选修2-3第一章计数原理归纳整合
人教A版高中数学选修2-3课件第一章计数原理章末专题整合.pptx
例7 (1)(2013·高考江西卷)x2－x235 展开式中的常数项为
() A．80
B．－80
C．40
D．－40
(2)(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)设 m 为正整数,(x＋y)2m 展开
式的二项式系数的最大值为 a,(x＋y)2m＋1 展开式的二项式
系数的最大值为 b.若 13a＝7b,则 m＝( )
所以共有 2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．
【答案】 480
3．直接间接(直接法、间接法),灵活选择
例4 50件产品中有3件是次品,从中任意取4件,至少有一
件是次品的抽法有多少种？
【解】 法一(直接法):抽取的 4 件产品至少有一件次品分 为有 1 件次品、2 件次品、3 件次品 3 种情况:有 1 件次品 的抽法有 C13C347种;有 2 件次品抽法有 C23C247种;有 3 件次品 的抽法有 C33C147种． 根据分类加法计数原理,至少有一件次品的抽法共有 C13C347 ＋C23C247＋C33C147＝51 935(种)． 法二(间接法):从 50 件产品中任意抽取 4 件,有 C450种抽法, 其中没有次品的抽法有 C447种,因此至少有 1 件次品的抽法 有 C450－C447＝51 935(种)．
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第一章 计数原理
章末专题整合
知识体系构建
专题归纳整合
专题一 两个计数原理
应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件 是分类完成还是分步完成,而分类与分步的区别又在 于任取其中某一方法是否能完成该事件,能完成便是 分类,否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要 分类又要分步,此时应注意层次清晰,不重不漏,在分 步时,要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响 (即是否是独立的)．
高二数学(选修2-3人教B版)-计数原理全章总结
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和. 解：（2）由通项可知，展开式的第三项是
T3 C52 13 (2x)2 40x2
所以，第三项的系数为40.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
表示？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n个a b
Tr1 Cnr anr br
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
解：首先将A、B、C、D排成一排，共有 A44 种排法，每一种
排法都会产生五个“空”，在这五个“空”中任选一个，将E
放入，共有 C51 种方法；其次，E中的两个元素可以交换，有 A22
种方法.
所以，共有 A44 C51 A22 240 种不同的排法.
问题4 (a b)n 的展开式中的系数为什么可以用组合数的形式
（
Cm n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cmn
Cm1 n
）？
作业： 1.一个集合由8个元素组成，这个集合含有3个元素的子集有多 少个？ 2.将6名应届大学毕业生分配到两个用人单位，每个单位至少 两人，一共有多少种不同的分配方案？ 3.求 (9x 1 )18 展开式的常数项，并说明它是展开式的第几项.
3x
入，共有 A43 种排法. 所以，一共有A33 A43 144 种不同的排法.
例5、有6位同学站成一排，符合下列各题要求的不同排法有多 少种？ （2）甲、乙相邻. 解：（2） 设除甲、乙之外的另外四个同学为A、B、C、D. 因为甲、乙要相邻，所以可以把甲、乙“绑”在一起看作一个 元素(记为E).
选修2-3 第一章1.1计数原理
可完成这件事
件事
区别 各类办法之间是互斥的、并列的、 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不
三 独立的
遗漏，“独立”确保不重复
五、课堂小结
1.本节课学习了分类计数与分步计数原理 2.明确了分类计数与分步计数原理的区别与联系 3.学会了分类计数与分步计数原理的初步运用
六、作业布置
（练习册+智学网）
飞机2
天津
火车4 汽车1
轮船2
大连
分析: 从甲地到乙地有4类方法, 第一类方法, 乘飞机，有2种方法; 第二类方法, 乘火车，有4种方法; 第三类方法, 乘轮船，有2种方法; 第四类方法，乘汽车，有1种方法。 所以，从甲地到乙地共有 2+4+2+1=9 种方法。
以上问题的特点是：
（1）完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；
2.我国许多地区的电话号码都是由6位升至8位,这样电话号码可以增 加多少?如果考虑用户不喜欢带4的,那么电话号码又可增加多少? 回答这些问题将会用到这章的内容,这节课我们先学习两个原理.
