[数学]信息论与编码原理_第9章_循环码
智能信息技术导论 循环码
智能信息技术导论 - 循环码一、概述循环码是一种在通信领域中广泛使用的编码方式。
它通过在数据中添加冗余位来实现错误检测和纠正的功能。
循环码在数字通信系统、计算机网络、存储系统等领域都有着重要的应用，是保障数据传输可靠性的重要技术手段之一。
二、循环码的原理循环码是一种线性块码，通过在数据位后面添加一系列的冗余位（也称为校验位）来构成编码后的数据。
冗余位的计算方式使循环码的编码、译码实现起来非常高效。
2.1 循环码的生成多项式循环码最重要的参数是生成多项式，它决定了编码和译码的方式。
生成多项式是一个不可分解的多项式，用于生成校验位。
在循环码中，校验位是通过数据位和生成多项式的模2乘法来计算得到的。
2.2 循环码的编码循环码的编码过程实际上就是将数据位和生成多项式进行一系列模2乘法的计算，并将结果作为校验位添加到数据位后面。
编码过程可以通过移位寄存器的方式实现，其中移位寄存器的初始状态为全0。
2.3 循环码的译码循环码的译码过程主要是通过计算接收到的编码数据位和生成多项式的模2除法来还原数据位。
译码过程中，接收到的编码数据位会与寄存器中的状态进行模2除法的计算，得到的结果会作为冗余位进行错误检测。
三、循环码的性质循环码具有许多重要性质，这些性质使得循环码在实际应用中具有较好的性能。
3.1 线性性质循环码满足线性性质，即两个编码字的异或结果仍然是一个有效的编码字。
这种性质使得循环码可以方便地进行编码和译码操作。
3.2 最小距离性质循环码的最小距离决定了它所能检测和纠正的错误的能力。
最小距离越大，循环码的纠错能力越强。
在设计循环码时，需要考虑到数据传输过程中可能出现的各种错误类型，以便选择合适的生成多项式和编码长度。
3.3 循环码的循环性循环码具有循环性，即将一个编码字进行循环移位后所得到的码字仍然是一个有效的编码字。
该性质使得循环码在传输过程中可以通过循环移位将错误传播到多个位上，从而提高错误的检测和纠正的能力。
信息论第9章 纠错编码资料
7
在通信中信源编码、信道编码与数据转换编码常常是同时使用的。
任何一位错误。
接收到序 列
译出序列
显然表中的译码方法不能同时 检测出二位错误。因为如果发生 二位错误，则译码器会错误的
000
0
001
0
把它作为一位错误而“纠正”了 所以r=2的重复码可以发现 二位错误或者纠正一位错误，
0
0
但二者不能兼得。
011
1
100
0
101
1
110
1
30
例2。如果用r=3的重复编码。该编码器实现 “0” “0000” ， “1” “1111”
12
13
其中分组码又可分循环码和非循环码： 循环码——该码书的特点是，若将其全部码字分成 若干组，则每组中任一码字中码元循环移位后仍是这 组的码字。 非循环码——任一码字中码元的循环移位后不一定 再是该码书中的码字 。 按照纠正错误类型可分为纠正随机错误码、纠正突发 错误码、纠正随机与突发错误码以及纠正同步错误码 等。
26
汉明重量
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检错与纠错：
信道编码提供了对于信息传输发生差错的 控制能力。这种控制能力由编码器的纠错 能力与检错能力来表征。检错是指当信息 在信道上传输发生错误时，译码器能发现 传输有误，并及时的告诉接受者；而纠错 则是译码器能自动纠正这个错误的能力。 下面以重复码为例说明编码的纠错和检错 能力。
第9章-差错控制编码
9.5 循环码 9.5.1 循环码原理
• 循环码是一种重要的线性分组码,易于实 现,性能较好.
• 循环码除具有线性码的一般性质外,还具 有循环性,即循环码中任一码组循环一位 以后,仍为该码中的一个码组.
• 一长为n的码组可表示成码多项式
T (x) a xn1 a xn2 a x a
n1
（2）改写为：
a6
a2
a 1
a0
=
1 1 1
1 1 0
1 0 1
0 1
a5
a4
1 a3
21
或
1 1 1
a 2
a 1
a 0
a 6
a 5
a 4
a 1
3 1
1 0
0 1
0 1 1
a6 a5 a4 a3 Q
Q PT k r阶 G IkQ 生成矩阵
a 6
a 5
a 4
a 3
11
1P 0
01
0 1 1
1 0 0
0
1Ir
0
0
a 4
0
a 3
a 2
1
a 1
=
0 0
20
a 0
简记为 HAT 0T 或 AH T 0
• H称为监督矩阵，H确定，则编码时监督 位和信息位的关系就完全确定了。
P为r × k 阶 Ir为 r × r 阶单位方阵
具有[ P Ir ]形式的H矩阵称为典型阵。
nk
nk 1
0
在循环码中，除全0码外，再没有连续k 位均为“0”的码组，即连“0”的长度 最多只能k-1位。因此g（x）必须是一个 常数项不为“0”的n-k次多项式
32
9 第九章 信道编码
⎧
监督矩阵H
c = (c6 , c5 , c4 , c3, c2 , c1,
c3 = u2 ⊕ u0 = c6 ⊕ c4
c0
)
u =
= (u2 , (c6 , c5
u1, u0 , c4 )
)
⎪⎪ ⎨
c
2
⎪ c1
= =
u2 u2
⊕ u1 ⊕ u1
⊕ u0 = c6 = c6 ⊕ c5
⊕
c5
⊕
c4
⎪⎩ c0 = u1 ⊕ u 0 = c5 ⊕ c4
,n
⎥ ⎦
H和G的关系：
G的每一行及其线性组合均是(n,k)码的码组（字），可得：
监督矩阵H的重要特性：
1、由H可以建立线性分组码的线性方程组。共有n-k 行，每行代表一个线性方程的系数，表示一个监督位 的线性方程。 2、H的每行与它的分组码中的每一码字的内积为0。 3、任何一个(n,k)线性分组码的H矩阵有(n-k)行，且 每行线性无关。H=(P:I)，I的各行线性无关，可得H 的各行线性无关。 4、一个(n,k,d)线性分组码，若要纠正<=t个错误， 则其充分必要条件：H中的任何2t列线性无关，由于 最小距离d=2t+1,所以也相当于要求H矩阵中任意(d-1) 列线性无关。
奇数时称为奇校验码 偶数时称为偶校验码
偶校验码:a0⊕ a1 ⊕… ⊕ an-1=0
许用码组为000，011，101，110B
奇校验码: a0⊕ a1 ⊕… ⊕ an-1=1
许用码组为001，010，100，111B
不满足校验关系，传输一定错误！ 奇偶校验只能发现奇数个(单个)错误，不能
s=yHT=eHT –不为0时即存在错误.
信息论与编码第四讲
根据定理4.3，应有 xn-1=g(x) h(x) (3-7)
如果g(x)是循环码的生成多项式，那么h(x)一定 就是循环码的校验多项式。这是因为对于任意 一个码多项式C(x)，必有
C(x)h(x)=0 mod (xn-1)
∵ C(x)h(x) = m(x)g(x) h(x) = m(x) (xn-1)是(xn-1) 的倍式，一定能被(xn-1)整除 ∴ mod (xn-1) 运算后必定为零。
mk 1 x g( x ) m1 xg( x ) m0 g( x )
x k 1 g( x ) =[mk-1 mk-2…m0] xg( x ) =[mk-1 mk-2…m0] g( x )
其中，g(x)=gn-k xn-k+…+ g1 x + g0
第四讲
三、循环码
主要内容
1、循环码的定义 2、循环码的多项式描述 3、循环码编码方法 4、循环码的译码
1957年美国人E.Prange提出循环码概念； 1961年J.E.Meggitt提出了一种译码器，主要用于检
错；
1960年前后提出了两类重要的循环码：BCH码和 RS码。 1965年E.R.Berlekamp和G.D.Forney提出了有效的
生成矩阵G的每一行是n重空间的一个基底，也是k 维n重码空间的一个基底。在一般线性分组码的生 成矩阵中，这些基底除线性无关外没有什么特殊关 系。然而从式(4-10)看到，循环码生成矩阵的k个基 底，是一个基底(gn-k … g1 g0 0 … 0)的循环移位得 出的。因此只要知道一个基底，其它(k-1)个基底可 通过循环移位得到。
循环码的(n-k)n阶的校验矩阵可写为：
9第九章 纠错编码
9.2 线性分组码— 校验矩阵与生成矩阵
(3) 校验矩阵和生成矩阵的关系
由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G 的每
行都满足 HGi T 0 T，则有 HG T 0
对于标准形式的校验矩阵和监督矩阵，有
HGT Q I I P T Q +P T 0
Q PT
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9.2 线性分组码— 校验矩阵与生成矩阵
1 0 0 1 1 1 0
c3
0c1
