微积分II课后答案详解
微积分第2版-朱文莉第2章极限与连续习题祥解
第二章 极限与连续习题 2.1(A)1. 观察下列数列{}n x ，当n →∞时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.(1) {}(1)1n n x n ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭； (2) {}1sin n x n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；(3) {}1(1)2n n x ⎧⎫+-=⎨⎬⎩⎭； (4) {}11nn x n -⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭； (5) {}{}(1)nn x n =-； (6) {}21n n x n ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭.解 (1) 当n →∞时，极限为1；(2) 当n →∞时，极限为0； (3) 当n →∞时，极限不存在； (4) 当n →∞时，极限为1； (5) 当n →∞时，极限不存在； (6) 当n →∞时，极限不存在. 2. 对于数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=1n n x n ),2,1( =n ，给定 (1) 1.0=ε，(2) 01.0=ε， (3) 001.0=ε时，分别取怎样的N ，才能使当N n >时，不等式ε<-1n x 成立? 并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解 (1) 要使1.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要101.011=>+n ，9n >，故取9=N 即可.(2) 要使01.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要10001.011=>+n ，99n >，故99=N 即可.(3) 要使001.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要1000001.011=>+n ，999n >，故取999=N 即可.对于任意给定的0>ε，要使ε<+=-+=-11111n n n x n ，即ε11>+n ，11->εn .取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN ，则当N n >时，恒有ε<-+=-111n nx n ，故lim11n nn →∞=+.习题 2.1 (B)1. 用数列极限的定义证明下列极限：(1) 1(1)lim 01nn n →∞+-=+； (2) 1lim313n n n →∞=+. 证明 (1) 对于任意给定的0ε>，要使不等式n x a -=1(1)22011n n n nε+--≤<<++成立，只需2n ε>成立. 取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，恒有1(1)01nn ε+--<+.所以 1(1)lim 01nn n →∞+-=+.(2) 对于任意给定的0ε>，要使不等式n x a -=1113133(31)9n n n nε--=<<++ 成立，只需19n ε>成立. 取19N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，恒有 1313n n ε-<+. 所以 1lim313n n n →∞=+.2. 利用数列极限的定义证明：)0n →∞=. 证明 对于任意给定的0ε>，要使不等式=-a xn 0ε-=<<成立，只需21n ε>成立. 取112+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当n N >时，恒有0ε-<.所以 )0n →∞=.3. 若数列{}n x 有界，且lim 0n n y →∞=，证明lim 0n n n x y →∞=.证明 因为数列{}n x 有界，所以存在0M >，对所有的n x 都有n x M ≤，对于任意给定的0ε>，要使不等式0n n x y -=n n n x y M y ε≤<成立，只需n y M ε<，又因为lim 0n n y →∞=，所以对于给定的0Mεε'=>，存在N ，则当n N>时，恒有n y Mεε'<=. 取},max{N M K =，则当K n >时，恒有εε=<MMy x n n . 所以lim 0n n n x y →∞=.4.对于数列}{n x ，若a x k →-12 )(∞→k ，a x k →2)(∞→k ，证明：a x n →)(∞→n .证明 因为a x k →-12 )(∞→k ，所以0>∀ε，1k ∃0>，当1k k >时，有ε<--a x k 12；又因为a x k →2)(∞→k ，所以对上述0>ε，2k ∃0>，当2k k >时，有ε<-a x k 2. 记},m ax {21k k K =，取K N 2=，则当N n >时，若12-=k n ，则121k K k >+>，得ε<-=--a x a x k n 12， 若k n 2=，则2k K k ≥>，得ε<-=-a x a x k n 2. 从而只要N n >，就有ε<-a x n ，即lim n n x a →∞=.习题2.2(A)1. 对下图中所示函数)(x f ，求下列极限，如果极限不存在，说明理由．(1) 2lim ()x f x →-； (2) 1lim ()x f x →-； (3)0lim ()x f x →．解 (1) 2lim ()0x f x →-=；(2)1lim ()1x f x →-=-；(3)0lim ()x f x →不存在，因为)0()0(+-≠f f .2. 对下图中所示函数)(x f ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？(1) 0lim ()x f x →不存在； (2) 0lim ()0x f x →=；(3) 0lim ()1x f x →=； (4)1lim ()0x f x →=；(5) 1lim ()x f x →不存在； (6) 对每个)1,1(0-∈x ， 0lim ()x x f x →存在．解 (1) 错，因为0lim ()x f x →存在与否，与)0(f 的值无关.(2) 对，因为0)0()0(==+-f f .(3) 错，因为0lim ()x f x →的值与)0(f 的值无关.(4) 错，0)01(=+f ，1)01(-=-f ，故1lim ()x f x →不存在.(5) 对，因为)01()01(-≠+f f . (6) 对.3. 用极限定义证明：(1) 1lim(21)1x x →-=； (2) 224lim 42x x x →--=-+；(3) 23lim2x x x →∞+=； (4) lim 0x =.证明 (1)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -(21)121x x ε=--=-<成立，只需12x ε-<成立. 取2εδ=，则当01x δ<-<时，恒有(21)1x ε--<.所以 1lim(21)1x x →-=.(2)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -24(2)(2)(4)4222x x x x x x ε--+=--=+=+<++成立，只需取δε=即可. 则当02x δ<+<时，恒有24(4)2x x ε---<+. 所以224lim 42x x x →--=-+.(3)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -2332x x xε+=-=< 成立，只需3x ε>成立. 取3M ε=，则当x M >时，恒有232x xε+-<. 所以 23lim2x x x →∞+=.(4)对于任意给定的0ε>，要使不等式()0f x Aε-=<< 成立，只需⎥⎦⎤⎢⎣⎡>21εx 成立. 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21εM ，则当x M >时， 恒有0ε-<. 所以lim0x →+∞=.习题2.2 (B)1. 当2→x 时，4)(2→=x x f ，问δ等于多少，使当δ<-2x 时，001.04)(<-x f ？解 由于2→x ，02→-x ，不妨设12<-x ，即31<<x . 要使001.025)2)(2(42<-<-+=-x x x x ，只要0002.05001.02=<-x ， 取0002.0=δ，则当δ<-<20x 时，就有001.04)(<-x f .2. 当∞→x 时，2312)(22→++=x x x f ，问X 等于多少，使当X x >时，01.02)(<-x f ？解 因为222253523122)(x x x x x f <+=-++=-. 要使01.0231222<-++x x ，只要01.052<x，即510>x ，取510=X ，则当X x >时，就有01.02)(<-x f . 3. 讨论0x →时，下列函数的极限是否存在.(1) 1,0()0, 01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩； (2) ⎩⎨⎧<<<<-=10 ,0,sin )(x x x x x f π.解 (1)由于 0lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=-， 00lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=， 故 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以 0lim ()x f x →不存在.(2)由于0lim ()lim sin 0x x f x x --→→==，0lim ()lim 0x x f x x ++→→==.故0lim ()x f x -→0lim ()x f x +→=. 所以0lim ()0x f x →=. 4. 设函数3()53x xf x x x+=-，求：(1) lim ()x f x →+∞； (2) lim ()x f x →-∞；(3) 0lim ()x f x +→； (4) 0lim ()x f x -→. 解 34(1)lim ()limlim 2532x x x x x xf x x x x→+∞→+∞→+∞+===-.321(2)lim ()limlim 5384x x x x x x f x x x x →-∞→-∞→-∞+===-.034(3)lim ()lim lim 2532x x x x x xf x x x x+++→→→+===-.000321(4)lim ()lim lim 5384x x x x x x f x x x x ---→→→+===-.5. 设函数212()22x x f x x a x ⎧+≥=⎨+<⎩，问当a 取何值时，函数)(x f 在2→x 时的极限存在.解 因为 22lim ()lim(2)4x x f x x a a --→→=+=+， 222lim ()lim(1)5x x f x x ++→→=+=. 由极限存在的条件，有 2lim ()x f x -→2lim ()x f x +→=，得1a =.习题2.3(A)1. 下列变量在何种情况下为无穷小，又在何种情况下为无穷大？ (1)11x -； (2) 211x x --； (3) ln(1)x -. 解 (1)由于1lim 01x x →∞=-，故x →∞时，变量11x-为无穷小. 由于11lim 1x x →=∞-，故1x →时，变量11x-为无穷大. (2) 由于21lim01x x x →∞-=-，故x →∞时，变量211x x --为无穷小. 由于211lim 1x x x →--=∞-，故1x →-时，变量211x x --为无穷大. (3) 由于2limln(1)0x x →-=，故2x →时，变量为ln(1)x -无穷小.由于lim ln(1)x x →+∞-=+∞，或 1lim ln(1)x x +→-=-∞，故x →+∞或1x +→时变量ln(1)x -为无穷大.2. 根据定义证明：(1) 1-=x y 为当1→x 时的无穷小； (2) xxy sin =为当∞→x 时的无穷小. 解 (1) 因为10)1(-=--x x ，所以0>∀ε，取εδ=，则当δ<-<10x 时，就有ε<--0)1(x ，即1-=x y 为当1→x 时的无穷小.(2) 因为xx x 10cos ≤-，所以0>∀ε，取ε1=X ，则当X x >时，恒有ε<-0cos xx， xxy cos =为当∞→x 时的无穷小. 3. 求下列极限.(1) sin lim x x x →∞； (2) 221lim 56x x x x →+-+； (3) 224lim 2x x x →--.解 (1)因为sin x 是有界函数，x →∞时，1x为无穷小. 所以 sin lim0x xx→∞=.(2)当2x →时，1x +有界，256x x -+为无穷小. 所以221lim56x x x x →+=∞-+.(3) 22224(2)(2)lim lim lim(2)422x x x x x x x x x →→→-+-==+=--.习题2.3 (B)1. 举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.解 (1) 例如 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 21=-→x x ，但2)1(lim 11lim 121=+=--→→x x x x x . 不是无穷小.(2) 例如 0)1(lim 1=-→x x ，∞=-→11lim21x x ，但是2111lim 11lim 11)1(lim 12121=+=--=--→→→x x x x x x x x 不是无穷小.2. 函数x x y cos =在),(+∞-∞内是否有界？这个函数是否为+∞→x 时的无穷大？解 因为0>∀M ，总有),(0+∞∈M x ，使得1cos 0=x ，从而M x x x y >==000cos ，所以，函数x x y cos =在),(+∞-∞内无界.又存在00>N ，0>∀X ，总有),(0+∞∈X x ，0cos 0=x ，从而0000cos N x x y <==， 所以，函数x x y cos =不是当+∞→x 时的无穷大.3. 根据定义证明：函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大. 问x 应满足什么条件，能使410>y ？证明 因为212121-≥+=+x x x x ，要使M x x >+21，只要M x>-21，即21+<M x . 所以0>∀M ，取21+=M δ，当δ<-<00x 时，就有M x x>+21，即函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大. 令410=M ，取21014+=δ，当2101004+<-<x 时，就能使41021>+x x. 习题2.4(A)1. 简要回答下列问题.(1) 若数列{}n x 收敛，而数列{}n y 发散，则数列{}n n x y ±及数列{}n n x y 是否收敛？ (2) 若数列{}n x ，{}n y 均发散，则数列{}n n x y ±及数列{}n n x y 是否发散？