2018年中考压轴题汇编因动点产生的平行四边形问题含答案

1.4 因动点产生的平行四边形问题成都市中考第28年题例1 20172－2ax－3a（a＜＝ax0）与x轴交于A、B两点1如图，在平面直角坐标系中，抛物线yyy轴负半轴交于点C，与抛物线的＝kxb：在点B的左侧），经过点A的直线l与A（点＋另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；5，求a的面积的最大值为的值；E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE点（2）4（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图1 备用图例2 2017年陕西省中考第24题2＋bx＋c经过A(－3,0)和Bx如图1，已知抛物线C：y＝－(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题2＋bx＋c经过A(0, 1)、y1，已知抛物线＝－xB(4, 3)两点．如图（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图1例4 2017年福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2例5 2017年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以2＋bx ＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点＝A为顶点的抛物线yaxB运动，同时动点Q 从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1例6 2017年上海市中考第24题3的图象与y轴交于点A，点M已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数3x?y?43的图象上，且MO＝MA．二次函数在正比例函数xy?22 M．c＋的图象经过点Ay＝x、＋bx AM的长；（1）求线段2）求这个二次函数的解析式；（在上述二次函数的C轴上，且位于点A下方，点（3）如果点B在y3是菱形，的图象上，且四边形ABCD图象上，点D在一次函数3x?y? 4 的坐标．求点C1图例7 2017年江西省中考第24题2沿x轴翻折，得到抛物线c将抛物线c，如图1：所示．3x?3y??21（1）请直接写出抛物线c的表达式；2（2）现将抛物线c向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x1轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物2线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．1图1.4 因动点产生的平行四边形问题答案成都市中考第28题2017年例12－2ax－3a（a＜0）与如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝axx轴交于A、B两点yy轴负半轴交于点Cb与的直线l：，与抛物线的＝kx（点A在点B的左侧），经过点A＋另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；5，求a的值；是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为（2）点E4（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC时，△ACE的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上．思路点拨1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．满分解答2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－（1）由y＝ax1, 0)．由CD＝4AC，得x＝4．所以D(4, 5a)．D由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．22－3ax－4＝y－yaxa．，那么axF3x设E(, ax－2ax－a)，(x,＋a)EF＝FE11 ＝S由S＝－S)?xx(?)?xEF(xEF CEFAEFACE△△△CAEE2211132522，＝＝＝ax?)ax?4a)?EF(x?x)a(ax(?3AC82222252525 ．ACE的面积的最大值为．解方程，得得△???aa?a?5488 AD为分类标准，分两种情况讨论：x＝1，以(－1, 0)、D(4, 5a)，（3）已知A P QD．，对角线AP＝QP为矩形的边，那么AD//，AD＝QP①如图2，如果AD 4．，得x＝－x－x＝x－x由QDPQA )．－4, 21a＝21a．所以Q(＝－x4时，y＝a(x＋1)(x－3)当．(1, 26a)y＝26a．所以Py由y－y＝－y，得PPADQ222222 a)＝8．＝QD＋，得2(16＋(26a)由AP77262)???(1，a Pa．此时＝1．．所以整理，得777 互相平分且相等．与PQ3，如果AD为矩形的对角线，那么AD②如图．a)．所以Q(2,－3x＝x＋x，得x＝2＋由x QAPQD．a)a．所以P(1, 8y＝y＋y，得y＝8由y＋PAPDQ222222．＋(11＋(5a)a由AD＝＝PQ1，得5)124)?(1，a．此时＝1．所以P．整理，得4??a23图 1 图图2考点伸展．n)第（3）题也可以这样解．设P(1,n?5aAMDN5 QPD2，当AD时矩形的边时，∠＝90°，所以．，即①如图??35aMDNP?22aa53?3?53)?(1,n ．解得Q．所以．所以P)?4,(aaa733?a?．所以1)((x＋x－3)，得．a代入Q将y＝a21)(?4,?7aa ．3a)，当3AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－②如图1a2?3QKAG AQD由∠＝90°．，即．