13077-数学建模-投资的收益和风险问题
数学建模-投资的风险和效益
解决组合投资收益最优问题一、 摘要本论文主要讨论并解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的有关问题。
分别在不考虑投资项目之间的影响和考虑投资项目之间的影响以及不考虑风险和考虑风险的情况下，建立相应的数学模型，来使得投获得的总利润达到最大。
模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型，不同的投资方式具有不同的风险和效益，该模型根据优化模型的原理，提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个，使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小。
模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性。
二、 关键字：经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权三、 问题重述市场上有n 种资产（如储蓄、保险、国债、股票、基金、期货、外汇、房地产、珠宝、邮票、古玩字画、钱币及拍卖品等）S i ( i=1,…n) 供投资者选择，将数额1000万的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
现对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。
考虑到投资越分散，总的风险越小，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。
购买S i 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易按购买i u 计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。
（0r =5%） (%) (或存银行生 息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
资产(%)的盈亏数据，以及一般情况的讨论。
这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。
有关投资的收益与风险的建模
有关投资的收益与风险的建模投资是为了获取收益而承担风险的行为。
通过建立投资的收益与风险的模型，投资者可以更好地理解和管理自己的投资组合。
本文将介绍一种常见的投资的收益与风险的建模方法。
在投资领域，常用的一种收益与风险的模型是资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。
该模型基于市场组合的收益和风险，通过β系数来衡量个体资产与市场的相关性。
β系数越高，代表个体资产的风险相对市场更高，收益也相对更高；反之，β系数越低，个体资产的风险相对市场更低，收益也相对较低。
通过计算个体资产的β系数，投资者可以根据市场风险来评估个体资产的预期收益。
另外，为了更全面地评估投资的收益与风险，投资者还可以使用价值-at-风险模型（Value-at-Risk，VaR）。
VaR是一种根据投资组合的历史数据和相关统计学方法来计算预期最大可能损失的模型。
通过计算VaR，投资者可以估计在特定风险水平下的最大可能损失，并相应地进行风险管理和资产配置。
此外，在投资的收益与风险建模中，还有一些其他方法可以使用。
例如，投资者可以使用相关性分析来评估不同资产之间的相关性，以便在资产配置和投资组合构建中降低风险。
同时，投资者还可以使用蒙特卡洛模拟来模拟不同的市场情况，并评估不同投资策略在不同市场环境下的收益和风险。
总之，投资的收益与风险建模是一种重要的工具，可以帮助投资者更好地理解和管理自己的投资组合。
CAPM、VaR、相关性分析和蒙特卡洛模拟等方法都可以帮助投资者更科学地进行投资决策，并降低投资风险。
然而，由于市场的不确定性和无法预测性，任何建模方法都存在一定的局限性，投资者在使用这些模型时应该谨慎，并结合其他因素来进行综合分析和决策。
投资是一种追求财富增长和实现财务目标的行为，但同时也伴随着风险和不确定性。
为了更好地理解和管理投资中的收益与风险，投资者可以使用各种建模方法来评估和预测投资的潜在回报和风险水平。
数学建模_市场投资的收益和风险模型
市场投资的收益和风险模型摘要本文提出了一个多目标规划的数学模型，解决了市场投资方案的问题，使收益值尽可能大，风险值尽可能小。
为了方便求解，我们把非线性的转化为线性的，并将两个目标函数用加权系数法，引入加权系数，转化为一个目标函数，其中反应的是风险水平。
另外，在考虑交易费时, 由于有个最小给定值的约束使问题很复杂，为了简化，我们将问题简化为只考虑超过部分的交易费，这样也利于求解。
最后，由MATLAB求解出问题的最佳抉择与收益及其风险表：问题二给出了投资收益与风险的一般模型：nmax f 八口心「pj m0r0i壬min g=max{ m i q i}ns.t 彳—0<m^1再将n =15带入模型，按问题一相同思路得出投资组合方案（具体方案见文中）关键词：多目标规划加权系数法市场投资一、问题的重述市场上有n种资产（如股票、债券、…）S i（i =1,…，n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出这在这一时期内购买S i的平均收益率为r i，并预测出购买S i的风险损失率q i。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i中最大的一个风险来度量。
购买S i要付交易费，费率为P i，并且当购买额不超过给定值U i时，交易费按购买U i 计算（不买当然无须付费）。
另外，假定同期银行存款利率是r o,且既无交易费又无风险。
（r°=5%）1、已知n = 4时的由给出的相关数据，试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用给出数据进行计算。
二、模型的假设1、假设确定M相当大，这一条件可以在交易额很小时，忽略交易费；2、假设投资越分散，总的风险越小，且总体风险可用所投资的资产当中最大的一个风险来度量；3、假设交易费按购买计算，在不买的情形下当然无须付费；4、假设同期银行存款利率保持定值不变，且既无交易费又无风险。
数学建模--收益风险分析
