定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结
第3讲 定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理一、知识梳理 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ．(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．常用结论1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、习题改编1．(选修2-2P66T14改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.2．(选修2-2P66A 组T14改编)⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝________． 解析：⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1.答案：13．(选修2-2P55A 组T1改编)若⎠⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－14．(选修2-2P60A 组T6改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________m.解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)误解积分变量致误； (2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f (x )，g (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错． 1．定积分⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝________．解析：⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝(t 2＋1)x |2－1＝2(t 2＋1)＋(t 2＋1)＝3t 2＋3. 答案：3t 2＋3 2.⎠⎛22－x 2d x ＝________解析：⎠⎛022－x 2d x 表示以原点为圆心，2为半径的14圆的面积，故⎠⎛022－x 2d x ＝14π×(2)2＝π2.答案：π23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43.答案：43[学生用书P53]定积分的计算(多维探究) 角度一 利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x . 【解】 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2ln x ⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛0πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪31＋1x ⎪⎪⎪31＝223. 角度二 利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ；(2)⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x .【解】 (1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5，5]上是奇函数． 所以⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x .所以⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．1.⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪⎪1-1＋e x ⎪⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2.⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分求平面图形的面积(师生共研)(一题多解)求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积． 【解】如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.设阴影部分的面积为S ，则对如图所示的四种情况分别有：(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .1．已知曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的面积等于________．解析：因为y ′＝2x ＋2，所以曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2，所以切线方程为y ＝2x ，所以由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝⎠⎛1(x 2＋2x －2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13.答案：132.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 答案：－1定积分在物理中的应用(师生共研)(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.【解析】 (1)令v (t )＝0得，3t 2－4t －32＝0， 解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去. 汽车的刹车距离是⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(t ＋1)]⎪⎪⎪40 ＝4＋25ln 5.(2)由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42 ＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．【答案】 (1)C (2)36定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .1．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，因为(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t－5t 2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.2．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位： N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ，因为⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ′＝x 2＋1，所以原式＝342(J)．答案：342[学生用书P274(单独成册)][基础题组练]1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）d x |1＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈（1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3C.π4＋43D ．π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.5.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13 B ．310C.14D ．15解析：选A.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛1x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛－111d x ＝x |1－1＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x＝1时F (x )所做的功等于________．解析：由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x d x＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 答案：－e 10－259．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22⎪⎪⎪21－x 33⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x ⎪⎪⎪0－π＋e x ⎪⎪⎪－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43. [综合题组练]1．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )A.329B ．4－ln 3C ．4＋ln 3D ．2－ln 3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.（舍） 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.故阴影部分的面积为⎠⎛13⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪31＝4－ln 3. 2．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：33 3.⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________． 解析：⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2. 而⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )⎪⎪⎪1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案：π2＋e －1e－2 4．若函数f (x )在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________． 解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 44－x 3⎪⎪⎪20＝－4. 答案：－45．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33. 所以当S 1＝S 2时，t ＝33.。
