最新2020年陕西省高三教学质量检测卷一模数学文科试卷
2020年陕西西安长安区高三一模数学试卷(文科)
上恒成立，
．
∴
，
14
解得：
，
∴ 的取值范围为 ．
22.（ 1 ）
，
（
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）直线 的参数方程为
）． （其中 为参数，且
时，得点
，即点 的直角坐标为 ，
又曲线 的极坐标方程为
，
∴
，
∴
，
∴
（
），
即曲线 的直角坐标方程为
（
）．
（ 2 ）将直线 的参数方程代入 整理得
（
），
，其中
， ，
， ． ． ．
7. C 解析:
7
若直线 无斜率，则 ， 关于 轴对称，
故 的中点纵坐标为 ，不符合题意，
设直线 的斜率为 ，则 的方程为
，
即
，
代入
可得：
，
即
，
∵ 的中点纵坐标为 ，
∴
，即
，
∴直线 的方程为：
．
故选 ．
8. B
解析:
∵在
， ， 都有
，
∴在
上为增函数．
，
，
，
∴
．
∴
．
即
，
故选 ．
9. B 解析: 连结 ， ，
则
，
∴
，
8
． 故选 ．
10. A 解析:
，
令
，得
，
∴ 在 上单调递增，在
上单调递减，
又
在
上递增，
∴ 的最大值为 ．
故选 ．
11. D 解析: 如图，设 的中点为 ，连接 ，设 的中点为 ，连接 ．
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(文科)
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|22}A x N x =∈-<<，{1B =-，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．（5分）设21z i i =+g ，则(z = ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3．（5分）记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20S =，则公比(q = ) A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定4．（5分）已知(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，则|2|(a b +=r r )A B ．7 C ．5 D ．255．（5分）“0x >”是“20x x +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数(m = ) A ．23B ．25 C ．23-D ．25-7．（5分）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈8．（5分）已知121(0,0)x y x y+=>>，则2x y +的最小值为( )A ．10B ．9C ．8D ．79．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ；④若m α⊥，αβ⊥，则//m β． 其中真命题的序号为( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10．（5分）有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A ．827B ．56C ．23 D ．1311．（5分）设函数()x f x x e =g ，则( ) A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e-C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为( ) AB．2C．2-D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y x lnx =g在点(1,0)处的切线的方程为 ． 14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件：22022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩…„…，则32z x y =+的最大值是 ．15．（5分）已知22cos sin 2sin()(0x x A x b A ωϕ+=++>，0)ω>，则A = ，b = ． 16．（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋯++ 改写成以下形式：121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋯++ 1231210()n n n n n n a x a x a x a x a -----=+++⋯++ 2313210(())n n n n a x a x a x a x a x a ---=++⋯++++M1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++若5432()(23)(13)(13)(13)(13)1f x x x x x x =+++++++++-，则(23)f -= ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(2sin ,3)2B m =r ，(cos ,cos )2B n B =r，且m n ⊥r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积．18．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，2AB =，11BC BB ==． （Ⅰ）求证：11B C DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥11E DB C -的体积．19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 [0，10) [10，20)[20，30) [30，40) [40，50)人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 20．（12分）已知函数()()f x lnx ax a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．（12分）如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点(8,8)P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N 求证：MF NF ⊥．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程23(2sin x y βββ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 的参数方程3cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2,)6π时，求直线l 的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||(2)|2|()f x x a x x x a =--+--． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若(0,2)x ∈时()0f x …，求a 的取值范围．2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|22}A x N x =∈-<<，{1B =-，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：集合{|22}{0A x N x =∈-<<=，1}，{1B =-，1，2，3}， 则{1}A B =I ， 故选：A ．2．（5分）设21z i i =+g ，则(z = ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --【解答】解：由21z i i =+g ，得212(12)()2i i i z i i i ++-===--． 故选：B ．3．（5分）记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20S =，则公比(q = ) A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定【解答】解：1(1)0a q +=，解得1q =-． 故选：B ．4．（5分）已知(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，则|2|(a b +=rr )A B ．7 C ．5 D ．25【解答】解：Q (1,2)a =r，(1,0)b =r ， ∴2(3,4)a b +=rr ， ∴|2|5a b +=rr ．故选：C ．5．（5分）“0x >”是“20x x +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由20x x +>，解得0x >，或1x <-．∴ “0x >”是“20x x +>”的的充分不必要条件，故选：A ．6．（5分）椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数(m = ) A ．23B ．25 C ．23-D ．25-【解答】解：椭圆2221x my -=的标准方程为：221112y x m +=-，一个焦点坐标为(0,，，解得25m =-，故选：D ．7．（5分）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈【解答】解：解224k x k πππππ--剟得，312244k x k -+剟， ∴函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是31[2,2]()44k k k Z -+∈． 故选：C ． 8．（5分）已知121(0,0)x y x y+=>>，则2x y +的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．7【解答】解：Q121x y +=，且0x >，0y >，∴1242(2)()2248x y x y x y xyy x +=++=++++=…，当且仅当4x y y x=，即24y x ==时取等号，2x y ∴+的最小值为8．故选：C ．9．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β． 其中真命题的序号为( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【解答】解：①根据线面垂直的性质定理，可知①正确； ②根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可知②正确；③若//m α，//n α，则m 与n 的位置关系是平行、相交或异面，即③错误； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，即④错误． 故选：A ．10．（5分）有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A ．827B ．56C ．23 D ．13【解答】解：有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球， 每个盒子放入一个小球，基本事件总数336n A ==， 小球的编号与盒子编号全不相同包含的基本事件有： 编号为1，2，3的三个盒子对应的小球的编号分别为： 2，3，1或3，1，2，共有2个，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163p ==． 故选：D ．11．（5分）设函数()x f x x e =g ，则( ) A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e -C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -【解答】解：()(1)x f x x e '=+，当1x >-时，()0f x '>，函数单调递增，当1x <-时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =-时，函数取得极小值1(1)f e --=-． 故选：B ．12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为( ) A ．22+B ．22+C ．22-D ．