两个基本计数原理(加法原理和乘法原理)

说明
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
例1.书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有 3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架中取1本书,有多少种不同取法? 有3类方法,根据分类加法计数原理 N=4+3+2=9 (2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法? 分3步完成,根据分步乘法计数原理 N=4×3×2=24
公路3
甲地
铁路1 铁路2
乙地
因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件 事，有3条公路，2条铁路，所以共有： 3＋2＝5 （种）
一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类方法中有m2种不同的方法，……， 在第n类方法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 :
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分 四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？ 思考：
说明
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有 2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同 的走法 ？ 甲地
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,
6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码( 各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多 少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
4、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、 黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜 色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反 复使用，那么共有多少种涂色方法？
5、将３种作物种植在如图所示的５块试验 田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不 能种植同一种作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答） 42
例5、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:由于 75600=24×33×52×7
(1)75600的每个约数都可以写成 2 l 3 j 5 k 7 l 的形式,其中 0 i 4 ,0 j 3 ,0 k 2,0 l 1 于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5 种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1 A m2 …… mn B
乘法原理看成“串联电路”
A m1 m2 …... mn B
如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到 丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地 到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的 走法？
练习
学案P47-s4
解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 区别2 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。 区别3
与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两 不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色， 但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D 同色与不同色分成两大类。
C
D
解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5×4×3×2＝120种方法。 第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种 方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分 步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。 根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
两个基本计数原理
实际问题
世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分 成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按 确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军， 此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多 少场比赛？前4名有多少不同的结果？
要回答这个问题，就要用到排列、组合的知 识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类 计数原理与分步计数原理．
解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还 是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.
学案P46-1
练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法? 左边 右边 分 第一步 第二步 乙 两 甲 步 丙 3 × 2 完 甲 成 乙 丙
四、子集问题
规律：n元集合 A { a1 , a 2 , ..., a n } 的不 n 同子集有个 2 。 例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 为 ，真子集个数为 ，非空 子集个数为 ，非空真子集个数为
。
五、综合问题:

例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
三、染色问题:



例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在① ②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一 种颜色. (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n ① ② (1) ③ ④ ② (2) ① ③ ④

２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?
课堂小结 1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方 法. 2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有 N m1 m2 mn种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关， 分步乘法计数原理与分步有关。
分类计数原理
区别1 完成一件事，共有n类 办法，关键词“分类”
分步计数原理
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步” 每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。 各步之间是互相关联的。
首位数字不为0的密码数?首位数字是0的密码数?
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,
6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码( 各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多 少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
丙 甲 乙
例 2．解下列各题： (1) 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上 日班和晚班，有多少种不同的选法？ (2) 有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛， 每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ (3) 有 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军， 你有多少种不同的结果？（每个科目冠军只有 一人）
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一、排数字问题
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然 数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不 允许重复的四位数?
二、映射个数问题:
•例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多 少种不同的映射?
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数 分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。 B 分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻， A A
加法原理
完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成. 分类要做到“不重不漏”