解 (1) 数列{}n n x y ±发散. 如果{}n n x y ±收敛，那么()n n n n y x x y =--或()n n n n y x y x =+-也收敛.数列{}n n x y 不一定收敛. 例如：数列1n x n =收敛，(1)n n y =-发散， 1(1)n n n x y n=-收敛；又数列1n x n=收敛，2n y n =发散， n n x y n =发散. (2) {}n n x y ±及数列{}n n x y 不一定发散. 2. 求下列函数的极限.(1) 322042lim 32x x x x x x→-++； (2) 22132lim 43x x x x x →-+-+；(3) 4x →(4) )limx x →+∞；(5) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； (6) ()()()2030502332lim 21x x x x →∞-++；(7) 332lim 1x x x x →∞+-+ ； (8) 220()lim h x h x h→+-.解 (1) 322200424211lim lim 32322x x x x x x x x x x →→-+-+==++. (2) 2211132(1)(2)(2)1lim lim lim 43(1)(3)(3)2x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) x x →→=4x x →→==322.(4) 1lim )limlim2x x x x →+∞→+∞===. (5) 3211312lim lim 1111x x x x x x x →→+⎛⎫-==⎪--++⎝⎭. (6) 203030203050503223(23)(32)3limlim (21)212x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎛⎫⎝⎭⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(7) 3333232322lim 112lim lim 1111111lim 1x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫++⎪+⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(8) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h→→→+-++-==+=. 3. 求下列极限.(1) 1123lim 23n nn n n ++→∞++；(2)2n n(3) n →∞； (4) 1111242lim1111393n n n →∞++++++++； (5) 111lim 1335(21)(21)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅-+⎝⎭.解 (1) 11212313lim lim 2332323nn nn n n n n ++→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(2) 2214n n n n⎫⎪===. (3) lim n →∞0n ==.(4) 111121111112422lim lim 1111113933113n n n n n n ++→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭++++-==⎛⎫++++- ⎪⎝⎭-43. (5) 由于1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，有1111323(21)(21)n n +++⋅⋅-+111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 于是111111lim lim 11323(21)(21)2212n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=-= ⎪ ⎪⋅⋅-++⎝⎭⎝⎭.习题2.4 (B)1. 设222lim 22x x ax bx x →++=--，求常数a ，b 的值.解 因为222lim 22x x ax bx x →++=--，推得b ax x ++2含有因式2x -，否则与已知矛盾.设2x ax b ++(2)()x x c =--，得2,(2)b c a c ==-+.又因为 22222(2)()2lim lim lim 22(2)(1)13x x x x ax b x x c x c cx x x x x →→→++----====---++， 得4-=c ，从而得到2a =，8b =-.2. 设511lim 2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---∞→b ax x x x ，求常数a ，b 的值. 解 因为511)()1(lim 11lim 22-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x ， 推得105a ab -=⎧⎨+=-⎩， 得1a =，6b =-.3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤+=,1,2,10,1,0,23)(2x xx x x x x f 分别讨论0→x 及1→x 的极限是否存在.解 (1) 由于 0lim ()lim(32)2x x f x x --→→=+=，200lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=.由于 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以 0lim ()x f x →不存在. (2) 由于 211lim ()lim(1)2x x f x x --→→=+=， 112lim ()lim 2x x f x x++→→==， 111lim ()lim ()lim ()2x x x f x f x f x -+→→→===， 所以 1lim ()x f x →存在.4. 设1lim ()x f x →存在，且21()2lim ()x f x x x f x →=+，求1lim ()x f x →和()f x .解 设1lim ()x f x A →=，则2()2f x x Ax =+，于是211lim ()lim(2)12x x A f x x Ax A →→==+=+，得1A =-，2()2f x x x =-.习题2.5(A)1. 求下列极限： (1) 0tan 2limsin 5x x x →；(2) 0lim x +→；(3) 02arcsin lim3x x x →； (4) lim 2sin (0)2nnn x x →∞≠；(5) 202lim sin 3x x x→； (6) 0tan sin limx x xx→-.解 (1) 00tan 22tan 222lim lim sin 5sin 5555x x xxx x x x xx→→==.(2) 00022lim limlim 2x x x x x+++→→→===(3) 令t x =arcsin ，则002arcsin 22limlim 33sin 3x t x t x t →→==.(4) sin22lim 2sin lim sin lim 222nn n n n n n n nxx x x xx x x →∞→∞→∞===.(5) 22002293lim lim 9sin sin 33x x x x x x →→⎛⎫ ⎪⎝⎭==.(6) 000sin sin tan sin sin (1cos )cos lim lim lim cos x x x xxx x x x x x x x x→→→---== 00sin (1cos )lim lim 100cos x x x x x x→→-=⋅=⨯=. 2. 求下列极限：(1) 51lim 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2) lim 1xx x x →∞⎛⎫⎪+⎝⎭； (3) 21lim 23xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭； (4) 202lim 2xx x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (5) ()1lim 12sin xx x →+； (6) ()3sec 2lim 1cos xx x π→+.解 (1) 55111lim 1lim 11n nn n e n n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2) 11lim lim 111xx x x x x e x →∞→∞⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (3) 令423t x -=+，则214lim lim 12323xxx x x x x →∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2231322220lim(1)lim (1)lim(1)1t tt t t t t t e e ------→→→⎡⎤=+=++=⋅=⎢⎥⎣⎦. (4) 1221002lim lim 122xx x x x x e ---→→⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.(5) 012sin lim20lim(12sin )x xx x x ee →→+==.(6) 3cos 3sec 322lim(1cos )lim(1cos )x xx x x x e ππ→→+=+=.3. 设 21001lim 5xc x x e x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求c . 解 222012lim 2012510011006lim lim 155x xxxc x x x x e e e x x →∞-→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2012=c .习题2.5 (B)1. 利用极限存在准则，计算下列各题.(1) 222111lim (1)()n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦； (2) n →∞解 (1)由于222221111()(1)()n n n n n n n n n n<+++<=+++，又因为 1lim0n n →∞=，2lim 0()n n n n →∞=+，由夹逼准则，有 222111lim 0(1)()n n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥++⎣⎦.(2) 因为1sin 1n -<<，所以有223311n nn n -<<++，此时23lim 01n n n →∞-=+，23lim 01n n n →∞=+，由夹逼准则，有 lim 01n n n →∞=+. 2. 利用极限存在准则证明：数列2，22+，222++，…的极限存在，并求出该极限.解 归纳证明这个数列是严格单调增加的，并以2为上界.2<，假设1n n a a -<，那么1n n a a +=，可见数列是单调增加的. 2<，2n a <，可推出12n a +=，所以数列以2为上界. 由准则Ⅱ知，此数列是收敛数列，记极限为a .由在递推公式1n a +=1lim n n a +→∞=即a =2a =.3. 某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？解 设发行时每份债券的价格应定为0A 元，则65.0010%5.601000e A e A ==⨯，所以05.522100065.00≈⋅=-e A （元）.4. 设本金为p 元，年利率为r . 若一年分n 期，存期t 年，若以复利方式结算，则本金与利息之和是多少？现某人将1000p =元存入某银行，年利率为0.06r =，2t =；请按单利、季度、月利及连续复利等结算方式计算本利和.解 按单利计算：本利和为=00.1120206.010001000=⨯⨯+（元）. 由复利公式有ntn r p ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1， 按季度结算方式计算：4n =，利和为49.1126406.011000124≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯nt n r p (元)，按月结算方式计算：12n =，本利和为.1511271206.0110001212≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯nt n r p (元)，连续复利结算方式计算：本利和为 1000rt rtpe e =1127.49≈(元).5. 根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I '.证明 仅就0x x →的情形证明准则I '，∞→x 的情形类似证明.0>∀ε，因为A x g x x =→)(lim 0，01>∃δ，当100δ<-<x x ，有ε<-A x g )(，即εε+<<-A x g A )(， (3)又A x h x x =→)(lim 0，对于上面的0>ε，02>∃δ，当200δ<-<x x ，有ε<-A x h )(，即εε+<<-A x h A )(. (4)取},m in{21δδδ=，则当δ<-<00x x ，假设(1)及式(3)、(4)同时成立，从而有εε+<≤≤<-A x h x f x g A )()()(，即ε<-A x f )(.因此，0lim ()x x f x →存在，且等于A .习题2.6(A)1. 当0→x 时，下列各函数都是无穷小，试确定哪些是x 的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？(1) x x +2； (2) x x sin +; (3) x x sin -； (4) x 2cos 1-； (5) x arctan ; (6) x 2tan .解 (1) 因为200lim lim(1)1x x x xx x→→+=+=，所以x x +2是与x 等价的无穷小.(2) 因为00sin sin limlim 1112x x x x x x x →→+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以x x sin +是与x 同价的无穷小. (3) 因为00sin sin limlim 10x x x x x x x →→-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以x x sin -是比x 高价的无穷小. (4) 因为20001sin 1cos 2sin 2lim lim lim sin 02x x x xx x x x x x →→→-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以x 2cos 1-是比x 高价的无穷小.(5) 因为00arctan limlim 1x x x xx x →→==，所以x arctan 是与x 等价的无穷小.