van der Pol
非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法
垫拯生』选盆煎非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。
苏志霄郑兆昌（清华大学工程力学系，北京，１０００８４）谁≮＇Ｉ广摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。
进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及周期特性。
关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。
然而。
由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。
各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。
运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。
与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。
非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。
因此，非线性系统的响应具有连续递推性。
由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。
本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。
该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。
计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。
文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。
Duffing振子和Van der Pol振子耦合的动力学行为分析
Duffing振子和Van der Pol振子耦合的动力学行为分析王晓东;杨绍普;赵志宏【摘要】针对耦合非线性混沌振子复杂的动力学行为,本文将Duffing振子和Van der Pol振子进行耦合,建立了Duffing振子和Van der Pol振子的耦合模型.与单个振子相比,耦合Duffing振子和Van der Pol振子表现出了更加丰富的动力学特性,采用Simulink仿真的方法,通过不同策动力幅值、不同耦合系数、不同频率下耦合非线性振子的相图和庞加莱截面图分析了耦合非线性振子的动力学行为,研究了耦合振子对微弱周期信号的敏感性和对噪声的免疫力,并将此模型应用于微弱信号检测的研究中.【期刊名称】《石家庄铁道大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(028)004【总页数】6页(P53-57,80)【关键词】混沌;耦合振子;微弱信号检测;仿真【作者】王晓东;杨绍普;赵志宏【作者单位】石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043;石家庄铁道大学机械工程学院,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043;河北省交通安全与控制重点实验室,河北石家庄050043【正文语种】中文【中图分类】TH165+.3近年来, 对混沌的研究从低维时间系统转向高维时空系统。
将若干不同的非线性振子(如Van der Pol振子、Duffing振子等)相互耦合, 构成的耦合非线性振子系统, 是研究时空混沌的较为理想的模型[1-2]。
由于耦合系统兼有两个振子的共同特性，会表现出更加复杂的动力学行为，所以耦合振子的动力学行为在理论和应用中具有重要意义, 因而日益受到重视。
经典的Duffing 及Van der Pol振子虽然在表达形式上很简单，但是由于具有丰富的动力学特性而极具代表性，它们常常被用来模拟系统的非线性特性，比如用耦合非线性振子系统描述和处理生物学、化学、光学、凝聚态物理学等众多领域的物理过程。