22-【解答】解：设MN 与x 轴交于E ，因为四边形PQMN 为正方形，所以OEN ∆为等腰直角三角形，所以2OE NE ON ==，由题意可得半径ON c =， 所以N 坐标2(c ，2)c ，而N 是12F F 为直径的圆交双曲线C 的交点， 代入双曲线方程可得：2222122c c a b-=，而222b c a =-，整理可得：4224420c a c a -+=，离心率ce a=所以可得：42420e e -+=，解得222e =+，所以22e =+， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y x lnx =g在点(1,0)处的切线的方程为 10x y --= ． 【解答】解：由()f x xlnx =，得 11y lnx x lnx x'=+=+g ，f ∴'（1）111ln =+=，即曲线()f x xlnx =在点(1,0)处的切线的斜率为1，则曲线()f x xlnx =在点(1,0)处的切线方程为01(1)y x -=⨯-， 整理得：10x y --=． 故答案为：10x y --=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件：22022020x yx yx y-+⎧⎪--⎨⎪++⎩…„…，则32z x y=+的最大值是10．【解答】解：画出约束条件的可行域，32z x y=+得3122y x z=-+，当3122y x z=-+经过可行域的(2,2)B目标函数取得最大值：322210⨯+⨯=．故答案为：1015．（5分）已知22cos sin2sin()(0x x A x b Aωϕ+=++>，0)ω>，则A2，b=．【解答】解：22cos sin21cos2sin22)14x x x x xπ+=++++，则2A=，1b=，21．16．（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．121210()n n nn n nf x a x a x a x a x a----=+++⋯++改写成以下形式：121210()n n nn n nf x a x a x a x a x a----=+++⋯++1231210()n n nn n na x a x a x a x a-----=+++⋯++2313210(())n nn na x a x a x a x a x a---=++⋯++++M1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++若5432()(2(1(1(1(11f x x x x x x =++++++++-，则(2f -= 0 ．【解答】解：5432()(2(1(1(1(11(((((f x x x x x x =++++++++-=2+ )11111x x x x x +++++++-则(20f =． 故答案为：0．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(2sin 2B m =r ，(cos ,cos )2B n B =r，且m n ⊥r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，b =ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）Q m n ⊥r r ，∴2sin cos 022B BB =．化简得：tan B =，又0B π<<Q ，∴23B π=．（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，222112()2c c =+--，解之得：1c =．∴11sin 1122ABC S ac B ∆==⨯⨯=． 18．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，2AB =，11BC BB ==． （Ⅰ）求证：11B C DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥11E DB C -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：1111ABCD A B C D -Q 是长方体，11B C ∴⊥平面11DCC D ． 又DE ⊂Q 平面11DCC D ，11B C DE ∴⊥．（Ⅱ）2AB =Q ，E 是棱11D C 的中点，11EC ∴=，∴11111111111111111111332326E DB C B DEC DEC V V S B C DD EC B C --===⨯=⨯⨯⨯⨯=V g g g g ．19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 [0，10) [10，20)[20，30) [30，40) [40，50)人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 【解答】解：（Ⅰ）记这50名员工学习得分的平均数为x ， 则1(55151025153513457)26.450x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20)中选2人，记这2人分别为1a ，2a ； 从[20，30)中选3人，记这3人分别为1b ，2b ，3b ． 从1a ，2a ，1b ，2b ，3b 中再任取2人的情况有：12a a ，11a b ，12a b ，13a b ，21a b ，22a b ，23a b ，12b b ，13b b ，23b b 共10种．其中得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的情况有： 11a b ，12a b ，13a b ，21a b ，22a b ，23a b 共6种．记事件A 为“得分在[10，20)和[20，30)中各有1人”则63()105P A ==． 20．（12分）已知函数()()f x lnx ax a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()f x lnx ax =-的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-． ①当0a „时，由()0f x '>，知()f x 在(0,)+∞内单调递增． ②当0a >时，由()0f x '>，即10a x ->得10x a<<， 由()0f x '<，即10a x -<得1x a >，()f x ∴在1(0,)a 内单调递增；在1(,)a+∞内单调递减． 因此，①当0a „时，()f x 在(0,)+∞内单调递增．②当0a >时，()f x 在1(0,)a 内单调递增；在1(,)a+∞内单调递减．（Ⅱ）()f x 有两个零点． 即：方程0lnx ax -=有两个实根， 即：方程lnxa x=有两个实根， 即：函数y a =和()lnx g x x =有两个公共点，21()lnxg x x -'=． 由()0g x '>，即：210lnxx ->，0x e ∴<<． 由()0g x '<，即：210lnxx-<，x e ∴>． ∴1()()max g x g e e==． 又1()0g e e=-<，当1x >时，0lnxx>，∴10a e <<，∴当10a e<<时，()f x lnx ax =-有两个零点． 21．（12分）如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点(8,8)P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N 求证：MF NF ⊥．【解答】解：()I 抛物线的焦点为(2,0)F ， 准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）由()I 知：设直线AB 的方程为：2()x my m R -=∈， 令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，228x myy x -=⎧⎨=⎩，消去x 得：28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-．直线PB 方程为：228888y x y x --=--，22222888(8)8888y y x y x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，∴22816(2,)8y N y --+，同理得：11816(2,)8y M y --+．∴22816(4,)8y FN y -=-+u u u r ，11816(4,)8y FM y -=-+u u u u r ， ∴212121122121212181681616(8)(8)(816)(816)80(16)80(1616)16088(8)(8)(8)(8)(8)(8)y y y y y y y y FN FM y y y y y y y y --+++--+-+=+⨯====++++++++u u u r u u u u r g ，∴FN FM ⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程(2sin x y βββ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 的参数方程cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2,)6π时，求直线l 的倾斜角．【解答】解：()I 由曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(β为参数）．得：cos sin 2y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴曲线C 的参数方程化为普通方程为：221124x y +=．()II 解法一：中点极坐标(2,)6π化成直角坐标为．设直线l 与曲线C 相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y两点，1212122x x y y ++=． 则2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ②-①得222221210124x x y y --+=，化简得：211221123()y y x x x x y y -+=-==-+即tan l k α==． 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π．解法二：中点极坐标(2,)6π化成直角坐标为，将cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩分别代入221124x y +=，2(1sin )14t α++=．∴222(cos 3sin )(6sin )60t t αααα+++-=，∴120t t +==，即6sin 0αα--=．∴sin cos αα=，即tan α= 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||(2)|2|()f x x a x x x a =--+--． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若(0,2)x ∈时()0f x …，求a 的取值范围．【解答】解：()I 当2a =时，()|2|(2)|2|(2)f x x x x x =--+--， 由()0f x <得|2|(2)|2|(2)0x x x x --+--<． ①当2x …时，原不等式可化为：22(2)0x -<， 解之得：x ∈∅．②当2x <时，原不等式可化为：22(2)0x --<， 解之得x R ∈且2x ≠，2x ∴<． 因此()0f x <的解集为：{|2}x x <．()II 当(0,2)x ∈时，()||(2)|2|()(2)[||()]f x x a x x x a x x a x a =--+--=----． 由()0f x …得(2)[||()]0x x a x a ----…， ||x a x a ∴--„，0x a ∴-…， a x ∴„，(0,2)x ∈，0a ∴„，∴的取值范围为(-∞，0]．a。
