矩阵分块法
合集下载
§2.4 分块矩阵
17 17
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
矩阵分块法
As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
高二数学矩阵的分块
kA11 kA1r kA kA kA sr s1
例
k 3,
1 A 3 4
2 2 5
3 1 6
1 3 3 A 3 3 4 3
2 3 2 3 5 3
3 3 1 3 6 3
其 中Ai 1 , Ai 2 , , Ais的 列 数 分 别 等 于 B1 j , B2 j , , Bsj的 行 数 。 那么 C11 C1r
AB C r1
ik
C rs
其 中C ij
A
k 1
t
Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
1 a 1 1 1 a 0 1
0 B 0 1 B2 b B3 b 0 0 C1 1 C3 b 0 C1 a0 0 0b 1 C3 0 0 1 1 0 0 b 1 10
C2 , C4
11
1s
rs
rs
T A A1 s 则 A . A A
T 11 T
T
r1
T
rs
注:
大块小块一起转。
T
A11 A12 例 A A 21 A22 (5) 分块对角矩阵 设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块
O A . 1 O D C A B
(2) 由(1)可得
A O 1 XYZ A D C A B, 1 O DC A B
XYZ X Y Z ,
而 X Z 1,
A B A D C A1 B . C D
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
大学线性代数课程 第七节 矩阵的分块法 课件
2
1
0
0
0 0 1 2
0
0
1
1
1 2 0
A
2
5
0
1
A1
O
0 0
O A2
,
A1
A11 O
O
A2
1
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1 3
1 1
2
1
,
0 0 1 3 2 3
0
0
1 3
1
3
6、设 B 1 2 L s , 则 AB A1 2 L s A1 A2 L As .
A11 L
A
M
As1 L
A1r
A11 L
M
,
R,
则
A
M
Asr
As1 L
k 0 k 3k
kI
kA
kO
kC
kI
0
0
0
k 0 0
2k k 0
4k
0kLeabharlann A1r M.
Asr
3、乘法 设 Aml , ，Bl分n 块成
A11 L
A
M
As1 L
A1t
B11 L
b01
注： 分块时首先满足 I，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O以及其它的特殊矩阵.
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.
1、矩阵的加法 设 A与 B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 L
A
M
As1 L
A1r
B11 L
矩阵分块法
L
0 L 0 B2 L 0 L L L 0 L Bs
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
3）逆矩阵 ）
A1 设 A=
A2
o
o , O As
a 0 A= 1 0
0 0 = ( A1 A2 A3 A4 ), 1 b
LL
二、分块矩阵的运算规则
(1 )
对于加法 : 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , ,有 采用相同的分块法
A11 A= M A s1
L L
A1 r B11 M , B = M B A sr s1
例
设 1 2 A= −1 1 求 A + B.
0 0 0 0 0 0 0 0 , B = 1 2 1 0 −1 1 1 1
0 1 0 2 0 1 , 0 0 0 0 0 0
解 把 A, B 分块成 记
A11 A= A 21
A1 O A2 ⇒ A = A1 A2 L As . A= O O As
A1 O A2 A= O O As
A可逆 ⇔ Ai 可逆i = 1,2,L , s且
A1−1 O −1 A2 −1 A = O O As−1
B22 . 0
T T A11 L A1 A11 L Ar 1 s (4 ) 设 A = M M , 则 AT = M M . T A1 L A A L AT s sr sr 1r
0 L 0 B2 L 0 L L L 0 L Bs
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
3）逆矩阵 ）
A1 设 A=
A2
o
o , O As
a 0 A= 1 0
0 0 = ( A1 A2 A3 A4 ), 1 b
LL
二、分块矩阵的运算规则
(1 )
对于加法 : 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , ,有 采用相同的分块法
A11 A= M A s1
L L
A1 r B11 M , B = M B A sr s1
例
设 1 2 A= −1 1 求 A + B.