一类Duffing-Van der Pol方程的混沌
一类Duffing-Van der Pol方程的混沌张曙光;蔡雅丽;刘瑞华【摘要】研究了带线性恢复力和外力激励的Duffing -Van der Pol方程,该系统由未扰动系统经拟周期扰动而得.应用动力系统的分支理论, Melnikov方法,二阶平均方法和混沌理论,得到该系统的平均系统产生混沌的准则,数值模拟验证理论结果正确.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2010(032)003【总页数】6页(P22-27)【关键词】Duffing-Van der Pol系统;Melnikov 方法;平均方法;混沌【作者】张曙光;蔡雅丽;刘瑞华【作者单位】焦作师范高等专科学校,数学系,河南,焦作,454000;湖南师范大学,数学与计算机科学学院,湖南,长沙,410081;焦作师范高等专科学校,数学系,河南,焦作,454000【正文语种】中文【中图分类】O415.5Key words:Duffing-Van der Po l equation;M elnikovm ethods;second-order averagingm ethods;bifurcations; chaosDuffing-Van der Po l方程在非线性振动过程的模拟中有很广泛的应用,经常被用来模拟色散媒介(折射率依赖于光学强度)中的光学的双稳定性[1];也用于模拟流量导致的结构的振动问题[2];这有益于直接理解非线性振动中的动态行为.很多学者对Duffing-Van der Pol方程进行了深入研究.例如,文献[3,4]中研究了不带外力的Duffing-Van der Pol方程的随机形式,作者得到了分支行为,概率分布函数和随机行为.而分支结构、混沌行为和混沌控制在文献[5～8]中进行了研究.Kap itaniak和Steeb[9]研究了单势能井的Duffing-Van der Pol方程,得到了在不同参数区间中的周期和混沌运动,和两种不同的通向混沌道路:周期倍分支到混沌和crisis到混沌.1994年Yagasaki[10]研究了单势能井的带拟周期外力的Van der Po l-Duffing方程,证明了当两个共振发生时,在一定的参数区域内的未扰动的周期轨附近存在横截相交的同宿运动,因此混沌存在.Kao和W ang[1]研究了双势能井的Duffing-Van der Po l方程,得到mode-locking,m u ltip le hysteresis,周期倍分叉到混沌,阵发混沌和crisis现象.然而,对于带有参数激励项的Duffing-Van der Po l系统的研究甚少.本文考虑如下的Duffing-Van der Po l系统:其中p1,b1,α1,β1,γ1,ω1,ω2,f,ψ是实参数.在物理上,p1被看作是耗散或阻尼因子,α1,β1,γ1是非线性强度系数,f和ω1分别是外力的振幅和频率,b1cosω2t为参数激励项,ψ为外力的相差.如果f=b1=p1=0,系统(1)是未扰动系统也就是说,对系统(2)施以扰动项p1(x2-1)˙x,b1cosω2t,fcos(ω1t+ψ)后,系统(2)即为系统(1).在拟周期扰动下即ω1和ω2不是有理数关系时,找不到Poincar e截面,因而不能对系统(1)直接应用M elnikov方法.因此,利用二阶平均方法,将系统(1)转化为周期扰动下的Ham iltonian系统;再应用M elnikov方法得到平均系统(Ham iltonian系统)的混沌存在条件.1.1 平均系统为了应用二阶平均方法,系统(1)可写为其中εf1=f,ε2p=p1,εα=α1,εβ=β1,εb=b1,εγ=γ1.假设ω2=nω1+ευ,υ与ω1不是有理关系.令τ=ευt,对系统(3),应用Van der Po l的变换并应用二阶平均方法,再作时间变换,对于n=1,2,3,分别得到系统(3)的平均系统如下: 对于m1≠m2,如果0<f1<m2,则f(r)=0有五个不同的零点;如果f1=m2,则f(r)=0有四个不同的零点;如果m2<f1<m1,则f(r)=0有三个不同的零点;如果f1=m1,则f(r)=0有两个不同的零点;如果f1>m1,则f(r)=0只有一个零点.