(6) 因为00tan 22lim lim 2x x x xxx →→==，所以x 2tan 是与x 同价的无穷小.2. 当1x →时，无穷小1-11xx-+是否为等价的无穷小？ 解1111x x x→→-=. 故11x x -+与1. 3. 当1x →时，无穷小1x -与下列无穷小是否同阶，是否等价?(1) 1 (2)2(1.解 (1) 由于11113x x x →→→===故1x -与1-.(2) 由于111x x →→==，故1x -与2(1等价.4. 利用等价无穷小代换原理求下列极限.(1) 0arctan 3lim sin 2x x x →； (2) 0sin lim (,)(sin )mnx x m n x →正数；(3) 201lim 1cos x x e x →--； (4) 201lim 3x x e x x→-+；(5) 21arcsin(1)lim (1)ln(21)x x x x →---； (6) 30tan sin lim ln(1)x x x x →-+；(7) 0x →； (8) 2330235lim 42tan x x x x x x →+-+.解 (1) 00arctan 333limlim sin 222x x x x x x →→==.(2) 00sin lim lim (sin )mmn nx x x x x x →→==0,1,,m n m n m n >⎧⎪=⎨⎪∞<⎩. (3) 222001lim lim 21cos 2x x x e x xx →→-==-.(4) 22000111lim lim lim 3333x x x x e x x x x x x →→→-===+++. (5) 2211arcsin(1)(1)1limlim (1)ln(21)(1)(22)2x x x x x x x x →→--==----. (6) 2333000tan sin tan (1cos )12limlim lim ln(1)ln(1)2x x x x x x x x x x x x →→→⋅--===++.(7) 22lim42x x xx x →→==+. (8) 2330235lim42tan x x x x x x →+-+220220lim(235)2352lim 1tan tan 242lim 42x x x x x x x x x x x x x →→→+-+-====⎛⎫++ ⎪⎝⎭.习题2.6 (B)1. 证明当0→x 时，有如下结论：(1) x x ~arctan ； (2) 221~1sec x x -； (3)221~1sin 1x x x -+； (4) 222~11x x x --+. 证明 (1) 令x t arctan =，则t x tan =，当0→x 时，0→t . 于是000arctan cos limlim lim 1sin tan x t t x t tt xt t →→→===，故x x ~arctan .(2) 因为200002222111sec 11cos cos 2lim lim lim lim 11111cos cos 2222x x x x xx x x x x x x x x →→→→---====⋅⋅， 所以，221~1sec x x -.(3)因为00022sin lim 111)22x x x x x x x →→→===， 所以，221~1sin 1x x x -+. (4) 因为20001x x x →→→===，所以222~11x x x --+.2. 证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1) αα~（自反性）； (2) 若βα~，则αβ~（对称性）； (3) 若βα~，γβ~，则γα~（传递性）. 证明 (1) 因为1lim=αα，所以αα~. (2) 因为βα~，即1lim=βα，所以1lim =αβ，即αβ~. (3) 因为βα~，γβ~，即1lim=βα，1lim =γβ，所以 1lim lim lim lim=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=γββαγββαγα，即γα~. 3. 当0x →时，变量122(1)1kx +-与变量cos 1x -为等价无穷小，求常数k 的值.解 2122200(1)12lim lim 1cos 12x x kx kx k x x →→+-==-=--. 即 1k =-.解其中2π→x 时， ()ln 1cos ~cos +x x .习题2.7(A)1. 讨论下列函数的连续性.(1) ⎩⎨⎧>≤=0 ,0 ,sin )(2x x x x x f ； (2) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=1 ,111 ,1,1)(2x x x x x f .解 (1) 因为，当0<x 时，x x f sin )(=是连续的；当0>x 时，2)(x x f =是连续的，由于0lim sin 0x x -→=，2lim 0x x +→=，00sin )0(==f ，故()f x 在0x =处连续. 从而函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.(2) 因为)(x f 为分函数，当1-<x ，11<<-x ，1>x 时，函数)(x f 均是连续的. 在1-=x 处，由于1lim (1)1x -→--=-，21lim 1x x +→-=，所以1-=x 是跳跃间断点；在1=x 处，由于21lim 1x x -→=，1lim11x +→=，且1)1(=f ，所以，函数在1=x 处连续. 综上所述：函数)(x f 在区间) ,1()1 ,(∞+---∞ 内连续. 2. 确定常数a ，b 使下列函数连续.(1) ⎩⎨⎧>+≤=0 ,0 ,)(x a x x e x f x ； (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,sin 0 ,20 ,)31ln()(x x axx x bx x x f .解 (1) 当0<x 与0>x 时，函数)(x f 为初等函数，它是连续的. 要使函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续，只需要函数)(x f 在0=x 处连续即可.因为1)0(0==e f ，0lim 1x x e -→=，0lim()x x a a +→+=，所以当1=a 时，即有00lim ()lim ()(0)1x x f x f x f -+→→===， 即当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续. 故当取1=a 时，函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.(2) 当0<x 与0>x 时，函数)(x f 为初等函数，故它是连续的. 要使函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续，只需要函数)(x f 在0=x 处连续即可.因为000ln(13)33lim ()lim lim x x x x x f x bx bx b---→→→--===-，000sin sin lim ()lim lim x x x ax a axf x a x ax +→+→+→===.由函数)(x f 在0=x 处连续知，00lim ()lim ()(0)2x x f x f x f -+→→===，即得，23=-=ba . 故当2=a ，23-=b 时，函数)(x f 在0=x 处连续. 也即函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.3. 考察下列函数在指定点的连续性. 如果是间断点，指出其属于哪一类；如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其成为函数的连续点.(1) 23122+--=x x x y ，1=x ，2=x ；(2) xxy sin =， πk x =，),2 ,1 ,0( ±±=k ； (3) xy 1cos 2=，0=x ；(4) ⎩⎨⎧>-≤-=1 ,31,12x x x x y ，1=x .解 (1) 因为)2)(1()1)(1(23122--+-=+--=x x x x x x x y ，函数在1=x ，2=x 处无定义，所以都是间断点.又因为221lim )2)(1()1)(1(lim 231lim 11221-=-+=--+-=+--→→→x x x x x x x x x x x x ， ∞=+--→231lim 222x x x x ， 所以，1=x 为第一类间断点（可去间断点），重新定义，当1=x 时，令2-=y ，则函数在1=x 处连续.2=x 为第二类间断点（无穷间断点）.(2) 函数xxy sin =在 πk x =，),2 ,1 ,0( ±±=k 处无定义，所以它们都是间断点. 因为1sin lim0=→xxx ，故0=x 是函数y 的第一类间断点（可去间断点）.若令1)0(=y ，则函数在0=x 处连续；若0≠k ，则∞=→xxk x sin lim π，故 πk x =),2 ,1( ±±=k 为函数y 的第二类间断点（无穷间断点）.(3) 对0=x ，因为21lim cos x x -→及201lim cos x x+→均不存在，所以0=x 为函数的第二类间断点.(4) 对1=x ，因为11lim ()lim(21)1x x f x x --→→=-=，11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-=，所以 1=x 第一类间断点(跳跃间断点).4. 求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求0lim ()x f x →，3lim ()x f x →-，2lim ()x f x →.解 由于323223333()6(3)(2)x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-，得()f x 的定义域为()()(),33,22,-∞--+∞. 由于初等函数在其定义区间内连续，故函数()f x 的连续区间为()()(),33,22,-∞--+∞.01lim ()(0)2x f x f →==，22333(3)(3)18lim ()limlim (3)(2)25x x x x x x x f x x x x →-→-→-+-+-===-+--， 由于0)3)(1()2)(3(lim )(1lim222=+--+=→→x x x x x f x x ，故 222(3)(3)lim ()lim(3)(2)x x x x x f x x x →→+-+==∞+-. 5. 求下列极限 (1) 52lim20+-→x x x ； (2) 34)2(sin lim x x π→;(3) sin 0lim xxx e→； (4) 145lim1---→x xx x .解 (1) 5502052lim220=+⨯-=+-→x x x .(2) 142sin )2(sin lim 334=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→ππx x .(3) e e eex x xx x x ===→→1sin limsin 00lim .(4) )45)(1()1(4lim145lim11x x x x x x x x x +---=---→→ 214154454lim 1=+-⨯=+-=→x x x .习题2.7 (B)1. 设2,01()2,1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩， a ，b 为何值时，()f x 在1x =处连续？解 由于211lim ()lim()x x f x ax b a b --→→=+=+，11lim ()lim ln(1)ln(1)x x f x bx b ++→→=+=+. 要使()f x 在1x =处连续，须有ln(1)2,2b a b +=+=.解之得 23a e =-，21b e =-. 2. 讨论下列函数的连续性.(1) 1()lim (0)1n n f x x x →∞=≥+； (2) 221()lim1n n n x f x x x →∞-=+. 解 (1) 1, 0111()lim , 1120, 1nn x f x x x x →∞≤<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩， 由于 11lim ()lim11x x f x --→→==，11lim ()lim 00x x f x ++→→==，故1x =为间断点. (2) 22, ||11()lim0, 11,||1nnn x x xf x x x x x x →∞<⎧-⎪===±⎨+⎪>⎩-，由于 11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-. 故1x =为间断点. 同理1x =-也为间断点.3. 求下列极限.(1) 21limcos ln 1x x x →∞⎡-⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； (2) sin 0lim xx x e →； (3) 01lim arctan x x e x →⎛⎫- ⎪⎝⎭； (4) ()110lim 2x x x x e -→+. 解 (1) 2121lim cos ln(1)cos ln lim(1)cos ln 3x x x x x x →∞→∞--⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(2) 0sin sin limlim x xx xxx eee →→==.(3) 0011limarctan arctan lim arctan14x x x x e e x x π→→⎛⎫⎛⎫--=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4) ()()11ln 2ln 2111lim 2lim 2x x e xx x x x x eee +---→→+===. 4. 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例.(1) 如果函数)(x f 在点0x 连续，那么)(x f 也在点0x 连续； (2) 如果函数)(x f 在点0x 连续，那么函数)(x f 也在点0x 连续. 解 (1) 对. 因为0)()()()(00→-≤-x f x f x f x f )(0x x →，所以)(x f 也在点0x 连续. (2) 错. 例如⎩⎨⎧<-≥=0 ,10,1)(x x x f ， 则)(x f 在点00=x 连续，但函数)(x f 在点00=x 不连续.习题2.8(A)1. 证明方程3310x x --=在区间(1,2)内至少有一个实根.证明 因为函数3()31f x x x =--在闭区间[1, 2]上连续，又(1)30f =-<，(2)10f =>，根据零点定理，在开区间(1, 2)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即3310ξξ--=.故方程3310x x --=在区间(1,2)内至少有一个实根ξ.2. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>，证明：至少有一个(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明 构造辅助函数x x f x g -=)()(.因为函数()f x 在闭区间[, b]a 上连续，且(),()f a a f b b <>，所以x x f x g -=)()(在闭区间[, b]a 上也连续，且0)()(<-=a a f a g ，0)()(>-=b b f b g . 根据零点定理，x x f x g -=)()(在开区间(, b)a 内至少有一点ξ，使得()()0g f ξξξ=-=，即 ()f ξξ=.3. 设函数()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，证明：在[0,]a 至少存在一点ξ，使()()f f a ξξ=+.证明 构造辅助函数：)()()(x f a x f x g -+=.因为函数()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，所以)()()(x f a x f x g -+=在闭区间[0,]a 上也连续，且()()0)()2()2()()()0(≤--=a f a f a f a f a g g .根据零点定理，)()()(x f a x f x g -+=在开区间(0,)a 内至少有一点ξ，使得()()()0g f a f ξξξ=+-=，即()()f f a ξξ=+.4. 证明方程 sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一正根，并且不超过a b +. 证明 令()sin ,f x a x b x =+-[]0,x a b ∈+，()f x 在[]0,a b +上连续，又(0)0f b =>，()sin()()[sin()1]0f a b a a b b a b a a b +=++-+=+-≤。
