们的导函数与在区间],[,].()(),.()().()().b uv u v a b u x v x u x v x u x v x ''-上都连续且在上恒不等于零证明在的相邻根之间必有一根反之也对即有与的根互相交错地出现试句举处满足上述条件的与121212121212212,()[,].0,()0,()0.()[,],[,],()()0,Rolle ,[,],()()0,)()0,[,]x x u x a b x x u v uv v x v x v x ux x w a b w x w x c x x vu v uv w c c u v uv c u v uv v x x ''<-≠≠≠==∈''-'''''==-=-设是的在的两个根,由于如果在上没有根则=在连续由定理存在使得即(此与恒不等于零的假设矛盾.故v(x)在上有证cos(),sin ,--10,sin cos .u x v x u v uv x x ''===≠根.例如的根交错出现22222222222arctan 22.:0(),arctan (tanh ).tanh 2tanh arctan arctan sinh cosh (1)arctan 1cosh ()tanh tanh (1)tanh cosh 1sinh 2(1)arctan ()2(1)tanh cosh xx f x x x xx xx x x x x x x f x x x x x x x x xg x x x xπ'>=<-'-+⎛⎫+'=== ⎪+⎝⎭-+==+证明当时函数单调递增且证22222222222222.(1)tanh cosh (0)0.()cosh 212arctan ,(0)0,2()2sinh 22arctan ,(0)0,12(1)222(1)()4cosh 224cosh 21(1)11444cosh 20(0cosh 11x x x g g x x x x g xg x x x g xx x x g x x x x x x x x x x x x x +=''=--=''''=--=++--'''=--⨯=--++++=-+>>++当时31),Taylor 0()()0,()0,.3!arctan arctan lim ()lim,0.tanh 2tanh 2x x x g x g x x f x f x x f x x x x θππ→+∞→+∞>>'=>>==><由公式,对于有严格单调递增故对于有22222tan 23.:0.2sin ()sin tan ,()cos tan sin sec 2sin sin sec 2,()cos sec 2sin sec tan 2(cos sec 2)2sin sec 201(cos sec cos 2,(0,/2)).cos (0)(0)0x x x x xf x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x xf f ππ<<<=-'=+-=+-''=++-=+-+->+=+≥∈'==证明当时有证2223222,Taylor ()tan ()0,sin tan 0,((0,/2)).2sin 24.:(1)1,0.(2)ln(1),0.2(3)sin ,0.611,0.21(2)ln(1),0.(1)ln(1)x x xf x x x f x x x x x x x xe x x x x x x x x x x x e e x x x x x x x x x x x x x θθπθ''=>-><∈>+≠-<+>-<<>=++>+≠+=-<>++=-根据公式,证明下列不等式证(1)2233321,0.23(1)2(3)()sin ,(0)0,()1cos 0,2()0,0,()(0)0,0.()sin ,6()cos 1,()sin 0,0.02,()(0)0,x x x x x f x x x f f x x x n f x x f f x f x x g x x x x g x x g x x x x g x g x g x θπ+>->+''=-==-≥==>>=>⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎛⎫'''=--=-+>>> ⎪⎝⎭>=仅当时故当时严格单调递增当时严格单调递增2111ln 120.25.(1)(1)(1),[0,1)...ln ln(1),11...26.()tan /4Taylor tan(50)()sec ,()nn n n n nniin n i i qx qn n n x q q q q x q q qx x q q q q x eex x f x x x f x x f x π+==-︒>=+++∈-=+<=<--=<=='''==∑∑L 设其中常数证明序列有极限单调递增有上界故有极限求函数在处的三阶多项式,并由此估计的值.证解22242sec tan ,()4sec tan 2sec .x x f x x x x '''=+()1,()2,()4,()16.4444f f f f ππππ''''''====233238()122.443448tan(50)tan122 1.191536480.4363636336of x x x x xπππππππππ︒⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≈+⨯++≈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭227.0,(1)ln(1)(1)ln(1)(1)ln(1).11()ln(1),(),()0,1(1)0,(1)(1)ln(1)ln(1)(1)(1)(1)(1)ln1(1)(1)(1)ln1(1a b a a b b a b a bf x x f x f xx xf xa ba ba b a ba ab ba b a ba b aa<<+++++<++++'''=+==-<++>+++++++++⎛⎫++<++⎪++++⎝⎭++<++设证明在上凸证(1)ln(1).)(1)a b ba bb a b⎛⎫+++=++⎪+++⎝⎭3221228.,,,114,2, 1.0,1,1.333()(-)(-)(-)2.1()341(31)(1)0,, 1.311()0,,11()0,3a b ca b c a b c ab bc ca a b cf x x a x b x c x x x abcf x x x x x x xx x f x f x f x ff<<++=++=<<<<<<==-+-'=-+=--===''<>><<<设有三个常数满足证明：考虑多项式1当或时严格单调递增当时严格单调递减.3如果证(0)(1)0,144.()()0,3327144,,.(0)(1)0,()()0.3327,114(0,),(,1),(1,),,,,.333f abc ff f abc ff a b c f f abc f f abcfa b c==-≥==-≤==-<==->将至多有两个实根如果也将至多有两个根(见附图).