第四节 定积分与微积分基本定理
第四节 定积分与微积分基本定理高考概览：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义．[知识梳理]1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f(x)d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －an f (ξi )．在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质3．微积分基本定理4．定积分的几何和物理应用[辨识巧记]1．两个结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．2．两个性质函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若⎠⎛ab f (x )d x <0，则由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√[解析] ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－1(－x )d x ＋⎠⎛1x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0－1＋12x 210＝12＋12＝1.[答案] A3．(选修2－2P 65A 组T 5改编)曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( )A.16B.13C.56D.23[解析] 如图，两函数图象交点为(－1，－1)和(0,0)，所求面积S＝⎠⎛－1 0[x －(x 2＋2x )]d x＝⎠⎛－10(－x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－12x 2⎪⎪⎪－1＝16. [答案] A4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 [解析] 如图，[答案] C5．定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________.[解析] 令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，点(x ，y )的轨迹为半圆，⎠⎛416－x 2d x 表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×42＝4π.[答案] 4π考点一 定积分的计算【例1】 计算下列定积分： (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ；(2)⎠⎛02(x －1)d x ； (3)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；[思路引导] 定理法→数形结合法→性质 [解]微积分基本定理求定积分的注意点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．(4)若被积函数具有明确的几何意义或奇偶性，可利用定积分的几何意义和性质求解．[对点训练]计算下列定积分： (1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ；[解]考点二 利用定积分求图形的面积【例2】 (1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4(2)曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为________． (3)曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积为________．[思路引导] 作出图形→求交点→转化为定积分 [解析][答案] (1)D (2)136 (3)3－22利用定积分求平面图形面积的4个步骤[对点训练]1．(2018·河北张家口质检)如图，由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是()[解析][答案] C2．曲线y ＝sin x 在[0,2π]上与x 轴围成的封闭图形的面积为________．[解析] S ＝⎠⎛0πsin x d x －∫2ππsin x d x ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.[答案] 4考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25 ln5B ．8＋25 ln 113 C ．4＋25 ln5D ．4＋50 ln2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433 JD ．2 3 J[解析] (1)令v (t )＝0，即7－3t ＋251＋t ＝0，化简为3t 2－4t －32＝0.又∵t >0， 解得t ＝4或t ＝－83(舍去)， 所以s ＝⎠⎛4v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )⎪⎪⎪4＝7×4－32×42＋25ln5＝4＋25 ln5，故选C. (2)W ＝⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －x 33| 21＝433(J)．[答案] (1)C (2)C定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[对点训练]1．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1的方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．[解析] 由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为[答案]3422.一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在1 2s～6 s间的运动路程为________．[解析]由图可知，[答案]494m课后跟踪训练(十九)基础巩固练一、选择题[解析][答案] C[解析]a ＝－1.故选A. [答案] A3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76[解析] ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋1＝43.故选A. [答案] A4．(2018·武汉武昌区调研)物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是( )A ．120 mB ．130 mC ．140 mD ．150 m[解析] 设t 秒后两物体相遇，则⎠⎛0t (3t 2＋1)d t －⎠⎛0t 10t d t ＝5，即t 3＋t －5t 2＝5，(t 2＋1)(t －5)＝0，t ＝5(s)，此时物体A 离出发地的距离为⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )| 50＝53＋5＝130 (m)．[答案] B5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163 D ．6[解析] 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 4＝23×8－12×16＋2×4＝163. [答案] C 二、填空题6．(2019·湖南省长沙市高三统一模拟)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.[解析][答案] π[解析][答案]π－2 4[解析][答案]4 3三、解答题9．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，求原始的最大流量与当前最大流量的比值．[解]建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p＝254，抛物线方程为x2＝252y，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛5⎝⎛⎭⎪⎫2－225x2d x＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.10.在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．[解]S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－⎠⎛t x2d x＝23t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2,1－t面积，即S2＝⎠⎛t1x2d x－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.能力提升练[解析][答案] D12．(2019·宁夏银川质检)如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3 C.353 D.323 [解析][答案] D13．