微积分曹定华课后题答案第二章习题详解
第二章习题2-11、 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a 、证:由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有n x a ε-<取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=、2、 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|、考察数列x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立、证:lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<Q而 n n x a x a -≤- 于就是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立。
3、 利用夹逼定理证明:(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭L =0; (2) lim n →∞2!n n =0、 证:(1)因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+L 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=, 所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭L 、 (2)因为22222240!1231n n n n n<=<-g g g L g g ,而且4lim 0n n →∞=, 所以,由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4、 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在、 (1) x n =11ne +,n =1,2,…;(2) x 1,x n +1n =1,2,…、 证:(1)略。
微积分第2版-朱文莉第4章 导数应用习题详解
第四章习题解答习题4.1(A)1、验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理.如果满足，试求出定理中的ξ:(1) 3(),[1,1]=-∈-f x x x x ； (2) ,01()0,1≤<⎧=⎨=⎩x x f x x .解 (1) 显然函数3()=-f x x x 在[1,1]-上连续,在(1,1)-内可导, 有2()31f x x '=-,(1)(1)0-==f f . 因此,该函数在区间上满足罗尔定理条件.令2()310. f ξξξ'=-==得 (2) 不满足, 函数()f x 在闭区间[0,1]上不连续.2、验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理，如果满足，试求出定理中的ξ.(1) 311)(-+=x x f ([2,9])x ∈； (2) 1)(-=x x f ([0,3])x ∈.解 (1) 函数311)(-+=x x f 在[2,9]上连续,在(2,9)内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,所以(9)(2)'()(92) f f f ξ-=-解之得,1ξ=±(舍负). (2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.3、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξ'=-.证 令=⋅()()xF x e f x ，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0==()()F a F b ，即满足罗尔中值定理的条件，于是在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0'=()F ξ即0''==()[()+()]F e f f ξξξξ于是，至少存在一点∈(,)a b ξ，使得0'=()+()f f ξξ, 即()()f f ξξ'=-.4、证明不等式：(1) ,,sin sin ∈-≤-x y R x y x y ；(2) 当0<<a b 时，ln --<<b a b b ab a a； 证 (1) 设()sin f t t =,且x y <,显然()f t 在[,]x y 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点()x y ξξ<<,使得sin sin cos ()y x y x ξ-=-又因为cos 1ξ≤,所以不等式sin sin y x y x -≤-(2) 令 ()ln , [,]=∈f x x x a b则函数()f t 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且1()f x x'=于是，由拉格朗日中值定理，至少存在一点(,)∈a b ξ，使得()()()()'-=-f b a f b a ξ即 ln ln ln --==b b ab a a ξ由于0<<<a b ξ时，则当0>>b a 时有ln --<<b a b b ab a a. 5、设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0==f a f b ，()0≠g x ，试证:至少存在一个(,)∈a b ξ，使()()()()f g f g ξξξξ''=证 令)()()(x g x f x F =，则函数()F x 在区间[,]a b 上满足罗尔定理条件，即至少存在一点(,)∈a b ξ，使得2()()()()()0 ()f g g f F g ξξξξξξ''-'==即 ()()()()f g g f ξξξξ''=.习题4.1(B)1、验证柯西中值定理对函数3()2=++f x x x 及2()1=+g x x 在区间[0,1]上的正确性，并求出相应的ξ值.解 因为3()2f x x x =++及2()1g x x =+在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,由柯西中值定理得(1)(0)()(0,1) (1)(0)()f f f g g g ξξξ'-=∈'-解之得 1,13==ξξ（舍去）2、设()(1)(2)(3)(4)=----f x x x x x ，用罗尔中值定理判断方程()0f x '=有几个根，并指出根所在的范围.解 由于函数()f x 在闭区间[1,2]上连续, 在开区间(1,2)内可导, 且(1)(2)f f =. 所以由罗尔定理可知, 存在1(1,2)ξ∈使得1()0f ξ'=. 同理可证, 存在2(2,3)ξ∈,3(3,4)ξ∈使得23()()0f f ξξ''==, 即123,,ξξξ都是方程()0f x '=的根. 另一方面, 方程()0f x '=是三次多项式, 所以它最多有三个实根, 从而123,,ξξξ是方程()0f x '=的所有的根.3．设()f x 在(,)()()(0)1().上满足，且，试证'-∞+∞xf x f x f f x ===e 证明 因为()()'f x f x =，所以()()'f x f x =1，而[]()ln ()()''=f x f x f x =1，()1'x =，由推论2得ln ()-=f x x C 。
《微积分第二篇》第九章习题解答
三、各章习题解答IX. 【习题9.1】-- 【习题9.5】3. 验证题.3e d d 2y xyx -=-x x C y 23e e --+=(1) 验证函数(C 为任意常数)为二阶微分方程的通解，并求该方程满足初始条件的特解．|0==x y ()(),3e e e e 32e e 3e e d dd d 22232323y C C C xx y x x x x x x x x -=++-=--=+=--------解：因故所给函数是所给方程的通解. 在所给函数中, 令x =0、y =0, 得,1,10-=⇒+=C C 于是所求的特解为.e e 23x x y --+-=xx x y y e ,e 21==(2) 验证函数都是微分方程的解，并求该方程的通解.解:，右边左边==++-+=0e e )1(2e )2(x x x x x x 02 =+-y y'y''方程的通解：下式说明代入方程将x x y y y e ,e 111==''=':e )2(e )1(22代入方程得、又将xx x y x y +=''+='.0e e 2e 2 =+-=+-x x x y y'y''.e 2方程的通解所以x x y =.e e 21x x x C C y +=由此可得该方程的通解为）为任意常数、21(C C3. 解答题423222(53)d (33)d 0x xy y x x y xy y y +-+-+=263,P Qxy y y x∂∂=-=∂∂42320(,)d (0,)d (53)d d ,x y x yP x y x Q y y x xy y x y y C -=+--=⎰⎰⎰⎰5223331.23x x y xy y C +-+=解：设因为(1) 求微分方程的通解.所以原方程为全微分方程，故得原方程的通解为42322253,33,P x xy y Q x y xy y =+-=-+e e 0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 的y (1)=0时的特解.11ln(1)ln(1)ln 11y xy x y xy x y x e dy dx e e e dy dxe e C e e =--+=-⇒-=-++-+⎰⎰解：原方程分离变量得，两边积分得，(2) 解方程(3)01()(1)(1).1,0(1)(1)0,(1)(1)0.y x y x C e e C x y e e CC e e -+===-+=⇒=-+=即得原方程的通解为其中为任意常数令代入通解得故所求特解为解：,yu x=令代入原方程得,y xu =有,dy du xu dx dx +故＝xx +y y y ='求微分方程的通解.1;du u xu dx u+=+yu x=将代回，即得d d xu u x =，两边积分得分离变量得211ln ,2u x C =+原方程的通解22(2ln )y x x C =+(其中C =2C 1为任意常数).解：代入原方程得,y xu =有,dy du x u dx dx +故＝sec ,duu x u u dx+=+两边积分得sin ln ,u x C =+,yu x=令d cos d ,xu u x=分离变量得d sec d y y yx x x=+(4)求微分方程的通解.两边积分,d 2d 02d d xxy y xy x y =⇒=-解：对应的齐次方程为d x-(5) (不用公式) 求方程的通解.232d x e x yx y -=yu x =将代回，即得原方程的通解sinln yx C x=+(其中C 为任意常数).,d 2d ⎰⎰=x xy y 即得,ln ||ln 2C x y '+=代入原方程得则令,)(2)(,)(22x x C x x C y x x C y +'='=.2x C y =,)(2x xe x C -='.21d )(22C e x xe x C x x +-=-=⎰)21(22C e x y x +-=.)(为任意常数C 最后得原方程的通解为解得又f (x )=x +1=(x +1) e 0x , 其中λ=0, 非特征方程的根, 取k =0 . 可设原方程特解y *=ax+b .得y *’=a , y *”=0, 代入原方程解得a =-1/4 , b =-1/4 . 于是方程的特解为解：特征方程为，14+=-''x y y .e e 2221x x C C Y +=-其重根为r 1,2=〒2.42=-r 齐次方程的通解为3. 方程求通解( 各题中的C , C 1, C 2皆为任意常数. )(1)求方程的通解.则该方程为（）：;02)B (;02)A (=-'-''=+'+''y y y y y y (2)设二阶线性微分方程的通解为x x e C e C y 221+=-.02)D (;02)C (=-'+''=+'-''y y y y y y ).1(41*+-=x y解：特征方程为，.e )sin cos (21x x C x C Y +=特征重根为r 1,2=1〒i.0222=++r r 齐次方程的通解为又因f (x )= (0cos2x +10sin2x )e 0x , 其中λ〒ωi=0〒2i, 不是特征方程的根, 取k =0 . 从而可设原方程有特解为y *=a cos2x +b sin2x ，于是y *’=－2a sin2x +2b cos2x , y *”=－4a cos2x -4b sin2x ，代入原方程得(2B －A )cos2x －(B +2A )sin x =5sin2x .对比系数解得A =－2，B=－1. 故得特解.2sin 2cos 2*x x y --=所以原方程的通解为.2sin 2cos 2e )sin cos (*21x x x C x C y Y y x --+=+=-xy y y 2sin 1022=+'+''(3)求方程的通解.111213。
微积分II-1答案Answer
∫ t 3 dt
∫ 1
p 1
t4 D 4
.1
t4/
1
2 d.1
t4/
1
D
.1 2
t
4
/
1 2
CC
D
1 2
1
1
Á1 2
p x4 1
x4 C C D 2x2 C C :
∫
∫
4. 原式 D
1
arctan x
dx
arctan x d x
1D
x 1 C .x 1/.x2 C 1/ .