2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，A={y|y=|x|,x∈U}，则∁U A=()A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−1,−2}D. {1,2}2.已知i为虚数单位，m∈R，若复数(2−i)(m+i)在复平面内对应的点位于实轴上、则复数mi的1−i 虚部为()A. 1B. iC. −1D. −i3.条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%．则上述说法中，正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得()A. 一鹿、三分鹿之一B. 一鹿C. 三分鹿之二D. 三分鹿之一5.在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为()A. 1−√3π6B. 1−√3π12 C. 1−√3π9 D. 1−√3π186. 已知函数f(x)满足f(x)+f(1−x)=1.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A.20192B. 1010C.20212D. 201920207. 一个几何体的三视图如图所示，其体积为( )A. 116 B.116√3C. 32D. 128. 已知函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,13)C. [16,13)D. (16,13)9. 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2−y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( )A. 34 B. 14C. 45D. 3510. 函数的单调递增区间是( )A. [0,5π12]B. [π6,2π3]C. [π6,11π12] D. [2π3,11π12]11. 过抛物线x =14y 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，抛物线的准线与x 轴交于点M ，若|AF|=4，则△AMB 的面积为( )A. 5√33B. 7√33C. 8√33D. 3√312.已知a，b∈R，直线y=ax+b+π2与函数f(x)=tan x的图象在x=−π4处相切，设g(x)=e x+bx2+a，若在区间[1,2]上，不等式m≤g(x)≤m2−2恒成立，则实数m有()A. 最大值eB. 最大值e+1C. 最小值−eD. 最小值e二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,0), b⃗ =(2,1)，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.若sin(π3−α)=45，则cos(2α+π3)=______ ．15.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.在数列{a n}中，a3=12，a11=−5，且任意连续三项的和均为11，则a2017=(1)；设S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n≤100成立的最大整数n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，BC⊥AB，PD=PA=CD=BC=12AB，PB=PC．(1)求证：平面PAD⊥平面PBD；(2)若三棱锥B−PCD的体积为2√23，求PC的长．18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB=√3b.(1)求角A的大小；(2)若0<A<π2，a=6，且△ABC的面积S=73√3，求△ABC的周长．19.为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对300名学生做了问卷调查，列联表如下：已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为415．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；(3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．20. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =√22，已知以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x −y +2=0相切． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过F 1的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=ax 2−lnx +1(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a =1时，f(x)>12x 2+32在(1,+∞)上恒成立．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={0,1，2}；∴∁U A={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数的四则运算，复数的概念，复数的代数形式表示及其几何意义，属于基础题．解：因为复数(2−i)(m+i)=(2m+1)+(2−m)i，又因为复平面内对应的点位于实轴上，所以2−m=0，即m=2，所以复数mi1−i =2i1−i=2i(1+i)2=−1+i，所以虚部为1．故选A．3.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．解：对于①，根据图像可知2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；对于②，根据图像可知中位数为24336元，平均数为28338元，则；对于③，根据图像可得2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%故正确的个数有3个，故答案为D．4.答案：B解析：本题主要考查等差数列的通项公式，以及等差数列的求和． 根据题意得{a 1=535a 1+5×42d =5，求得公差，即可得到答案． 解：根据题意得{a 1=535a 1+5×42d =5，解得d =−13， 所以a 3=a 1+2d =53−23=1， 所以是一鹿． 故选B ．5.答案：A解析：先求出正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到三角形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于三角形边长一半的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：设边长为2， 其中正三角形ABC 的面积S △ABC =√34×4=√3．满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1−√3π6．故选A．6.答案：A解析：本题主要考查程序框图的应用．比较基础．根据程序框图，让数值进行循环，找到满足条件时，输出的S即为所求．解：S=f(12020)+f(22020)+⋯+f(20192020)，因为f(12020)+f(20192020)=1，f(22020)+f(20182020)=1，…，f(20192020)+f(12020)=1，所以S=20192．故选A．7.答案：A解析：解：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，则其体积为：V=12×2×1×2−1 3×12×1×1×1=116．故选：A．画出三视图对应的几何体的图形，判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．8.答案：C解析：解：∵函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，∴{3a −1<00<a <13a −1+4a ≥a ，求得16≤a <13， 故选：C ．利用分段函数以及函数的单调性，列出不等式组，求得a 的范围．本题主要考查函数的单调性的性质，指数函数、一次函数的单调性，属于基础题．9.答案：A解析：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．根据双曲线的定义，结合|PF 1|=2|PF 2|，利用余弦定理，即可求cos∠F 1PF 2的值． 解：将双曲线方程x 2−y 2=2化为标准方程x 22−y 22=1，则a =√2，b =√2，c =2，设|PF 1|=2|PF 2|=2m ，则根据双曲线的定义，|PF 1|−|PF 2|=2a 可得m =2√2， ∴|PF 1|=4√2，|PF 2|=2√2， ∵|F 1F 2|=2c =4， ∴cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=32+8−162×4√2×2√2=2432=34． 故选A ．10.答案：B解析：本题考查三角函数的单调区间的求法，将看作一个整体，根据y =sinx 的单调减区间求解．解：函数，由2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3(k ∈Z)，令k =0得．故选B ．11.答案：C解析：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A，B的坐标是解题的关键．利用抛物线的定义，求出A，B的坐标，再计算△AMB的面积．解：抛物线x=14y2即为y2=4x的准线l：x=−1．∵|AF|=4，∴点A到准线l：x=−1的距离为4，∴1+x A=4，∴x A=3，∴y A=±2√3，不妨设A(3,2√3)，∴S△AFM=12×2×2√3=2√3，∵F(1,0)，∴直线AB的方程为y=√3(x−1)，∴{y=√3(x−1) y2=4x，解得B(13,−2√33)，∴S△BFM=12×2×2√33=2√33，∴S△AMB=S△AFM+S△BFM=2√3+2√33=8√33，故选：C12.答案：B解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，解方程可得b =−1，a =2，求出g(x)的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m 的最值． 解：∵f(x)=tanx =sinxcosx ，∴f′(x)=cosx 2−sinx⋅(−sinx)cos 2x=1cos 2x ，∴a =f′(−π4)=2，又点(−π4,−1)在直线y =ax +b +π2上， ∴−1=2⋅(−π4)+b +π2，∴b =−1，∴g(x)=e x −x 2+2，g′(x)=e x −2x ，g′′(x)=e x −2， 当x ∈[1,2]时，g′′(x)≥g′′(1)=e −2>0， ∴g′(x)在[1,2]上单调递增，∴g′(x)≥g(1)=e −2>0，∴g(x)在[1,2]上单调递增，∴{m ≤g(x)min =g(1)=e +1m 2−2≥g(x)max =g(2)=e 2−2⇒m ≤−e 或e ≤m ≤e +1， ∴m 的最大值为e +1，无最小值， 故选：B ．13.答案：2解析：解：由已知a ⃗ =(1,0), b ⃗ =(2,1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2+0×1=2； 故答案为：2．利用平面向量的数量积公式的坐标运算进行计算即可．本题考查了平面向量的数量积公式的坐标运算；熟记公式是关键．14.答案：725解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由条件利用诱导公式求得cos(π6+α)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2α+π3)的值．解：∵sin(π3−α)=cos(π6+α)=45，∴cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×1625−1=725，故答案为：725．15.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x−1x 的导数为f′(x)=2+1x，可得切线的斜率为k=3，切点为(1,1)，即有在x=1处的切线方程为y−1=3(x−1)，即为3x−y−2=0，由切线与圆x2+y2=R2相切，可得d=√10=R，解得：R=√105．故答案为√105．16.答案：429解析：解：由题意可得a n+a n+1+a n+2=11，将n换为a n+1+a n+2+a n+3=11，可得a n+3=a n，可得数列{a n}是周期为3的数列．a3=12，a11=−5，即有a2=−5，a1=11−12+5=4，可得a2017=a3×672+1=a1=4；当n=3k，k为自然数，时，S n=11k；当n=3k+1，k为自然数时，S n=11k+4；当n=3k+2，k为自然数时，S n=11k+4−5=11k−1；使得S n≤100成立，由11k≤100，可得k的最大值为9，此时n=27；由11k+4≤100，可得k的最大值为8，此时n=25；由11k−1≤100，可得k的最大值为9，此时n=29．则使得S n≤100成立的最大整数n为29．故答案为：4，29．将a n+a n+1+a n+2=11中n换为n+1，可得数列{a n}是周期为3的数列．