投资的收益和风险目录一、摘要 (2)二、问题的提出 (2)三、问题的分析 (4)四、建模过程 (5)1、模型假设： (5)2、定义符号说明： (5)3、模型建立: (6)4、问题分析与求解 (6)（1）、问题一： (6)（2）、问题二： (9)（3）、模型求解： (10)五、模型的结果分析与评价 (10)六、模型评价与改进 (14)七、参考文献 (15)附录：Matlab程序 (15)A、问题一的求解 (15)B、问题二的求解： (15)一、摘要本方案借鉴了金融投资理论，在进一步明确“风险”和“总风险”这两个概念的基础上，将本问题归并为非线性规划问题。
对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑连个目标，总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，然而，这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。
随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金进行投资。
财富的积累需要一个过程，但投资理财有助于我们获取财富，一方面可以加速我们富裕的过程，从无到有，从少到多，实现原始财富的积累与财富的进一步增值；另一方面达到财务目标，平衡一生中的收支差距。
【关键字】：经济效益线性规划模型有效投资方案线性加权二、问题的提出随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金进行投资，但是现在投资的方式多样化，所存在的风险都各不相同，因此了解一些基本投资规划方案，选择合适的投资组合方案，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。
市场上有n种资产（如股票、债券、…）i S( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买i S的平均收益率为并预测出购买i S的风险损失率为。
考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的i S中最大的一个风险来度量。
建模示例——投资的收益与风险
令 max qi xi i 1,2,, n ;则
简化后的模型——双目标线性规划模型
max Q( x ) ri pi xi
n
min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
i 0
(1 p ) x
i 0 i
n
i
M
xi 0, i 1,2,, n
四、模型求解
解法1 固定风险 水平，极大化净 收益——模型1 解法2 固定净收 益水平,极小化风 险损失——模型2
max Q( x ) ri pi xi
n
min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
Q( x ) ri xi pi max ui , xi ri pi xi
i 0 i 0
n
n
2) 简化总体风险函数P(x):
min P ( x ) max qi xi i 1,2,, n min P ( x , ) s.t . qi xi , i 1,2, n
S7 S8 S9 S10
40.7 31.2 33.6 36.8
68 33.4 53.3 40
5.6 3.1 2.7 2.9
178 220 457 248
二、基本假设和符号规定
基本假设： 1. 投资数额M相当大, 为了便于计算，假设M=1； 2. 投资越分散，总的风险越小； 3. 总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量； 4. n种资产Si之间是相互独立的； 5. 在投资的这一时期内, ri, pi, qi, r0为定值, 不受意外因素影响; 6. 净收益和总体风险只受 ri, pi, qi影响，不受其他因素干扰。 符号规定： Si -------第i种投资项目，如股票，债券; ri, pi, qiபைடு நூலகம்----分别为Si的平均收益率, 风险损失率, 交易费率; ui ---------Si的交易定额; r0 ---------同期银行利率; xi -------投资项目Si的资金; Q(x) ------总体收益函数; P(x)-------总体风险函数；
数学建模投资风险与收益
数学建模投资风险与收益
投资风险和收益是投资领域中的两个最重要的概念。
投资者在做出最终的决策之前，
必须仔细衡量这两者之间的关系。
投资风险是指可能发生的一系列不确定的事件，这些事件可能会导致投资者在投资过
程中遭受损失。
投资风险包括市场风险、信用风险、流动性风险和操作风险等。
投资收益是指投资者在投资中获得的收益，包括股息、利息、资本利得和其他收益等。
投资者的收益与投资风险密切相关，通常来说，风险越高，收益也就越高，反之亦然。
在数学建模中，我们可以使用各种数学工具和技巧来分析投资风险和收益之间的关系。
例如，我们可以使用统计方法来评估一个投资组合的风险和收益。
通过分析投资组合中每
个资产的历史数据，我们可以得出该组合的风险和收益情况，并通过优化投资组合的资产
配置，实现最大化收益和最小化风险的目标。
另外，我们还可以使用金融工程学中的定价模型来评估投资的风险和收益。
例如，利
用风险价格和风险杠杆来评估投资组合的风险和收益，并通过调整投资组合的配置，使风
险和收益达到最优化。
除了数学建模，我们还可以使用许多其他工具和技巧来帮助我们评估投资风险和收益
之间的关系。
例如，我们可以使用基本面分析来评估股票的价值，使用技术分析来预测股
票价格的变化，使用公司财务分析来评估企业的财务状况等。
总之，投资风险和收益是投资领域中的两个最重要的概念。
通过使用数学建模和其他
工具和技巧，我们可以更加准确地分析投资组合的风险和收益，并实现最优化的投资决
策。
数学建模投资的风险和效益
多目标优化摘要：对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑连个目标,总体收益尽可能大和总体风险尽可能小,然而,这两目标并不是相辅相成的，在一定意义上是对立的。
模型一应用多目标决策方法建立模型，以投资效益没目标，对投资问题建立个一个优化模型,不同的投资方式具有不同的风险和效益,该模型根据优化模型的原理,提出了两个准则，并从众多的投资方案中选出若干个,使在投资额一定的条件下，经济效益尽可能大，风险尽可能小.模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型，主要思想是通过线性加权综合两个设计目标：假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化，通过决策变量化解风险函数的非线性.【关键字】：经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权1. 问题重述投资的效益和风险(1998年全国大学生数学建模竞赛A 题)市场上有n 种资产（如股票、债券、…)S i ( i=1，…n ） 供投资者选择，某公司有数 额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n 种 资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q .考虑到投资越分散,总的风险越小，公司确定，当用这笔资金 购买若干种资产时，总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。