令 .x
1 1/.x2 C 1/
1
1
1
arctan n
arctan n C 1 D
f .n C 1/ f .n/ D f 0. / D 1 C 2 ;
1
1
1
这里 2 .n; n C 1/. 于是 1 C .n C 1/2 < 1 C 2 < 1 C n2 . 代入上式即可证明所要求
的不等式。
2. 令 f .x/ D ex C sin x cos x 2x. 则 f 0.x/ D ex C cos x C sin x 2，f 00.x/ D ex sin x C cos x.
当 0 < x 6 2 时，f ".x/ > 1 sin x C cos x > cos x > 0；当 x > 2 时，因 2 > 1， 于是 f 00.x/ > e sin x C cos x > 2 sin x C cos x > 0.
总之，当 x > 0 时，都有 f 00.x/ > 0. 于是 f 0.x/ 在 Œ0; C1/ 上单调递增。 即当 x > 0 时，f 0.x/ > f 0.0/ D 0. 于是 f .x/ 也在 Œ0; C1/ 上单调递增。 即当 x > 0 时， f .x/ > f .0/ D 0. 由此可证明不等式。
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解本文将详细解答曹定华《微积分》修订版第二章的课后习题。
第二章主要涉及导数的基本概念和基本公式，包括导数定义、可导性、导数计算公式等。
本章共计43道习题，以下将一一解答。
2.1 导数的定义及其物理隐含义习题2.11. 求函数f(x)=3x2+2的导数。
根据导数公式，对于幂函数y=xn，其导数为y’=nxn-1。
因此，对于本题中的函数f(x)=3x2+2，其导数为f’(x)=6x。
2. 求函数f(x)=x3-5x+1在x=2处的导数。
同样地，根据导数公式，对于幂函数y=xn，其导数为y’=nxn-1。
因此，对于本题中的函数f(x)=x3-5x+1，其导数为f’(x)=3x2-5。
将x=2代入，则得到f’(2)=3*(22)-5=7。
习题2.21. 用导数的定义证明函数f(x)=2x在任意一点处的导数为2。
根据导数的定义，对于函数f(x)在x=a处的导数，有f’(a)=lim(h->0) [(f(a+h)-f(a))/h]。
因此，代入本题中的函数f(x)=2x，得到f’(a)=lim(h->0) [(2(a+h)-2a)/h]，化简可得f’(a)=2。
因此，函数f(x)=2x在任意一点处的导数均为2。
2. 求f(x)=x2+3x的可导性，并说明理由。
对于函数f(x)=x2+3x，在任意一点x处的导数为f’(x)=2x+3。
因此，对于任意值x，均存在导数f’(x)。
因此，函数f(x)在定义域内可导。
2.2 基本导数公式习题2.31. 求函数f(x)=sin(x)在x=π/6处的导数。
根据导数公式，对于正弦函数y=sin(x)，其导数为y’=cos(x)。
因此，对于本题中的函数f(x)=sin(x)，其导数为f’(x)=cos(x)。
将x=π/6代入，则得到f’(π/6)=cos(π/6)=√3/2。
2. 求函数f(x)=2x在x=0处的导数。
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]
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第十章习题10_11.指出下列各微分方程的阶数:)3 5(y，)4-y5 x°=0;(1) 2x(y' ) -2yy,xd0; ⑵(y〃⑶Xy 2y'' χ2yq ⑷ 2 2 2 2(X -y )dx (X y )dy=0.解: (1)因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程(2) 二阶.(3) 三阶.(4) 一阶.2. 验证下列给定函数是其对应微分方程的解：(1) y=(x C)e», y' y=e»;X X(2) Xy=C I e C2e , xy'' 2y' -Xy ^0;(3) X -cos2t Cιcos3t C2sin3t, x" 9x=5cos2t;2 2⑷X -1, Xyy" X(y' )2-yy' oC l C2解(1):y = e」_(x C) e」y y = e~ -(X C)e」(X C)e」=ey = (x c)e」是微分方程y、y =e *的解.X _X . X X、 .(2) 在方程Xy =C l e ∙ c?e 两边对X求导有y ■ x√ = C l e -^e 上方程两边对X求导有 2 y Xy =C I eX c2e」，即2 y Xy =Xy 即Xy 2 y - xy = 0所以X y = C l^ ■ c2e」所确定的函数y = y( x)是方程x^ 2 y - xy = 0的解.(3)X= -2 Sin 2t 7c1sin 3t 3c2cos 3tX = -4 cos 2t —9c1cos 3t —9c2Sin 3tX 9^=-4 cos 2t —9c1cos 3t —9c2Sin 3t■ 9 cos 2t ' 9c1cos 3t 9c2Sin 3t=5 cos 2t所以X=CoS 2t c1cos 3t ■ c2 Sin 3t 是微分方程√ 9 5 cos 2t 的解.2 2Xy(3)方程 1两边对X 求导得C1c2C 2X C I yy=O(1)(1) 式两边对X 求导得2C 2 ■ C1( y )- syy = 0 (2)(2) 式两边同乘以X 得2C 2XC 1X (y ) C I Xyy =0(3)(3) -(2)得 Xyy (K^- y y 02 2所以 —^y ^ =1是方程Xy^ X(y ) - yy ■ = 0的解. C 1 C3. 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程.解：设(X , y)是曲线y = f (X )上任一点，则过该点的切线方程为 Y - y = y∙(X - x),由已知X =0时,Y = x,得x -y = -xy ■即xy "-y ∙ x = 0为y = f (x)所满足得微分方程 4. 求通解为y=Ce x ∙χ的微分方程，这里 C 为任意常数.解：由y=CeX-χ得√ = C e 1 ,而由已知C^ =^X 得 y >y -x T 故通解为 ^Ce XX 的微分方程为y ■ = y 一 X 1 .习题10-21. 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解: (2) xydx 、.一1 一 X 2 dy=0;2 2⑶(Xy x)dx (y -χ y)dy=0;2 I 2(4) Sin XCoS ydχ cos xdy=0;(6) yy'∙χe y =0, y(1)=0; ⑺ y'=e 2τ,y x ^=0 .(1) y =⑸亠d X-丄d y=0,y1 y 1 X解:(1)原方程分离变量得dy dx 1 y 1 - X(V^Z 0),两边积分得2In 1+y| = _ln 1 _x +G 即 In (1 一x)(1 + y) = G , 即 ∣(1 —x)(1 +y)∣ =e c1 , (1 — x)(1 +y) =±e c1 , 记_e c1 =c,有(1 —x)(1 ∙ y) =c(c =0),而当 y∙1=0即y = —1时,显然是方程的解，上又y = 0显然是方程的解方程的通解为 y = ce 1 * (C 为任意常数).2 y 2 X(3) ---------------------------- 分离变量得 dy = ——dx,两边积分得In(1 +y 2)=ln X^^C 1 ,即1 + y X -1In —2^^- =c 1从而 I J ry^= ±e°1 (x? -1),记 C= ±e°1有『 =c(x? -1) —1.X -1(4) 分离变量得，一S i n 2X dx ,两边积分得，tan y-— C 即 CoS y CoS XCoS Xtan y ■ SeC x = c .2 3 2 3(5) 原方程可化为：y(1 ∙ y)dy =x(1 - x)dx,两边积分得 - - - X C 2 3 23亠 11 5 、 由yχ±=1 得c=—+—=—,所以原方程满足初始条件的特解为2 3 6 23 23yy x x5 33 22即 2 (x 3 - y 3)3X 2 - y 2 )= . 52 32 362(6) 分离变量得-ye^y dy =xdx,两边积分得 y^ e C21由y(1) =0得C ,故原方程满足初始条件的特解为2.y 12(y 1)e(X 1). 21(7) 分离变量得 e y dy=e 2x dχ ,两边积分得e y =-e 2x +c,由yxτ=0 得式取C =O 时包含了 y - _1 ,故方程的解为(1 _x)(1 y) =c(C 为任意常数)(2)分离变量得21 一 X = 0, y = 0 ,两边积分得XdX dyJ 1 -x? =In y +c 1,可知1ιC,所以,原方程满足初始条件的特解为 e y (e 2x 1).2 22.物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T o 的物体放在保持常温为:•的室内，求温度 T 与时间t 的关系. 解：设t 时刻物体的温度为 T,由题意有dTk(T-：.) (k 为比例系数)dt -J —p分离变量得 --------- =_kdt,两边积分得，In τ _- -kt ■ C 1 ,得 T =Ce —工,由题意有T 「： t =0时,T =T O ,代入上式得 ,C =T 0 —「・.T=(T O —:・)e*(k 为比例系数).3. 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解: y y⑵ y = Sin ；X X23 3、，⑶ 3χy dy = (2y -X )dχ;2 2⑷ xy'∙χy=y ,y(1)=1 ；(5) χy =y(lny-lnx),y(1) =1;(6) (y-x 2)dx =(x y 4)dy;⑺(X y)dx (3x 3y -4)dy =0.r du dxXU :=叮 U 即两边积分得 √V∏u 2 X即 u . 1 U =CX将u = 丫代入得 y X y =CXX 、V(2)令U 贝U y = uχ, y =U XU 代入原方程得X du du dχSin U 即 ------- =—dχS i ruX两边积分得I n t a-in := XnC l ,≡ta U n= =cx,u = 2 arctan CX ,22(1) ×y -y-χ2解:(1)原方程可化为1 (；)2 ,令=_yXy =U XU 代入原方程得：l n U 亠 1 U )= Xn 亠C将U='代入得y二2xX arctan CX .(3)原方程可化为找=2(Y)1X 2(一)”y du,令U ,则X U V,代入上式得dχ 3 X 3 y X dχdχ23U两边积分得ln(1 ：：U 3)-_ I n X ■ C1 ,即 3x( j U )=CyU 代入得X原方程可化为du2U 「2U XdxU - 2 =GUXy(1) =1 得C »12二CXy - =(-)2,X X_u -2 Udxdu=UX , — =U X ,代入上式dxdy=I n X,两边积分得■ c1将U='代入得'-2=GXyy—2 = -Xy ,即2x2X所以原方程满足初始条件的特解为2x2 1 X(5)原方程可化为3lndx X 令UJ dyUdx• X巴，上方程可化为dxduU 亠X — =Ul n udu dXdx U(InUT) X两边积分得I n∣nu _ 1= IrX 即InU —1 =CX亦即u =e1 CX将U=Y 代入得 1 -CX^=Xe由初始条件y(i) =1得c--i故原方程满足初始条件的特解为^=Xe 1 -X(6)原方程可化为dydx X亠y亠4解方程组y —X 2=0X y 4=0 y ~ -3X=U _1,原方程化为y =V -3 dv du这是一个齐次方程，按齐次方程的解法：令' =~ ,方程可化为-^τdUdu两边积分可得，整理可得，2arctan ' ∙ In up 「2) = C 将∙=V 代入上式得UV222 arctan — In(U V)=C U将U=X 亠1,v = y 亠3代入上式得2即(3)dt =2dx ,t -2积分得 3t 2 In ∣t 「2 = 2 x C .将 t = X + y 代入上式得，x+3y+2ln x + y-2 = c∙4. 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解: (1) y'-y =Si nx;n X⑵ y - y=x e ；X⑶(x-2y)dy dx=0;(4) (1 XSiny)y '-cosy -0;yX⑸ y -(x 1)e , y(0)=1;X +1 ,1 2⑺ y - y Inx, y(1)W; X X2(8) y'N xy =(xsinx) ∙, y(0)=1;(10) y=— X y Xy(9) y =X 4 y 32Xy2 arctan— In(X 1)2 (y 3)2 =C(7)原方程可化为巴dxX 亠y 3x 3y —4 d t令 t = X ■ y ,≡ 一 =1dxdy 、,代入上方程得dxdt 2t — 4 dx3t — 4,丄2x⑹y "22xy=Cy (o )二;3二 e ^y (2 ye'dy c) _yy=e (2e (y -1) C) =2( y -1) ce~y(4)原方程可化为Xtan y = SeC y ,这是一个关于y 的一阶非齐次线性微分方程dy且 P (y) = - tan y ,Q ( y) = SeC y ,所以解：(1)这是一阶非齐次线性微分方程P(X)= _1, Q(X) =Sin X_P(x)dxP.y =e ∙( Q(x)e- (X) dx dχ +c)dx卫X=e ( Sin χe 一 dx C) =e x ( Sin X e ^dχ ■ C)XXX-Sin x e 一 一CoS x e-=e (C)X1= Ce- -(Sin x 亠 CoS x)2这是一阶非齐次线性微分方程 ，P(x) =-n ,Q(x)Xn X=Xe-P (X )dχP.y =e( Q(x)e(x)dx dx +c)dx^e Xn X_严= nln X(X e e dx c) = e ( XX_pln X ■e e dx C)nn Xnx」n X =x ( X e X dχ c) = x ( e dχ c) = x (e C)原方程可化为 竺∙χ=2y,这是一个关于y 的一阶齐次线性微分方程,且dyP(y) =1,Q(y) =2y ,所以(Q(y)e；(y)dydy +c)(y )dy=eI d y(2y e dy C)_p (y)dyP X =e ∙ ( Q(y)e ■ tan ydy_ t=e ∙( SeC ye ■1 X------- (SeC y CoS ydy ■ C) CoS y ' 1 (y ■ C)cos y(5)这是一阶非齐次线性微分方程且P(X) J,Q(x) = (X - 1)e x ,所以 X 十1------dx—dx=e x 1 ( (X 1)e x e -X 1 dx C) ・ x ・X=(X 1)( e dx C)=(X 1)(e C)故,原方程满足初始条件的特解是2X2 X ,且 P(X)2 ,Q(x)2 ,所以1 +x1 + x_ P(x)dxy =e(Q(X)e(X)dXdx +c)将初始条件 y(0) =1代入上式中得C=O-P (x)dy = e(Q(X)e(X )dχdχ +c)22x^e-x 2dx c) 2C JD (I ÷ ), =e(I X( 一 .I X22Xeln(1 ∙x 2 )dy e dχ +c) 12 ( 2x 2dx ■ C) 1 x^(-x 3 ' C) 1 X 32将初始条件y(0) =1代入上式得C=,所以原方程满足初始条件的特解是3I 32(1 ■ X )χ2)(7)这是一阶非齐次线性微分方程,且 P(X)12,Q (X) = InX 所以 X X(y )d ydy +c)tan ydydy +c)(6)这是一阶非齐次线性微分方程Xdx c) = χ3( 3dx c) = 3χ4 cx 533 43z = y 代入上式得原方程的通解为y = 3x CX .d X3 3 1 _3 2(10)原方程可化为-Xy=X y ,这是关于y 的〉=3的伯努利方程，令Z=X X , dy上述方程可化为dx X dz 33z = 3X 3 ,这是一阶非齐次线性微分方程_ P (X)dχP(x)dχy =e_( Q(x)e dx C)1 1X dX 2 - 7d×1=e ( InXe dx 亠 C)X 2 =x^ - — In XdX 亠 C)2 2 二 x(_ In X ——C) X X =2(1 In x) CX 将初始条件 y(1) =1代入上式得 C = _1 所以,原方程满足初始条件的特解是 (8)这是一阶非齐次线性微分方程 -"P(x)dxy = 2(1 In x) - X . 2,且 P(X)= 2X , Q(x) = xsin X e^ ,所以 ∣P (x)dxy =e ( Q(x)e dx C) _2XdX 」2 2xd X=e ( XSin X e e dx ■ C )2=e ( X Sin XdX - C) 2 =e (Sin X-X cos X C) 将初始条件y(0) =1 代入上式得 C =：1 ,故原方程满足初始条件的特解是 2 y =e * (Sin X- XCaS X 亠1).(9)原方程可化为* 13y y = X X 1 3 3—y =X X-2 ,这是-2的伯努利方程，方程两边同除以14』)^y3=y ,则上面方程化为P(X) --,Q(x) =3X 3,其通解为XI dX 3 -z = e x( 3x e试求y=f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y(2)的特解.9解：依题意有πtπI f (x)dx t2f(t)-f(1),两边同时对t 求导有:3 π- 2f (t) 2tf (t) t f3 -(t) t 2 f (t) =3f 2(t) —2tf (t)亦即χ2y ^3y 2 —2Xy故y=f(x)所满足的微分方程是χ2y'=3y 2-2Xy ,该方程可化为y 2 y=3( ) -2(), X X这是齐次方程•可求得该齐次方程的通解为3y —X 二CXy 将初始条件 y(2)2代入上式得 c = -1 ,所以，该微分方程满足条件 92y(2) 的特解是9*6 .设某生物群体的出生率为常数 a ,由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比 (比例系数为b >0).如果t=0时生物个体总数为 X 0,求时刻t 时 的生物个体的总数(注：将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待).解：设时刻t 时的生物个体的总数为 X,依题意得dxdx a bx 即 dtdt bx = a解得 Jata btX =e (_eC)b又t =0时x = X 0 ,代入上式得C =X oa ,, ,故 bdz32 yz = _2 y dy这是关于y 的一阶非齐次线性微分方程 ，且P (y) =2 y,Q( y) = _2 y 3 ,其通解为：2 2.y 3 y-e( (-2y e )dy C)2 2_y / y2=e (e (1 - y2_y 2=1 一 y CeZ=e-fydy((-2y 3)e∙2 ydyIdy■ C))■ C)将 ^X-代入上式得原方程的通解为1F =1X-y 2 ce 』5. 设函数f(x)在［1, + ∞)上连续，若由曲线 平面图形绕X 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 y=f(x),直线x=1,x=t(t > 1)与X 轴所围成的bt za bta 、 a Z a 、 btX =e (— e+ x 0 — — ) = — +(x 0 — — )ebb b b 3x7.已知 f(x) = [ f-d X + 3x4,求 f(x).I 3 .丿解：方程两边对X 求导得f (X) =3f (x) ∙ 3 即 y '3y =3这是一阶非齐次线性微分方程 ，P(x) = _3,Q(X)=3 ,其通解为--∙3dχ∙3dχ .3x 3xy =e ( 3e dχ ∙ C) =e ( 3e 一 dx ∙ C)3x_3x3 X=e ( _e ∙ m e) - 一 1 x ・ce3xt由已知f (X) = f (―)dt ∙ 3x - 3 得 f (O) - -3 ,代入上式得 e - -2 ,所以 b 3&已知某商品的成本C = C(X)随产量X 的增加而增加，其增长率为且产量为零时，固定成本 C(O) = C O > 0.