第一章计数原理小结

第一章计数原理
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理：
完成一件事有n类不同方案，
在第1类方案中有m1种不同的方法，
在第2类方案中有m2种不同的方法，…，
在第n类方案中有m n种不同的方法，
那么完成这件事共有
N＝m1＋m2＋…＋m n 种不同的方法
分类加法计数原理的特点：
1、每一类的任何一种方法都能独立完成整个事情
2、任何一种方法都只能属于某一类
3、分类时：不能重复
不能遗漏
分步乘法计数原理：
完成一件事需要分成n个步骤，
做第1步有m1种不同的方法，
做第2步有m2种不同的方法，…，
做第n步有m n种不同的方法，
那么完成这件事共有
N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法
分步乘法计数原理的特点：
任何一步的任何一种方法都只能完成整个事情的一部分，它可以和上下步的任何一种方法联结成为一种方案。

所有的步骤都执行完才能恰好完成整个事情。

小结：分类计数与分步计数原理的区别和联系
计算完成一件事的方法数的步骤：
1、确认事件是什么？
2、如何完成这件事：分类还是分步
3、检查：类：不重不漏
步：各步任务清晰，完整 小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是解决完成一件事的方法数的计数问题，其不同之处在于，前者是针对“分类”问题的计数方法，后者是针对“分步”问题的计数方法.
2.在“分类”问题中，各类方案中的每一种方法相互独立，选取任何一种方法都能完成这件事；在“分步”问题中，各步骤中的方法相互依存，只有各步骤各选一种方法才能完成这件事.
3.在应用分类加法计数原理时，分类方法不惟一，但分类不能重复，也不能遗漏. 在应用分步乘法计数原理时，分步方法不惟一，但分步不能重叠，也不能缺少.
1.2 排列与组合
1.2.1排列
一般地，从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

说明：1、元素不重复。

n 个中不能重复，m 个中也不能重复。

2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。

3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。

4、m ＜n 时的排列叫选排列，m ＝n 时的排列叫全排列。

5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。

从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

用符号 表示。

排列数公式
这里m 、n ∈N *
且m ＜n ，
特点：（1）共有m 个因数．
（2）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个因数少1． （3）最后一个因数是n －m ＋1． 当m=n 时 正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n! 表示。

= 排列数公式： （1） =
(2) = 为了使当m ＝n 时上面的公式也成立，规定： =
说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。

2、对于m n 的条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。

全排列的定义：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列. 一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法： （l ）直接计算法 ：
排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊
m
n A =n(n-1)(n-2)(n-m+1)∙∙ n n
A =n(n-1)(n-2)321=!n n
A n )
*,,)(1()2)(1(n m N n m m n n n n A m n ≤∈+---= )!
(!m n n A m n -=1!0=
元素或先处理特殊位置的方法．这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”．
（2）间接计算法：先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数．这种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复，不遗漏（去尽）． 小结： 1、 相邻问题：捆绑法 2、 不相邻问题：插空法 3、 顺序一定：只排其它元素
方法总结
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法：
（１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素,特殊位置优先安排策略
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略
1.2.2组合 1、组合：一般地，从n
个不同元素中取出
m
（m 小于n ）个元素合成一组，叫做从
n
个不同元素中取出m
个元素的一个组合。

2．组合数：从n
个不同元素中取出
m
（m 小于n ）个元素的所有不同组合的个数，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数．．．
．用符号m
n C
表示．
3、组合的特点： （1）．一个组合就是一种取法； （2）.n 个元素的不重复性；
（3）.取出元素的任意性及无序性； （4）．相同组合：元素相同。

4、排列与组合的区别：
共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关. 5、排列与组合的联系：
排列可以看成由两步来完成的事情:
第一步:从n 个不同元素中任取m 个元素(组合);
第二步:把所取的m 个元素排成一列(m 个元素的全排列 6．组合数公式： )
,,(n m N m n ≤∈*
且
∈
= = =
小结：组合只取元素，排列既取元素又排顺序；排列问题可看成先取元素，后排顺序. 组合数的性质1： --
=
说明：1、规定：
10=n
C ；
2、公式特征：等式两边下标相同，上标之和等于下标；
3、当
2n m >时，将 转为计算 组合数的性质2： = = 说明：
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；
2、此性质的作用：恒等变形，简化运算。

课堂小结
1、若抽出的组合中的元素有差异性，则应将所有的元素按照这种差异性分类，各类中分别抽取；
2、若部分元素具有双重性，则应按取出的组合中的某类元素的来源进行分类；
3、注意两个原理的使用：按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法
分配问题： 均匀分配问题
不均匀分配问题；先分组再分配 课堂小结：
1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；
2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置； 3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；
4．需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题。

一般地，将
m n
⋅个不同元素均匀分成
n
组，有
(1)m m
m mn
n m
m
m m
C C
C
A
- 种分
法；
5．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题。

(1)(2)(1)!m m n
n m m A n n n n m C A m ---+== )!
(!!
m n m n C m
n
-=
m
n n
m n C C -=m n C m n n
C -11-++=m n m n m
n C C C。