求出a2=−5，a1=4，即可得到a2017=a1，讨论n为3的倍数或余1或余2，计算n的最大值，即可得到所求值．本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：证明：(1)取AD的中点O，BC的中点F，连接PO，OF，PF．∵底面ABCD是直角梯形，AB//CD，BC⊥AB，∴OF//AB，OF⊥BC．又∵PB=PC，∴PF⊥BC，且PF∩OF=F，PF，OF⊂平面POF，∴BC⊥面POF．∵PO⊂面POF，∴BC⊥PO，又PA=PD，∴PO⊥AD，又直线AD与BC相交，且AD、BC在平面ABCD内，∴PO⊥面ABCD．∵BD⊂面ABCD，∴PO⊥BD．∵BC=CD，BC⊥CD∴BD=√2BC，，又AB=2BC，AD=BD=√2BC,AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD，∵PO∩AD=O，PO,AD⊂面PAD，∴BD⊥面PAD，且DB⊂面PDB，∴平面PAD⊥平面PBD；解：(2)设BC=a，则PO=√22a，∵V B−PCD=V P−BCD=13PO×S BCD=13×√22a×a22=√212a3=2√23．∴a=2，从而PO=√2, OF=2+42=3 ，PF=√(√2)2+32=√11 ， PC=√(√11)2+12=2√3，故PC=2√3．解析：本题考查面面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，属于一般题．(1)易证PO⊥面ABCD，又BD=√2BC，AB=2BC，可得AD⊥BD，即可证明面PAD⊥平面PBD；(2)利用棱锥B−PCD的体积为2√23，求得BC，再求PC．18.答案：解：(1)由题意2asinB=√3b.由正弦定理得：2sinAsinB=√3sinB．∵0<B<π，sinB≠0∴sinA=√32．∵0<A<π．∴A=π3或2π3．(2)∵△ABC的面积S=73√3，即12bcsinA=73√3，可得：bc=283．由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−3bc，即36=(b+c)2−28，从而b+c=8故△ABC的周长l=a+b+c=14．解析：(1)由2asinB=√3b，根据正弦定理化简即可求角A的大小．(2)利用“整体”思想，利用余弦定理求解b+c的值，即可得△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用能力．属于基础题．19.答案：解：(1)设学习积极性不高的学生的学生共x名，则x300=415，解得x=80．则列联表如下：(2)有理由：由已知数据可求K2=300×(180×60−20×40)2200×100×220×80≈85>7.879，因此有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关．(3)根据题意，可设抽出的学习积极性高的同学为A、B，学习积极性不高的同学为C、D、E，则选取的两人可以是：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．所以至少有一名同学学习积极性不高的概率为910．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．(1)根据条件计算并填写列联表；(2)由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．20.答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e=ca =√1−b2a2=√22，则a=√2b，由b=√12+12=√2，则a=2，∴椭圆的标准方程为：x24+y22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：椭圆的焦点F1(−√2,0)，F2(√2,0)，当直线l 斜率不存在时，则x =−√2，则A(−√2,1)，B(−√2,−1)，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,−1)(−2√2,1)=7≠6，不符合题意，舍去，当直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为：y =k(x +√2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +√2)x 24+y 22=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2+4√2k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−4√2k 22k 2+1，x 1x 2=4k 2−42k 2+1，y 1y 2=k 2(x 1+√2)(x 2+√2)=k 2(x 1x 2+√2(x 1+x 2)+2)=−2k 22k +1，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−√2,y 1)(x 2−√2,y 2) =x 1x 2−√2(x 1+x 2)+2+y 1y 2=4k 2−4+8k 2−2k 22k 2+1+2=6，则k 2=4，解得：k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2(x +√2).解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程； (Ⅱ)分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，可求得直线l 的方程．21.答案：解(1)由于f(x)=ax 2−lnx +1故f′(x)=2ax −1x=2ax 2−1x(x >0)…(1分)当a ≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立， 所以f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数…(2分) 当a >0时，令f′(x)=0，得x =√12a …(3分)当x 变化时，f′(x)，f(x)随的变化情况如表：x(0 , √12a )√12a(√12a , +∞ )f′(x)−0+ f(x)↘极小值↗由表可知，f(x)在(0 , √12a )上是单调递减函数，在(√12a , +∞ )上是单调递增函数..(5分)综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为( 0 , √12a ),单调递增区间为(√12a,+∞)…(6分)(2)当a=1时，F(x)=x2−lnx+1−12x2−32=12x2−lnx−12…(7分)则F′(x)=x−1x =x2−1x=(x+1)(x_1)x>0在(1,+∞)上恒成立，…(9分)所以F(x)在(1,+∞)上为增函数，且F(1)=0…(10分)即F(x)>0在(1,+∞)上恒成立所以当a=1时,f(x)>12x2+32在(1,+∞)上恒成立…(12分)解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x<1}；(2)当x∈[−a2,1)时，f(x)=|x−2a|+2x+a，f(x)<g(x)即为|x−2a|<3−a恒成立，∵0<a<3，∴3−a>0，∴a−3<x−2a<3−a，即3a−3<x<3+a在x∈[−a2,1)上恒成立，∴{−a2>3a−31≤3+a0<a<3，解得0<a<67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)
2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={-2，-1，1，2}，A={x|x2-x-2=0}，则∁U A=（）A. {-2，1}B. {1，-2}C. {-2，-1，1，2}D. {-2，2}2.设z=4-3i，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A. 20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B. 2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C. 2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D. 2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A. 乙分8两，丙分8两，丁分8两B. 乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C. 乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D. 乙分9两，丙分8两，丁分7两5.如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A.B.C.D.6.执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）=（）A. 45B. 35C. 147D. 757.某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A. 128B. 104C. 80D. 568.已知函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，在（-∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A. B. （0，1） C. D.9.已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E的焦距的取值范围是（）A. B. [2，3] C. （1，2] D. （1，3]10.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'=f（x）的图象关于直线对称；②函数y'=f（x）的图象关于点对称；③函数y'=f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'=f（x）的图象在区间上单调递增．A. ①④B. ②③C. ①③D. ②（④11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|=（）A. 4B. 8C.D.12.已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥ln x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [1，e]B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知=（3，1），=（-4，2t2+3），若•=9，则t=______．14.若sin（α+）=-，α∈（0，π），则cos（2α-）=______．15.函数的图象在x=1处的切线被圆C：x2+y2-2x+4y-4=0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是______．16.已知数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a n2a n+1+a n a n+12=2n a n+2n a n+1，则a n=______；{a n}的前10项和S10=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD=CD=BC=2，AB=4．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C-PBD的体积为，求PB的长．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．19.每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.7063.8416.63510.828K2=•n=a+b+c+d．20.已知椭圆，离心率为，直线mx+y-m=0恒过E的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•=0，+=2，+=2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．21.已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a=4，且，求证：．22.在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．23 设函数f（x）=|x-a|-2|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. D3. D4. C5. A6. D7. B8. C9. D10. C11. D12. B13. ±314. -15. [-6，2]16. 