高中数学必修4(必修四)课件第二章：平面向量
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人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件
a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表 示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
•
高中数学必修四《平面向量》PPT
B、e1和3e2 D、e1和e1 e2
2、指出下列两个向量的夹角。
120
0
1200
600
思维拓展
1、如图所示，在平行四边形ABCD中，
AD =a，AB=b，E、M分别是AD、DC的中
点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为
基底分别表示向量 AM
B
和
F
EF
.
C
M
A ED
思维拓展 2、如图在平行四边形ABCD中， AC =a，BD =b，以a，b为基底分别表示 向量 AB 和 BC 。
AB 1 a- 1 b 22
BC 1 a+ 1 b 22
DF
C
M
AEB
思维拓展
3、设 e1, e2 是平面 的一组基底，如果 AB 3e1 2e2, BC 4e1 e2,CD=8e1 9e2 求证：A、B、D 三点共线．
2.3.1 平面向量基本定理
复习回顾
1.两向量的加法和减法有哪些几何法 则？
2.怎样理解向量的数乘运算 a？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时，λa与 a方向相同；
λ<0时，λa与 a方向相反； λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
b与非零a共线
存在唯一实数λ，使b＝λa.
思维引领
问题1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思维引领
问题2：已知 e1 :
e2 ：
分别用 e1，e2 表示下列向量：
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高中数学必修四北师大版 2.4.2 平面向量线性运算的坐标表示ppt课件(17张)
示。 （ 1）向量加减法的坐标等于向量坐 标的加减法 （2）实数与向量的积的坐标等于是属于向 量坐标的积。 （3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去 起点坐标。
注意事项
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的
起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置
有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的
法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学
习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要
内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，
充分体现了转化和数形结合的思想方法.
误区解密：
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1， 求 d.
【解析】
k)．
(1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋
2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)
课堂总结
平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加
a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、 ya ，使得 = xi + y j
我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a =（x，y） 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标
平面向量的坐标运算 自主探究
向量是可以作运算的，运用所学的知识研究两个向 量的和与差的坐标表示，及实数与向量积的坐标表
顶点D的坐标。
预习测评
向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)， OA 则 (xy 2－ x1， ＝________，若 A(x1， 1)， B(y x22－ ，y y12) )，则 AB ＝
(
________________________.
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
(人教B)高二数学必修4课件：2.1.1向量的概念
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②若A→B＝D→C，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形 ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0； ⑤若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.向量的概念 (1)向量：具有大小和 方向 的量称为向量.只有大小和方 向，而无特定的位置的向量叫做 自由向量 . (2)如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向 量 相等 .
明目标、知重点
(3)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示 位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时 我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫 做 有向 线段.点A叫做有向线段的 始点 ，点B叫做有向线 段的 终点 .有向线段的方向表示向量的 方向 ，线段的长 度表示位移的 距离 ，位移的距离叫做向量的长度 .
明目标、知重点
思考 2 如果非零向量A→B与C→D是共线向量，那么点 A、 B、C、D 是否一定共线？ 答 点A、B、C、D不一定共线.
明目标、知重点
思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若 向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递 性吗？ 答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b 相等，则向量a与b平行(或共线). 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这 是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b， b∥c⇒a∥c. 小结 在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时， 一定要看清题目明目中标、是知“重点零向量”还是“非零向量”.
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
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探究点一 向量的概念和几何表示
我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量.数学中，我们 把这种既有大小，又有方向的量叫做向量.而把那些只有大小，没 有方向的量称为数量. 例如，已知下列各量：
①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；
⑧重力；⑨路程；⑩密度. 其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦பைடு நூலகம்.
反思与感悟 对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、
理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一 反例即可.
跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由.
小结
在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解
答问题时，一定要看清题目中是 “零向量”还是“非 零向量”.
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若
→ → AB＝DC， ABCD中，一定有 ③在平行四边形
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？
答
联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不
能比较大小，数量无方向且能比较大小 .向量可以用有向线段表 示，也可以用字母符号表示 . 用表示向量的有向线段的长度表示 向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模).记作| |有向线段 箭头表示向量的方向 . →
思考3
若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，
若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备
传递性吗？ 答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与
b相等，则向量a与b平行(或共线).
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c， 这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有 a∥b，b∥c⇒a∥c.
及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
填要点·记疑点
1.向量 既有 大小 ，又有 方向 的量叫做向量. 2.向量的几何表示 以A为起点、B为终点的有向线段记作 3.向量的有关概念 .
(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作
→ AB
.
(2)单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量.
AB
→ AB
→ AB
→ AB
思考2 向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？ 答 向量的模可以为0，也可以为1，不可以为负数. 思考3 向量与有向线段有什么区别？
答
向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方
向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的 工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小 和方向相同，也是不同的有向线段.
则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
→ ④若向量a与任一向量b平行，则a＝ 0； →
AB＝DC；
解 ②
两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相 A 、 B 、 C 、 D 四点可能在同一条直线上，故②不
反，所以a与b有共线的可能，故①不正确.
→ → AB 正确 . ＝DC，
向相同，故
由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量
也叫做共线向量 . 也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因
此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行 和共线相混淆.
思考2 如果非零向量
是否一定共线？ 答
→ → 是共线向量，那么点A、B、C、D AB与CD
点A、B、C、D不一定共线.
0 1
0
(3)相等向量： 长度相等且方向相同 的向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量)：方向 相同或相反 的 非零 向量叫做平行 向量，也叫共线向量. ①记法：向量a平行于向量b，记作 .
②规定：零向量与 任一向量
平行. a∥b
探要点·究所然 情境导学
回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本 书 …… 中抽象出只有大小的数量 “1” ，类似地，我们 可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行 抽象，形成一种新的量，即向量.
③在平行四边形ABCD中，
③正确 →.
与平行且方
→ → → |AB|＝|DC|，AB与DC
→ → AB＝DC，
④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确.
⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方
向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确. 若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立； b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确.
等，记作a＝b.单位向量不一定是相等向量.
小结
研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不
可忽略其中任何一个要素 . 对于初学者来讲，由于向量是一个相 对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错. 思考3 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一
点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？ 答 单位圆.
探究点二 几个向量概念的理解
思考1 向量？ 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么
答
长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的.
满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相
长度(或模)为1的向量叫做单位向量. 思考2 答 等向量吗？ 长度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a与b相
探究点三 平行向量与共线向量 思考1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向
量的方向有什么关系？ 答 方向相同或相反.
小结
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 . 向量 a 、b 平行，
通常记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有0∥a.
a、b、c 是一组平行向量，任作一条与 a 所在直线平行的直线 l，在 → → → l 上任取一点 O，则可在 l 上分别作出OA＝a，OB＝b，OC＝c.
第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景
及基本概念
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌 握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的 联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量