对于m1=m2,如果0<f1<m1,则f(r)=0有五个不同的零点;如果f1=m1,则f(r)=0有三个不同的零点;如果f1>m1,则f(r)=0只有一个零点.(ii)9β2+40γΩ=0时,h(r1)=h(r2)=0,h(r3)>0,h(r4)<0;令m1=h(r3).如果0<f1<m1,则f(r)=0有三个不同的零点;如果f1=m1,则f(r)=0有两个不同的零点;如果f1>m1,则f(r)=0只有一个零点.(iii)当9β2+40γΩ<0时,h(r1)>0,h(r2)<0,h(r3)<0,h(r4)>0;令如果m2<f1<m1,则f(r)=0有三个不同的零点;如果f1=m1或f1=m2,则f(r)=0有两个不同的零点;如果f1>m1或0<f1<m2,则f(r)=0只有一个零点.(III)当Ω<0,81β2+200γΩ≤0时,h(r)没有极值点而且只有一个零点.因此,对任意的f1, f(r)=0只有一个零点.系统(7)的奇点(r＊,0)的稳定性由特征值λ2=-h′(r＊)h(r＊)/r＊决定.如果h′(r＊)/r ＊>0,则奇点(r＊,0)是中心点;如果h′(r＊)/r＊<0,则奇点(r＊,0)是鞍点.当h′(r＊)=0时,奇点有两个零特征值.图1(a)是系统(7)的奇点的分支图,此图表明了当其它参数固定,而f1变化时,奇点是如何产生和消失的,此时Ω=-8.05,β=-9,α=0.53.此图表明当f1>f1B=8.029 77时,系统只有一个奇点.当f1减少并且通过f1B时,两个新的奇点产生,并且发生鞍结点分支.当f1=f1A=3.45692时,另一个鞍结点分支发生,并且当f1A<f1<f1B时,系统(7)有三个奇点;当0<f1<f1A时,系统(7)有五个奇点.在奇点处的能量函数H(u,v)表示为图1(b)表示奇点处的能量函数如何随着f1变化而变化.当Ω=-8.05,β=-9,α=0.53及0<f1< f1A时,系统(7)有五个奇点Ej(uj,0),j=1,2,3,4,5,u5>u4>u3>u2>u1其中E1,E4是鞍点,而E2,E3,E5是中心.当0<f1<f1A和f1≠f1C=1.493时,Ham iltonian能量函数(13)在两个鞍点E1和E4处的值不同,因此,每个鞍点有一条连接到它自己的同宿轨道.当f1=f1C=1.493时,Ham iltonian能量函数在两个鞍点E1和E4处的取值相同,所以这两个鞍点E1和E4由两条异宿轨道连接.图2(a)-(c)分别给出了系统(7)在f1=1,f1=f1C=1.493,f1=3.2处的不同的相图.在图2(b)中,鞍点E4由一条连接到它自身的同宿轨道以及和鞍点E1连接的两条异宿轨道,鞍点E1有一条连接到它自身的同宿轨道以及和鞍点E4连接的两条异宿轨道;在图2 (c)中,鞍点E4有一条同宿轨道和另一条同宿轨道连接到它自己,鞍点E1有一条同宿轨道和另一条同宿轨道连接到它自身.1.2 平均系统的混沌由前面的分析我们知道,系统(5)是非自治系统,可用M elnikov方法来得到混沌的存在条件. M elnikov函数为:成立,我们得到当ω2=ω1+ευ时,拟周期扰动下由同宿和异宿分支产生混沌的存在性条件:定理1假设条件(14)满足,则如果轨道(u0(t),v0(t))是异宿轨道,那么发生异宿分支;或者如果轨道(u0(t),v0(t))是同宿轨道,那么发生同宿分支;从而,在系统(5)或者(3)中可能发生混沌运动.本节进行数值模拟以验证上节中的理论结果.令则条件(14)可以写为Mi>1,i=1,2,3当Ω=-8.05,β=-0.91,α=1.5,f1=1.493,υ0=,ω1= 0.8,γ=1.53.ψ=0时,给出了同宿轨道和异宿轨道Γ1的分支曲面.取参数α1=0.067 08,β1=-0.402 927 2,ω1=0.8,f=0.066 766 96,ψ=0,υ=,γ1= 0.068 421 6,则有M1大于1,从定理1可知,系统(3)可能出现混沌.当ω2=ω1+ευ时,系统(3)的混沌轨道和Poincare映射分别见图4(a)和4(b),其对应的Lyapunov指数为0.036 69.因此,验证了定理1.