19.2.1矩形(1)
矩形(1)课件
向阳中学 刘振华
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 A
D
如果
B
A
D
B
AB∥CD C AD∥BC 四边形ABCD
C ABCD
边
平行形的对角线互相平分； 边形的 性质： 平行四边形的对角相等； 角 平行四边形的邻角互补；
∴AC = BD
C
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交 点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
O
B 公平,因为OA=OC=OB=OD C
边
角
对角线 对角线互 相平分
对称性 中心对 称图形
平行四 边形
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补
对边平行 四个角 对角线互相 中心对称图形 且相等 为直角 平分且相等 轴对称图形
O
这是矩形所 特有的性质
例1 已知：矩形ABCD的两条对角线相交与O， ∠AOD=120°，AB = 3cm. 求矩形对角线的长 AC = BD
解：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA = OD（ ） OA = OD =
1 2 1 2
AC BD
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠1=30°
A
1 O
D
又∵ ∠BAD=90°（
A O
B
D
∵ ∠AOD=120°∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB ∴ △AOB为等边三角形 ∴AB=OA= AC=4cm
2 1
C
cm
在Rt△ABC中， BC= AC - AB =
2 2
8 -4
2
2
=
48
=
4 3
19.2.1矩形(1)
1 1 AB DE , CD DE AB 2 2
C
B
推理表达式： ∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
1 ∴CD= AB(或AB=2CD) 2
A 又∵ CD为AB边上的中线， D
1 ∴AD= BD= AB 2
∴AD=BD=CD B
C
练习.矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD 交于O，△BOC和△AOB的周长差是4cm，那么 矩形各边的长是多少?
矩形定义：【模型演示】
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
木门
纸张
电脑显示器
实质上： 特殊 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形 的一切性质。
矩形有何性质? 具有平行四边形的一切性质
A
D
O
B C
矩形性质1: 矩形的四个角都是直角
∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠BAD＝∠CDA =∠BCD＝∠ABC ＝Rt∠
例3 在△ABC中，已知∠ACB＝90°， 1 CD为AB边上的中线，求证：CD= AB
解：延长CD到点E，使得DE＝CD，连结AE，BE A ∵ CD是AB边上的中线， E ∴ AD＝DB． 又∵ DE＝CD， D ∴四边形ACBE是平行四边形． ∵ ∠ACB＝90°， ∴四边形ACBE为矩形
2
1 1 又 OA AC , OB BD 2 2
B
C
例2 在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD为AB 边上的中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连 结AE，BE，请说明四边形ACBE为矩形．
解
∵ CD是AB边上的中线， ∴ AD＝DB．
又∵ DE＝CD， ∴四边形ACBE是平行四边形． (对角线互相平分的四边形是平行四边形．) ∵ ∠ACB＝90°， ∴四边形ACBE为矩形 (有一个角是直角的平行四边形是矩形。)
19.2.1 矩形的判定
实际问题
工人师傅为了检验两组对边 相等的四边形窗框是否成矩形， 一种方法是量一量这个四边形的 两条对角线长度，如果对角线长 度相等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
探究1
对角线相等的平行四边形是矩形
D O
C
已知：平行四边形ABCD，AC=BD. A 求证：平行四边形ABCD是矩形. 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180°
矩形之歌
脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门.
对角线段皆相等，相互交叉且平分.
内有直角三角形，斜边中线半斜边. 若要牢记其定义，直角平行四边形.
课堂小结
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
具有平行四边形的一切特征.
矩形的性质： 四个角都是直角.
对角线相等且平分. 有一个角是直角的平行四边形.
矩形的判定： 对角线相等的平行四边形.
