4.1对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
(整理)对弧长的曲线积分.
对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
第一节对弧长的曲线积分
应用格
记 L 和 l ¯ 所围的区域为
林公式 , 得
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 ,
在D 内
具有一阶连续偏导数,
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
(3)
(4) 在 D 内每一点都有
与路径无关, 只与起止点有关.
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
则
定积分是第二类曲线积分的特例.
说明:
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
证明: 下面先证
存在, 且有
对应参数
1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
则
即
同理可证
①
②
①、②两式相加得:
2) 若D不满足以上条件,
则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
证毕
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
格林公式
例如, 椭圆
所围面积
例1.
设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
沿直
求 F 所作的功 W.
已知 F 的方向指
一质点在力场F 作用下由点
2. 设曲线C为曲面
与曲面
从 O x 轴正向看去为逆时针方向,
(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分
解: (1)
(2) 原式 =
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。
本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。
一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。
这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。
在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。
在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。
二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。
例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。
此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。
例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。
三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。
一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。
在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。
对弧长曲线积分课件
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
对弧长和曲线积分
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
1. 对弧长的曲线积分：
对弧长的曲线积分也被称为第一类曲线积分，它是对弧长进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得曲线段上变力所做的功。
在这种方法中，我们假设线段在每一点的线密度为
f(x,y)，那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds，则有ds与dx、dy满足勾股定理。
在这种情况下，我们可以将
力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
这样，力F所做的功就可以分解为沿着
x轴和y轴的两个分量分别所做的功，再将它们相加即可得到
总功。
2. 对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分也被称为第二类曲线积分，它是对坐标进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得沿着曲线段的功。
在这种方法中，我们将曲线段看作是由许多微小的线段组成的，然后对每一段微小的线段进行积分。
在线段上每一点，我们都有P=Fcosα，Q=Fcosβ，其中F是与x轴夹角为α，与y轴夹
角为β的力。
这样，我们就可以将力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
然后，我们可以将沿着x轴和y轴的两个分量分别与坐标x和y相乘，再将它们相加即可得到总功。
总之，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
在解决实际问题时，我们需要根据具体场景选择合适的积分方法。
第一节对弧长的曲线积分
计算曲线积分？
例2 计算L 的一段弧．
y d s, 其中L是抛物线 y x2 上从点O(0,0)到点B(1,1)
解 曲线的方程为yx2 (0x1)，因此
L
y ds
1
0 1
x 2 1 ( x 2 ) 2 dx
2
1 x 1 4 x dx (5 5 1) ． 0 12 y
A f ( x, y )ds
C
z
z f ( x, y)
y
C
si
x
５．对弧长的曲线积分的性质：
(1)、 L [ f ( x, y ) g ( x, y )]ds L f ( x, y )ds L g ( x, y )ds ； (2)、 L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k 为常数)； (3)、 L f ( x, y )ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds (L=L1L2)．
[(a cost )
2
(x 2 y 2 z 2 )ds
2
0
(a sin t ) 2 (kt) 2 ] (a sin t ) 2 (a cost ) 2 k 2 dt
2 2
(a k t ) a k dt
2 2 2 0
2
z k
2 a 2 k 2 (3a 2 4 2 k 2 ) ． 3
作乘积f(x i, h i) s i，并作和
f (x ,h )s ，
i 1 i i i
n
若当各小弧段的长度的最大值l0时，这和的极限总存在，则称
此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线
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则有
a
b
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f ( r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
Mk sk M k 1
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
lim L f ( x, y ) ds 0 f ( k ,k )sk
k 1 n
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L f ( x, y )ds
f ( r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
2. 性质
(1)
( 2)
L g ( x, y, z )ds ( , 为常数 )
2
f ( x, y , z ) d s
1
f ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
(3)
ds l
( l 曲线弧 的长度)
( 由1 , 2 组成)
例2. 计算曲线积分 线
其中为螺旋
的一段弧.
解:
( x y z ) ds
2
2
2
a k
2
2
0
2
[a k t ] d t
2
2 2
2 3
a k (3a 4 k )
2所截的圆周.
被平面
解: 由对称性可知
1 1
2 x ds
2
2
y ds
2
2
z ds
2
x ds
2
3
( x y z ) ds a ds
3
3 2 3
2
1 3
a 2 a
2
a
内容小结
1. 定义
L f ( x, y ) ds
f ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) d s
L
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中 dx 可能为负.
3. 性质
(1)
f ( x, y, z ) g ( x, y, z ) ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
B
为计算此构件的质量, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
M
k 1
n
A
2.定义 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
3. 计算 • 对光滑曲线弧
L L
f ( x, y ) d s
f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
f ( x, y ) ds f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x
a b
• 对光滑曲线弧
L
f ( x, y ) d s
f [ (t ) , (t )] (t ) (t ) d t
证: 根据定义
lim f ( k , k ) sk
0
k 1 n
设各分点对应参数为 点 ( k ,k )对应参数为
s k
tk
k 1
t
(t ) (t ) d t
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x) (d y )
2 2 2 2
y
(t ) (t ) d t
o
因此上述计算公式相当于“换元法”.
ds d y dx x x
如果曲线 L 的方程为
: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t )
则
f ( x, y , z ) d s
f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
例1. 计算
第四章
曲线积分
积分学 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分
积分域 区间域 平面域 空间域
曲线积分
曲线域
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
2 2
2
2
( k ) ( k ) t k ,
则
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0
k 1
2 2
n
注意 (t ) (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0
k 1
n
因此
（k 为常数)
(3)
f ( x, y, z ) ds
(由
1
f ( x, y , z ) d s
2
f ( x, y , z ) d s
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
二、对弧长的曲线积分的计算
基本思路: 求曲线积分 定理:
转化
计算定积分
是定义在光滑曲线弧 且
2 2
上的连续函数, 则曲线积分
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1)
0
0
1
x 1 4 x dx
3 2 1
y
2
B(1,1)
yx
2
x
1
L
0
1 2 (1 4x ) 12
o
1 x
1 12
( 5 5 1)
( k ,k , k )
n
0
lim
f ( k ,k , k )sk
记作
k 1
f ( x, y , z ) d s
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分.
称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M ( x, y, z ) ds