而实际有根故并且考虑到严格单调性于是在各有一实根正是故结论成立29.()()[,],[,],()().:,[,],()()0,()0,[,].()()()()()0,()[f x f x a b x a b f x f x c d a b f c f d f x x c d f x f x x f x f x g x x ''''∈∈==≡∈''''''''+≥='≡∈设函数的二阶导数在上连续且对于每一点与同号证明若有两点使则由于与同号,单调故2证(f(x)f (x))=f f(x)f (x),g(c)=g(d)=0,f(x)f (x)0,2222,].(())2()()0,[,].(),[,].()0,()0,[,],()0,[,].c d f x f x f x x c d f x C x c d f c f x x c d f x x c d ''=≡∈≡∈=≡∈≡∈故即 32323333333233030.()271391Taylor .()61413,()1214,()12.(1)1,(1)5,(1)2,(1)12.()15(1)(1)2(1).31.().(1):()Tayl n n P x x x x x P x x x P x x P x P P P P P x x x x P x n P x x =-+-=''''''=-+=-=''''''=-==-==-+---+-求多项式在处的公式设是一个次多项式证明在任一点处的解()000()(1)0or 1()()()().!(2),()0,()0(1,2,).().(1)().(1):(),()0,(,).Lagrange Taylor ()n n n n n k n n n n n n n n P x P x P x P x n a P a P a k n P x a P x n P x n P x x x P x +'=+++>≥=≡∈-∞+∞=L L 公式为若存在一个数使证明的所有实根都不超过是一个次多项式证明因为是一个次多项式故在任一点处,根据带余项的公式证()(1)1000000()00000()11()()()()()()()!(1)!1()()()()().!1(2)()()()()()()()0(),!().n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P x P x x x P x x x P c x x n n P x P x x x P x x x n P x P a P a x a P a x a P a x a n P x a ++'+-++-+-+'=+-++-'=+-++-≥>≥L L L 故的所有实根都小于232.()(0,),0,|()|,|()|,.:|()|(0,).()(0,),0.()()(),21()()(()()).22|()|(*).22(*)2f x x f x A f x B A B f x x f c x h f x h f x f x h h f c f x f h f x h h A Bf x h h A B h h +∞>'''≤≤≤∈+∞'''∈+∞>+=++'''=+--'≤+=设函数在上有二阶导数又知对于一切有其中为常数证明任意取当时右端取最小值证|()|h f x '=≤.在(*)中取即得仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章定积分 2 含答案精品

学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答案不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃb a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)．②ʃb a x n d x ＝1n ＋1xn ＋1|b a (n ≠－1)； ③ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a ； ④ʃb a cos x d x ＝sin x |b a ；⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)； ⑥ʃb ae x d x ＝e x |b a ； ⑦ʃb a a x d x ＝⎪⎪a x ln a ba (a >0且a ≠1)；⑧3223＝b ax x ⎰(b >a >0)．类型一求定积分命题角度1 求简单函数的定积分例1 求下列定积分．(1)ʃ10(2x ＋e x)d x ；(2)ʃ21(1x －3cos x )d x ； (3)π220(sin cos )d 22－；x xx ⎰(4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21(1x －3cos x )d x ＝(ln x －3sin x )|21 ＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1) ＝ln2－3sin2＋3sin1. (3)∵(sin x 2－cos x 2)2＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，∴π220(sin cos )d 22－x x x ⎰＝π20(1sin )d －x x ⎰π20(cos )|＝＋x x＝(π2＋cos π2)－(0＋cos0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴ʃ30(x －3)(x －4)d x＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝(13x 3－72x 2＋12x )|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算函数的增量F (b )－F (a )．跟踪训练1 计算下列定积分．(1)ʃ21(x －x 2＋1x)d x ； (2)π2220(cos sin )d 22－；x xx ⎰(3)ʃ94x (1＋x )d x .解 (1)ʃ21(x －x 2＋1x)d x ＝(12x 2－13x 3＋ln x )|21 ＝(12×22－13×23＋ln2)－(12－13＋ln1) ＝ln2－56.(2)π2220(cos sin )d 22－x x x ⎰ ＝π20cos d x x ⎰π20sin | 1.＝＝x(3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝(23x 32＋12x 2)|94＝(23×932＋12×92)－(23×432＋12×42)＝2716. 