【相关文献】[1] KAO Y H,WANGC S.Analog study of bifurcation structures in a Van der Poloscillatorw ith a nonlinear restoring force[J].PhysRev E, 1993,48:2 514-2 520.[2] PARL UTERBORNW.Period-doubling cascadesand Peril’s staircasesof theD riven Van der Poloscillator[J].PhysRev A,1987, 36:1 482-1 434.[3] L IANG YN S.B ifurcation in the noiseDuffing-Van der Po lequation[M].Sp ringer,New York:Stochastic Dynam ics,1999:49-70.[4] NAWACH IVAGA N S,SOW ERSR B,VEDULA L.Non-standard reduction of noise Duffing-Van der Po lequation[J].Dyn Syst,2001,16 (3):223-245.[5] KAKAMEN IFM M,BOWVNG S,TCHAWOUA C,etal.Strange attractorsan chaos control in aDuffing-Van deroscillatorw ith two external periodic forces[J].JSound Viber,2004,227:783-799.[6] LAKSHMANANM,MURAL IM.Chaos in nonlinearoscillations[J].W orld Scientific,1996.[7] LEUNGA Y T,ZHANGQ p lex norm al form for strongly non-linear vibration system sexemp lified byDuffing-Van der Po lequation[J] .J Sound V iber,1998,213(5):907-914.[8] RAJASIKAR S,PARTHASARATHY S,LAKSHMANANM.Prediction of horseshoe chaos in BVP and DVPoscillators[J].Chaos,Solitons and Fractals,1992,2:271-280.[9] KAPITAN IAK T,STEEBW H.Transition to chaos in a generalized Van derPol’sequation.Sound and V ibration[J].1990,143(1):167-170.[10] YAGASAK IK.Homoclinic tangles,phase locking,and chaos in a two frequency perturbation of Duffing’s equation[J].JNon linear Sci, 1999,9:131-148.。
周期激励下van,der,Pol
周期激励下van,der,Pol许多领域都存在快慢系统，如机械工程、生物神经[3-4]、化学反应[5-6]、电子电路[7-8]等。
快慢系统极易出现簇发振动（也称作混合模式振动）[9-10]，即由若干较大振幅振动（激发态）和若干微小振幅振动（沉寂态）交替变化构成的周期振动[11-12]。
针对此类现象，早期研究主要侧重于实验、数值模拟等方法。
直到Rinzel，Izhikevich等[13-14]将快慢分析法和分岔理论引入到簇发现象的分析中，簇发现象的产生机理才开始被许多学者关注。
王晓宇等用快慢分离和多尺度法，研究了计入子星姿态的绳系卫星系统在平衡位置附近的稳态振动，并发现了子星的高频振动和系绳的低频振动之间存在明显的耦合现象。
Jiang等发现了当轻量杆的转动惯量远小于电机的转动惯量时，带柔性杆的电机一连杆系统为快慢耦合系统。
文献[17-21]深入研究了大量神经元模型的簇发振动行为及其在各种复杂结构下的多尺度同步转迁过程。
文献[22-25]针对分段、多频、非光滑、高维等因素下的复杂非线性系统的簇发振动及其产生机理做了大量工作。