0 0 0 0 0 0 0 0 , B = 1 2 1 0 −1 1 1 1
0 1 0 2 0 1 , 0 0 0 0 0 0
解 把 A, B 分块成 记
A11 A= A 21
A1 O A2 ⇒ A = A1 A2 L As . A= O O As
A1 O A2 A= O O As
A可逆 ⇔ Ai 可逆i = 1,2,L , s且
A1−1 O −1 A2 −1 A = O O As−1
B22 . 0
T T A11 L A1 A11 L Ar 1 s (4 ) 设 A = M M , 则 AT = M M . T A1 L A A L AT s sr sr 1r
矩阵分块法
以对角矩阵Λn 右乘矩阵Amn 时，把A按列分块，有
上一页 返回 下一页
三、按行分块与按列分块
a11
设A
(aij ) mn
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2
n
,
它有
m
行，若第i
行记作
amn
αiT ai1, ai2 , , ain i 1,2, , m,则矩阵A便记为
可记作
上一页 返回 下一页
x1
β1 ,
β2,
,
β
n
x2
b,
xn
即 x11 x22 xn n b.
以对角矩阵 Λm 左乘矩阵 Amn 时，把
A按行分块，有
上一页 返回 下一页
λ1
Λ m A mn
λ2
λm
T 1
T 2
mT
λ11T λ2 2T
λm mT
,
可见，以对角矩阵 Λm 左乘矩阵Amn 的结
4. 当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过
的轨道上运行，需要校正它的位置.雷达屏幕给出
一组矩阵向量 x1,L , xk ，它们给出卫星在不同时间里
的位置与计划轨道的比较.设 Xk x1, x2,L , xk ,矩阵
Gk
Xk
X
T k
需要在雷达分析数据时计算出来，当
xk 1
到
达时，新的Gk1 必须计算出来.因数据矩阵向量高速
7 1 1 3
AB
14 6
2 3
2 1
4 0
.
0 2 0 1
此题直接求kA, A B, AB会容易些，但为了突
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A 11 B11 A 1r B1r AB . A B A B s1 s1 sr sr 2. 分块数乘 A 11 A 1r 设分块矩阵 A ， k 为常数，则 A s1 A sr kA 11 kA 1r kA . kA s1 kA sr
大规模集成电路本身的矩阵，而其它子矩阵则与这三块 芯片之间的相互联系有关. 考虑矩阵分块的原则是使分块后的子矩阵中有便于 利用的特殊矩阵，如单位矩阵、零矩阵、对角矩阵、三 角矩阵等. 如果把分块矩阵的每一子块当成矩阵的一个 元素，可以按矩阵的运算法则建立分块矩阵对应的运算 法则，下面讨论分块矩阵的运算.
E C kE kC kA k 则 , 0 E 0 k E E C D 0 E D C AB , 0 0 E F E F E C D 0 D CF C AB . E 0 E F E F 然后分别计算 kE, kC, E D, D CF 代入以上各式，得
a12 a 22 am 2
a1n a2 n , 它有 m行，若第i 行记作 a mn
1 T A 2 . T m
T
α i ai1 , ai 2 , , ain i 1,2,, m , 则矩阵 A 便记为
A1 A A2 ， 则称 A 其中每一个 A i (i 1,2, , s ) 都是方阵， As
是分块对角阵，也叫做准对角矩阵. 可以证明，分块对角矩阵的乘积还是分块对角矩阵. 对矩阵分块时，有两种方法应予以重视，这就是按行分 块和按列分块.
即 x1 1 x2 2 xn n b. 以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 时，把
i
上一页 返回 下一页
例如，若一个微型计算机电路板主要有 3 块超大规 模的集成芯片组成，那么电路板的矩阵可以写成一般形 式
A 11 A A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 , A 33
A 的“主对角线”上的子矩阵，即 A11 ， A 22 ， A 33 是有关超
上一页 返回 下一页
k 0 kA 0 0
0 k k 2k 0 k 0 0
3k 2 2 4k 2 1 ,A B 0 6 3 0 2 k
1 2 0 0
3 4 , 0 0
3 7 1 1 14 2 2 4 AB . 6 3 1 0 0 2 0 1
§1.3 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、分块运算 三、按行分块与按列分块 习题1.3
上一页 返回 下一页
一、矩阵的分块
在处理阶数较高的矩阵运算时，常采用分块法使大矩 阵的运算化成小矩阵的运算 . 我们将矩阵 A 用若干条纵线 和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以 子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 根据矩阵的特点、运算内容或分析论证的需要可选择 适当的分块方法. 例如五阶方阵
上一页 返回 下一页
3. 分块乘法 设 A 为 m l 矩阵，B 为l n 矩阵，分块成
A 11 A 1t B11 B1r A ， B , A A B B s1 t1 st tr C11 C1r t C 则 AB ,其中 ij A ik B kj (i 1,2, s; j 1,2, r ). k 1 C C s1 sr 3 1 0 1 1 2 0 0 0 1 2 4 2 0 0 0 , B , 计算 例 1 设矩阵 A 0 0 1 0 6 3 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 kA, A B, AB.
x1 x2 β1 , β 2 , , β n b, x n
即 x1 1 x2 2 xn n b.
