微积分基本定理
（七）课后作业：
P 组1.(1), (3), (4) 62习题A
（八）.学生课后思考：通过计 算下列定积分 得到定积分的几何意义？
2
sin xdx
2
0
sin xdx
四 、板书设计 １．６ 微积分基本定理及应用
一１．温故知新 ２．微积分基本定理 ３．导数与定积分运算关系 二．用v(t)与s(t)来表示物体位移s 五.作业 三.例题 四.巩固练习
5 、教具:
多媒体课件（增强课堂的趣味性）
二、教学过程
（一）温故知新
1.导数公式及几何意义
2.回顾计算
1
0
x dx
3
的过程
(分割、近似代替、求和、取极限） （二）创设问题情境
问题1、同学们能否用定积分的定义来求
2
1
问题2、加法逆运算是减法，那么定积分运算有没有逆 运算，它的逆运算我们如何去定义？
问题3、求导和求定积分运算是否具有互逆关系呢？
1 dx 的值 x
（三）探究分析： 请同学们看教材第57页的探究，说说探究的基 本思路？解决教学重点和化解教学难点 引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容：
⒈如何用s(t)表示物体在[a, b]内的位移S?
引导学生观察s= s(t)的图像探索发现并得出 ： s s(b) s(a )
发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识 来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲， 体现了学生的主体地位。
(2) 、学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。学生在教师
的引导下通过观察、讨论、交流、合作探究等活动来对知识、方法 和规律进行总结，在课堂活动中注重引导学生并让学生体会从局部 到整体，特殊到一般和用数形结合的方法获取知识的过程，培养学 生学习的主动性。
体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退而结网的思想.
运用近似、无限接近巧妙的方法.
3．教学重点、难点分析： 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的
关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确 运用基本定理计算简单的定积分.（根据教材内容特点及 教学目标的要求）
难点：微积分基本定理的含义.
微积分基教材的地位及作用：
本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的 学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时 也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了 基础。因此它在教材中处于极其重要的地位。它曾被恩格 斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学.
——在这一过程中体现了定积分的基本思想，突出了导数的几 何意义，体现了数形结合这一数学中最基本的思想方法。
（四）讨论归纳
1、问题：由以上探究同学们得出什么结论？
引导学生讨论后，归纳并得出基本定理的特例
物体在区间[a, b]上的位移就是V (t)=s′(t)在区间[a, b]上的定积分等于函数s(t)在区间端点b，a处的函数值 之差s(b)－s(a)， 即
（二）.活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题 2 1 1 3 dx x dx 1 x 0
——以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例
题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分 简单。教师给出书写规范的格式初步展示利用微积分基 本定理求定积分的优越性。
（三）.典型例题：
例1 计算下列定积分：
1 (2 x 2 ) dx （ 1） 1 x
3
教师给出规范的书写格式
解：因为
( x ) 2 x,
2 '
所以
3
1
3 3 1 1 (2 x 2 )dx 2 xdx 2 dx 1 1 x x
1 ' 1 ( ) 2 x x
3
1 x 1 x1
2 3
1 (9 1) ( 1) 3
再 见
！
——进一步突出重点，突破难点，并巩固和深化所 学知识，形成基本技能，培养学生学习的主动性。
三、微积分基本定理
（一）微积分基本定理
连续函数 f(x),若 f ( x) F ( x)，则a
b
f ( x)dx F (b) F (a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）。 b b 简记： f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
a
其中
F ( x)
叫做
f ( x)
一个原函数
由于[F(x)+C]'＝f ( x)，F(x)+C也是f ( x)的原函数， 其中c为常数。
（1646－1716） （1642－1727） ——在这里我插入关于牛顿和莱布尼兹的个人背景材 料，以及他们的学术成果在整个社会乃至全世界的影响， 有利于丰富课堂内容。
五、教学评价设计：
温 故 知 新
引 导 探 索
归 纳 总 结
整个是由特殊到一般，由局部到整体，直观到抽 象，这样一个合情推理的过程。让学生感知定积分的 基本思想。正是体现了新课标对学生现有认知结构的 深刻认识，打破了传统概念上由抽象到具体、严格推 理论证的模式。
六、课后反思：
微积分基本定理的推导是本节课的难点，如果直 接讲那样学生理解起来会很困难，而是采用了创设情 景问题，由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识 的规律，推导出了定理公式．虽然这不是非常严格的 证明，但这反映出微积分基本定理的基本思想，而且 降低了教材的难度，便于学生的理解掌握．在教学过 程中介绍有关牛顿和莱布尼兹既丰富学生的数学历史 知识，激发学生的学习兴趣，又使枯燥的数学课堂充 满人文气息，有利于学生对定理的掌握，使学生对定 理的理解更立体．例题和练习的安排，没有人为的增 加难度，有利于本节课重点地落实。
2.教学目标：
(1)知识目标：了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理解
导数与定积分的互逆关系.
