高中数学教学 对数与对数运算(二) 新人教A版必修1
高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教A版必修1
提示：①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(－12)x＝2成
立，所以log(－
1 2
)2不存在，所以a不能小于0.②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N
＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无 数个值，不能确定．
1
30
思考 1 对数恒等式 a logaN＝N 成立的条件是什么？ 提示：成立的条件是a>0，a≠1且N>0.
思考 2 用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是什么？
提示：用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数 要一致，为此要灵活应用幂的运算性质．
思考 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1＝？logaa＝？
提示： ∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1， ∴化成对数式为loga1＝0； ∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.
1
24
[典例示法] 例3 求下列各式中x的值． (1)logx27＝32；(2)log2x＝－23； (3)x＝log2719；(4)log3(lgx)＝1.
题目(1)(2)中的对数式化为指数式是怎样的？题目(3)(4)呢？
3
提示：(1)化为指数式x2
＝27，(2)化为指数式2－23
＝x，(3)化为指数式27x＝19，(4)化为指数式31＝lgx.
1
25
[解]
(1)由logx27＝32可得x32 ＝27，
2
高中数学2.2.1对数的运算_换底公式素材新人教A版必修1-经典通用宝藏文档
《对数与对数运算------换底公式》一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第二章《基本初等函数（I）》中2.2.1节《对数与对数运算》的第三课时，次要内容是探求换底公式并会用其进行简单的证明和计算.在此之前，先生曾经学习过了对数的概念、指数与对数之间的关系，并且利用指数与对数的关系推导出了对数的运算性质，本节课就是在此基础上，探求讨论对数的换底公式.从指数与对数的关系出发，证明对数换底公式，有多种途径，在教学中要让先生去探求，对先生的正确证法要给予肯定；证明得到对数的换底公式以后，要引导先生利用换底公式得到一些常见的结果，并处理一些求值转化的成绩.教学的重点：对数的换底公式的运用.本节内容具有很强的灵活性，换底公式在以后的学习中有着非常重要的运用，对数的运算法则是在同底的基础上，就使得其有很强的局限性，因而利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要.特别是在解决理论成绩，计算具体的对数数值时，换底公式更是不可或缺.因而要反复训练，强化记忆.本节内容由两部分构成，其一探求对数的换底公式并对其进行证明，并在探求过程中学会研讨某些数学成绩的过程与方法；其二利用换底公式去进行具体的求值和运算.本节课内容是表现新课程让先生积极自主探求、合作交流学习方式的良好素材.本节课包含了丰富的数学思想及方法，特别是在探求换底公式的过程中，以特殊例子为引入，然后逐渐的普通化，表现了从特殊到普通和转化的数学思想.本节的实例，可以让先生领会数学知识在理论生活中的运用，从而向先生浸透学好数学、用好数学的思想，能让先生对数学知识的学习产生浓厚的兴味.也能给先生一些科普方面的教育.同时，本节课又教给先生如何利用计算器去算对数的方法，加强了本节课的适用性,也给了先生动手操作的机会.二、目标和目标解析（一）教学目标1．掌握对数的换底公式，并能利用换底公式解决对数成绩.2．在探求换底公式过程中，领会转化与化归和从特殊到普通的数学思想.3．培养先生运用已有知识发现成绩及解决成绩的能力，领会数学知识在理论生活中的运用，进步先生学习数学的热情.（二）教学目标解析1．掌握换底公式指的是：熟记换底公式，能够证明换底公式，并且要鼓励先生尝试不同的方法去证明,拓展思想；对数的换底公式是进行对数运算的重要基础，这里要求先生能够利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算.2．领会数学思想指的是：经过成绩1、成绩2和成绩3的逐渐的推进和普通化，领会数学从特殊到普通的解决成绩的数学思想方法，同时，利用指数对数的转化或者标题中底数的化归分歧等，加深对转化和化归的理解.3．对于具体的求值成绩，可以运用不同的性质来解决，非常灵活，但不困难，标题做起来非常风趣；经过这部分内容，培养先生的数学能力，感受数学学科的特点.如例2是一道跟历史、科普知识有关的标题，而且还要用到计算器，这些都将吸引先生，并且激发先生学习数学的兴味.三、教学成绩诊断分析（一）成绩诊断分析（1）个别同学在求解时会存在无从下手的感觉，其根本缘由是先生对于利用指数与对数转化探求对数性质的过程理解不深化，教学中以小组合作探求式的学习方式来弥补这一不足.（2）在解决具体成绩时，先生不能选择适当的底数来运用换底公式.出现这一成绩的缘由是：先生对换底公式尚不太熟习，转化的能力也有待进步。
2.2.1_对数与对数运算(2)_课件(人教A版必修1)
)
12 解析：原式＝log6 12－log62＝log6 ＝log6 3. 2
答案：C
• 4．若logab·log3a＝4，则b的值为________． • • • • • 答案：81 5．已知a2＝m，a3＝n，求2logam＋logan. 解：由a2＝m，a3＝n， 得logam＝2，logan＝3， ∴2logam＋logan＝2×2＋3＝7.