命题角度2 求分段函数的定积分例2 (1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (0≤x <π2)，1(π2≤x ≤2)，x －1(2<x ≤4)在区间[0,4]上的定积分；(2)求定积分ʃ20|x 2－1|d x .解 (1)⎠⎛04f (x )d x ＝π222π042sin d 1d (1)d x x x x ⎰⎰⎰＋＋－＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋(12x 2－x )⎪⎪⎪42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.(2)∵|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[0，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，又(x －x 33)′＝1－x 2，(x 33－x )′＝x 2－1，∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10|x 2－1|d x ＋ʃ21|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21＝1－13＋83－2－13＋1＝2.反思与感悟分段函数的定积分的求法(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x .解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(1＋2x )d x ＋ʃ21x 2d x＝(x ＋x 2)|10＋13x 3|21 ＝2＋73＝133.(2)求ʃ2－2|x 2－x |d x 的值．解 ∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x <0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1<x ≤2，∴ʃ2－2|x 2－x |d x＝ʃ0－2(x 2－x )d x ＋ʃ10(x －x 2)d x ＋ʃ21(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|0－2＋(12x 2－13x 3)|10＋(13x 3－12x 2)|21 ＝143＋16＋56＝173. 类型二利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．答案 (1)3 (2)[23，2]解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝f (t2)，求t .解由ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ，又f (t2)＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14(t >0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0，1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案 (1)[0，2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0，1])． ∴f (x )的值域为[0，2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33.∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2，解得a ＝2. 2.π230(12sin )d 2θθ-⎰等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 D 解析π230(12sin )d 2θθ-⎰＝π30cos d θθ⎰＝sin θ⎪⎪⎪⎪π3＝32.3．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2.求a ，b ，c 的值．解 ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2， ① f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＝0，②ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝－2， ③由①②③可得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算：⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝ππ2π02()d ()d f x x f x x +⎰⎰＝ππ2π02(42π)d cos d －x x x x +⎰⎰，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以ππ2π02(42π)d cos d －x x x x +⎰⎰＝(2x 2－2πx )⎪⎪⎪⎪ π20＋sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2 ＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．课时作业一、选择题1．ʃ21(e x＋1x )d x 等于( ) A ．e 2－ln2 B ．e 2－e －ln2 C ．e 2＋e ＋ln2 D ．e 2－e ＋ln2答案 D解析 ʃ21(e x ＋1x )＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln2)－(e ＋ln1)＝e 2－e ＋ln2. 2．ʃ0－4|x ＋2|d x 等于( )A ．ʃ0－4(x ＋2)d xB ．ʃ0－4(－x －2)d xC ．ʃ－2－4(x ＋2)d x ＋ʃ0－2(－x －2)d xD ．ʃ－2－4(－x －2)d x ＋ʃ0－2(x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴ʃ0－4|x ＋2|d x ＝ʃ－2－4(－x －2)d x ＋ʃ0－2(x ＋2)d x .故选D.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln2<lne ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．