(2)能力目标： 让学生能够体会微积分运动与静态变化地思维方
式，并且培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的 精神!
(3)情感目标：
A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲
B
C
⒉如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t)，那么
它在时刻t的速度是什么？ 复习位移与速度之间的关系： s(t ) v(t )
3.如何用V (t)表示物体在[a, b]内的位移S？ 在上一节“汽车行驶的路程”中，学生知道了位移就 b S V (t )dt ，已知路程函数 是对速度函数v(t)的定积分 a s(t), 因此关键在于建立v(t)与s(t)的关系
22 3
（四）.巩固练习，强化提高 ：
1
5 0
2
4 xdx
1 ( x ) dx x
2 4
5
0
2
( x 2 x)dx
2
3 1
1
( x sin x)dx
（五）学生通过探究了解定积分基本定理特性： （1）求定积分比较方便.
' F ) （2）若 ( x) f ( x，且 f ( x ) 在区间 则 F ( x ) 叫做 f ( x ) 原函数.
结构特征和心理认知特点）
（根据学生的年龄
——以学生现有的知识对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难 度的，而突破难点的关键在于让学生主动利用已学的知识去探索，这样才能使学 生从真正意义上把握该定理的含义，提高自身的能力，体现其主体地位。
⒋教法和学法：
(1)、教法：采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启
I 可积，
（3）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函 数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函 数等于被积函数 （4）求导运算与求原函数(定积分）运算互为逆运算。
—这一过程主要体现学生通过观察、探索等
方法对知识的总结。培养学生学习的主动性
（六）归纳总结：1.微积分基本定理及应用. 2.求导数运算与求积分运 算是互为逆运算
微积分三大定理
微积分三大定理
微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化与求和。
微积分的发展离不开三大定理，它们分别是导数的基本定理、中值定理和积分的基本定理。
这三个定理是微积分的核心，为我们解决各种实际问题提供了重要的工具和方法。
导数的基本定理是微积分中最基本的定理之一。
它告诉我们如何求函数的导数。
导数是描述函数在某一点上的变化率的概念，它决定了函数的增减性和曲线的斜率。
导数的基本定理使我们能够通过求导来研究函数的性质，例如函数的最值、凹凸性等。
它是微积分中理论和实际应用的基础。
中值定理是导数的一个重要应用。
它的核心思想是函数在某个区间内的平均变化率等于某个点上的瞬时变化率。
中值定理为我们提供了一种刻画函数变化的方法，它能够帮助我们找到函数在某个区间内的极值点和临界点。
中值定理的应用广泛，不仅在数学中有重要地位，还在物理、经济等领域中有着深远的影响。
积分的基本定理是微积分的重要组成部分。
它告诉我们如何求函数的积分。
积分是求解曲线下面的面积或计算曲线的总变化量的工具。
积分的基本定理使我们能够通过求积分来计算函数的面积、体积、质量等物理量，它在科学研究和工程实践中起着重要的作用。
微积分三大定理的发展与应用，不仅丰富了数学理论，也推动了科
学技术的进步。
它们为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法，使我们能够更好地理解和描述自然界的现象。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，微积分的应用都是不可或缺的。
通过学习和应用微积分三大定理，我们能够更好地理解和解决复杂的实际问题，为人类的发展和进步做出贡献。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
； 快速阅读加盟 阅读加盟
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
微积分基本定理
GMmh W R( R h )
其中 G 是地球引力常数， M 是地球的质量， R 是地球的半径．
例 2：一物体从 5000m 高空落下， ．其下落速度为
g －1 2 kt v(t ) (1 e ) ，其中 g＝9.8m/s ，k＝0.2s k 问经过大约多少秒后该物体将接触到地面？
定积分在物理中的应用
例 3：证明：把质量为 m(单位：kg)的物体从地球 表面升高 h(单位：m)所作的功为
2
例 3：计算由曲线 y x 5 ，直线 y＝x
2
－7 以及 x 轴所围图形的面积 S．
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用
例 1：有一个质量非均匀分布的细棒，已知其线密度 为 ( x ) (2 x 1)( x 1) (取细棒所在直线为 x 轴， 细棒的一端为原点)，棒长为 l，求细棒的质量 m．
微积分基本定理
微积分基本定理
定理： 对于被积函数 f(x)， 如果 F’(x)＝f(x)， 则 f ( x )dx F (b) F (a ) ．
a b
这里 f(x)是 F(x)的导函数，我们把 F(x) 叫做 f(x)的原函数．
例1 计算定积分
(1)
3
1
2 dx(2)Biblioteka | x|3 2
x 1 (3) e 2 dx 1 x
2
(2 x 1)(2 x 3) dx 2x 1
cos 2 x (4) 2 dx 0 cos x sin x
4 微积分基本原理
微积分基本定理1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上． (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上－S 下，若S上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f (x )＝x 3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x 3d x 的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211x d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f(x)d x很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃb a f(x)d x＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1计算下列定积分：(1)ʃ211x d x；(2)ʃ31(2x－1x2)d x；(3)ʃ－π(cos x－e x)d x.反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋22．若ʃa1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .[呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n→∞∑='-ni i s n ab 1)(ξ； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )A.π4B.π2－1 C ．2D.π－246．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝________. 9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x )d x ； (2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x .11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x ..。
3.5_微积分学基本原理
1.