李向红等[26-27]给出了包络快慢分析法，该方法适用于三时间尺度的簇发现象机理研究，并在参数变易法的基础上提出了一种适合快慢系统的近似解析方法。
刘富豪等建立了基于速度协调法的齿轮副碰撞动力学模型，提出了针对该模型的“碰撞”数值算法，并利用该算法计算出了系统周期解对应的离散状态转移矩阵，进而求得了Floquent乘子，借此判断了系统周期解的稳定性。
最近，Roberts等研究了气候数据中复杂的混合模式振动行为。
Mitra等针对辉光放电等离子体系统，探讨了无碰撞磁化等离子体混合模式振动的典型现象及其相应的非线性行为。
Kingston等采用实验与数值仿真两种方法，得到了基于忆阻器的Lienard系统中存在混合模式振动。
另一方面，van der Pol-Rayleigh系统是一类典型的自激振动系统，常常用来模拟生物力学、机械工程和电路系统等工程领域的非线性行为。
改进型Van der Pol-Duffing混沌振子的同步研究
— — — —
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已知 时 ， 设计 了简单 实用 的线性 反馈 控制器 ， 实现
了两个相 同 的 ＭＶＤ Ｄ 混沌 振 子 的 同步 ， 给 出 Ｐ 并
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了保守性 较小 的 同步条件 ； 当参数 未知 时 ， 设计 在
参 数 自适 应律 的基 础 上 ， 分 利用 参 数 辨识 的结 充 果 ， 用两 个较 简单 的控 制 器实 现 了两 个 ＭＶＤ 利 — Ｐ Ｄ混 沌振 子 的 同 步 ， 同 时 将 驱 动 系统 的 未 知 并 参数 辨识 出来 。
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“ — ０， ３ 一 一 （ 一 ． ２ “ ｙ）一
定性 理 论 ， 计 了一 个线 性 反 馈 控 制 器 ， 两个 相 同 的改 进 型 Ｖ ｎｄ ｒ ｏ Ｄ ｆｎ 混 沌振 子 同 步 ， 设 使 ａ ｅ Ｐ ｌ ｕｆ ｇ — ｉ 并得 出了保 守性 较 小 的 同步 条 件 ； 当驱 动 系统 的 参数 未 知 时 ， 用 自适 应 控 制 方 法 ， 利 选择 了适 当 的 自适 应 律 ， 造 了 两 个 构
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２０ ０ ７年 第 ５期
王 绍 明 ， ： 进 型 Ｖａ ｅ ｏ— ｕ ｉｇ混 沌 振 子 的 同 步 研 究 等 改 ｎｄ ｒＰ ｌ ｆ ｎ Ｄ
５９ ３
仍 写成 式 （ ） 响 应系统 写成 ： ２，
｛ ａ ㈦ 兰 著Ｔ －
收 稿 日期 ： ０ ７０ ７ ２ ０ — ３０
基 金 项 目 ： 北 省教 育 厅科 学 技术 重 点 项 目（ ２ ０ ６ ０ １ ； 家 自然科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ４ 】 ） 湖 Ｄ ０５００）国 ６ ４ ０ １ ７ 作 者 简介 ： 绍 明 （ ９ ６）男 ， 阳 师 范 高等 专 科 学 校 副 教 授 ， 士． — ｉ ｓ ａｍｉｇ ｎ ＠ １３ ｃｒ 王 １ ６一 ． 郧 博 Ｅ ｍａｌ ｈ ｏ ｎ ｗａ ｇ ６．ｏ ： ｎ
退化点上van del Pol—Mathieu方程分叉解的稳定性研究
又 进 行 了 全 面 的研 究 ； 献 ［ ］ Ｅ ］ 究 了 Ｍａｈｅ 文 ６和 ７研 ｔ ｉｕ方 程 的 亚 谐 分 叉 解 的拓 扑 结 构 ； 献 文 Ｅ ］ 究 了 强 非 线 性 振 动 系 统 的普 适 开 折 问 题 ， 对 ｖ ｎ ｄ ｒＰ ｌＭａｈｅ ８研 但 ａ ｅ ｏ － ｔ ｉｕ方 程 分 叉 零 解
Ｋｅ ｒ ｓ： ｉｕ ｃ ｔｏ ｓ ａ ｉｉ ｙ ｗｏ ｄ ｂ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ； ｔ ｂ ｌ ｙ；ｃ ｎ ｅ ａ ｉｏ ｄ ｍ ｅ ｈ ｄ； ｐ ｉｕ ｃ ｔｏ ｔ ｅ ｔ ｒ ｍ ｎ ｆ ｌ ｔ ｏ Ｈｏ 质 是 非 线 性 微 分 动 力 系 统 的一 个 非 常 重 要 的 特 性 ， 几 十 年 来 一 直 是 非 线 性 近 动 力 系统 理 论 研 究 的重 要 课 题 ．在 非 线 性 振 动 领 域 中 ， 已有 许 多 研 究 者 对 广 泛 应 用 于
电路 、 械 和 工 程 技 术 实 践 中 的 非 线 性 振 动 系 统 的分 叉 特 性 进 行 了 系 统 的 研 究 ． 文 献 Ｅ ］ 机 ４
和 Ｅ ］ 非 线 性 振 动 系 统 在 参 数 激 励 和强 迫 激 励 联 合 作 用 下 的 次 谐 分 又 和余 维 ２退 化 分 ｓ对
彭 解 华 ，唐 驾 时 ，于德 介
（． 南 大学 工程 力 学 系 ， 南 长 沙 １湖 湖 ４ ０８ ＃． 南大 学 机械 与 汽车工 程 学 院 ， 南 长 沙 １０２ ２湖 湖 ４ ０８ ） １０ ２
摘 要 ： 究 了 著 名 的 ｖ ｎｄ ｒＰ ｌＭ ａｈｅ 方 程 １ ２次 谐 共 振 分 叉 在 研 ａ ｅ ｏ— ｔ ｉｕ ／ 退 化 点 的 零 解 和 极 限环 的稳 定性 问题 ， 解 的 稳 定 性 用 中心 流 形 方 法研 究 ， 零 Ｈｏ ｆ 叉 产 生 的 极 限 环 的 稳 定 性 用 Ｈｏ ｆ 叉 定 理 解 决 ． ｐ 分 ｐ 分 关 键 词 ： 叉 ； 定 性 ； 心 流 形 方 法 ； ｐ 分 叉 分 稳 中 Ｈｏ ｆ 中 图 分 类 号 ： ２ ０３ ２ 文献标识码 ： Ａ
hopf分岔代码
hopf分岔代码选择合适的微分方程模型来模拟 Hopf 分岔。
例如，可以使用 Van der Pol 振荡器模型，这是一个经典的 Hopf 分岔模型。
需要使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）来求解这个微分方程。
例如，以下是一个用 Python 实现欧拉法的简单示例：pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeintimport matplotlib.pyplot as plt# Van der Pol oscillator equationdef model(v, t):x, y = vdvdt = [x, y]return dvdt# Initial conditionsv0 = [1, 0]# Time pointst = np.linspace(0, 10, 1000)# Solve the ODEv = odeint(model, v0, t)# Plot the resultplt.plot(v[:, 0], v[:, 1])plt.show()这个代码将模拟 Van der Pol 振荡器的运动，并绘制出其轨迹。
可以通过调整模型的参数来观察 Hopf 分岔的行为。
以下是使用 Python 和 Matplotlib 库来模拟 Hopf分岔的简单例子。
这个例子使用了带有非线性耦合项的微分方程：pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.integrate import odeint# Define the model equationsdef model(w, t, mu):x, y = wdx_dt = mu*x - y - x*(x**2 + y**2)dy_dt = mu*y + x - y*(x**2 + y**2)return [dx_dt, dy_dt]# Define the initial conditions and parametersw0 = [0.5, 0.5]mu_values = [0.0, 0.5, 1.0]t = np.linspace(0, 10, 1000)# Initialize the figure for plottingfig, axs = plt.subplots(1, len(mu_values))# Iterate over the mu valuesfor i, mu in enumerate(mu_values):# Solve the ODE using scipy's odeint function w = odeint(model, w0, t, args=(mu,))# Plot the resultsaxs[i].plot(w[:, 0], w[:, 1])axs[i].set_title(f"mu = {mu}")axs[i].grid(True)axs[i].set_xlabel("x")axs[i].set_ylabel("y")axs[i].set_aspect('equal', 'box')# Show the plotplt.show()。