购买S i 要付交易费，费率为i p ,并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算(不买当然无须付费）.另外，假定同期银行存款利率是0r ， 且既无交易费又无风险。
（0r =5％） 已知n = 4时的相关数据如下:试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M,有选择地购买若干种资 产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2模型的假设与符号说明2.1模型的假设：（1)在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变.(2）在短时期内所购买的各种资产（如股票,证券等）不进行买卖交易.即在买入后就不再卖出。
数学建模：投资收益和风险的模型
. . 投资收益和风险的模型 摘要 在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。 一 问题的提出 某公司有数额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（iS）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买iS的期望收益率（ir）、交易费率(ip)、风险损失率(iq)以及同期银行存款利率0r（0r=3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受ir,ip,iq影响，不受其他因素干扰 。现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小. 表1
投资项目iS 期望收益率(%)ir 风险损失率(%)iq 交易费率(%)ip 存银行0S 3 0 0
1S 27 2.4 1
2S 22 1.6 2
3S 25 5.2 4.5
4S 23 2.2 6.5
5S 21 1.5 2 . . 其中0,1,2,3,4,5.i 二 问题假设及符号说明 2.1 问题假设 (1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量； (2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的iS的期望收益率ir为实际的平均收益率； (3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散； (4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。 2.2 符号说明
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1 投资的收益和风险问题 某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。 一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。 试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？ 二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。 8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目) 试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。 对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。 项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。 各投资项目的投资上限见表4。 在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？ 四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。 如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？ 五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策? 2
附： 表1. 投资项目预计到期利润率及投资上限 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 预计到期利润率（%） 0.1 0.11 0.25 0.27 0.45 0.5 0.8 0.55 上限（万元） 60000 30000 40000 30000 30000 20000 40000 30000
注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。
表2. 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元） 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 1986 投资额 3003 5741 4307 5755 4352 3015 6977 4993 到期利润 479 126 1338 910 -7955 5586 22591 8987 1987 投资额 7232 6886 5070 7929 7480 5463 3041 4830 到期利润 1211 164 2210 1539 5044 -1158 6386 9398 1988 投资额 3345 5659 6665 7513 5978 4558 5055 4501 到期利润 507 629 2540 1233 -3608 -6112 36832 10355 1989 投资额 5308 6272 6333 6749 4034 7392 6442 4092 到期利润 787 602 836 1616 8081 4946 16834 -7266 1990 投资额 4597 5294 