若ʃk 0(2x －3x 2)d x ＝0，则正数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2答案 B解析 ʃk 0(2x －3x 2)d x ＝x 2－x 3|k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝1或0(舍去)．5．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 ∵f ′(x )＝mx m －1＋n ＝2x ＋1，∴m ＝2，n ＝1. 则f (x )＝x 2＋x ，∴ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 6．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为( )A.19B.29C ．－19D ．－29 答案 B解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质，可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.7．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题8．ʃa －a (x cos x －5sin x ＋2)d x ＝________. 答案 4a解析 ∵ʃa －a x cos x ＝0， ∴ʃa －a (x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ʃa －a (－5sin x ＋2)d x ＝(5cos x ＋2x )|a －a ＝4a .9．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 答案－1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝____________. 答案 1解析因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．已知α∈[0，π2]，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x＝sin α＋cos α－1＝2sin(α＋π4)－1.∵α∈[0，π2]，则α＋π4∈[π4，34π]，当α＋π4＝π2，即α＝π4时，2sin(α＋π4)－1取得最大值．三、解答题12．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.13．已知函数f (x )＝ʃx 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解 f (x )＝ʃx 0(at 2＋bt ＋1)d t ＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )| x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数，∴b2＝0，即b ＝0.又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13. ∴a ＝－52. 四、探究与拓展14．已知ʃ20f (x )d x ＝8，则ʃ20[f (x )－2x ]d x ＝________.答案 4解析 ∵ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ∴ʃ20[f (x )－2x ]d x ＝ʃ20f (x )d x －2ʃ20x d x ＝8－2×2＝4.15．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．解因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.。

2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章定积分含答案精品

1 巧记“原函数”微积分基本定理告诉我们要求积分值，找到被积函数的一个原函数是关键，为方便大家使用，下面探求了一些常见函数的原函数． (1)常数函数c 的一个原函数为cx .(2)x n的一个原函数为x n ＋1n ＋1(n ≠－1，n ∈Q ＋)．(3)cos x 的一个原函数为sin x . (4)sin x 的一个原函数为－cos x .(5)a x的一个原函数为a xln a(a >0，且a ≠1)．(6)e x 的一个原函数为e x . (7)1x的一个原函数为ln x (x >0)．温馨提示一个被积函数的原函数不是唯一的，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )求值，只需找一个最简单的原函数即可．2 多法求解定积分用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 时，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的F (x )，但在求解函数F (x )时经常会遇到计算上的复杂，或者找不到函数F (x )等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法． 1．几何法例1 用定积分的几何意义求ʃb a －(x －a )(x －b )d x (b >a )的值．解 ʃb a －(x －a )(x －b )d x 表示f (x )＝－(x －a )(x －b )，x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成图形的面积．由y ＝－(x －a )(x －b )，得y 2＋(x －a ＋b 2)2＝⎝⎛⎭⎫b －a 22(y ≥0)．故f (x )＝－(x －a )(x －b )表示的曲线是半圆．故所求面积为圆心在⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0，半径r ＝b －a 2的上半圆的面积，即π·⎝⎛⎭⎫b －a 22·12＝π(b －a )28. 综上所述，ʃb a－(x －a )(x －b )d x ＝π(b －a )28.点评运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力． 2．函数性质法例2 求⎠⎛－1212－12lg 1＋x 1－x d x 的值．解记f (x )＝lg 1＋x1－x ，易知定义域为(－1,1)，因为f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg(1＋x 1－x )－1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因此有⎠⎛－1212lg1＋x1－xd x ＝0. 