非高斯色噪声激励下Van der Pol-Duffing振子的随机稳定性
已有 的 经典 结 果 ， 过近 似 处 理 ， 非 高 斯 色 噪 声 简 化 为 Ｏｒｓｅ — ｌ ｂ ｃ 程 ， 后 通 过 尺 度 变 换 和 线 性 随 机 经 将 ｎｔｉ Ｕｈｅ ｅｋ过 ｎ ｎ 然 变 换得 到 了 与系 统 响应 的矩 Ｌ ａｕ ｏ 数 相 关 的特 征方 程 ， 过 摄 动 法 求 得 了 矩 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎ ｖ指 通 ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 、 定 指 标 、 大 稳 最 Ｌ ａｕ ｏ 数 的 二 阶近 似 解 ， 出了 系统 响应 声阶 矩渐 进 稳 定 和 几 乎 肯 定 渐进 稳 定 的 条 件 。最后 通 过 对 数 值 结 果 ｙ ｐ ｎ ｖ指 给
矩 不稳定 。Ａｒｏｄ指 出 ， ｎｌ 在一定 的条 件下 ， （ ） 式 ２ 和 （） ３ 的极限 与系统 的初值 无关 Ｚ 。 据Ｋ ａｍｉｋｉ 。 Ｉ根 ］ ｈｓ ｎｉ
和 Ｍｏ ｈ ｈ ｋ的 理 论 Ｌ ， 在 唯 一 的 非 零 解 使 ｓｃ ｕ ２存 ］
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只 限于 几 类 特 殊 的 系统 ， 究 方 法 大 多使 用 摄 动 研
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式中 『 ｌ Ｉ・Ｉ为向量范式 。 ＜Ｏ时 ， 当Ａ 系统 （ ） 乎 １几 肯 定 渐 进 稳 定 （ ｌ ｓ ｕ ｅ ｓ ｍｐｏｉ ｌ ａｍｏ ｔ ｒ ｓ ａ ｙ ｔｔ ａｌ ｃ ｙ ｓａ ｉｔ ） ｔｂｌ ｙ 。当 ｉ ＞０时 ， 系统 （ ） １ 几乎 肯定 不稳定 （ｌ ａ — ｍｏ ｔ ｕｅｉｓａ ｉｔ ） 使 ｓ ｒ ｔｂｌ ｙ 。 一０的点 ， ｓ ｎ ｉ 称为 系统 （ ） １概 率１ 意义上 的分叉 点 ，／ 分叉点 。 于几乎 肯定渐 ＩＤ ￣ ／ 对
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式 中， 丁 ） Ａ（ ＝
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到 了该 系统 组合 共振 解 的振 幅 。 究表 明该 组 合 共振 解 为一种 叉型分 岔 ， 研 并分析 了其 定 常解 的 稳 定性 。运 用奇 异性 理论 分 析 了该 系统 的振 幅对 多频 激励 滞 后 幅值 分岔 响应 曲 线及原 系统 参
数 对 开折 参数 的影 响 。 【 关键 词 】多频 激励 滞后 非 线性 分岔 奇异 性
等 等［ 。多 频激 振 在工 程 中也 是很 常 见 的 ， 】 ］ 如系统 中存 在 有 两个 动 力激 励 源或 行走 机 械在 工 作 时 ， 面引 路 起 的激 励与 系统 本 身 动力 源产 生 的激 励共 同作 用 形 成 多频激 励 。因此 对上 述系 统进 行 研究 具 有较 高 的实
２ 数 学 模 型 及 分 析
滞后 非线 性 ｖ ｎ ｄ ｒＰ ｌ ａ ｅ ｏ 系统 在 两个 频 率 的激励 作用 下 ， 以用 以下微 分方 程 表示 可 五 ＋ －￣ １ 五 １。 ２ 。 （ 一Ｕ ） ＋口Ｕ ＋口 一Ｆｌｏ ２ｏ ｔ ＩＩ １ ｃ ｓ ｌ＋Ｆ ｃ ｓ ２， ￡《
【 中图分 类 号】 ２ 【 Ｏ３ ２ 文献标 识 码ｌ ｈ 【 文章 编 号１ ０ ６３ ２ （ ｏ ２ Ｏ 一 ０ ６Ｏ １ ０ —２ ６ ２ ０存 在 着 大量 滞 后 非线 性 的实 例 ， 磁 滞 回线 、 料 的 内阻 尼 、 摩 擦 引 起 的滞 后 如 材 干