5148 5384 6220 6068 6095 5270 到期利润 711 365 2765 1099 22300 8319 -19618 -2697 1991 投资额 4378 5095 5973 7294 6916 6276 7763 6335 到期利润 756 621 2549 1559 5130 -9028 22230 2733 1992 投资额 6486 7821 4449 5586 5812 6577 6276 5848 到期利润 846 935 1078 1006 9358 1318 -59901 24709 1993 投资额 6974 3393 4268 5414 5589 4472 6863 3570 到期利润 1489 593 1955 1740 9207 4237 38552 14511 1994 投资额 4116 4618 5474 6473 5073 6345 6866 3044 到期利润 353 749 2041 1548 7044 -2291 -39691 4570 1995 投资额 7403 5033 6859 6707 5377 4783 5202 6355 到期利润 1117 911 1392 1168 7488 1464 70314 19245 3
1996 投资额 4237 4996 5603 5597 5231 4181 6830 5018 到期利润 571 964 3077 1881 7209 5721 -21568 5075 1997 投资额 3051 5707 4877 3844 7434 4222 5370 5960 到期利润 449 868 1138 1131 5196 3173 99069 14864 1998 投资额 7574 5052 5460 3681 7936 7745 6391 3861 到期利润 1396 958 1372 1221 5849 10740 -27334 -4626 1999 投资额 3510 5870 5697 5701 3898 7216 5135 4218 到期利润 364 1089 1456 1757 -629 10770 -24878 -5786 2000 投资额 6879 7396 5516 5623 7471 5501 3174 4210 到期利润 994 1558 2864 1461 7769 7151 8981 21833 2001 投资额 3511 4780 6255 6925 6598 6043 4862 7988 到期利润 638 1175 3230 2223 8020 7916 -46712 21357 2002 投资额 3660 7741 4315 4379 7120 6131 3661 5393 到期利润 538 1527 1155 1494 4616 6411 64239 -11538 2003 投资额 4486 4756 3871 5529 5807 5576 3029 到期利润 466 862 1022 2046 5395 6178 11819 2004 投资额 7280 7312 6471 7760 到期利润 1389 1319 2060 3227 2005 投资额 3082 5083 到期利润 403 787
表3. 一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元） 项目 同时投资项目1、2 同时投资项目5、6 同时投资项目5、6、8 3 4 5 6 5 6 8 1986 投资额 4307 5755 4352 3015 4352 3015 4993 到期利润 1026 2686 1442 2634 6678 2542 -3145 1987 投资额 5070 7929 7480 5463 7480 5463 4830 到期利润 2188 3558 3009 2935 -3861 15120 13270 1988 投资额 6665 7513 5978 4558 5978 4558 4501 4
到期利润 3272 3222 443 14400 4794 1884 -3356 1989 投资额 6333 6749 4034 7392 4034 7392 4092 到期利润 2050 2778 344 4473 3002 1549 10820 1990 投资额 5148 5384 6220 6068 6220 6068 5270 到期利润 1513 2533 601 -6448 -852 -4651 -1593 1991 投资额 5973 7294 6916 6276 6916 6276 6335 到期利润 2733 3542 10300 9217 20610 5595 7283 1992 投资额 4449 5586 5812 6577 5812 6577 5848 到期利润 3005 2448 318 1087 4750 -179 14000 1993 投资额 4268 5414 5589 4472 5589 4472 3570 到期利润 2015 2609 5168 -2930 3170 -235 14460 1994 投资额 5474 6473 5073 6345 5073 6345 3044 到期利润 1782 2969 -981 2413 7304 19090 7065 1995 投资额 6859 6707 5377 4783 5377 4783 6355 到期利润 3701 2636 6695 52 3795 2029 10510 1996 投资额 5603 5597 5231 4181 5231 4181 5018 到期利润 3581 1809 952 844 -2671 6334 12970 1997 投资额 4877 3844 7434 4222 7434 4222 5960 到期利润 1510 1724 -124 8984 -4299 3307 10170 1998 投资额 5460 3681 7936 7745 7936 7745 3861 到期利润 3996 1450 7717 2803 8062 6753 10050 1999 投资额 5697 5701 3898 7216 3898 7216 4218 到期利润 3204 2488 7598 -4722 -968 14900 -2294 2000 投资额 5516 5623 7471 5501 7471 5501 4210 到期利润 1454 2199 7518 9321 6580 2131 10060 2001 投资额 6255 6925 6598 6043 6598 6043 7988 到期利润 3258 2646 8671 -6551 11460 -4521 -8039 2002 投资额 4315 4379 7120 6131 7120 6131 5393 到期利润 2661 1984 2029 20300 4379 1035 4456