9317. 解：（Ⅰ）证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E．因为CD∥AB，AD=CD=BC=2，AB=4，所以四边形ABCD是等腰梯形，可得AE=1，BE=3，DE=，BD=2，所以AB2=AD2+BD2，所以DB⊥AD．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DB⊥PD．因为AD∩PD=D，PD、AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD．因为BD⊂平面PBD，所以平面PAD⊥平面PDB．（Ⅱ）S△ECD==．因为三棱锥C-PDB的体积为，所以V C-PED=V P-ECD==，解得PD=3．在R△PDB中，BD=2，PD=3，所以PB==．18. 解：（Ⅰ）由得a2+c2=1-ac，在△ABC中，由余弦定理得cos B===-又因为B∈（0，π），所以B=．（Ⅱ）因为△ABC的周长为1+2，所以a+b+c=1+2，即a+c=2，所以（a+c）2=a2+c2+2ac=24．又因为a2+c2=1-ac，所以c=23，由（Ⅰ）知sin B=，所以△ABC的面积S△ABC==．19. 解：（Ⅰ）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）．理由如下：根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为y．则×（2+8+10）+（y-70）×=，解得y=76≈74.17，显然74.17＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）；考生的理由如下亦可：平均成绩=×（2×45+8×55+10×65+12×75+10×85+8×95）=73.8，（或=45×0.04+55×0.16+65×0.2+75×0.24+85×0.2+95×0.16=73.8）显然73.8＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）．合格不合格合计男生26430女生14620合计401050②K2==≈2.08＜2.7.6，故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关．（Ⅲ）从50人随机抽取5人的比例为=，从合格的40名学生中抽取40×=4（人），记为a、b、c、d；从不合格的10名学生中抽取10×=1（人），记为x，则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下：ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx，共有10种情况，其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6种情况，故恰好2人都合格的概率P==．20. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，mx+y-m=0可化为m（x-1）+y=0，所以直线mx+y-m=0恒过点（1，0），所以点F（1，0），可得c=1．因为离心率为，所以，解得a=2，由b2=a2-c2=3得，所以E的标准方程为．（Ⅱ）因为•=0，所以AC⊥BD．由+=2，+=2，得M，N分别是AC，BD的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线AC的倾斜角的余弦值为，得直线AC的斜率为2，所以AC的方程：y=2（x-1），直线BD的方程：，联立，消去y，得19x2-32x+4=0．显然，△＞0，且，y1+y2=2（x1-1）+2（x2-1）=2（x1+x2）-4=，所以，，可得，同理可得，所以，所以，直线MN的方程：．令y=0，得，所以直线MN与x轴交点的坐标为．21. 解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞），f′（x）=-x=，当a＜0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由解得0＜x＜，由，解得x＞，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）证明：当a=4时，f（x）=ln x-x2，f′（x）=，则f（x）=ln x-x2在（0，1）上单调递增．设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），即ln x1-＜ln x2-，所以ln＜，可得＜．因为x∈（0，），所以0＜sin x＜cos x＜1，所以＜，即tan x＜．因为x∈（0，），所以2x∈（0，），所以cos2x∈（，1），-cos2x∈（-，-），所以＜．综上可得tan x＜＜，且tan x＞0，即．22. 解：（Ⅰ）由（t为参数），得x≠1．消去参数t，得l的普通方程为x-2y+1=0（x≠1）；将去分母得3ρ2+ρ2sin2θ=12，将y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入，得，所以曲线C的直角坐标方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到l的距离，当，即时，，此时，，所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为，该点坐标为．23. 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-1|-2|x+1|=当x＜-1时，解得x＜-3；当-1≤x≤1时，解得；当x＞1时，解得x＞1，综上，原不等式的解集为．（Ⅱ）当a≤-1时，∴f（x）max=f（-1）=-a-1=3，解得a=-4；当a＞-1时，∴f（x）max=f（-1）=a+1=3，解得a=2，∴a的值为-4或2．【解析】1. 解：∵U={-2，-1，1，2}，A={-1，2}，∴∁U A={-2，1}．故选：A．可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：由题意得z=4+3i，所以，因此在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．根据复数的四则运算及复平面内点的意义即可求解．本题考复数的概念与复数的运算．3. 解：对于A，观察统计图可知，选项A正确；对于B，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.05÷49.7≈568倍，所以选项B正确；对于C，2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数为（21966.19+23820.98+25973.79+28228.05）≈24997.25（元），所以选项C正确；对于D，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.19÷49.7≈442倍，所以选项D错误，故选：D．观察统计图可知，选项A正确，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.05÷49.7≈568倍，所以选项B正确，2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数为（21966.19+23820.98+25973.79+28228.05）≈24997.25（元），所以选项C正确，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.19÷49.7≈442倍，所以选项D错误．本题考查统计图的综合应用，是中档题．4. 解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1=10.4，a5=5.6，所以a5=a1+4d=5.6，即10.4+4d=5.6，解得d=-1.2，可得a2=a1+d=10.4-1.2=9.2；a3=a1+2d=10.4-1.2×2=8；a4=a1+3d=10.4-1.2×3=6.8，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1=10.4，a5=5.6，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 解：根据题意可得图形外侧的6个小三角形均全等，且为正三角形．设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S，所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率P==，故选：A．设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S，代入几何概型计算公式，即可求出答案几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．6. 解：由题得所以f（3）+f（6）=f（7）+f（6）=72-5+62-5=44+31=75，故选：D．本题考查程序框图．由题得所以f（3）+f（6）=f（7）+f（6）即可算出答案．本题考查程序框图的应用，函数求值，属于基础题．7. 解：根据三视图可得吊柜的立体图如图所示，其体积可看作三个长方体的体积之和，则该吊柜的体积V=4×4×2+4×2×3+4×4×3=104，故选：B．由三视图还原原几何体，再由三个长方体的体积作和得答案．本题考查三视图、棱柱的体积计算，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8. 解：因为函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）=log a x．因为在（-∞，+∞）上是减函数，所以解得，故选：C．先根据条件求出f（x）的解析式，再结合单调性即可求解本题考查对数函数的性质、函数的单调性．属于基础题9. 解：设双曲线E的焦距为2c，因为点M在双曲线右支上，所以|MF1|-|MF2|=2a，|MF1|=|MF2|+2a，则====≤=，当且仅当|MF2|=，即|MF2|=2a时取等号，所以=，解得a=．因为|AA1|≥|A2F2|，所以2a≥c-a可得3a≥c，所以1≤3，所以1＜≤3，即1＜2c≤3，即双曲线E的焦距的取值范围为（1，3]，故选：D．由双曲线的性质可得到|MF1|=|MF2|+2a，由的最大值为，然后运用基本不等式可得a的值，再由且|A1A2|≥|A2F2|．可得a，c的关系，注意双曲线的离心率的范围，求出焦距的范围．考查双曲线的性质，属于中档题．10. 解：由题意可知，令2x+=kπ，k∈Z，求得，可得函数f（x）的图象的对称轴为直线，故①正确；令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，可得函数f（x）的图象的对称中心为点，k∈Z，②不正确；在区间上，2x+∈（0，），函数f（x）单调性递减，故③正确；在区间上，2x+∈（，），函数f（x）没有单调性，故④错误，故选：C．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．11. 解：根据题意，不妨设点A在第一象限，过点A作准线的垂线，垂足为A1．由题意可得F（1，0），K（-1，0）．因为|AF|=|AA1|，所以=sin∠AKA1，若最小，则sin∠AKA1最小，即∠AKA1最小，由题知当AK与抛物线y2=4x相切时，∠AKA1最小．设直线AK的方程为y=k（x+1），则k＞0．与抛物线方程联立，得消去x得ky2-4y+4k=0，由△=16-16k2=0，得k=1，所以∠AKA1=，A点坐标为（1，2），所以|AF|=|AA1|=|A1K|=|KF|=2，此时四边形AFKA1是正方形，AB⊥x轴，所以|AK|=|BK|=2，|AK|+|BK|=4，故选：D．一般抛物线中到焦点的距离转化为到准线的距离，进而可得若最小时的情况，求出|AK|+|BK|的值．考查抛物线的性质，属于中档题．12. 解：根据题意，将-x代入x，得．由得f（x）=-mx-，函数f（x）=-mx-的图象恒过点（0，-）．设g（x）=ln x，当函数f（x）=-mx-的图象和g（x）=ln x的图象相切时，设切点坐标为（x0，y0），由g′（x）=，得切线斜率k=g′（x0）==，解得x0=．此时k==，则要使f（x）≥ln x，只需-m≥，解得m≤-，所以实数m的取值范围是，故选：B．根据题意，将-x代入x，得，与已知条件联立可得f（x）=-mx-，设g（x）=ln x，利用当函数f（x）=-mx-的图象和g（x）=ln x的图象相切时，只需-m≥，解之即可．