求商品的生产成本函数C(x).H 1 +x + C /白 H 1解：由C (X)得CC =1 ,这是一阶非齐次线性微分方程1 +x1+X1P(X),Q(x) =1,其通解为1 +x由初始条件C(0) =C °代入上式得 C 1 =c °∙所以商品的生产成本函数C(X)=(I - X) Iln(1 X) C 0 ].9.某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间 X 的延长，它的保养维修费会加倍增长， 因而平均单位时间的使用费 S 也在增加，即S 为X 的函数Sgx), 其变化率为d S b b 1 S — a , d X X X其中a,b 均为正常数•若当x=×0时S = S 0,试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的 使用费S 最高？解：原方程 竺=b s -b Ja 可化为 竺- b s = -(b 2I)a ,这是一阶非齐次线性微分方 dx X X dx X X 程,且 P(X) - -b ,Q(x) - -(b 2I)a ,其通解为，X XC '(X)=IxC=(1 x)〔In(1 x) C 1 1丄dχ1 xdx C 1)2习题10；1.求下列微分方程的通解：(1) y :::=xe X；(2) y 〃 1 ；2 ；1 X2 (3) (1 x)y''∙ 2xy'=0; ⑷y 〃 -(y)2O 23d X(5) X2 仁0;(6) yy " -(y')2 (y)3=od t解：(1)对方程两端连续积分三次得Il- Xy =(X - 1)e' C 1X V 1“y =(X - 2)e 亠c 1x 亠 C 22X L C I X y = (x -3) e C 2X C 32这就是所求的通解•(2) 对方程两端连续积分两次得y =arctan X C 1由已知X b bS =e X dX ( J b I)a ^,dXb dχ Xb _1 b =X (ax C) e X dx c^x b ( -(b 2I)aX __bχ- dx 亠 C) =-CX bX =X o 时，S = S o 代入上式得 s o x o f a,C = X o b1S 二--a r bcx X ,令S y O 得唯一驻点 x =(2)r7 ,将C bc s o x o - bΓ x o =( ) bs 0x 0 -ab X o,由问题的实际意义知，最值存在，所 b ,rC X 得a代入得是时间=( )bs 0 X 0 - abX o时,其平均单位时间的使用费 S 最高.y = arctan XdX C I X=XarCtan1 X -―In(12X)C I XC 2这就是所求的通解(3) 令y = p(x),则y =P(X)，于是原方程可化为2 *(IX)P 2xp = 0分离变量得 空 2^xτdx ,积分得P 1 X再积分得 y = c 1 arctan X C 2.d⅞=dX P亦即dx X C 1| X ■ C i | ■ C 2(5)令 X=P (X ),则 X=P,原方程变为 dxdp 卄 P 1=0,即 PdP = dx 13dx.X2两边积分得P 2 -1 C1X2C i Xd X亦即兰―dtXIdx =dt . 1 ■ cx 2 积分得一..1 C 2 . 从而 1 亠c 1χ2 =(C I t 亠C 2)2 . 这就是所求的通解• (6)令y =P(y),则∙ p,代入原方程得. dy dp 2 3 yp ——-P + P =0 即 P y dy J些-P P 2dy =O若P=O,则y = 0, y = c 是方程的解.c ι p=C ,即 y(4)令 y= P(X),则 y =P ■,原方程可化为两边积分得1 -=X PC i ,即1 X C 1dy再积分得若 y d ^.p.p 3 =O ,分离变量得y.dyp — Py积分得C l yp “y(1 - P )即 P^C l y于是：dyc1y Hn J即( c 1 )dy =c 1dx.dt 1 ■ c 1yy积分得 C l (X _y)y =c 2e 2. 求下列微分方程满足初始条件的特解：3⑴ y F nx , y(1)T, y '⑴,y 〃(1)=1; 32(2) xy 〃 对=1, y(l)=0, y ' (1)=1; (3) y 〃 y 2 =1,y(0)=0, y ' (0)=1.解：(1)方程两边积分得：y " = X In X —X ∙ q ,由 y 1 =1- 得 C 1 = 0 ,于是 y " = x In x - x ,2上式两边再积分得y = — In X -∙3 X?c 2.2 43由y(1)得C 2 4由 y (1) =1 得 C 1 =1 ,于是 (In X 1),从而X3X In 2=0 ,于是 两边再积分得 由y(1) =0得I3X In 6 II 11X- — X36 C 3.36所以，原方程满足初始条件的特解为 11 3In X-——X36 11+—— 36 (2)令y ■ = p(x)，则y = p :原方程化为 X 2空XP =1.即如1P dx Xdx一阶非齐次线性方微分方程1 P(X)= 一，Q(x) =X ,X-2其通解为 dx X-2(Xe1dx y X1dx c 1) = 一(In X ■ c 1)X1即 y (In X G ),X1 1 2y (In x 1)dx = j(ln X 1)d(ln X 1) (11 n x) c2• x 21由y(1) =O 得c221 2 1 1 2y (1 In x) 即y = In x In x.2 2 2(3)令y J p ,则y χ = p ■,原方程可化为d P 21 一p ,由y (0) =1 ,即X =0 时，P =1 . dxdy显然p =1是上述方程的解，即 1 ,积分得y = x ∙ c,由y(0) =0得C=O ,所以，dx原方程满足初始条件的特解为y = X .3. 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y1=x, y2^∙e x和y3=1∙χ∙e x,求这个方程的通解.解：因为y1, y2, W是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则y? - y1= e x, y3 - y? = 1是Xe某对应的齐次微分方程的特解且一=e x=常数，故e x和1是其对应的二阶齐次线性微分方1程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为y = C1亠c2e x又y1 =x是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是y = C1亠C2e x亠X .4. 求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解：(1) y〃My' 4y=0; (2) y〃-y' -2y=0;(3) y〃5y' 6y=0, y(0)=1, y' (0) ≡6;πππ 6⑷ y" -2y' -10y=0, y( )=0, y'(—)= e .6 6解：(1)特征方程为r2 -4r ∙4 = 0 ,它有两个相等的特征根r1 = r2 = 2 ,所以，所求的通解为y = (c1■ c2x)e2x .(2) 特征方程为r —r —2 = 0 ,它有两个不相等的实特征根r1 = T,r2 = 2,故所求的通解为y = c1e ■ c2e2x.(3) 特征方程为r2 5r，6 = 0 ,它有两个不相等的实特征根r1 = -2, r2 = -3 ,故所求的通解为y =c1e I +c2e'x由y(0) =1 得G +c2=1 ,又由y(0) =6 及厂=—2c1e'x—3c2e'x得2c1 +3c2 = —6 ,解方程组c1 c2 =1 C1 = 91 2得42c1 3c2 = -6 J c2 = -8所以，原方程满足初始条件的特解为y =9e'x _8e^.(4) 特征方程为r2-2r -10 = 0,它有两个共轭复数根,1 X Oy = --e cos 3X35. 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解:(1) y'' +3y' -10 y =144xe-2x;2⑵ y'' -6y' 8y=8x 4x-2;ππ(3) y" y=cos3x, y( )=4, y'(-)=-1;2 24x⑷ y〃-8y,16y=e , y(0)=0,y' (0) =1.2解: (1)特征方程r ∙ 3r -10 = 0有两个不相等的实数根r1 = -5, D = 2 ,故对应齐次方程的通解为Y ^C I e^X■ c2e2x因为■ - -2不是特征方程的根，故可特解为* 2 Xy =(AXB )e代入原方程可解得 A =「12, B =1.所以y =(1 -12 X) =e X .所求通解为-2 X -5 X 2 Xy = (1 —12 x)e ■ c1e ■ c2e(2)特征方程r2 - 6r= 0有两个不同的特征根r1 = 2, r2 = 4 ,故对应齐次方程的通4-2x=(-2 Ax A -2B)e 仏=1±3i ,故方程的通解为y =e x(c1CoS 3x 亠c2sin 3x),ππ- π Z由y( ) =o, y ( ) = e 得G =6 61-,C2 =0,故所求特解为3y = ( -4 AX 4B 4 Ax )e -2x2x 4 xY =c1e 亠c2e 又因为∙=O不是特征方程的根，故可设特解为* 2y =AX bx = 2Ax∙B,y =2A ,代入原方程可解得2 2=X 2x 1 =(x 1) ∙Y=G CoS X c2 Sin X为: 考察方程y y则y*l3iAe3ix3i X=e 因为w =3i不是特征方程的根，故可设特解为* 3ixy = Ae1■ -9 Ae ,代入方程y ■ y = e?",得A ,所以8* 1 3i x 1y e (cos 3x 亠i Sin 3x)8 8取y的实部，即得到方程y y = cos 3x的特解.故原方程y亠y = cos 3x的通解为由初始条件y — =4,12 J(4)特征方程r2 -8r* 1y 1 = -一cos 3x81y cos 3x c1 cos X c2 Sin X8y = 3 sin 3x - c1 Sin x 亠c2 cos X8y - =1得G =-,c^4,故所求的特解为2 81 丄5 丄y = --cos 3X 一cos X 4 sin x8 81^=0有两个相等的实根r1 = r2 = 4，故对应齐次方程的通解解为A =1,B =2,C =1,所求通解为y =(X ∙ 1)2 2x亠c1e 4x亠c?e(3)特征方程为r2 1 =0 , 它有两个共复数根r1,2=±i ,故对应齐次方程的通解为因为.=4是特征方程的重根，故可设特解为*2 4xy =AXe1将其代入方程y“—8y'16y =e 4x得A,故特解为 2所以原方程的特解为 y = 1x 5e 4x (c 1 ■ c 2 x)e 4x24x -24x4 X4x_又由 y =Xe 2x e c 2e 4c 2xe 及 y (0) = 1 ,得 C 2 =1 .1所以，所求特解为y =丄x 2e 4x xe 4x2 6. 设对一切实数X,函数f(x)连续且满足等式f '(x )=x 2 ∙ ∖ (t)dt ,且 f(0)=2,求函数f(x). f (x) = 2x 亠f (x)，即y —y = 2x ，特征方程r —1=0有两个不同的实根r 1 =1,r 2 =-1,故对应齐次方程的通解为Y =C I e X ∙c 2e^因为■ =0不是特征方程的根，故可设特解为Y= Ax B,代入原方程得--2xC 1 e x ■ C 2e J又由题设得「(0) = 0 ,及 y • = -2 ■ C I e X -■ C 2得y " +ay ' +by=θe xf^c 1 +c 2 =2 解方程得C 1 =2, C 2C1 -C2 =2所以满足题设条件特解为y - -2x 2e x--2, B =0 ,故特解为y =…2 ∏,所以方程的通解为C i -C 2 = 2 .=0f(x)X--2x 2e .7.设二阶常系数非齐次线性微分方程12 4x =—X e 2解：方程两边求导得由已知 f (0) =2 得 c 1 ■ C 2 =2的一个特解为y=e2x∙(1 x)e x,试确定常数a,b「并求该微分方程的通解. 解：将已给的特解代入原方程，得(4 2a b)e2x (3 2 a b)e X (I a b)Xe X= : e x比较两端同类项的系数，有4 2a b =OIab=O3 2a b =:解得a = _3, b = 2, = _1.于是原方程为y J3y 2y 二_e x .其特征方程为r2-3r∙2=0,特征根为r1=1,r2=2 ,对齐次方程的通解为X 2 X= c1e 亠c2e又因为，=1是特征方程的单根，故设特解为y = AXe X ,代方程y'"—3y ' 2y = -e x，可解得A=1,故特解为y^xe x所以该微分方程的通解为X 丄2χ丄Xy = c1e 亠c2e 亠Xe .& 设函数(X)可微，且满足X X「(x)=e 亠I (t 一X):(t)d t，求(X) •X X X解：由:(X) = e X亠I (t —x) '(t)d t 得:(0) = 1,又：(x) = e X亠∣ t「(t)d t —x ∣(t)d t ⅛*0*0X两边求导得：:(x)=e X∙χ>(x)-°:(t)dt -X :(x),即X「(X) =e x - 0 ;：(t)dt ,从而：(0) =1再求导得：：(X)= ^^(X),即、、二e可求得对应齐次方程的通解为Y =C I CoSX ∙ C2 sin X ,又因为，=1不是特征方程2r 7=0的根，故可设特解为* Xy =Ae1将其代方程y'y=e x中可求得 A = 1,故方程的通解为y=c一一--1XI CoS X c2 Sin X — e ..又2 2由1(0) =1, ：(0) =1 及y - -G Sin X c2 cos X e得1 1C l, C2 ,所以2 2 2y1 X. 1 X =-(C ox S S i, r即(Xe = 丁(CoS X Sin X e ).2 29∙求方程y'' -y' -2y=3e^在x=0处与直线^X相切的解.解：特征方程r 2 —r _2=0有两个实根r 1=-1,r 2=2,故对应的齐次方程的通解为Y =c 1e* ■ c 2e 2x ,又因为‘ --1是特征方程的单根，故可方程的特解为*Xy = AXe _代入原方程可解得 A=-I ,故原方程的通解为_x2x_xy = c 1e _ ■ c 2e—xe _ , (1)由已知在X =O 处与直线y =X 相切，则y(0)= 0, y (0) =1 ,又X2 XXXy = -c 1 e ^ - 2c 2e-e ^ ■ Xe 一， (2)将y(0) =0, y(0) =1分别代入(1)，( 2)式中得2可解得c 1 , c 2 32 2所以，所求的解为 y--—e -Xe3 310.设函数y(x)的二阶导函数连续且 y'(0)=0,试由方程y(x)=1 1 ∙ y (t)-2y(t) 6t e 」d t3占确定此函数.1解:方程两边对X 求导得y (x) = —[ —y ∙(x) — 2 y(x)亠6xe 」],即y 亠3 y 亠2 y = 6xe 」 (1)3 它的特征方程r 2 3r ∙2 =0有两个相异的实根 r 1 =-1,r 2 =-2,故方程(1)对应的齐次方程的通解是Y ^C I e ^ ■ c 2e^x又• = -1是特征方程的单根，故方程(1)的特解可设为*-K 2y =X(AX B)e (AX Bx) =e将其代入方程(1),可解得A=3, B=—6 ,从而特解为y =(3x 2—6x)e 」，方程(1)的 通解为_V2 X2 _Vy = c 1e C 2e(3 X - 6x)e ,…⑵1由 y(x) =1— ；［ —y (t) —2y(t) 6te 丄］dt 得 y(0) =1 ,又 3 •V2 Yy2 __x^=-C I e —2c 2e (6 x —6)e—(3 X —6x)e ,… ⑶c 1 c 2 = 0 c 1 2C 2 - -2由y(0) =1,y(0) =0 及(2),(3)式可得G c 2 =1 G 亠 2c 2 - -6X2 X2Xy =8J7e 一 (3x -6x)e 一即由所给方程确定的函数为y(x^8e^ -7e-x (3χ6 _6x)e 」11. 一质点徐徐地沉入液体， 的运动规律.解：由题设条件与牛顿第二定律有习题10∙41.某公司办公用品的月平均成本 C 与公司雇员人数 X 有如下关系:C ' =C 2e^-2C6m g2 •因而有 kd 2sm —7 = mg dt -k 空 （k 为比例系数） dt 2d S k ds即 g,…⑴ dt m dt这是一个二阶线性非齐次方程，它的特征方程 kr = 0有两个不相等的实根 mk r =0, r ,它对应的齐次方程的通解m c 2 e k tm,又因∙ =0特征方程的单根，故 可设特解为S =At ,代入方程（1）可得A mg kk ,故方程（1）的通解为 c 1 c 2e m mg t. k且 s _ _kc 2e mkηm mg,又开始沉入时即kt=0 时,s = 0, ds = 0 ,将其代入上两式可解得dtC1C22m g S 厂 k2m g2kmg t.k故方程（1）的满足已知条件y(0) =1, y (0) =0 的特解为 当沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求质点且C（0）=1,求C（X）.解：方程C ∙ = C 2e* _2C 可变形为:C 2C =e~ C=这是：• = 2的伯努利方程,令 Z -C I --C J ,方程可化为：Z •一2Z ,这是一阶非齐次线性微分方程且P(X)= -2 ,Q(x) = _e —,其通解为：= e 2x (1e~x dx m) =1e3311(为了与成本C 区别，这里的任意常数用 m 表示),于是 e 」 me 2x ,由已知C(O)=I ,可C 3其中a , b 为正的已知常数，若R o) =0, S (0) =S(购买成本)，求R(t)与S (t ).解：先解一阶线性方程 S - _bS ,求出S(t),分离变量得：竺-_bdt ,积分得 ^C I e^tSS(0) = S 0 ,可得C 1 = S 0 ,所以S(t) = S 0M ,将S(t) = S 0/ 代入所给方程—e bt ,积分得:R(t) — e bt C 2,由已知条件R(0) =0得C ? SCbS3.设D=D(t)为国民债务，Y=Y(t)为国民收入，它们满足如下的关系:D' R Y +P , Y' ="Y其中：■, ^-,为正已知常数. (1)若 D(O)=D 0,Y(0)=Y °,求 D(t)和 Y(t);⑵求极限Iim D°tτ 乂 丫⑴解：(1)先解方程Y= Y,求出Y(t)；分离变量得：也 =dt ,积分得Y=C 1e t ,由Y(O)=Y O 得YC l =丫0 ,所以 Y(t) =Λe t ,将 Y(t) =Y °e t 代入D 丄〉丫「中得：D =〉Y °e t 「，积分得 O(Y O Y QG Y OD -e ,-C ?,由 D(O)=D O 得 C^D O,所以Z =e^-2dx-Jdx.X ∣~i'2x .3x((-e 一)edx m) = e ( -e~ dx m) 得:m =2,从而 1=1e js 2e 2x3 C 333x1 2eX3e2.设R=R(t)为小汽车的运行成本, 3e x,所以 C(X)=FS=S(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程: aR'-,S ' --bS, S由已知条件 所以R(t)=a bS。
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解
第二章 习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim nn x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤-于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n nn n n n n n n++≤+++≤≤=+而且21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11ne +，n =1,2,…；(2) x 1,x n +1＝,n =1,2,….证：（1）略。