(3)在使用换底公式时， 底数的取值不唯一， 应根 据实际情况选择． (4)重视以下结论的应用： ① logac· ca ＝ 1 ； ② logab· bc· ca ＝ 1 ； ③ log log log m loganb ＝ logab. n
m
思考感悟 m nbm＝ logab(a>0 (1)loga n ∈N*)成立吗？ (2)(logax)n＝logaxn 正确吗？ 提示：(1)成立．由换底公式可得 loganbm＝ mlgb m ＝ log b. nlga n a 且 a≠1，b>0，m、n
n个
(2)不正确． ∵(logax)n＝(logax· ax· logax)， logaxn log „· 而 ＝nlogax＝logax＋logax＋„＋logax，∴一般两式不相等．
互 动 课 堂
典 例 导 悟
类型一 对数运算性质的运用 [例 1] 求下列各式的值． 1 (1)4lg2＋3lg5－lg ； 5 1 1＋ lg9－lg240 2 (2) ； 2 36 1－ lg27＋lg 3 5 3 (3)lg ＋lg70－lg3； 7 (4)lg22＋lg5· lg20－1.
n个
自 我 检 测 1．若 a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子 中正确的个数是( )
教学：高中数学 2.2.1 对数与对数运算教案 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。
〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。
〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。
教学重难点：指、对数式的互化。
教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。
这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。
能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。
二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。
人教A版必修一2.2.1.1对数与对数运算
2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数
1. 定义：一般地，如果 ax=N （ a>0 ，且 a≠1 ），那么数 x 叫做 以a为底N的对数，记作 x loga N ，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数loga N（a＞0，且a≠1）具有下列简单性质 （1）负数和零没有对数，即N＞0； （2）1的对数为零，即loga1=0； （3）底的对数等于1，即logaa=1.
3.常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数.记作 lg N .
4.自然对数：以e为底的对数称为自然对数.记作ln N.
5.对数与指数间的关系：当a＞0，a≠1时，
1.logaN=b化为指数式是（ C ）
（A）aN=b （C）ab=N 解析：根据定义可知，logaN=bab=N，故选C. 2.logab=1成立的条件是（ D ） （A）a=b （C）a>0，且a≠1 （D）a>0，a=b≠1 （B）a=b，且b>0 （B）ba=N （D）bN=a
规律方法：利用对数与指数间的互化关系时，要注意各
字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.
思路点拨：解答本题可利用对数的基本性质，合理运 用提供的信息求解.
规律方法：有关真数为“底数”和“1”的对数，可以利用对数的性 质直接得出其值为“1”和“0”，但有时需要底数变形后才可以利用 此规律.
解析：logab有意义，则a>0，a≠1，且b>0；
又由logab=1知a=b.故a>0，a=b≠1.
3.有下列说法 ①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数.
高中数学人教版A版必修一第二章 第1课时对数
第1课时 对 数
学习目标
1.了解对数的概念； 2.会进行对数式与指数式的互化； 3.会求简单的对数值.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 对数的概念
思考
解指数方程：3x＝
3.可化为
1
3x＝32，所以
x＝12.但你会解
3x＝2
吗？
答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 计算：(1)log927； 解 设 x＝log927，则 9x＝27,32x＝33，∴x＝32.
2log4 381；
解
设 x = log4 381，
则4
3x＝81,
x
34＝34， x＝16.
3 log3 54 625.
解 令 x = log3 54 625
，∴3
54x＝625,
例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( D ) A.b<2或b>5 B.2<b<5
C.4<b<5
D.2<b<5且b≠4
解析
b－2>0， ∵5－b>0，
5－b≠1，
∴2<b<5 且 b≠4.