二、新课讲解
问题1. 从天津到大连，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘汽车，还可 以乘轮船。一天中，飞机有2个航班，火车有4 班，轮船有2班，汽车有1 班。那么一天中乘坐这些交通工具从天津到大连共有多少种不同的走法?
所以,从A村经B村去C村共有3×2 = 6 种不同的方法。
三、归纳总结：
2.分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法， 做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事 共有
N＝_m__1×__m__2×__…__×__m_n__种方法．
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
高中数学新人教A版选修2-3课件：第一章计数原理本章整合
组,使得每组中都至少有一个元素,求一共有多少种不同的分法的问题.
首 页
专题一
专题二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
专题三
应用 1 设 4 名同学报名参加同一时间安排的三种课外活动的方案有 a
的方法都有 n 种,由分步乘法计数原理得,从 n 个不同元素里有放回地取出
m 个元素(允许重复出现)的排列数为:N=n·
n·
n·
…·
n=nm(m,n∈N*,m≤n).
(2)“隔板法”是解决组合问题中关于若干个相同元素的分组问题的一
种常用方法,用这种方法解决此类问题,过程简捷明了,富有创意性和趣味性.
提示:本题既有相邻问题也有不相邻问题,故是捆绑法与插空法的综合
应用.
解析:先将甲乙捆绑,看作一个元素,有A22 种排法,然后将除甲乙丙之外
的 4 名学生全排列,有A44 种不同的排法,再将甲乙丙插入 5 个空中的两个,有
A25 种不同的排法,所以一共有A22 A44 A25=960 种不同排法.
答案:960
答案:B
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S 随堂练习
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
1
2
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
3
4
5
6
7
8
2.(2013·福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实
高中数学选修2-3知识点
高中数学选修2-3知识点高中数学选修2-3知识点第一章：计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事情，有N类方法，第一类方法有M1种不同的方法，第二类方法有M2种不同的方法，以此类推，第N类方法有MN种不同的方法。
那么完成这件事情共有M1+M2+。
+MN种不同的方法。
2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要分成N个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有M2种不同的方法，以此类推，第N步有MN种不同的方法。
那么完成这件事情共有XXX种不同的方法。
3.排列：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
4.排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的m个排列。
从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示。
An=m!/(n-m)!(m≤n，n，m∈N)。
5.公式：A(n+m)=An+Am*m!(m≤n，n，m∈N)；An=m*(m-1)*。
*(n-m+1)=n!/(n-m)。
6.组合：从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
7.公式：C(m,n)=C(n,n-m)=m!/[(n-m)!*m!]；C(m,n)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)；C(n,m)=C(n-1,m-1)*(n-m+1)/m。
8.二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+。
+C(n,n)*a^0*b^n。
9.二项式通项公式展开式的通项公式：T=C(n,r)*a^(n-r)*b^r (r=0,1.n)，其中C(n,r)为二项式系数。
10.二项式系数Cn：C(n,r)=C(n,n-r)=n!/(r!(n-r)!)，其中r为从n个元素中取出的元素个数。
11.杨辉三角：杨辉三角是一种数学图形，由二项式系数构成，XXX的数为C(n,0)，C(n,1)。
人教版高二数学选修2-3第一章计数原理《《计数原理》小结与复习》
第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班级：高二（ ）班 学号： 姓名：一．知识点整理1、两个基本计数原理： （1）分类计数原理：完成一件事，有n 类办法,完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
（2）分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，完成这件事有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
2、排列（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ﹤n ）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
（2）排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅-⋅-⋅=， 3、组合（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。
（2）组合数公式： （3）组合数公式性质： 性质1: m n nm n C C -= 性质2: 111+++=+k n k n k n C C C 推论1: t n t n k k k C C C C C 122110+++=+⋅⋅⋅+++ 推论2: 1121++++=+⋅⋅⋅+++k n k n k k k k k k C C C C C4、二项式定理：（1）二项式定理：011222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++（2）通项是展开式的第 项，即：2、二项展开式的特点:（1）项数：共n ＋1项；（2）指数：a 按降幂排列，b 按升幂排列，每一项中a 、b 的指数和为n（3）系数:第r ＋1项的二项式系数为C n r (r ＝0,1,2,…，n )二．巩固练习 1.(西安)4个男生与3个女生站成一排，如果两端不站女生且3(A)144种 (B)288种 (C)432种 (D)576种2.(海淀)某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为( )。
高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理
一、两个计数原理
3、两个计数原理的区别
二、排列与组合
1、排列：
叫做从n 2n
3其中 4出m 5从n 取出m 6、组合数公式：
其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
7、性质： .,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1
1+-=+
三、二项式定理
如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：
2、性质：
注意事项：
相邻问题，常用“捆绑法”
1、有4
（1
（2
（3
（4
2
3、(1)
(2)?
