高斯消去法综述
用高斯消元法求解线性代数方程组
用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X ＊是方程组的精确解）1 高斯消去法1。
1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解.为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想.⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I)乘(23-）后加到方程(II)上去,把方程（I)乘（24-)后加到方程（III ）上去，即可消去方程(II)、（III)中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-I I -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x将方程(II)乘(5.03）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-I I -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8,x 1 = —13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便,将b i 写成a i ， n +1,i = 1, 2，…,n .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a（1-1）如果a 11 ¹ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x其中)0(11)0()1(1aa aijj=, j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(,i = 1， 2， …, n ; j = 1， 2， …， n + 1)从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2）其中n i a m a aij i ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程(1—1）到(1—2）的过程中，元素11a 起着重要的作用,特别地，把11a 称为主元素.如果（1-2)中0)1(22≠a ，则以)1(22a 为主元素，又可以把方程组（1-2）化为: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++++++)2(1,)2(3)2(3)3(1,3)2(33)2(33)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(12)1(121 n n n nn n n n n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x （1-3）针对(1—3） 继续消元，重复同样的手段，第k 步所要加工的方程组是：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=+++=++++-+---+---+-----++)1(1,)1()1()1(1,)1()1()1(1,1)1()1(11)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(13)1(132)1(121 k n n n k nn k k nk k n k n k nn k k kk k n k n k kn k k k k n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x设0)1(≠-k kk a ，第k 步先使上述方程组中第k 个方程中x k 的系数化为1：)(1,)()(1,k n k n k kn k k k k k a x a x a x ++=++然后再从其它（n — k ）个方程中消x k ，消元公式为:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=⋅-=++==----nk i n k j a a a a n k k j a a a k kjk ik k ij k ij k kkk kjk kj ,11,,11,,1,)()1()1()()1()1()( (1—4)按照上述步骤进行n 次后，将原方程组加工成下列形式:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+++=+++++-+---++)(1,)1(1,1)1(1)2(1,2)2(23)2(232)1(1,1)1(13)1(132)1(121 n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x 回代公式为:⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∑+=++1,,11)()(1,)(1, n k x a a x a x nk j j k kjk n k k n n nn （1-5）综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组,再经回代过程求解。
高斯消去法
例子高斯消去法可用來找出下列方程組的解或其解的限制：這個算法的原理是：首先，要將L1以下的等式中的x消除，然後再將L2以下的等式中的y消除。
這樣可使整毎方程組變成一個三角形似的格式。
之後再將已得出的答案一個個地代入已被簡化的等式中的未知數中，就可求出其餘的答案了。
在剛才的例子中，我們將和L2相加，就可以將L2中的x消除了。
然後再將L1和L3相加，就可以將L3中的x消除。
我們可以這樣寫：結果就是：現在將− 4L2和L3相加，就可將L3中的y消除：其結果是：這樣就完成了整個算法的初步，一個三角形的格式(指:變數的格式而言,上例中的變數各為3,2,1個)出現了。
第二步，就是由尾至頭地將已知的答案代入其他等式中的未知數。
第一個答案就是：然後就可以將z代入L2中，立即就可得出第二個答案：之後，將z和y代入L1之中，最後一個答案就出來了：就是這樣，這個方程組就被高斯消去法解決了。
這種算法可以用來解決所有線性方程組。
即使一個方程組不能被化為一個三角形的格式，高斯消去法仍可找出它的解。
例如在第一步化簡後，L2及L3中沒有出現任何y，沒有三角形的格式，照著高斯消去法而產生的格式仍是一個行梯陣式。
這情況之下，這個方程組會有超過一個解，當中會有至少一個變數作為答案。
每當變數被鎖定，就會出現一個解。
通常人或電腦在應用高斯消去法的時候，不會直接寫出方程組的等式來消去未知數，反而會使用矩陣來計算。
以下就是使用矩陣來計算的例子：跟著以上的方法來運算，這個矩陣可以轉變為以下的樣子：這矩陣叫做「行梯陣式」。
最後，可以利用同樣的算法產生以下的矩陣，便可把所得出的解或其限制簡明地表示出來：高斯消去法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。
設A為一個的矩陣，其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。
將一個單位矩陣放在A的右手邊，形成一個的分塊矩陣B = [A,I] 。
經過高斯消去法的計算程序後，矩陣B的左手邊會變成一個單位矩陣I，而逆矩陣A- 1會出現在B的右手邊。
第一节 高斯消去法
2 x1 2 x2 3 x3 3 4 x1 7 x2 7 x3 1 2 x 4 x 5 x 7 1 2 3
解：首先写出增广矩阵
2 2 3 3 4 7 7 1 ( A b) 2 4 5 7
i1 2
行初等变换得下述方程组
(1 a11) 0 ... 0 (1 a12) (1 ... a1n)
a
( 2) 22
... a ...