反思与感悟
解析答案
1－x 跟踪训练 1 求 f(x)＝logx1＋x的定义域.
x>0，
答案
对数的概念：
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 以a为，底记N的作对数 x＝logaN ，其中a叫做 对数的底数，N叫做 真数.
常用对数与自然对数：
高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算课件 新人教A版必修1 (2)
解：(1)方法一：
原式＝12(lg
25－lg
72)－43lg
3
22
＋lg(72×5)
1 2
＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5
＝12(lg 2＋lg 5)＝12.
方法二：
原式＝lg472－lg 4＋lg 7 5
第二章 基本初等函数 第2课时 对数的运算
1．理解并掌握对数恒等式的推导与应用．(难点、易错点) 2．理解并掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行 对数的有关运算．(重点) 3．掌握换底公式，能用换底公式将一般对数化成自然对 数或常用对数．(难点)
1．对数恒等式 alogaN＝__N_.(a＞0，且a≠1) 2．对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
1．求值： (1)10lg 2＝________. (2)31＋log3 4＝________. (3)22log25－1＝________. (4)13log34－2＝________.
解析：(1)10lg 2＝2.
(2)31＋log3 4＝3×3 log3 4＝3×4＝12.
(3)22log25－1＝2lo2g 252＝522＝225.
3．对数运算性质的两个注意点 (1)适用前提：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数 为正”，即 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.若去掉此条件，性质不一 定成立，如 log3－ －83≠log3(－8)－log3(－3)． (2)可逆性：对数的运算性质具有可逆性，具体如下： ①logaM＋logaN＝loga(MN)(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)，如 lg 2＋l公式：
底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则． 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处 理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于 真数化简的原则进行． (2)两种常用方法． ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
高中数学 2.2.2对数与对数运算(二)练习 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
【金版学案】2015-2016高中数学 对数与对数运算（二）练习 新人教A 版必修1 基础梳理1．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和．(2)log a MN＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差．(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 例如：①lg (3×5)＝______；②lg 5＋lg 2＝______；③ln e 2＝______.2．几点注意：(1)对数的真数是多项式时，需将真数部分加括号，如lg(x ＋y )与lg x ＋y 的含义不同．(2)(lg M )n 与lg M n 的含义不同．(3)log 2(－3)(－5)＝log 2(－3)＋log 2(－5)是不成立的．(4)log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．(5)当心记忆错误：log a (MN )≠log a M ·log a N ；log a (M ±N )≠log a M ±log a N .3．对数的换底公式log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例如：log 35＝________，其中a ＞0，且a ≠1.4．关于对数换底公式的证明方法有很多，可借助指数式证明对数换底公式．例如：设a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0.求证：log a b ＝log c b log c a.5．设a ，b ＞0，且均不为1，由换底公式可加以求证：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b .例如：①log 23·log 32＝____；②log 89＝________ .基础梳理1．①lg 3＋lg 5 ②1 ③2 3.log a 5log a 34．证明：设log a b ＝x ，则b ＝a x ，于是log c b ＝log c a x ，即x log c a ＝log c b ，∴x ＝log c b log c a ，∴log a b ＝log c b log c a. 5．证明：(1)log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg a lg b＝1. (2)log am b n ＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n mlog a b . 答案：1 23log 23 ,思考应用1．log a (M ＋N )＝log a (MN )对吗？1．错2．log a (M －N )＝log a M N 对吗？2错 自测自评1．若a >0，a ≠1，x >y >0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．设9a ＝45，log 95＝b ，则( )A ．a ＝b ＋9B ．a －b ＝1C ．a ＝9bD ．a ÷b ＝13．求值：log 274log 32＝____. 1．解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．故选A.答案：A2．解析：由9a ＝45得a ＝log 945＝log 99＋log 95＝1＋b ，即a －b ＝1，故选B. 答案：B3．解析：log 274log 32＝lg 4lg 27lg 2lg 3＝2lg 23lg 3lg 2lg 3＝23. 答案：23►基础达标1．lg a 与lg b 互为相反数，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝1 D.a b＝11．C2．在log (a －2)2中，a 的取值X 围是____________．2.(2，3)∪(3，＋∞)3．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝____.3.814．化简12log 612－2log 62的结果为( ) A ．6 2 B ．12 2C ．log 6 3 D.124．解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.故选C.答案：C5．(log 29)·(log 34)＝( )A.14B.12C ．2D ．4 5．解析：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4. 答案：D6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a6．解析：log 512＝lg 12lg 5＝lg 3＋2lg 2lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝ b ＋2a 1－a. 答案：C►巩固提高7．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2 lg 5的值是( )A ．4B ．1C ．6D ．37．B8．(2014·某某卷)已知a ＝2－13，b ＝log 2，c ＝log 1213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a8．解析：0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜0，a ＝log 1213＝log 23＞1，所以c ＞a ＞b ，故选C.答案：C9．求值：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.9．解析：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.10．求值：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．10．解析：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝⎝⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38 ＝32log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32 ＝34＋12＝54.1．条件代数式的求值问题包括以下三个方面：①若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手；②若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化成结论的形式；③若条件与结论的复杂程度相差无几时，可同时对它们进行化简，直到找出它们之间的联系为止．2．利用换底公式统一对数的底数，即化异为同是处理含不同底的对数的常用方法．3．在化简、求值、证明等问题中，要把换底公式与对数的运算性质结合起来．4．有时需将对数式log a 5log a 3写成log 35后解决有关问题．。
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例题与练习 例4 已知 lg20.301， l0g30.477， 1 求lg 45.