4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?
8、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
9、求值与化简：。
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别属于不同类的两种方法是不同的方法．分步乘法计数原理的
关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标 准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续
完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才
能用分步乘法计数原理．
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【例1】 有3封信，4个信筒． (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？ (2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种
专题二
排列组合的应用
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结 合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组 合的相关公式与方法解题．
(1)在求解排列与组合应用问题时，应注意：
①把具体问题转化或归结为排列或组合问题； ②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
④列出式子计算并作答． (2)处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组 合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程 “分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过
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解题训练注意积累分类和分步的基本技能． (3)解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类和准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略；
本章归纳整合
知识网络
网络构建
专题归纳
解读高考
要点归纳
1．两个计数原理
分步乘法计数原理与分类加法计数原理是排列组合中解决
问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原 理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题 时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目 的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一 件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原 理的关键．注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分 类中有分步，两个原理往往交错使用．
解 法一 在每个车队抽调 1 辆车的基础上， 还需抽调 3 辆车， 可分为三类： 1 从一个车队中抽调，有 C7 种； 从两个车队中抽调， 一个车队中抽 1 辆， 另一个车队中抽 2 辆， 2 有 C7 · C1 2＝ 42 种； 从三个车队中抽调，每个车队中抽调 1 辆，有 C3 7＝ 35 种．故 由分类加法计数原理知，共有 7＋ 42＋ 35＝ 84 种抽调方法． 法二 (隔板法) 由于每个车队的车均多于 4 辆， 只需将 10 个份额分成 7 份． 可 将 10 个元素排成一排，在相互之间的 9 个空档(除去两端)中 插入 6 个档板，即可将元素分成了 7 份，因而有 C6 9＝ 84 种抽 调方法．
寄信方法？
解 (1)分3步完成寄出3封信的任务；第一步，寄出1封 信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第
三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务，根据分步
乘法计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄பைடு நூலகம்方法．
(2)典型的排列问题，共有 A3 4＝24 种寄信方法．
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解读高考
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(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x 的某次幂等，此时要特别注意二项式展开式中第 k＋1 项的通项 n－k k k 公式是 Tk＋1＝Ck b (k＝0，1，„n)，其二项式系数是 Cn ，而 na ＋1 不是 Ck n ，这是一个极易错点．
(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的 项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二 项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法 是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关 系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式 子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项 或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，
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2．排列与组合 主要是排列数与组合数计算公式、性质的应用以及排列组合 应用题．
排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其
中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式， 在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本 遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢． 对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组
再由方程组求出结果，在求各项系数的绝对值的和时，则要
先根据绝对值里面数的符号赋值求解．
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专题一
两个计数原理
选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事情采取
的方式而定，确定是分类还是分步要抓住两个原理的本质．分
类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首选要根据问题的特 点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其 次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一 类，并且分别属于不同类的两种方法必须属于某一类，并且分
⑥不相邻问题插空处理的策略；
⑦定序问题除法处理的策略； ⑧分排问题直排处理的策略； ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略．
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【例2】 某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现 从这个公司中抽调出10辆车，并且每个车队中至少抽取1 辆车，那么共有多少种不同的抽调方式？
合问题．
有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：(1)元素 分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)位置 分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．
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组合应用题的难点是与几何图形有关的问题，此时一般要与
两个原理结合应用，还要结合图形的实际意义． 排列与组合综合应用题中也有很多重点和难点，比如分配问
题，一般方法是先分组，后分配，分组问题又要注意均匀分
组和不均匀分组的区别，均匀分组在各组逐一满足后还要除 以均匀分组组数的全排列；而有公共元素的分配问题，则可 以利用图示法求组数，这样可以避免分组中的重复． 3．二项式定理
这部分常考知识、题型、主要方法以及注意点大体如下：
(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题 型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式 等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；