( 2) 2n
...
( an32)
...
(3 ...... (3) bn
[ A3 b3 ]
a1(1) n ... ... ...
(k akn ) ... ( ... akk ,1n) 1
(k ann1)
b1(1) (k ) bk ( bkk 1) 1 ( k 1 ) bn
( i , j k 1, , n)
(4) 当 akk
A3 x b3
(3) 第 k 步消元。设第 k-1 次消元已经完成，若增广矩阵
a (1) 11
若a
a
(1) 12
a
(1) 13
... ...
(k akk )
(2 a22 )
(2 a23 )
a1(1) ... n ( 2) ... a2 n
(k ... akn )
k ,k
max ai ,k , i k , k 1,, n
k i n
否则转Step 7
算法: Gauss列主元消去算法（续）
Step 3 for i=k+1,…,n 计算
lik
高斯消去法
高斯消去法自然界中有各种各样的消去法，而人们对其运用也不计其数。
如：对物理学上的一些问题，大多用了消去法，也是为了得到正确的答案。
在生活中，人们常常会遇到这样那样的数学问题，这时便可以使用“高斯消去法”，通过简单的计算便可得出正确的答案。
下面就来介绍它的具体做法： 1。
我国科学家采用了高斯消去法。
当年他在研究“零点能”时，很少数学家采用高斯消去法，认为太麻烦，只要找到一个零点能比较小的位置，把它消去，其余大部分应该能被保留。
但事实并非如此，后来经过调查，发现原来只要让这些点连续增加，直到与相邻的点相差无几，那么我们所求的零点能将变为零。
于是，人们通过巧妙地构造，终于成功地将零点能消掉了，得到了正确的结果。
2。
4。
其实在数学上，高斯消去法远不止这两个例子，只要我们善于观察、思考、发现和创新，一定还能想到更好的消去方法。
3。
6。
上帝的方法是：当你在生命线上与一些重要人物紧紧相连时，把它消去，把消失的那段砍掉。
以前那人一直不明白，为什么他的生命线总与别人相连，却永远都断不了，后来，他才恍然大悟，原来上帝把他与一些重要人物的紧密关系消去了，而把另一些无关紧要的人物增添上去。
9。
人类有时会受到一些坏人的欺骗。
比如说，两个强盗绑架了许多小孩子。
其中一个强盗见这些小孩个头矮小，便想出一个绝招。
这天晚上，两个强盗把一根又粗又长的绳子捆在一棵树上，在距离村子很远的地方准备好另外一根绳子。
第二天早上，这个绑架了小孩的强盗假装放绳子，那些小孩便拼命地往家跑，而绳子却从那棵树上下来，勒在他们身上。
这时，他们早已跑得精疲力尽，等醒过神来，一切都结束了。
9。
不知道大家有没有看过《哈利·波特》，书中讲述了主人公哈利和他的三个朋友的故事，他们因为意外互换了身份，进入到了魔法学校霍格沃兹学习，在校期间他们为了解开伏地魔的阴谋，跟着导师邓不利多在魔法世界里探险。
在这个过程中，他们遇到了许多困难，像密室逃脱、身份揭穿、幽灵共舞等等，有的时候，凭他们的智慧和勇气，是完全可以战胜这些困难的。
高斯消元法详解
高斯消元法详解高斯消元法是一种线性代数中用于解决线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将一个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解出未知数的值。
高斯消元法的基本步骤如下：1. 将待求解的线性方程组写成增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取第一行第一列元素不为零的行作为主元行，通过初等行变换将该行化为主元，即使该行第一列元素为1，其余元素为0。
3. 对于每个未被选中的行，将其第一列元素通过初等行变换化为0。
具体做法是将该行乘以主元所在行第一列的相反数，并加到主元所在行上。
4. 重复步骤2和3直到所有未被选中的行都被化为0或者无法选取主元。
5. 回带求解出未知数的值。
从最后一行开始，依次代入已经求出来的未知数值并计算出当前未知数值。
需要注意的是，在进行高斯消元法时需要注意以下几点：1. 当选择主元时应尽量避免选取小数作为主元，因为小数的精度有限，可能会导致计算误差。
2. 当系数矩阵中存在多个相同的行时，需要将它们合并成一个行，以减少计算量。
3. 在进行回带求解时，应注意未知数的顺序和求解的顺序应该一致。
高斯消元法可以用于求解任意大小的线性方程组，但是当方程组的规模很大时，计算量会非常大。
此外，在某些情况下高斯消元法可能会出现无法选取主元或者主元为0的情况，此时需要采用其他方法进行求解。
总之，高斯消元法是一种简单而有效的线性方程组求解方法，在实际应用中得到了广泛的应用。
熟练掌握高斯消元法可以提高我们在科学计算和工程设计中的能力和水平。
(完整版)2.3高斯列主元消去法
2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。
就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。
实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。
在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。
但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。
1．一旦遇到某个主元等于0，消元过程便无法进行下去。
2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。
为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。
其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。
目前计算机上常用的按列选主元的方法。
因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。
二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。
我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。
然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。
高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。
于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。