O
C B 公平，因为OA=OC=OB=OD
10. 小明想要做一个矩形像框，于是找来两根长 度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你 有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？
3.下列说法错误的是（ C ）
A. 矩形的对角线互相平分。
B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形。
D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 4. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三 角形一共有（ B ） A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对
5. ABCD的对角线AC、BD相交于点 O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这 个平行四边形的面积。
19.2 特殊平行四边形 (第2课时)19.2.1矩形(矩形的判定)
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形 已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 ， 。 求证：四边形 是矩形。 求证：四边形ABCD是矩形。 A 是矩形 ， 证明: 证明 因为 AB=CD, BC=BC, AC=BD，
B D
C
矩形的判定方法： 矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 对角线相等且互相平分的四边为四边形ABCD是平行四边形， 因为四边形 是平行四边形， 是平行四边形 AC=BD， ， （或OA=OC=OB=OD） ）
方法1： 方法 ：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2： 方法 ：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 方法3： 方法 ：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
下列各句判定矩形的说法是否正确？ 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； ）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； ）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形 ）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； ）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； ）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； ）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； ）一组对角互补的平行四边形是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； ）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 ）一组邻边垂直， 矩形。 矩形。
19.2.1 矩形(2)(矩形的判定)
课题19.2.1 矩形（2）（矩形的判定）第（ 2 ）课时课型新授教学目标知识与技能理解矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达．过程与方法经历探索矩形的判定过程，培养实验探索能力．形成几何分析思路和方法．情感态度与价值观在探究过程中养成独立思考的习惯,在引导学生研究性学习中培养学生合作交流的学习意识重点理解矩形的判定定理难点矩形的判定及性质的综合应用．课前准备教具学具补充材料平行四边形框架学案问题与情境师生活动设计意图一.复习巩固，引入新知：二.矩形判定定理的证明：判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定．判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．教师解释：也就是说：证明一个四边形是矩形可先证这个四边形是平行四边形，然后再证这个平行四边形有一个角是直角．学生活动：观察教具，回忆学过的矩形定义，深刻理解定义可作为矩形判定的方法之一，并归纳出通俗易记的构架：先证 →再证一个Rt△→矩形．教师活动：出示教具继续操作，探究，提问：当矩形一个角变成90°后，其余三个角同时都变成90°，两条对角线也成为相等的线段，那么这个变形中你们想到了什么呢？能从中得到怎样的启发？学生活动：观察、联想后，提出各自的见解：考虑到对角线，因为四边形的两条对角线在保持互相平分的前提条件下，无论怎么伸缩，它们的长度都是相等时，平行四边形将变为矩形．（如图）判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．教师解释：也就是说，要证明一个四边形是矩形，复习旧知，温故新知。
利用教具，生动直观形象，并且利用上节课的矩形的定义来反过来判定是否是矩形。
教师提示学生，充分体现学生学习的主体地位。
19.2.1 矩形
12.已知：如图BE、CF是△ABC的两条高，M为BC 已知：如图 、 是 的两条高， 为 已知 的两条高 的中点，连结ME、MF. 的中点，连结 、 1 求证：（ ）ME= BC；（ ）ME=MF. 求证：（1） ；（2） ：（ ；（ A 2
A E F B F B M
题图） （第12题图） 题图
3.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点 ， 如图，在矩形 相交于点O， 如图 中 与 相交于点 AB=3cm，BC=4cm 则AC= 5 cm，AO= 2.5 cm， ， ， ， BO= 2.5 cm.
A O
┓
D
A D B
（第4题图） 题图）
B
（第3题图） 题图）
C
C
4.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， 已知△ 是直角三角形， 已知 是直角三角形 ° BD是斜边 上的中线 （1）若BD=3㎝，则 是斜边AC上的中线 是斜边 上的中线.（ ） ㎝ AC= 6 ㎝；（ ）若∠C=30°，AB=5㎝， ；（2） ° ㎝ ㎝ ㎝. 则AC= 10 ，BD= 5
E D
1 ∵CD=DE= CE 2 1 ∴ CD = AB 2
C
B
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A D C B
几何语言: 几何语言
在Rt△ACB中： △ 是斜边AB上的中线 ∵ CD是斜边 上的中线 是斜边
1 AB ∴ CD= 2
A
D
在矩形ABCD中： 中 在矩形
A
O
C
H
B
G
四个同学做投圈游戏， 四个同学做投圈游戏，他们分别站在一个矩形的四个 顶点处，目标物放在对角线的交点处， 顶点处，目标物放在对角线的交点处，这样的队形对 每个人公平吗?为什么 为什么？ 每个人公平吗 为什么？
19.2.1矩形(一)
教 学 目 标
1、 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。 并 渗透运动联系、从量变到质变的观点． 培养严谨的推理能力，以及自主合的精神，体会逻辑推理的思维价值。 矩形的性质． 矩形的性质的灵活应用．
边长 4 cm．求 直角三角形的 中常用的方法． 定 理 ：
x 2 + 8 2 = ( x + 4) 2 ，解得 x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm． 例 3（补充） 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DF⊥AE 于 F，若 AE=BC． 求证：CE＝EF． 分析：CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AF＝BE，则问题解决，而证明 AF＝BE，只要证明△ABE≌△ DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠B=90°，且 AD∥BC． ∴ ∠1=∠2． ∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°． ∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE， ∴ △ABE≌△DFA（AAS）． ∴ AF=BE． ∴ EF=EC． 此题还可以连接 DE，证明△DEF≌△DEC，得到 EF＝EC．
第三步：随堂练习
1．（填空） （1）矩形的定义中有两个条件：一是 为 、 、 、 ． ，二是 ． （ 2 ） 已 知 矩 形 的 一 条 对 角 线 与 一 边 的 夹 角 为 30 ° ， 则 矩 形 两 条 对 角 线 相 交 所 得 的 四 个 角 的 度 数 分 别 2．已知：如图，O 是矩形 ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．
19.2.1矩形的判定(一)
矩形的判定：
一起来证明：四个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图，∠A=∠B=∠C=∠D=90° 求证：四边形ABCD是矩形 证明： ∵ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴ ∠A +∠B = 180° ∴AD∥BC ∴ ∠A +∠C = 180° ∴AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
实际上：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的性质：
一起来证明：对角线相等的平行四边形是矩形．
已知：如图平行四边形ABCD的对角线AC,BD相 交于点O，AC=BD 求证：平行四边形ABCD是矩形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB = DC ， 又∵AC = BD，BC = CB
∴△ABC≌△DCB(SSS) ∴∠ABC = ∠DCB 又∵ AB ∥ DC ，∠ABC +∠DCB = 180° ∴∠ABC = ∠DCB = 90° ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
矩形的判定：
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 判定1：有三个角是直角的四边形是矩形． 判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．
小明判定一个图形为矩形的下列方法中哪些正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ×）
（2）四个角都相等的四边形是矩形；（√）
（3）对角线相等的四边形是矩形；（×）
解：∵△OAB是等边三角形 ∴AO=OB=AB=4
又∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. ∴AO=CO ,BO=DO ∴AO=CO =BO=DO=4 ∴AC=BD=8 ∴平行四边形ABCD是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形．)
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八年级数学 19.2.1矩形（1） 时间：
课型：新授 主备人：王素芬 审稿人：
一、学习目标：
1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。
2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。
3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。
二、研读教材，解读目标;
1、 叫做矩形。
矩形是 的平行四边形。
2、 问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，•那么矩形是否具有它独特的性质呢？
由平行四边形对边平行以及刚才变角∠α为90°可以得到∠α的补角也是90°，从而得到矩形四个角都是直角．
评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°
教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，观察这两条对角线的关系，并要求证明（口述）．
观察发现：矩形的两条对角线_____，口述证明过程是：充分利用（SAS ）
三角形全等来证明．
提问：AO=_____AC ，BO=______BD 呢？
BO 是Rt △ABC 的什么线？•由此你可以得到什么结论？
观察、思考后发现AO=12AC ，BO=12
BD ，BO 是Rt △ABC 的中线．•由此归纳直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________
三、范例点击，应用所学
例1 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，•
求矩形对角线的长．
思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB ，由于∠AOB=60°，因此，•可以发现△AOB 为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm ，∴AC=BD=2OA=8cm ．
四、巩固训练，达成目标：
1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ）
A 、22.5°
B 、45°
C 、30°
D 、60°
2、矩形的两条对角线的夹角为60
为 。
3、已知：如图2，矩形ABCD 中，E 是BC 上 一点，AE DF ⊥于F ，若BC AE =
4、折叠矩形ABCD 纸片， 先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD
上A′位置上，折痕为DG 。
AB=2，BC=1。
求AG 的长。
5
6于E ，
7AB AC=5 3，求△ADC 的周长。