(2019·福建师大附中期中)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x＝________.[解析] 设⎠⎛01f (x )d x ＝c ，则f (x )＝x 2＋2c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2cx ⎪⎪⎪10＝13＋2c ＝c ，解得c ＝－13，所以⎠⎛1f (x )d x ＝－13.[答案] －1314．学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB 为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．(1)求水面宽；(2)如图①所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切(如图②所示)，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？[解] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2(－1≤x ≤1)．则由抛物线过点B (1,2)，可得a ＝2.于是抛物线方程为y ＝2x 2，－1≤x ≤1.当y ＝1时，x ＝±22，由此知水面宽为2米．(3)为使挖的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切．设切点P (t,2t 2)(0<t ≤1)是抛物线弧OB 上的一点，过点P 作抛物线的切线得到如图所示的直角梯形OCDE ，则切线CD 的方程为y －2t 2＝4t (x －t )，于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12t ，2. 记梯形OCDE 的面积为S ，则S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋t 2＋12t ≥2，当且仅当t ＝12t ，即t ＝22时等号成立，所以改挖后的沟底宽为22米时，所挖的土最少．拓展延伸练15．(2019·安徽淮北质检)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623[解析] 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)．根据图形的对称性和定积分的几何意义可得，所求图形的面积是2⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312⎪⎪⎪20＝83. [答案] C16．(2018·四川绵阳期中)如图，直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形分成面积相等的两部分，则k ＝________.[解析] 因为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16，所以∫1－k 0[(x －x 2)－kx ]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪1－k 0＝(1－k )36＝112，所以(1－k )3＝12，解得k ＝1－312＝1－342.[答案] 1－342。
专题16 定积分与微积分基本定理 高考复习资料(解析版)
错误!f(x)dx 的几何意义
f(x)≥0
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形 的面积
f(x)＜0
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形 的面积的相反数
表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴下方的曲边梯 f(x)在[a，b]上有正有负
π
| 【解析】(1)错误!(cos x＋1)dx＝(sin x＋x) ＝π. 0
(2)【解析】 S a 0
xdx
2
x
3 2
3
a 0
2
a
3 2
3
a ，解得 a
9 4
．
【解法小结】 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
(1)对被积函数要先化简，再求积分；
(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；
2
＝4，
03
0
2
| c＝错误!sin xdx＝(－cos x) ＝1－cos 2<2，则 c<a<b. 0
5.(2019
届江西九江高三第一次十校联考)M=
1 0
1- 2dx,T= 0 sin 2xdx,则 T 的值为(
)
A.1
B.-1
2
2
【答案】 A
C.-1
D.1
【解析】先求出 M= ，
0 sin 2
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.
考点二 定积分的几何意义
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.
定积分和微积分基本定理
第三节定积分和微积分基本定理考纲解读1•了解定积分的实际背景、基本思想及概念 •2•了解微积分基本定理的含义 .命题趋势探究定积分的考查以计算为主， 其应用主要是求一个曲边梯形的面积， 题型主要为选择题和填空题•知识点精讲 一、基本概念1.定积分的极念一般地，设函效 f (x )在区间［a , b ］上连续.用分点a = x 0 <x 2< L < x — < xb - a< L < X n 二b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，每个小区间长度为D x ( D x =)，nn在每个小区间［X i -^X i ］上任取一点\ i =1,2J||,n ，作和式：S^v f(i)C x =：i 二nb _af ( i )，当D x 无限接近于0 (亦即n —； • •)时，上述和式S n 无限趋近于常数 S ，ii nb那么称该常数S 为函数f (x)在区间［a,b ］上的定积分•记为： S 二 f (x)dx , f (x)为* a被积函数，X 为积分变量， 需要注意以下几点：［a, b ］为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限.b(1)定积分 f(x)dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S (n 时)，称为abf (x)dx ，而不是 S n .a(2) 用定义求定积分的一般方法 .b n• b -^aaf(x)dx 二［imj fi -" a - i n b t 2 b(3)曲边图形面积：S = f x dx ；变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx2 •定积分的几何意义b从几何上看，如果在区间［a ,b ］上函数f (x )连续且恒有f(x)_0，那么定积分a f x dx 表 示由直线X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影①分割：n 等分区间［a ,b ］；②近似代替：取点 nb — a i •〔x 」，X i 丨；③求和：、• 口 f(i )；◎ n ④取极限:b般情况下，定积分.f(x)dx 的值的几何意义是介于 x 轴、函数f(x)的图像以及直线a部分所示)的面积，这就是定积分bx = a ,x = b 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取 负号.即 F '(x) = f (x)，则 J ： f(x)dx =F(b) — F(a),或记为 J ： f(x)dx= F (x [ b=a F(b)-F(a)，称为牛顿一莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数f x 的一个原函数F x •然后计算原函数 F x 在区间la,b 上的增量F(b)-F(a)即可，这一定理提示了 定积分与不定积分之间的内在联系.题型归纳及思路提示 题型51定积分的计算 思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等(例 3.26及其变式)，则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算.1 2例 3.25 计算 I 〔x ■ sinx dx = ____________ .41变式1 -dx =2 xA.-21 n2B. 2ln 2C.-In2D. In21变式 2 Q (e x 2x)dx = A.1 B e ； C.e D. e+1性质 性质 性质 性质基本性质b1dx 二 b 「a .a bbkf (x)dx 二k f (x)dx (其中k 是不为0的常数)(定积分的线性性质).a - abbba[ £(x) 士 f 2(x)]dx£(x)dx 士； f 2(x)dx (定积分的线性性质)bcbf (x)dx f (x)dx • f (x)dx (其中a :: c ::: b)(定积分对积分区间的可加性) a a c推广 1 J [f i (x)±f 2(x)±j|j±f m (x)]dx= J £(x)dx 土 J f 2(x)dx 土卅土 J f m (x)a aaab (1C 2 b推广 2 f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx f (x)dx -a• a_ q■ Ck、基本定理设函数f (x)是在区间[a,b]上连续，且F x 是f (x)是在[a,b]上的任意一个原函数,2 1变式3设函数f (x )=ax +c (a 式0 )，若［f (x )dx = f (冷)(0兰冷兰1卜则x °的值 为 .若对于给定的正数 k ，定义函数1 2 f x , k =1时，定积分1 f k x dx 的值为 x L4D. 2ln2 1例3.26根据定积分的几何意义计算下列定积分 (1) ： 2 -x dx ;(2) ： J _x 2dxb评注 定积分 x dx 的几何意义是函数和直线 X =a, X =b 以及x 轴所围成的图形面积的L a代数和，面积是正值，但积分值却有正值和负值之分， 当函数时，f x 0面积是正值，当函数f x ：0时，积分值是负值.变式1根据定积分的几何几何意义计算下列定积分.40 -------------- 210 兀 —(1) J 0(x +2)dx ; (2) J 』V 4-xdx ; (3) J 。
专题13 定积分与微积分基本定理知识点
考点13 定积分与微积分基本定理一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)． （2）一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d ba S f x x =⎰； （2）()d baS f x x =-⎰；（3）()()d d cb acS f x x f x x =-⎰⎰； （4）()()()()d d []d b b baaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把—F (b )−F (a )记作()|b aF x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )．学.科*网【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)； （2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰； （4）cos d sin |bb a a x x x =⎰； （5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰； （8）322d |(0)3bb a ax x x b a =>≥⎰.1．πcos d x x =⎰A ．1B ．2-C ．0D ．π2．若()π402sin cos d 2x a x x -=-⎰，则实数a 等于 A ．1 B 2 C ．1-D ．3-3．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2D ．4—4．定义a b ad bc c d=-，如121423234=⨯-⨯=-，那么21d 312x x =⎰A ．6B ．3C ．32D ．0 5．设实数2log 3a =，131log 2b =，π01sin d c x x=⎰，则A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>6．（2015年高考湖南卷）2(1)d x x -=⎰．7．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．8．（2015年高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．。
定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学 山永峰 [备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．[归纳·知识整合] 1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的几何意义①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质： ①∫b a kf (x )d x ＝k ∫ba f (x )d x .②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫ba f 2(x )d x .③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫bc f (x )d x .[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫ba f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫ba [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫ba f (x )d x＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )． 课前预测：1.∫421xd x 等于( )A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 22．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( ) A.176 B.143 C.136 D.1163．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 4．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.5．由y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________考点一 利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫2x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰ sin 2x 2d x .———————————————————求定积分的一般步骤：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值． 强化训练：1．求下列定积分：(1)∫20|x －1|d x ；(2)20π⎰1－sin 2x d x .考点二 利用定积分的几何意义求定积分[例2] ∫10－x 2＋2x d x ＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值． ———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分． (2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小． 强化训练：2．(2014·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3] (2014·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )103 B ．4 C.163D ．6变式训练：若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？ ———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤 (1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案． 强化训练：(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14考点四：定积分在物理中的应用[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？ ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫ba v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫bav (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫ba F (x )d x . 强化训练：4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 3x ＋4 x(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7122．(2014·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.∫e11＋ln xxd x ＝( )A ．ln x ＋12ln 2x B.2e －1 C.32 D.122．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π23．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )A ．±1 B. 2 C ．± 3 D ．24．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈，2]，则∫20f (x )d x ＝( )A.34B.45C.56D ．不存在 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403m D.203m 6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________． 9．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当∫a 0(cosx －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ； (2)∫32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2xd x .11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分： (1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ； (2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x .3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2 t ，4t ＋t ，t 某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？定积分与微积分基本定理复习讲义答案 前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.83 ４.14π ５.158－2ln 2例１：(1)193. (2)2. (3)143. (4)12e 4－12e 2＋ln 2. (5)π－24.变式１：解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2)20π⎰1－sin 2x d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x )24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.例２：[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4. ∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4. 互动：解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 ∫20－x 2＋2x d x ＝π2.变式２.2－1 例３.Ｃ 互动：76. 变式３.Ｄ例４：[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t .令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |50＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46 典例：[解析] 由题意可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54 变式5. １.Ａ ２. 49检测题答案 ＣＢＣＣＡＤ ７.4＋2ln 2 ８.2423 ９.π410.解：(1) π4. (2)92＋ln 32. (3) 12e －12.11.解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝∫1－k0(x－x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12.解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2|2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.备选题：1.解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t ≤1，2 1≤t ≤3，13t ＋1 3≤t ≤6，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t ＝t 2112＋2t |31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 答案：494 m2.解：(1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )31-＝24.(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x |e1＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. 解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136.4.解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t ＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020＝7 133 13(m)<7 676(m)． ∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。
第十三节定积分与微积分基本定理
a
图1
(2)由三条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、x 轴、一条曲线 y＝
f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图 2)：
S＝|bf(x)dx|＝－bf(x)dx.
a
a
图2
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)；
题型一 计算积分 例 1 计算以下定积分：
解析：(1)函数 y＝2x2－1x的一个原函数是 y＝23x3－lnx，所
以12(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)
2 1
21＝136－ln2－23＝134－ln2.
(2)3( 2
x＋ 1x)2dx＝23(x＋1x＋2)dx
∴在 t＝4s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt＋|3(t2－4t＋3)dt|＋4(t2－4t＋3)dt＝4m.
0
1
3
点评：用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物 理问题转化为数学问题是关键，另外，路程是位移的绝对值之 和，一定要判断在不同区间上位移的符号，否则会出现计算错 误．
第十三节 定积分与微积分基本定理
【知识梳理】
1.定积分的概念
(1)设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点
a=Δx0<xxk中1<x最2<大…<xn=b.记小区间[xk-1，xk]为Δ k，其长度x_k-__x_k-_1_记作Δ xk， __的__________记作d.再在每个小区间Δ k上任取一点代表点zk，作和式
f(x)在[a，b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴 上有正有负 下方的曲边梯形的面积
第019讲 总复习：定积分和微积分基本定理知识梳理
定积分和微积分基本定理【考纲要求】1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。
2.正确计算定积分，利用定积分求面积。
【知识络】【考点梳理】要点一、定积分的概念定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=⋅⋅⋅，作和式11()()n nn i i i i b aI f x f nξξ==-=∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作()baf x dx ⎰，即()baf x dx ⎰＝1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.要点诠释：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质 （1）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数），（2）[]1212()()()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰，（3）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（其中b c a <<），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()0bb f x dx -=⎰； 若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则0()2()bbbf x dx f x dx -=⎰⎰.定积分的概念定积分的性质微积分基本定理定积分的几何意义及应用要点三、微积分基本定理如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则()()()baf x dx F b F a =-⎰,其中()F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()baF x .因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰.要点诠释：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.要点四、定积分的几何意义设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分⎰badx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰badx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正，在x 轴下方的面积积分时，取负.如图（2）所示.要点五、应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]bbaaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰；2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰；3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()bb baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.【典型例题】类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分（1）⎰-π)cos (sin dx x x ； （2）dx xx x ⎰+-212)1(； （3）⎰-+0)(cos πdx e x x .【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，∴00(sin cos )(cos sin )2-=--=⎰x x dx x x ππ；（2）∵2321(ln )23'-+=-+x x x x x x， ∴232221115()(ln )ln 2236x x x x dx x x -+=-+=-⎰.（3）∵(sin )cos '+=+xxx e x e ，∴01(cos )(sin )1x x x e dx x e e πππ--+=+=-⎰； 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数()F x 。
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}
二、基本性质
性质1 .