三、算法的描述1、设有n 元线性方程组如下：1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K M OM L1n x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ＝1n b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 2、 第一步：如果a 11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i 个方程上,得同解方程组：a (1)11 a (1)12 . . . a (1)1nx 1 b (1)1a (1)21 a (1)22 . . . a (1)2n x 2b (1)2. . . . . . . = .a (1)n-11 a (1)n-12 . . a (1)n-1n x n-1b (1)n-1a (1)n1 a (1)n2 . . . a (1)nn x nb (1)n简记为：A (2) x = b (2)其中a (2)ij = a (1)ij – l i1 * a (1)1j , I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I– l i1 * b(1)1 , I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22 != 0,令l i2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12 . . . a(1)1n x1b(1)10 a(1)22 . . . a(1)2n x2b(1)2. . . . . . . = .0 0 . . a(n-1)n-1n x n-1b(n-1)n-10 0 . . . a(n)nn x n b(n)n简记为：A(n) x = b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：X n = b(n) / a(n)nnX i = ( b(k)k - a(k)kj x j ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。
数值分析5-2(高斯消去法)知识讲解
a1(n3) a2(3n) a3(3n)
... an(3n)
•
x1
x2
xn
b1(3)
b2(3)
bn(3)
…
1 0
0 1
.(nn))
0 0
...
1
xn
bn(n)
故方程组的解为
x 1 x 2 .x . n T . b 1 ( n )b 2 ( n ).b . n ( n ) T .
四、高斯—约当消去法(Gauss-Jordan)
高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的 元素，而高斯——约当消去法则同时消去对 角线上方和下方的元素。
aa12((1111))
a1(12) a2(12)
... ...
aa12((11nn))•xx12 bb12((11))
...
an(11) an(12) ... an(1n) xn bn(1)
高斯消去法的特点：消元和回代不同步！
3. 使用高斯消去法的条件
使用高斯消去法要求在每步消元时 ak(kk) 0 ， 那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？
引理：约化的主元素 ak(kk) 0 (i=1,2,…,n) 的充 要条件是矩阵A的顺序主子式 D i 0(i1,2,..n.),
推论：如果A的顺序主子式不等于0，则
a1(11) 0
第一次 消元
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
0
a2(22) ... a2(2n)•x2 b2(2)
...
0
an(22) ... an(2n) xn bn(2)
……
(记 为 A(2)x = b(2))
a1(11)
高斯消去法
mi1
a (1) i1
/
a (1) 11
(i 2, 3,L , m)
用-mi1 乘方程组的第一个方程加到第i个方程，则原方程组同
解方程组为：
a1(11)
0
M 0
a1(12) a2(22)
M am(22)
L L M
a1(1n) a2(2n)
M
x1
x2
M
b1(1) b2(2)
M
L am(2n) xn bm(2)
2020/6/3
数值分析
引言
在自然科学和工程技术中许多问题的解决转化为解线性方 程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠 密矩阵，一种是高阶稀疏矩阵。
解线性方程组的数值解也有两种： 直接法，就是经过有限步算术运算，可以求得线性方程 组的解，但实际计算时有舍入误差的存在和影响，所以求 得的结果也只能是近似解对低阶稠密矩阵和部分大型稀疏 矩阵有效。
第五章 解线性方程组的直接方法
5.1 高斯消去法 5.2 高斯主元素消去法 5.3 矩阵的三角分解 5.4 误差分析
2020/6/3
数值分析
【本章重点】 1．Gauss 消去法和列主元消去法及其实现条件。 2．矩阵的三角分解，含LU分解和LLT 分解及三对角方程组的追
赶法。 3．向量和矩阵范数的定义及性质。 4．矩阵条件数及病态矩阵定义和解方程组直接法的误差估计。
即
a(1) 11
0
M
a(1) 12
a(2) 22 M
L L M
a(1) 1n
a(2) 2n M
x1
x2
M
b(1) 1
b(2) 2 M
0
0
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设线性方程组为
a11x1 a12 x2
a
21
x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
第五章方程组的直接解法
a1n xn b1
a2n xn b2
(1)
ann xn bn
或写成矩阵形式
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1n x1 b1
a2n
例4.1：用Gauss消去法解方程组
2x1 2x2 2x3 1
(1)
3x1
2 x2
4 x3
1 2
(2)
x1
3x2
9x3
5 2
(3)
第五章方程组的直接解法
解：第1步，（1）（ 3）加到（2），（1) ( 1)加到(3)，
2
2
得等价方程组：
2x1 2x2 2x3 1 x2 x3 1
组的追赶法； 5. 掌握向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分
析。 教学重点及难点 重点是 1. 解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分析； 难点是方程组的扰动分析。
第五章方程组的直接解法
第五章方程组的直接解法
在工程实际问题中产生的线性方程组，其系数矩阵大 约有两种：
一种是低阶稠密矩阵(阶数n150，矩阵的全部元素都 可能贮在计算机中)；
另一种是大型高阶稀疏矩阵(矩阵元素中零元素较多， 阶数较高，如n=103或104等，这类矩阵一般要压缩存储或 仅存储系数矩阵中的非零元素．)
第五章方程组的直接解法
,
b(1) 2
,
b(1) n
)T
,
det
A
0
.