本题考查函数的性质及导数在函数中的应用，考查函数与方程思想与等价转化思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．13. 解：由•=9得-12+2t2+3=9，解得t=±3．故答案为：±3．利用数量积的坐标运算建立关于t的方程，解出即可．本题考查平面向量数量积的应用，属于基础题．14. 解：因为cos（）=cos（α+-）=sin（α+）=-，所以cos（2α-）=2cos2（）-1=2×-1=-．故答案为：-．三角函数求值，常采用凑角法．观察已知中的角与所求函数值中的角之间的和、差、倍、半是否是特殊角，进而用三角恒等变换公式求解．本题考查三角函数诱导公式及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15. 解：根据题意，函数，其导数f′（x）=ln x+，则f′（1）=1；即切线的斜率k=f′（1）=1；又由f（1）=a，即切点的坐标为（1，a），所以函数f（x）在x=1处切线方程为y=x+a-1，圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，变形可得（x-1）2+（y+2）2=9，则C的圆心为（1，-2），半径r=3，则圆心到切线的距离d=，则切线被圆截得的弦长为，则有2≤≤6，解可得：-6≤a≤2，即a的取值范围为[-6，2]；故答案为：[-6，2]．根据题意，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，分析可得切线的方程，由直线与圆的位置关系分析可得切线被圆截得的弦长，据此可得2≤≤6，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查导数的几何意义及直线与圆的位置关系，注意求出切线的方程，属于基础题．16. 解：依题意，由a n2a n+1+a n a n+12=2n a n+2n a n+1，可得（a n a n+1-2n）（a n+a n+1）=0．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n a n+1-2n=0，即a n a n+1=2n．∵a1=1，∴a2=2．∵当n≥2时，有a n-1a n=2n-1，则=2．∴数列{a n}的奇数项是以1为首项、2为公比的等比数列；偶数项是以2为首项、2为公比的等比数列．∴a2k-1=1•2k-1=2k-1，令2k-1=n，得k=，则当n为奇数时，a n=；a2k=2•2k-1=2k，令2k=n，得k=，则当n为偶数时，a n=．综上所述，可得a n=．∴S10=a1+a2+…+a10=（a1+a3+…+a9）+（a2+a4+…+a10）=（1+2+...+24）+（2+22+ (25)=+=93．故答案为：；93．本题先将递推式进行因式分解，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n a n+1=2n．则有当n≥2时，有a n-1a n=2n-1，则=2．可得到数列{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，即可得到数列{a n}的通项公式，然后运用分组求和法求出S10的值．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，考查了分类讨论思想，转化思想，因式分解，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．17. （Ⅰ）先利用题中数据，在等腰梯形中计算，结合勾股定理，证明DB⊥AD，再利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；（Ⅱ）先利用V C-PED=V P-ECD计算得PD，再根据勾股定理计算PB，即可得解．本题考查空间几何体中直线与平面、平面与平面垂直的判定及锥体体积的计算，考查空间想象能力、数学运算核心素养．18. （Ⅰ）先去分母，再利用余弦定理，结合三角形内角的范围即可求得角B；（Ⅱ）利用周长求出a+c的值，再平方，结合已知求出ac的值，进而求得△ABC的面积．本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．19. （Ⅰ）可以用平均数或中位数与75进行大小比较作出判断；（Ⅱ）根据频率分布直方图计算出合格与不合格人数，填写列联表，再根据公式计算，与附表中数值比较判断即可得出结论；（Ⅲ）先计算抽样比例，在合格与不合格学生中抽样，并设字母标记抽取的学生，利用列举法，写出所有基本事件及所求的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算即可．本题考查频率分布直方图、古典概型和独立性检验，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数据分析、数学运算核心素养．20. （Ⅰ）先求出直线方程所过定点，即得焦点坐标，再利用离心率公式，解得a，b，c的值即可得解；（Ⅱ）根据已知得，AC⊥BD，M，N分别是AC，BD的中点，再设出直线AC，BD的方程，与椭圆方程联立，分别求出点M，N坐标，然后写出直线MN的方程，令y=0，即可得解．本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查数学运算核心素养，属于中档题．21. （Ⅰ）先求导并写出函数f（x）的定义域，再分a＜0与a＞0及a=0三种情况讨论解不等式，即可得解；（Ⅱ）利用函数单调性结合正、余弦函数的值域，即可证明．本题考查导数在函数中的应用，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查数学运算核心素养，属于难题．22. （Ⅰ）先将直线l的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线C的方程先去分母，再将y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入，化简即可求解；（Ⅱ）先将曲线C的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解．本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化、一元二次方程根与系数的关系，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想．23. （Ⅰ）利用零点分段法求解绝对值不等式即可求解；（Ⅱ）分a≤-1，a＞-1两种情况讨论，求得关于a的f（x）最大值的代数式，结合题意即可求解a的值．本题考查绝对值不等式的解法，考查考生的运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想和分类讨论思想，属中档题．。
2020陕西省高三文科数学教学质量检测(二)答案
（8 分）
所以 kBP＋kBQ＝y1－1＋y2－1
x1
x2
＝x2（kx1＋n）－x2＋x1（kx2＋n）－x1 x1x2
＝2kx1x2＋（n－1）（x1＋x2） x1x2
2k·4n2－4＋（n－1）· －8kn
＝ 1＋4k2
1＋4k2
4n2－4
1＋4k2
＝ 8k（n－1） ＝－1. 4（n＋1）（n－1）
a2 4 2 ， a1 3 所以数列{an} 是从第 2 项起，以 2 为公比的等比数列，
所以 an
3, n 1, 2n , n 2.
（5 分） （6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（8 分）
所以 Tn = log2 3+ 2 + 3+ + n
（10 分）
log
2
3
n
1
2
2
n
.
（12 分）
【评分标准】具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分.
当 x∈[1，2]时，t′(x)>0， 所以函数 t(x)＝xex 在[1，2]上单调递增，
所以 t(x)max t(2) 2e2 ，
（4 分）
所以 1 2e2 ， a
解得
0
a
1 2e2
，
0， 1 所以实数 a 的取值范围是 2e2 .
（5 分）
（Ⅱ）证明：当 a 1时，函数 f (x) ex ln x m2 x 0
由 an Sn1 1n 2 可知，
（1 分）
当 n 3 时， an1 Sn2 1，
（2 分）
两式相减得 an an1 an1 ，
即 an 2an1 ，
所以 an 2n 3 .
2020年陕西西安高三一模数学试卷(文科)
2020年陕西西安高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为（ ）．A. B. C. D.3.函数的零点个数为（ ）．A. B. C. D.4.若实数，满足，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.5.在一次技能比赛中，共有人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（ ）．A.B.C.D.6.已知（为自然对数的底数），若，则函数是（）．A.定义域为的奇函数B.在上递减的奇函数C.定义域为的偶函数D.在上递增的偶函数7.已知点到抛物线（）的准线的距离为，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A.B.C.D.8.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A.B.C.D.9.若为实数，则“”是“”成立的（ ）．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.函数的单调递增区间为（ ）．A.B.C.D.11.已知双曲线的左焦点为，过且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为(为双曲线的离心率)，则双曲线的渐近线方程为（ ）．A.B.C.D.12.陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在［，］，［，］，［，］，［，］的爱看人数比分别是，，，现用各年龄的中间值代表年龄段，如代表［，］，由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为，那么，年龄在［，的爱看人数比为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，且，则 ．14.在与之间插入个数，使这个数成等差数列，则插入的个数的和等于 ．15.从，，，，，中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为 ．16.金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是，则该工艺品共有 个面，表面积是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，边上的中线的长为．求角、的大小．求的面积．（1）（2）18.已知四棱锥中，底面四边形为平行四边形，为的中点，为上一点，且（如图）．证明：平面．当平面平面，，时，求三棱锥的体积．（1）（2）19.已知数列的前项和为，设．若，，且数列为等差数列，求数列的通项公式．若对任意，都成立，求当为偶数时的表达式．（1）（2）20.已知函数在区间上单调递减．求的最大值．若函数的图象在原点处的切线也与函数的图象相切，求的值．21.【答案】解析:集合，集合，则．故选．（1）（2）已知，，顺次是椭圆 （）的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆的离心率，且．.求椭圆的方程．若斜率的直线过点，直线与椭圆交于，两点，试判断：以为直径的圆是否经过点，并证明你的结论．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和极坐标方程．若直线与曲线有公共点，求的取值范围．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若存在，使成立，求的取值范围．D1.解析:，∴复数在复平面上对应的点的坐标为．故选．解析:∵，∴，令，则或，为增函数，令，则，为减函数，∴极小值，极大值，∴有个零点．故选：．解析:实数，满足，作二元一次不等式所表示的平面区域，即可行域，如图所示，四边形所在区域，A 2.C 3.A 4.即可行域．目标函数变形为，为斜率为，随变化的一旋直线为直线在轴的截距，如图所示，直线经过可行域中点时最小，即最小，解方程组，解得点坐标为，则．故选．解析:如图茎叶图中，人得分为：，，，，，，，，，，，．中位数为：．∵平均数为：．∴ 方差为：B 5.，故方差为：，中位数为．故正确．解析:∵，∴，∴，∴，（），∴为奇函数，在上递减．故选．解析:抛物线（）变形为，准线方程为，点到距离为，则，即，解得，抛物线方程为，则抛物线焦点坐标为．故选．解析:如图，设，，B 6.C 7.B 8.∵，∴ ，又，∴﹐在中，，得：，∴，∴．故选：．解析:由，令函数，则，，则函数在上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，当时，，∴时，，则是的充分条件，球B 9.当时，则即，解得，∵，∴不是的必要条件，综上所述，是的充分不必要条件．故选：．解析:函数，令，，，，，，所以函数单调递增区间为（）．故选．解析:如图双曲线C：，左焦点，由题意垂直于轴，，解得：，则，，则，A 10.D 11.由题意过，且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为，则，即，令，得，即，∵，∴渐近线为，故正确．解析:∵，，且过点，则，∴，∴，∴当时，．故选．解析:∵平面向量，且，∴，D 12.13.，即，解得．所以．解析:由题意可得，设，，则．故答案为：．解析:从，，，，，，这七个数中，随机抽取个不同的数，基本事件总数，这个数的和为偶数包含的基本事件个数 ，则这个数的和为偶数的概率．故答案为：．解析:由三视图还原几何体，14.15. ;16.（1）（2）（1）如图，可以将该半正多面体分为三层，上层个面，中层个层面，下层各层面，上下底各个面，共个面．设三视图中正八边形的边长为m.∴，∴，∴，∴原几何体的边长均有，∴，，故答案为；．解析:由，得．∴．∵，∴由得，∴，由此得．又，∴，即．由知，，则，在中，由余弦定理，得，解得，故．解析:取的中点，连接，，，连接，表（1），．（2）．17.（1）证明见解析．（2）．18.（2）（1）∵四边形为平行四边形，，分别为，的中点，∴根据平行线分线段成比例定理得，又 ， 得，∴，又在平面内，不在平面内，∴平面．由题意，得，．．连接，(为的中点)，则，，且 ， ，∵平面平面，，在平面内，，∴平面，∵，得点到平面的距离就是 ，又 ，∴到平面的距离为，∴．解析:∵，，，∴，，设等差数列为的公差为，则．（1）．（2）．19.（2）（1）（2）（1）∴数列的通项公式为．对任意都成立，即，①当时，，②①②得．令，则，∴，故（为偶数）．解析:∵，∴，∵函数在区间上为减函数．∴即就是在上恒成立，当时，，则当即时，取最小值，∴，∴的最大值为．的定义域为，的定义域为，由，得．∴函数的图象在原点处的切线方程为，由，得，设函数的图象在处的切线为．则①，且过原点，，将，代入①，解得．∴．解析:由题意得：，，，，（1）．（2）．20.（1）．（2）以为直径的圆经过点；证明见解析．21.（2）∴即，设椭圆的半焦距为（），得方程组，解得，∴椭圆的方程为．方法一：以为直径的圆经过点，理由如下：∵椭圆，，直线的斜率，且过点，∴直线，由，消去，并整理得，直线与椭圆有两个交点．设，，则，，∵，以为直径的圆经过点．方法二：同方法一，得，，∴．设的中点为，则，，∴以为直径的圆经过点，∴．（1）普通方程为，极坐标方程为．22.（1）（2）（1）（2）解析:显然，参数，由得，代入并整理，得，将，代入，得，即．∴曲线的普通方程为，极坐标方程为．曲线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，半径为的圆．当时，直线与曲线没有公共点．当时，设直线的方程为．圆心到直线的距离为．由，得．∴，即的取值范围为．解析:∵，∴不等式等价于下列不等式组，①或②或③，由①得，得，由②得，得，由③得，得．∴不等式的解集为．在区间上，当时，，当时，，当时，，∴在区间上，，由存在使成立，得，得或．（2）．（1）．（2）．23.∴的取值范围为．。
2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)
2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁U A＝（）A．{﹣2，1}B．{1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2} 2．（5分）设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A．乙分8两，丙分8两，丁分8两B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D．乙分9两，丙分8两，丁分7两5．（5分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（）A．45B．35C．147D．757．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A．128B．104C．80D．568．（5分）已知函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．9．（5分）已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E的焦距的取值范围是（）A．B．[2，3]C．（1，2]D．（1，3]10．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'＝f（x）的图象关于直线对称；②函数y'＝f（x）的图象关于点对称；③函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递增．A．①④B．②③C．①③D．②（④11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|＝（）A．4B．8C．D．12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1，e]B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝．14．（5分）若sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣）＝．15．（5分）函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，则a n ＝；{a n}的前10项和S10＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828 K2＝•n＝a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E 的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•＝0，+＝2，+＝2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＝4，且，求证：．(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁U A＝（）A．{﹣2，1}B．{1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2}【解答】解：∵U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{﹣1，2}，∴∁U A＝{﹣2，1}．故选：A．2．（5分）设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意得z＝4﹣3i，所以＝，＝，因此在复平面内对应的点（）位于第一象限，故选：A．3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍【解答】解：对于A，观察统计图可知，选项A正确；对于B，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.05÷49.7≈568倍，所以选项B正确；对于C，2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均数为（21966.19+23820.98+25973.79+28228.05）≈24997.25 （元），所以选项C正确；对于D，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.19÷49.7≈442倍，所以选项D错误，故选：D．4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A．乙分8两，丙分8两，丁分8两B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D．乙分9两，丙分8两，丁分7两【解答】解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1＝10.4，a5＝5.6，所以a5＝a1+4d＝5.6，即10.4+4d＝5.6，解得d＝﹣1.2，可得a2＝a1+d＝10.4﹣1.2＝9.2；a3＝a1+2d＝10.4﹣1.2×2＝8；a4＝a1+3d＝10.4﹣1.2×3＝6.8，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．5．（5分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得图形外侧的6个小三角形均全等，且为正三角形．设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S，所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率P＝＝，故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（）A．45B．35C．147D．75【解答】解：由题得所以f（3）+f（6）＝f（7）+f（6）＝72﹣5+62﹣5＝44+31＝75，故选：D．7．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A．128B．104C．80D．56【解答】解：根据三视图可得吊柜的立体图如图所示，其体积可看作三个长方体的体积之和，则该吊柜的体积V＝4×4×2+4×2×3+4×4×3＝104，故选：B．8．（5分）已知函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．【解答】解：因为函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y ＝x对称，所以f（x）＝log a x．因为在（﹣∞，+∞）上是减函数，所以解得，故选：C．9．（5分）已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E的焦距的取值范围是（）A．B．[2，3]C．（1，2]D．（1，3]【解答】解：设双曲线E的焦距为2c，因为点M在双曲线右支上，所以|MF1|﹣|MF2|＝2a，|MF1|＝|MF2|+2a，则＝＝＝＝≤＝，当且仅当|MF2|＝，即|MF2|＝2a时取等号，所以＝，解得a＝．因为|AA1|≥|A2F2|，所以2a≥c﹣a可得3a≥c，所以1≤3，所以1＜≤3，即1＜2c≤3，即双曲线E的焦距的取值范围为（1，3]，故选：D．10．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'＝f（x）的图象关于直线对称；②函数y'＝f（x）的图象关于点对称；③函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递增．A．①④B．②③C．①③D．②（④【解答】解：由题意可知，令2x+＝kπ，k∈Z，求得，可得函数f（x）的图象的对称轴为直线，故①正确；令2x+＝kπ+，k∈Z，求得x＝+，可得函数f（x）的图象的对称中心为点，k∈Z，②不正确；在区间上，2x+∈（0，），函数f（x）单调性递减，故③正确；在区间上，2x+∈（，），函数f（x）没有单调性，故④错误，故选：C．11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|＝（）A．4B．8C．D．【解答】解：根据题意，不妨设点A在第一象限，过点A作准线的垂线，垂足为A1．由题意可得F（1，0），K（﹣1，0）．因为|AF|＝|AA1|，所以＝sin∠AKA1，若最小，则sin∠AKA1最小，即∠AKA1最小，由题知当AK与抛物线y2＝4x相切时，∠AKA1最小．设直线AK的方程为y＝k（x+1），则k＞0．与抛物线方程联立，得消去x得ky2﹣4y+4k＝0，由△＝16﹣16k2＝0，得k＝1，所以∠AKA1＝，A点坐标为（1，2），所以|AF|＝|AA1|＝|A1K|＝|KF|＝2，此时四边形AFKA1是正方形，AB⊥x轴，所以|AK|＝|BK|＝2，|AK|+|BK|＝4，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1，e]B．C．D．【解答】解：根据题意，将﹣x代入x，得．由得f（x）＝﹣mx﹣，函数f（x）＝﹣mx﹣的图象恒过点（0，﹣）．设g（x）＝lnx，当函数f（x）＝﹣mx﹣的图象和g（x）＝lnx的图象相切时，设切点坐标为（x0，y0），由g′（x）＝，得切线斜率k＝g′（x0）＝＝，解得x0＝．此时k＝＝，则要使f（x）≥lnx，只需﹣m≥，解得m≤﹣，所以实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝±3．【解答】解：由•＝9得﹣12+2t2+3＝9，解得t＝±3．故答案为：±3．14．（5分）若sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣）＝﹣．【解答】解：因为cos（）＝cos（α+﹣）＝sin（α+）＝﹣，所以cos（2α﹣）＝2cos2（）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故答案为：﹣．15．（5分）函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是[﹣6，2]．【解答】解：根据题意，函数，其导数f′（x）＝lnx+，则f′（1）＝1；即切线的斜率k＝f′（1）＝1；又由f（1）＝a，即切点的坐标为（1，a），所以函数f（x）在x＝1处切线方程为y＝x+a﹣1，圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，变形可得（x﹣1）2+（y+2）2＝9，则C的圆心为（1，﹣2），半径r＝3，则圆心到切线的距离d＝，则切线被圆截得的弦长为，则有2≤≤6，解可得：﹣6≤a≤2，即a的取值范围为[﹣6，2]；故答案为：[﹣6，2]．16．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，则a n＝；{a n}的前10项和S10＝93．【解答】解：依题意，由a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，可得（a n a n+1﹣2n）（a n+a n+1）＝0．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n a n+1﹣2n＝0，即a n a n+1＝2n．∵a1＝1，∴a2＝2．∵当n≥2时，有a n﹣1a n＝2n﹣1，则＝2．∴数列{a n}的奇数项是以1为首项、2为公比的等比数列；偶数项是以2为首项、2为公比的等比数列．∴a2k﹣1＝1•2k﹣1＝2k﹣1，令2k﹣1＝n，得k＝，则当n为奇数时，a n＝；a2k＝2•2k﹣1＝2k，令2k＝n，得k＝，则当n为偶数时，a n＝．综上所述，可得a n＝．∴S10＝a1+a2+…+a10＝（a1+a3+…+a9）+（a2+a4+…+a10）＝（1+2+...+24）+（2+22+ (25)＝+＝93．故答案为：；93．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E．因为CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4，所以四边形ABCD是等腰梯形，可得AE＝1，BE＝3，DE＝，BD＝2，所以AB2＝AD2+BD2，所以DB⊥AD．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DB⊥PD．因为AD∩PD＝D，PD、AD⊂平面P AD，所以BD⊥平面P AD．因为BD⊂平面PBD，所以平面P AD⊥平面PDB．（Ⅱ）S△ECD＝＝．因为三棱锥C﹣PDB的体积为，所以V C﹣PED＝V P﹣ECD＝＝，解得PD＝3．在R△PDB中，BD＝2，PD＝3，所以PB＝＝．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由得a2+c2＝1﹣ac，在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝＝﹣又因为B∈（0，π），所以B＝．（Ⅱ）因为△ABC的周长为1+2，所以a+b+c＝1+2，即a+c＝2，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝24．又因为a2+c2＝1﹣ac，所以c＝23，由（Ⅰ）知sin B＝，所以△ABC的面积S△ABC＝＝．19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828 K2＝•n＝a+b+c+d．【解答】解：（Ⅰ）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）．理由如下：根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为y．则×（2+8+10）+（y﹣70）×＝，解得y＝76≈74.17，显然74.17＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）；考生的理由如下亦可：平均成绩＝×（2×45+8×55+10×65+12×75+10×85+8×95）＝73.8，（或＝45×0.04+55×0.16+65×0.2+75×0.24+85×0.2+95×0.16＝73.8）显然73.8＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）．（Ⅱ）①填表如下：合格不合格合计男生26430女生14620合计401050②K2＝＝≈2.08＜2.7.6，故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关．（Ⅲ）从50人随机抽取5人的比例为＝，从合格的40名学生中抽取40×＝4（人），记为a、b、c、d；从不合格的10名学生中抽取10×＝1（人），记为x，则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下：ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx，共有10种情况，其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6种情况，故恰好2人都合格的概率P＝＝．20．（12分）已知椭圆，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E 的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•＝0，+＝2，+＝2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，mx+y﹣m＝0可化为m（x﹣1）+y＝0，所以直线mx+y﹣m＝0恒过点（1，0），所以点F（1，0），可得c＝1．因为离心率为，所以，解得a＝2，由b2＝a2﹣c2＝3得，所以E的标准方程为．（Ⅱ）因为•＝0，所以AC⊥BD．由+＝2，+＝2，得M，N分别是AC，BD的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线AC的倾斜角的余弦值为，得直线AC的斜率为2，所以AC的方程：y＝2（x﹣1），直线BD的方程：，联立，消去y，得19x2﹣32x+4＝0．显然，△＞0，且，y1+y2＝2（x1﹣1）+2（x2﹣1）＝2（x1+x2）﹣4＝，所以，，可得，同理可得，所以，所以，直线MN的方程：．令y＝0，得，所以直线MN与x轴交点的坐标为．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＝4，且，求证：．【解答】解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣x＝，当a＜0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由解得0＜x＜，由，解得x＞，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当a＝0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）证明：当a＝4时，f（x）＝lnx﹣x2，f′（x）＝，则f（x）＝lnx﹣x2在（0，1）上单调递增．设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），即lnx1﹣＜lnx2﹣，所以ln＜，可得＜．因为x∈（0，），所以0＜sin x＜cos x＜1，所以＜，即tan x＜．因为x∈（0，），所以2x∈（0，），所以cos2x∈（，1），﹣cos2x∈（﹣，﹣），所以＜．综上可得tan x＜＜，且tan x＞0，即．(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．【解答】解：（Ⅰ）由（t为参数），得x≠1．消去参数t，得l的普通方程为x﹣2y+1＝0（x≠1）；将去分母得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，将y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2代入，得，所以曲线C的直角坐标方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到l的距离，当，即时，，此时，，所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为，该点坐标为．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|＝当x＜﹣1时，解得x＜﹣3；当﹣1≤x≤1时，解得；当x＞1时，解得x＞1，综上，原不等式的解集为．（Ⅱ）当a≤﹣1时，∴f（x）max＝f（﹣1）＝﹣a﹣1＝3，解得a＝﹣4；当a＞﹣1时，∴f（x）max＝f（﹣1）＝a+1＝3，解得a＝2，∴a的值为﹣4或2．。
2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)无答案
2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁U A＝（）A．{﹣2，1}B．{1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2}2．设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A．乙分8两，丙分8两，丁分8两B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D．乙分9两，丙分8两，丁分7两5．如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（）A．45B．35C．147D．757．某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A．128B．104C．80D．568．已知函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．9．已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E 的焦距的取值范围是（）A．B．[2，3]C．（1，2]D．（1，3]10．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'＝f（x）的图象关于直线对称；②函数y'＝f（x）的图象关于点对称；③函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递增．A．①④B．②③C．①③D．②（④11．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|＝（）A．4B．8C．D．12．已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1，e]B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝．14．若sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣）＝．15．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是．16．已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，则a n＝；{a n}的前10项和S10＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB ＝4．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828 K2＝•n＝a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•＝0，+＝2，+＝2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＝4，且，求证：．(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．。