点评从定积分的定义(或几何意义)可知，偶函数f (x )有ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x ；奇函数f (x )有ʃa －a f (x )d x ＝0. 3．转化法例3 计算定积分ʃπ20sin 2x2d x 的值．解 ⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x＝⎠⎜⎛0π212d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12x ⎪⎪⎪⎪π20－12sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝π4－12·0－12sin π2＋12sin0＝π4－12. 点评较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分． 4．分段法例4 求定积分ʃ2－1x |x |d x 的值．解因为f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以ʃ2－1x |x |d x ＝ʃ0－1(－x 2)d x ＋ʃ20x 2d x＝－x 33| 0－1＋x 33| 20＝－13＋83＝73.点评这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，从而去掉绝对值． 5．换元法例5 求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积．解方法一选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和．解⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4. 所以交点为A (2，－2)，B (8,4)．选取x 为积分变量，则0≤x ≤8.因此S ＝2ʃ202x d x ＋ʃ82(2x －x ＋4)d x332282202(4)18.332＝＋＝x x x x +-方法二选取纵坐标y 为积分变量，则－2≤y ≤4，所求图中阴影部分的面积为S ＝ʃ4－2⎝⎛⎭⎫y ＋4－y 22d y ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫y 22＋4y －y 364－2＝18. 点评从上述两种方法中可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷．因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要．但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是x ＝φ(y )，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x ＝y 22，x ＝y ＋4的形式，然后求面积.3 利用定积分速求面积1．巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便．例1 求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成的图形的面积．分析解此类题的一般步骤是：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上、下限；④计算．解画出图像如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，得A (－1，1)，B (3，9)．故所求图形的面积为ʃ3－1(2x ＋3－x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2＋3x －13x 33－1＝323. 点评本题若选纵坐标y 为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变． 2．妙用对称在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段．例2 求由两条曲线y ＝x 2,4y ＝x 2和直线y ＝1所围成的图形的面积．分析先画图像，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解．解如图，因为y ＝x 2，4y ＝x 2是偶函数，根据对称性，只需算出y 轴右边的图形的面积再乘以2即可．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝x 2，y ＝1.得交点坐标(－1，1)，(1，1)，(－2，1)，(2，1)．所以S ＝2⎣⎡⎦⎤ʃ10⎝⎛⎭⎫x 2－x 24d x ＋ʃ21⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫14x 310＋x 21－⎝⎛⎭⎫112x 321＝43. 点评巧用对称性能简化解题． 3．恰到好处的分割例3 求两曲线y ＝sin x 与y ＝sin2x 在[0，π]上围成的图形的面积．分析先画图像，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积．解如图，令sin x ＝sin2x ，得交点的横坐标为x ＝0，x ＝π3，x ＝π.由图形分割，得S ＝⎠⎜⎛0π3(sin2x －sin x )d x ＋⎠⎜⎛π3π(sin x －sin2x )d x ＝52.点评类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法．。

微积分北京大学出版社第5章定积分--答案

第 5 章定积分练习补充与答案一填空选择 1. (03)
1
−1
∫ ( x + x )e
−1
−x
dx =
1 1 1 −x 1 0 1 1
解法 1：原式=
0
∫
1
xe dx + ∫ xe dx = 2∫ xe dx + 0 = −2∫ xde = −2 x e
−x −x −x −x −1 0 0
+ 2∫ e− x dx = −2e−1 − 2 e− x = 2 −
1 1 8（07） ∫ 3 e x dx = x 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 2 = e2 解原式= − ∫ de = − e + ∫ e d = − e + 1 + e x x x 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2
9（02）设 F ( x) =