0c2
c3
c4 c1 0c2 c3
c5
c1
c2
c3
c6 c7
c1 c2 0c3 0c1 c2 c3
G 0 1 0 0 1 1 1 I P
0 0 1 1 1 0 1
(7,3)分组码编码表
信息组
对应码字
000
0000000
C mG
001 010
第九章：纠错编码
石东新 中国传媒大学 信息工程学院
1
一：基本概念 二：线性分组码 三：汉明码 四：循环码
2
9.1 纠错编码的基本概念—概述
香农第二定理证明，当 R C 时 PE 0 的码存在。 证明过程采用的是随机编码的方法：
随机编码所得的码集很大，通过搜索得到好码的方法在实 际上很难实现； 即使找到了好码，这种码的码字也没有规律，不便于译 码。
附加 r n k个校验码元，每个校验码元是该信
息码组的某些信息码元模2和； 这2k 个码字的集合称为 (n,k) 分组码； 编码信息率R=k/n
15
9.2 线性分组码— 概述
对二进制(n, k)线性分组码，合法码字数为2k，可用编 码空间的序列数为2n个。
任一种2k信息集合到二进制序列集合(2n)的映射都是
信息论第九章
G k n
~
第2节 线性分组码
举例 已知(7,4)线性系统码的监督矩阵为
1 1 1 0 1 0 0 H (7,4) 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 可直接写出它的生成矩阵 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1
(7，4)线性码
各列都不相同，任意2列之和不等于0，2 列线性无关；某3列线性相关。所以该码的最 小距离为3，小于n-k +1＝4。
生成矩阵和校验矩阵
（n,k）线性码最小距离dmin的上边界是 n-k +1。如果我们设计的（n,k）线性码 的 d min 达到了 n-k +1 ，就是达到了设计 性能的极点。因此，dmin＝ n-k +1的码 称为极大最小距离码 (MDC – Maximized minimum Distance Code)。
G (7,4)
定理 (n,k) 线性分组码最小距离等于dmin的 充要条件是：校验矩阵H的列矢量中至少要 有dmin个才能线性相关,而任意（dmin-1)列线 性无关。 定理 (n,k) 线性分组码的最小距离必定小于 等于 (n-k+1)
dmin (n-k+1)
例：
H＝
1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
9.1 差错控制的基本方式
混合纠错(HEC)：是FEC与ARQ方式的结合。 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码 组，收端收到码组后，检查差错情况，如果 差错在码的纠错能力以内，则自动进行纠正。 如果信道干扰很严重，错误很多，超过了码 的纠错能力，但能检测出来，则经反馈信道 请求发端重发这组数据。
(完整)循环码的编码与译码
循环码是线性分组码中一个重要的子类,具有检错纠错能力强,实现方便等特点.它具有严密的代数学理论，封闭性与循环性.（n,k）循环码表示信息位为k位，监督位为(n-k）位.本次设计实验首先分析了(7,4)循环码的编码与译码原理，然后，用C语言实现其编码与译码功能。
通过C语言平台运行所编写的程序,观察了在输入信息码情况下输出对应的编码结果以及相反的译码功能。
通过多组的对比验证了该（7，4）循环码的编译码程序的正确性。
最后,在程序运行的过程中进一步分析循环码的编译码原理，并通过比较仿真模型与理论计算的性能，证明了仿真模型的可行性。
关键词：循环码，编码与译码，C程序。
现代通信的发展趋势为数字化，随着现代通信技术的不断开发，差错控制技术已日趋成熟,在各个领域都得到了广泛的应用和认同。
本文就（7，4）循环码的编码与译码原理进行C语言的编程及运行仿真。
现代社会发展要求通信系统功能越来越强，可靠性越来越高，构成也越来越复杂；这就要借助于功能强大的计算机辅助分析设计技术和工具才能实现。
现代计算机科学技术快速发展，已经研发出了新一代的可视化的仿真软件。
这些功能强大的仿真软件，使得通信系统仿真的设计和分析过程变得相对直观和便捷，由此也使得通信系统仿真技术得到了更快的发展。
本文使用的是功能强大的C语言软件。
C语言是一种使用简便的、特别适用于科学研究和工程计算的高级语言,与其他计算机语言相比，它的特点是简洁和智能化，具有极高的编程和调试效率.通过使用C工具箱函数对数字调制进行仿真，更能直观彻底的掌握循环码的编码与译码原理。
有助于我们的学习和研究，加深对知识的理解和运用. C的便利性还体现在它的仿真结果还可以存放到的工作空间里做事后处理。
方便我们修改参数对不同情况下的输出结果进行对比。
目录第1章概述 (1)第2章计算机通信与纠错码 (2)2。
1 计算机通信技术 (2)2.1.1 通信的概念 (2)2。
1。
2 通信的发展史简介 (2)2。