消元过程就是要按确定的计算过程对方程组进行初等行变换, 将方程组化为上三角方程组.
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
a(1) 11
0
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 13
近十几年来,直接法在求解具有较大型系数矩阵方程组方面 取得了较大进展.
第五章方程组的直接解法
② 迭代法： ( 第六章介绍）就是用某种极限过 程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。 也就是从解的某个近似值出发，通过构造一 个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限 步内得不到精确解). 特点是速度快，但有误差.
2 2 2
A,b 3 2 4
1 3 9
2 2 2 1
1
1/
2
5 / 2
(1)
r1(
3 2
)
r2
r2
r1(
1 2
)
r3
r3
0
0
1 2
1 8
1
2
2 2 2 1
(2) 0
0 r2 2 r3 r3
1 1 0 10
1 0
这种求解过程称为具有回代的Gauss消去法。
第五章方程组的直接解法
关于线性方程组的数值解法有两大类：
① 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组精 确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)，如克莱姆 法则就是一种直接法，但实际上由于舍入误差的存在， 这类方法也只能求得线性方程组的近似解。 直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去 法。其特点是准确，可靠，理论上得到的解是精确的. 这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法.
第五章方程组的直接解法
5.2 Gauss消去法
5.2.1 Gauss消去法的计算过程 5.2.2 矩阵的三角分解 5.2.3 主元素消去法
5.2.4 Gauss-Jordan消元法
第五章方程组的直接解法
第5章 线性方程组的直接解法
教学目的 1. 掌握解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 掌握用直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 了解解对称正定矩阵线性方程组的平方根法与解三对角线方程
第5章 线性方程组的直接解法
(Direct Method for Solving Linear Systems)
在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许 多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次 样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大 地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为 求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线性方 程组的求解对于实际问题是极其重要的。
x2
b2
ann xn bn
或简单地记为:
Ax b,
A (aij )nn , x (x1, x2, xn )T , b (b1, b2,
(2)
bn )T.
5.2 Gauss消去法
第五章方程组的直接解法
Gauss消去法是一个古老的求解线性方程组的方法。 由它改进的选主元法是目前计算机上 常用的有效的求解 低阶稠密矩阵线性方程组的方法。
此例可见Gauss消去法的基本思想是：用矩阵得初等行变换将系数 矩阵A化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵，单位矩阵等）， 而三角形方程组是很容易回代求解的。
1 Gauss消去法的步骤
一般的，设有n个未知数的线性方程组为：
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
(4)
2x2 8x3 2 (5)
第2步，(4) 2加到（5）得等价的方程组：
2
2x2 2 x2 x3
x3
1 1
10x3 0 (6)
第3步，回代法求解（6）即可求得该方程组第的五解章方为程：组的直接解法 x3 0, x2 1, x1 12.
用矩阵法描述的约化过程即为：
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
(5.2.1)
设A （aij )nn ， X (x1, x2, xn )T，b (b1,b2, bn )T，
则（5.2.1）化为： AX b
第五章方程组的直接解法
为方便,设A
A(1)
(ai(j1) )nn,b
b(1)
(b1(1)
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的的重要方法.
第五章方程组的直接解法
对于中小型方程组，常用直接解法。从本质上来说， 直接方法的原理是找一个可逆矩阵M，使得MA是一个上 三角阵，这一过程一般称为“消元”过程，消元之后再 进行“回代”，即求解MAx=Mb。本章讨论Gauss消去 法及其变形，以及一些情况下的特殊方法，最后进行误 差分析。