上一页 返回 下一页
以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 时，把 A 按行分块，有
Λ m A m n λ1 λ2 1 λ1 1 T T 2 λ2 2 , T T λm m λm m
这就相当于把每个方程 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 记作 i x b i (i 1,2,, m).
T
如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块， 与 A 相乘的 从而线性方程组 Ax b x 应对应地按行分成 n 块， 可记作
上一页 返回 下一页
x1 x2 β1 , β 2 , , β n b, x n
,
A11 2 1 A 22 ,则 A 可表示成 A A 21 0 2
A12 E 3 A 22 0
A12 . A 22
对后一种方法，并用 ε1 , ε 2 , ε 3 , A 4 , A 5 依次表示 A 的各 列（ ε 常用来表示单位矩阵 E 的第 i 列） ，则 A 又可表示成 A ε1 , ε 2 , ε 3 , A 4 , A 5 . 注意分割线的纵横线必须分割到底.
A(aij)称为系数矩阵 x(x1 x2 xn)T 称为未知数向量 b(b1 b2 bm)T 称为常数项向量 B(A b)称为增广矩阵
上一页 返回 下一页
解向量
按行分成 如果把系数矩阵 T α1 b1 T 块，则线性方程组 α 2 b2 可记作 x . T α b m m
T T
m
可见，以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 的结果是 A 的每一行乘以 Λ 中与该行对应的对角元. 以对角矩阵 Λ n 右乘矩阵 A m n 时，把 A 按列分块，有
上一页 返回 下一页
三、按行分块与按列分块
设 A (a
T
) ij m n
a11 a 21 a m1
上一页 返回 下一页
二、分块运算
1. 分块加法 设矩阵 A,B 是同型矩阵，采用相同的分块法，有 A 11 A 1r B11 B1r A ， B , A B B s1 A sr s1 sr 其中 A ij 与 Bij 是同型矩阵，则
1 0 A 0 0 0 0 0 1 2 1 0 3 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 0 2
可以有多种分块法，以下是其中的两种：
上一页 返回 下一页
1 0 0 0 0
0 0 1 2 1 1 0 3 0 0 0 1 1 1 ， 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0
把它写成矩阵形式 Ax b ，其中 A 为系数矩 ~ 矩 阵 A 按 分 块 矩 阵 的 记 法 ， ~ A A b β 1 , β 2 , , β n , b .
上一页 返回 下一页
如果把系数矩阵 A 按行分成 m块，则线
线性方程组的矩阵表示形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 Axb am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
同理，m n矩阵 A 有 n 列， 若第 j 列记为 则 A ,
1
a1 j a2 j β j j 1,2,, n , a mj
上一页 返回 下一页
2 , , n .
a11 x1 a12 x2 a1n x a x a x a x 21 1 22 2 2n 对于线性方程组 a m1 x1 a m 2 x2 a mn x
此题直接求 kA, A B, AB会容易些，但为了突 出分块的特点，这里选择了分块矩阵的运算，对于 阶数较高的矩阵来说，分块运算会带来很大的方便.
上一页 返回 下一页
4. 分块转置
设
A 11 A 21 A A s1
T T
A 12 A 22 A s2
T
A 1r A 2r , A sr
上一页 返回 下一页
T α1 b1 T α2 b2 x . T b α m m
这 就 相 当 于 把 每 个 方 程 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 记 作 T i x b i (i 1,2,, m). 如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，与 A 相乘的 x 应对应 地按行分成 n 块，从而线性方程组 Ax b 可记作
对前一种分法，记
0 0 0 A 21 0 , 0 0 0
0 0 1 2 1 0 3 0 0 1 1 1 . 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 A 11 E 3 0 1 0 0 0 1
,
1 2 A 12 3 0 1 1
则
A 11 A 21 A s1 T T T A 22 A s 2 A 12 T A . T T T A A A 1r 2r sr 即分块矩阵的转置，是将它的行列依次互换，
同时将各子块转置.
上一页 返回 下一页
5. 分块对角阵 设 A为 n 阶方阵，又 A 的分块矩阵只有主对角线上有非零 子块，其余子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即
解