解得，得???a?2?33?a5aKDGQ例2 2017年陕西省中考第24题2＋bx＋c经过A(－y＝－x3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的如图1，已知抛物线C：顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1动感体验请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M′上下运动，可以体验到，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有四种情况．思路点拨1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．满分解答2＋bx＋c，得、B(0, 3)分别代入y＝－x1（）将A(－3,0)?9?3b?c?0,?解得b＝－2，c＝3．?c?3.?2－2x＋3．C所以抛物线的表达式为y＝－x22＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)1)3y）由＝－x－2x ＋＝－(x＋．2（（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N（如图′3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N（如图′3）．图2 图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m 有怎样的函数关系？m?2．的横坐标为m, 4)，可得点D1(′D是等腰三角形，由M－1,4)、M′(－＋，如图4△MM 2222m?mm2．所以＋1)＋4，得DH＝．x代入将y＝－(44??y???x442211m3 S所以．＝m?2m4)(m??842图4例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题2＋bx＋c经过A(0, 1)、B如图1，已知抛物线y＝－x(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．思路点拨1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）题解方程MN＝y－y＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．NM满分解答2＋bx＋c＝－分别代入yx，得（1）将A(0, 1)、B(4, 3)c?1,?9b?，c＝解得1．?2?16?4b?c?3.?92x??x1?y?．所以抛物线的解析式是2．OB＝5BC＝4，＝3，所以Rt（2）在△BOC中，OC ．，垂足为HOB，过点A作AH ⊥如图24?OBCAOH?sin??sin，，AOH△中，OA＝1在Rt54?AH?OA?sin?AOH2 图所以．5322OH??OB?OHBH?所以，．55222AH4??ABO??tan?．中，在Rt△ABH 115BH511??xy的解析式为．（3）直线AB21921)x?x1)?x?(x,(x,?，点N的坐标为设点M的坐标为，221922x?1)??x4?MN?(?xx?x?1)?(那么．22 3．＝BC＝当四边形MNCB是平行四边形时，MN2．x＝33，得x＝1或解方程－x4＋x＝9)(1, 3M的坐标为）．（如图＝因为x3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点24图图3考点伸展，于N平行于y轴交直线AB第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN M的坐标．、C为顶点的四边形是平行四边形，求点如果M、N、B ．y－yy－y或MN ＝MN那么求点M的坐标要考虑两种情况：＝MMNN2272?x? x＝3），得．（如图54－由yy＝x －x，解方程x－4MN9775?5?117,?)(27,)(2?)(1,)(3,，个：4M所以符合题意的点有，．，22225图例4 2017年福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．向上运动，可以体验到，PQ的中点21”，拖动点QM“12请打开超级画板文件名福州的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．满分解答4 ＝．t，PD8（1）QB＝－2t3，那于Q//AB交BC作于，作∠（2）如图3ABC 的平分线交CAP，过点PPQ 是菱形．么四边形PDBQ ．8BCBEEABPEP过点作⊥，垂足为，那么＝＝图3在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．AE2310，所以．△APE中，在Rt??cosA??t APt5310?632CPCQCQ3．当PQ//AB时，，即．解得??CQ?9CBCA68321016．所以点Q的运动速度为??1593 为原点建立直角坐标系．）以（3C ．PQ的中点就是AC的中点E(3，0)如图4，当t＝0时，F的中点就是PB的中点(1，4)．如图5，当t＝4时，PQ y＝－2x ＋6．直线EF的解析式是t6?t6?）在直，t．经验证，点M（t如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，）22 EF上．线＝．的长，EF PQ的中点M的运动路径长就是线段EF所以52图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．2＋bx＋c，代入E(3，0)、axF(1，4)和(2，2)，的运动路径的解析式为设点My＝9a?3b?c?0,??解得a＝0，b＝－2，c＝得6．4,cba?????4a?2b?c?2.?所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．例5 2017年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以2＋bx ＋c过点C．动点P＝ax从点A出发，沿线段AB向点B运动，同A为顶点的抛物线y时动点Q 从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t＝2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。