x2 f ( t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) = （ x →a x−a ∫ a
2
π
2
; x = 0, t = 0
π
2
π
2
1 + cos 2t ⎛1 1 ⎞2 π 原式= ∫ cos t cos tdt = ∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = 4 2 ⎝2 4 ⎠0 0 0
(注：该题利用几何意义积分比变量替换积分简单)
+∞
π
7（00）
∫e
1
x
1 dx = + e 2− x
6.（00）
⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝ x⎠
∫
0
1
2 x − x 2 dx =

北大版高等数学第三章积分的计算及应用答案习题

习题3.22222222222222222222111.ln ln ln ln 222111ln ln ln .222224111122.1212212ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax x x xdx xdx x x d xx x x x x x dx x xdx x C x x e dx x de x e e dx x e xe dxa a a a ax x e xde x e e e dx a a a a a x e a ==-=-=-=-+==-=-=-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列不定积分：2223223222122122.1113.sin 2cos 2cos 2cos 222211cos 2sin 2.244.arcsin arcsin arcsin arcsin 11arcsin 21ax ax ax ax ax x xde x e e e C a a a ax e x C aa a x xdx xd x x x xdxx x x C xdx x x xd x x x x x x x x =-++⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭=-=-+=-++=-=--=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2arcsin 1.x x C - 2222222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln(1).2121116.cos3cos3cos3cos32221313cos3sin 3cos3sin 322241x x x x x x x x xdxxdx x x xd x x x x d x x x x x x C x I e xdx xde e x e d xe x e xdx e x xde =-=-++=-=-+++===-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()22222223cos3sin 33cos324139cos3sin 3,2444131cos3sin 32cos33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33cos3sin 33cos3sin 33x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e xdx e x e x I I x x e C x x e C xI dx xde e x e xdxee x xde e x e -------+-=+-⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==-=-+=--=--⎰⎰⎰⎰⎰()cos33sin 3x x e xdx -+⎰()sin 33(cos33),1sin 33cos3(sin 33cos3).1010x x x x xe x e x I e I e x e x C x x C -----=--+=--+=-++ ()()22222222118.sin sin sin cos 1sin cos 1sin cos sin 1sin cos .11sin cos ,1(sin co ax axax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax axb I e bxdx bxde e bx e bxdx a a abe bx bxde a a be bx e bx b e bxdx a a be bx e bx bI a ab I e bx e bx b a a a e I a bx b a b ===-=-=-+=-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭+=-+⎰⎰⎰⎰⎰s ).bx C +222222222222229.1919191921919191919,1911119ln(319)2231119ln(319).26I x dx x x x x x x dx x x I x I x x x Cx x x C =+=++=++⎛⎫=++- +⎝⎛⎫=+- +⎝=++++=+++⎰⎰2222222222210.cosh sinh sinh sinh sinh cosh .11.ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1.112.(arccos )(arccos )21(arccos )2arcco x xdx xd x x x xdx x x x C x x dx x x x xd x x x x x x x x x C x x dx x x dxxx x ==-=-++=++-++=+-=++++=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰)222s 1(arccos )211x x x x x dx-=--+⎰⎰22(arccos )212.x x x x x C =---+()2222222222arccos 1113.arccos (1)21arccos 12(1)2(1)1arccos .2(1)2114.arctan arctan 2(1)1arctan .,,22122arctan ,11arc x xdx xdx x x x x x x C x xxdx x x x xxdx x x x u x u dx udu xxdx u uduu u C x u =--=+---=++--=+====+==-+++⎰⎰⎰⎰⎰12()2arctan (arctan )(1)arctan .xdx x x x x C x x x x C x x x C =-+=+=+⎰ 22222222arcsin 1arcsin 15.arcsin 1arcsin 0)1/1arcsin arcsin ln |1/1/11/1arcsin ln(11ln arcsin ln(11ln ||(0)(x x dx xd x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x Cx x x x C x x⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭-=-+>-=--=---+-=-+--+=-+--+≠⎰⎰原函数为偶函数424322442423442442434).1(ln )12ln 16.(ln )(ln )444(ln )1(ln )1ln ln 4248(ln )1(ln )1ln ln .482488x x x xdx x x dx x dx xx x x x x xdx xdx x x x x x x x x dx x x C ==-=-=-=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰223/225/225/2arctan 1arctan (1)1217.arctan (1)(1)2(1)23x xdx xd x xd x x x -+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰223/225/2arctan 1.tan ,(/2,/2).sec ,3(1)3(1)x dx x u u dx udu x x ππ=-+=∈-=++⎰ 3225/23322325/223/222323/223/22cos (1sin )sin (1)11sin sin ,3311arctan arctan 11(1)3(1)3311arctan 1.3(1)39(1)1dx udu u d u x u u C C x x x xdx x C x x x x x x C x x x ==-=+⎛⎫=-+=+++⎛⎫⎛⎫⎪=-++⎪++++⎭=-+++++⎰⎰⎰⎰ 222222222222222222222118.ln(1)ln(1)211ln(1)22111ln(1)221111ln(1)12221111ln(1)1ln(1)ln(1)222221ln(12x x x dx x x dx x x x x x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x Cx x ++=++=++-+=++-+=++-+++⎛⎫+++=++-++++ ⎪ ⎪⎝⎭=++⎰⎰22211)1ln(1.44x x x x x C -++++。

微积分课后题答案

微积分课后习题答案习题一（A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ；（2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ；（4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ；4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2）， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由：（1）x y =与x y lg 10=；（2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ；（6）xxy +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞- 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立； 4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）：（1）1)4lg(--=x x y ；（2）45lg 2x x y -=；（3）xx y +-=11；（4）)5lg(312x x x y -+-+-=；（5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21；（8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210,30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ；（2）x y sin 2=；（3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。

微积分北京大学出版社课后详解

2、选择适当的坐标系计算下列二重积分. （1）
∫∫ (
D
x + y )dσ ，其中 D 由坐标轴与抛物线 x + y = 1 所围.
4
解：设 x = r cos
θ , y = r sin 4 θ ， dσ = 4 cos3 θ sin 3 θ rdrdθ
y 1 0
x + y =1
2
1
x
D: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤
1 2
x
π π π 1 34 1 34 1 34 4 2 2 θ + θ θ = + θ θ = cos sin d 1 sin 2 d ) ) π ( π ( π (1 + 2sin 2θ + sin 2θ ) dθ ∫ ∫ ∫ − − − 3 4 3 4 3 4
3π
π 1 34 1 + cos 4θ ⎛ = ∫ π 1 + 2sin 2θ + ⎜ 3 −4 ⎝ 2
1⎛ 3 1 ⎞ ⎞ 4 π ⎟ dθ = ⎜ θ + 2sin 2θ + cos 4θ ⎟ π = 3⎝ 2 2 2 ⎠ ⎠−
4
（3）
∫∫
D
1 − x2 − y 2 dxdy ，其中 D 由 x 2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0 所围. 1 + x2 + y 2
解：D: 0 ≤ θ ≤
∫π
π
3
4
dθ ∫ cosθ
π π
3 4
π π π 1 1 1 3 3 cosθ dθ = rdr = ∫ π3 r 0 d θ = π π sec θ dθ ∫ ∫ r cos θ 4 4 4

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中国大学先修课程（AC ）2018年冬季全国统一评测
微积分
一、（每小题8分，共32分）判断下列各题对错，只写结论无需过程。

设和是两个给定的函数，记，，
()f x ()g x ()()()1f x f x g x =+()()()2f x f x g x =⋅，.
()()3f x f x =()()(){}4max ,f x f x g x =（1）设函数和均在处有极限，问中哪些
()f x ()g x 0x x =()()()()1234,,,f x f x f x f x 函数在处一定有极限，哪些不一定有极限？
0x （2）设函数和均在处连续，问中哪些函
()f x ()g x 0x x =()()()()1234,,,f x f x f x f x 数在处一定连续，哪些不一定连续？
0x （3）设函数和均在处可导，问中哪些函
()f x ()g x 0x x =()()()()1234,,,f x f x f x f x 数在处一定可导，哪些不一定可导？
0x （4）设函数和均在处可积，问中哪些函
()f x ()g x [],a b ()()()()1234,,,f x f x f x f x 数在处一定可积，哪些不一定可积？
[],a b
二、（本题共分）求下列各题的极限 3618⨯=（1）. 22221111lim 1111234n n →+∞
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
--- ⎪⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()22211132413241111
=lim
lim lim 23223322
n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞-+⨯⨯-++⨯⨯⨯
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==
（2）.
1
lim
x →
令，原式
1t =
()10
lim 1t
t t e →=+=（3）.（泰勒公式，等价无穷小）
()
2018
2018
100922018
01lim sin ln 1x
x e x x x →--+ ()4036
2018
40362018201820180
12lim
2
x x x x x x x ο→++-==⋅
三、（本题共分）求下列各题的导数。

3618⨯=（1）设，且. ()()()()122018f x x x x x =--- ()'2018f 两边同取自然对数
()()()()()()()
ln ln 122018ln ln 1ln 2ln 2018f x x x x x x x x x =---=+-+-++-⎡⎤⎣⎦ 两边求导，得
()()11111
'122018
f x f x x x x x =++++---
()()()()()()()()1111'12
20181111112201720181111122017122017f x f x x x x x f x f x x x x x x f x x x x x x x x x ⎛⎫=++++ ⎪---⎝⎭⎛⎫
=+++++ ⎪----⎝⎭
⎛⎫=+++++--- ⎪---⎝⎭
()'20182018!f =（
2）
求（要适当化简整理所得表达
y
=
()'y
x 式）.
()
()
2211y x x
==+-+-
244'111211y x x x =
+=+=
++
（3）设，求. ()()1
cosln sin ln 2
f x x x x =
-()'''f x
()()11sin ln cosln 'cosln sin ln sin ln 22x x f x x x x x x x -⎛⎫
=
-+-=- ⎪⎝⎭
()cosln ''x
f x x =-
()22sin ln cosln sin ln cosln '''x x x
x x x f x x x ----=-=
四、（本题10分）已知满足，求.
()f x ()()1
2
12f x x f x dx =+⎰()f x 设，则，得
()2f x x c =+()122
20
12x c x x c dx +=++⎰， ()12310011111|22323c x c dx x cx c ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎰13c =
()213
f x x ∴=+
五、（本题12分）设实数满足，，. ,,a b c a b c <<2a b c ++=1ab bc ac ++=（1）如果三次多项式以和位它的三个实根，则必定是的一个极()P x ,a b c 01
3
x =()P x 值点.
设三次多项式为
()()()()()()32
P x A x a x b x c A x a b c x ab ac bc x abc ⎡⎤=---=-+++++-⎣⎦
()()()()32
2
'32P x A x a b c x ab ac bc x abc A x a b c x ab ac bc ⎡⎤=-+++++-⎣⎦
⎡⎤=-+++++⎣⎦
2111'322+1=0333P A ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=⋅-⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦必定是的一个极值点. 01
3
x ∴=
()P x
（2）证明：，，. 103a <<
113b <<413
c <<，，， ()0P Aabc =-14327P A abc ⎛⎫
⎛⎫=
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭()1P Aabc =-44327P A abc ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
六、（本题10分）设，如果极限
()[]0,1f x C ∈，其中是在上的最大值，
()()()()
01/2/1lim
n f f n f n f M n
→+∞
++++= M ()f x []0,1证明：. ()f x M ≡。