：￡ ２ ， ＝０（ ） 则 式 （ ） 改写 为 ： ＋∞ ， ２ ｌ １， １可 Ｕ “ 一￡五 。 ＋ ｌ。 ２ 一Ｆ Ｃ Ｓ ｌ （ 一“五 “ ＋“Ｕ ） Ｏ ｔ ｆ ２ｏ ａｔ ｌ ｌ １ Ｊ ａ ＋Ｆ ｃ ｓＪ ， ￡ 《 。 ２
采用 多尺 度法 求 解本 系统 的一 次 近似 解 ， 只要 用 两个 时 间尺 度 如下
Ｓｅ ２０ ２ ｐ． ０
ｖ ｎｄ ｒＰ ｌ 后 系统 ａ ｅ ｏ 滞 在 多频 激 励 作 用 下 的动 力 学 分 析
张 雪锋 李韶 华 杨 绍 普
石家庄 ００４ ） ５ ０ ３
（ 家庄铁道学院机械工程分 院 石
【 要】利 用 多尺 度 法 分析 了 ｖ ｎｄ ｒＰ ｌ多频 激 励 滞后 非 线性 系统 的一 类 组合 共振 ， 摘 ａ ｅ ｏ 得
收 稿 日期
２ ０ — ８２ 张 雪 峰 ０ １０ — ４
男 １ ７ ９ ７年 ３月 出 生
硕 士 研 究 生
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第 ３期
张雪 锋 等 ：ａ ｅ ｏ 滞 后 系统在 多频 激励 作 用下 的 动力学 分 析 ｖ ｎｄ ｒＰ ｌ
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式 中 ∞ 、 Ｆ 是常 数 ； 。Ｆ 、 滞后 非 线性 来 源 于 “与 的相位 差 。 考 虑弱 非 线性 系统 ， 上小 参 数 ： ， 若 加 ａ 一ｅ 。
Ｕ（ ） Ｕ （ ， １ ＋ Ｅ ｌ 丁０ Ｔ１ ｆ 一 ０ 丁０ Ｔ ） Ｕ （ ， ） （） ２
式 中 ， 一ｆＴ 一ｇ， （ ） 代 人 （ ） 后 比较 ￡ 同次 幂 ， 到 Ｔ。 ， ｔ将 ２ 式 １式 的 得
，
ｆ５ ＋∞ 一Ｆｃｓ Ｔ＋Ｆｃｓ Ｔ Ｄ ０ ￣ ａ ０ ｚ ％ ０ ｏｈ ｏ
【 “＋ ｌ Ｄ５１ “一一２ ０ ｌ０ １ ５Ｄ Ｕ一 ＋／ （ ００。 Ｄ Ｄ Ｕ＋（ 一“） ００ ｌ３ ． Ｄ Ｕ） １ ２
式 中 ， ， 分 别 为对 ， 的导 数 。 Ｄ。Ｄ 丁 方程 （ ） ３ 的第 一式 解 为
Ｕ 一 Ａ （ ） Ｊ ｏ Ｂ１扣ｌｏ Ｂ２ ２ｏ Ｃ ０ 丁】 ｅ％Ｔ ＋ ｅ ＋ ’ ｅ ＋ Ｃ ’ （） ４
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第１卷 第３ ５ 期
２０ 年 ９ ０２ 月
石 家 庄 铁 道 学 院 学 报
Ｊ ＵＲ ＡＬＯ Ｈ Ｊ Ｚ Ｕ ＧＲ ＩＷＡＹＩ Ｓ ＩＵＴ Ｏ Ｎ ＦＳ Ｉ Ａ Ｈ ＡＮ Ａ Ｌ Ｉ Ｎ Ｔ Ｔ Ｅ
Ｖ ｏ ．１ Ｎ Ｏ．３ １ ５
际应 用 价值 。
非 线性 系统 存 在特 殊 的动 力 学现 象 ， 亚谐共 振 、 谐共 振 、 合共 振 、 岔及 混 沌等 ［ 。系 统 在 多频 如 超 组 分 ３ ］ 激振 力作 用 下 ， 不但 会 发生 主共 振 还会 发 生上 述非 线 性 系统 特有 的共振 ， 当激励 频 率 的线性 组合 约 等 于系 统 的 固有频 率时 ， 线性 系统会 发 生 强烈 的共 振 ， 种共 振称 为 组合 共振 ［ 。 非 这 ２ 目前对 非线 性 系统 的 亚谐 、 ］ 超 谐共 振研 究 很普 遍 ， 实组 合共 振 也具 有 很 大的破 坏 性 ， 其 在工 程 中应 给 于足 够 的重 视 。
多尺度 法是 研 究非 线性 系统 的有 效方 法 ， 可 以方便 地 用来 研 究 多频激 励滞 后非 线 性 系统 的 亚谐 ， 它 超 谐及 组合 共振 问题 ［ 。 文研 究 了具 有 位移 及 速度 立方 滞 后非 线性 的 ｖ ｎｄ ｒＰ ｌ ２ 本 ］ ａ ｅ ｏ 系统 在 多频激 励 下 的组
合共 振 。由此就 可 以很 容 易地 得 到其余 几 种组 合 共振 情 况下 系 统 的动力 学 行为 。研 究 发现 该类 组 合共 振
为一 种树 枝 分岔 。本文 还利 用 奇异 性 理论 对该 系 统 的振 幅进 行 了分 析 ， 到 了该 系统 的普适 开 折 ， 找 并研 究
了原 系统 参 数对 开 折参 数 的影 响 ， 为达 到 控制 系统 的动力 学 行为 提 供 了必要 条 件 。