例题与练习
例5 20世纪30年代，里克特制订了一种 表明地震能量大小的尺度，就是使用测 震仪衡量地震能量的等级，地震能量越 大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越 大.这就是我们常说的里氏震级M，其计 算公式为 M＝lgA－lgA0. 其中，A是被测地震的最大振幅， A0是“标准地震”的振幅 (使用标准地震振幅是为了修正测震仪距 实际震中的距离造成的偏差).
a b N lo a N g b ( a 0 且 a 1 )
3．重要公式 (1) 负数与零没有对数； (2) loga1＝0，logaa＝1；
(3) 对数恒等式 aloagN N.
4．指数运算法则4．指来自运算法则amanamn (m,nR), (am)n amn (m,nR), (ab)nanbn (nR).
说 明： ①简易语言表达：
“积的对数＝对数的和”……
说 明： ①简易语言表达：
“积的对数＝对数的和”……
②有时逆向运用公式：
如：lo 15 0 g lo 12 0 g lo 11 0 g 0 1 .
说 明： ①简易语言表达：
“积的对数＝对数的和”……
②有时逆向运用公式：
如：lo 15 0 g lo 12 0 g lo 11 0 g 0 1 .
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
lo a (M g) lN o aM g lo aN g (1)
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
例题与练习
例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：
xy
x2 y
(1)laozg; (2)loag 3 z
例题与练习 例2 计算
(1) log5 25
(2) log0.41
(3l)o2(g 4725) (4) lg5 100
例题与练习 例3 计算
(1)(l5g)2lg2lg50 (2) lg20 lo1g020 5 (3) lg1 42lg7lg7lg1.8
③真数的取值范围必须是 (0, ＋∞).
说 明： ①简易语言表达：
“积的对数＝对数的和”…… ②有时逆向运用公式：
如：lo 15 0 g lo 12 0 g lo 11 0 g 0 1 .
③真数的取值范围必须是 (0, ＋∞).
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
lo a(M g) N lo aM g lo aN g lo a (M g N ) lo aM g lo aN .g
例题与练习
例6 已 知 lo1g89a，18b 5， 求l og3645.
例题与练习 例6 已 知 lo1g89a，18b 5， 求l og3645.
练习 教材P.68练习第1、2、3题
课堂小结
1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
课后作业
1．阅读教材P.64-P.66； 2．《习案》作业二十一.
例题与练习 例5 计算公式为 M＝lgA－lgA0.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20， 此时标准地震的振幅是0.001，计算这次 地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振 幅的多少倍(精确到1).
2.2.1 对数与 对数运算
复习引入
1. 对数的定义 logaN＝b
复习引入
1. 对数的定义 logaN＝b
其中a∈(0, 1)∪(1, ＋∞)； N∈(0, ＋∞).
2．指数式与对数式的互化
2．指数式与对数式的互化
a b N lo a N g b ( a 0 且 a 1 )
2．指数式与对数式的互化
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
lo a (M g) lN o aM g lo aN g (1) M
loagNloagMloagN(2)
讲授新课
1．积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
lo a (M g) lN o aM g lo aN g (1) M
loagNloagMloagN(2) lo aM gnn lo aM g(n R )(3)