性质2 （定积分的线性性质）.
性质3 （定积分的线性性质）.
性质4 （定积分对积分区间的可加性）
推广1
推广2 ．
]
三、基本定理
设函数 是在区间 上连续，且 是 是在 上的任意一个原函数，即 ，则 ，或记为 ，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．
11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．
（１） ； （２） ； （３） ；
（４） ； （５）
１２．有一条直线与抛物线 相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于 ，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．
例计算 =．
解析 ．
A. B. C. D.
变式1
A. B. C. D.
)
变式2
B . C. D.
变式3 设函数 ，若 ，则 的值为．
变式4 设函数 的定义域为R, 若对于给定的正数 ，定义函数 ，则当函数 时，定积分 的值为
（ ）
A. B. C. D.
例 根据定积分的几何意义计算下列定积分
《
（1） ； （2）
定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效 在区间[a，b]上连续.用分点 将区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 （ ），在每个小区间 上任取一点 ，作和式： ，当 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间 上的定积分．记为： ， 为被积函数， 为积分变量， 为积分区间， 为积分上限， 为积分下限．
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数 的一个原函数 ．然后计算原函数 在区间 上的增量 即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．
题型归纳及思路提示
题型1 定积分的计算
`
思路提示
对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．
A. B. C. D.
变式3 求抛物线 与 围成的平面图形的面积．
变式4 求由两条曲线 和直线 所围成的面积．
…
最有效训练题
1.已知函数 ，则 （ ）
A. -2 B. D.
2.定积分 （ ）
A, B. C. D.
3.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.不存在
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4. ，则 的大小关系是（ ）
A, B. C. D.
需要注意以下几点：
（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时），称为 ，而不是 ．
（2）用定义求定积分的一般方法.
、
①分割： 等分区间 ；②近似代替：取点 ；③求和： ；④取极限：
（3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ；变力做功
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间 上函数 连续且恒有 ，那么定积分 表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分 的几何意义．
评注 定积分 的几何意义是函数和直线 以及 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时, 面积是正值，当函数 时，积分值是负值．
变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．
.
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
题型52 求曲边梯形的面积
思路提示
函数 与直线 围成曲边梯形的面积为 ，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．
5.曲线 与直线 所围成的平面区域的面积为（ ）
A,１ B. ２ C. D.
6.由直线 与曲线 所围成的平面图形的面积为（ ）
A, B.１ C. D.
7.抛物线 与直线 围成的平面图形的面积为．
8.已知 是偶函数，且 ，则 ．
9. ．
10.已知函数 的图象是折线段ABC，其中 ．函数 的图象与 轴所围成的图形的面积为．
例 由曲线 围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
解析 由 得 则由 和 围成的封闭图形的面积为 ，故选A．
<
变式1（2012湖北理3）已知二次函数 的图象如图3-16所求，则它与 轴所围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
变式2 由曲线 和直线 所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）
分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.
解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故 ．
（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线 和 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是 ，故 ．