例
1
1 1
1 x2
d
x
arctan x
1 1
arctan1 arctan(1)
.
2
例
4 cos 2x d
0
x
1 sin 2
2x
4 0
1 (sin 2
2
4
sin 0)
1. 2
问题的关键是如何求一个 函数的原函数.
14
例
设f
(
x)
2x, 5,
0 x 1, 求 2 f ( x)dx. 1 x 2, 0
dx 0
dx 0
e x2 2x e x3 3 x 2
9
1 et2dt
例
lim
x0
cos x
x2
分析 这是 0 型不定式, 应用L’Hospital法则 0
解 d 1 et2dt d cos x et2dt
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x
11
x
C F(a),
a f (t)dt F ( x) C
bx f (t )dt F ( xb) F (a) x [a,b] a
特别, 令x b,
b
f ( x)dx F(b) F(a)
a
牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式
又称为微积分基本公式，即
b f ( x)dx F ( x) b F(b) F(a)
lim
x0
1 cos x
e t 2 dt
lim
sin
x
e cos2
x
1
x2
x0
2x
微积分基本公式和基本定理
x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C
微积分基本定理
A．
d
f (x)dx
a
B．
d
f (x)dx
a
C．
b
f (x)dx
c
f (x)dx
d
f (x)dx
a
b
c
y
D．
b
c
f (x)dx f (x)dx
y loga x (a 0, a 1, x 0)
y 1 x ln a
y sin x
y cos x
y cos x
y sin x
注：ln a loge a ，称为 a 的自然对数，其底为e ，e 是一个和 π 一样重要的无理数e 2.7182818284 ． 注意 (ex ) ex ．
0
2
【答案】 2π
【例3】
求定积分
1
(
1 (x 1)2 x)dx ．
0
【解析】
1
(
1 (x 1)2 x)dx
1
1 (x 1)2 dx
1 xdx ，
0
0
0
设 y 1 (x 1)2 ，则 (x 1)2 y2 1( y ≥0) ，
∵ 1 1 (x 1)2 dx 表示以1 为半径的圆的四分之一面积， 0
2π
| cos x | dx
0
π
2 cos xdx
0
3π
2 π
( cos
x)dx
2π 3π
cos
xdx
．
2
2
3 / 15
同步课程˙微积分基本定理 y
1
O
2 x
【答案】
2π
| cos x | dx
0
π
2 cos xdx
微积分基本定理
§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
微积分基本定理
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同步课程˙微积分基本定理
y
1
O
2 x
【答案】 | cos x | dx 2 cos xdx π2 ( cos x)dx 3π cos xdx
0 0 2 2
2π
π
3π
2π
【例5 】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ A． f ( x)dx
a b
【例1 】 根据定义计算积分 x dx ．
1
1
1 1 【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故 x dx 2 1 1 1 ． 1 2
【答案】1
2
【例2 】 根据定义计算积分
0
4 x 2 dx ．
2
【解析】所求定积分为圆 x2 y 2 4 在 x 轴上半部的半圆的面积，故 【答案】 2π
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同步课程˙微积分基本定理 四、微积分基本定理 如果 F ( x) f ( x) ， 且 f ( x) 在 [a , b] 上可积， 则 f ( x)dx F (b) F (a) ， 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的
a b
一个原函数． 由于 [ F ( x) c] f ( x) ， F ( x) c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在 [a , b] 上的改变量 F (b) F (a) 简记作 F ( x) b ， a 因此，微积分基本定理可以写成形式： f ( x)dx F ( x) b a F (b) F ( a) ．
【答案】
4 3
【例11】 (2 x 1)dx ______ ．
0
微积分学基本定理
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
aபைடு நூலகம்
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )