加法原理和乘法原理

【例1】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？

【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：

①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。

②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。

所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。

举一反三

1、书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？

2、一列火车从上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？

3、已知往返于甲、乙两地的火车中途要停靠四个站，问：要有多少种不同车票票价（来回票价一样）？需准备多少种车票？

4、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

【例2】一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

1、4 ×4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？

2、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？

3、图中共有_____个三角形。

4、下图中有______个长方形。

举一反三

知识要点二：乘法原理——分步计数原理 【知识导入2】

我们再来看看这类问题：

问题1：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有多少条？ 问题2：三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有多少种？ 问题3：有一项活动，需要在三名教师、五名男生和六名女生中各选一人参加，有多少种选法？ 【提炼特点】

（1）完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可； （2）完成每一步有若干个方法；

（3）把每个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数. 【抽象概括】

分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有

n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21

种不同的方法.

【注意】：○

1 这个原理也称“乘法原理”； ○

2 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事件。

【例1】 某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？

1、用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？ 例题学习

举一反三

2、商店里有5个不同图案的文具盒，4支不同牌子的铅笔，3支不同型号的钢笔和2把不同材料的直尺，从中各取一件，配成一套学习用具，最多能配多少套不同的学习用具？

3、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？

【例2】下图中共有16个方格，要把A，B,C,D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？

1、如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

2、用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？

例题学习

举一反三

3、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同的放法？

【课堂练习】

1、某小学在星期一到星期五的每天上午有课间加餐，品种有：包子、肉卷、三明治、面包，每天一种，相邻两天不能重复，星期五必须是包子。问：课间加餐食谱有多少种排法？

2、一个学生假期往 A、B、C 三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在 A 市，第五天又回到 A 市。问他的游览路线共有几种不同的方案?

3、三个自然数的乘积是 24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个?如(1，2，12)就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一数组。

【课后练习】

1、用彩旗表示信号，不同面数，不同颜色，排列顺序不同，都表示不同的信号。如果一根旗杆上同时最多可以挂3面旗，现有足够的红色和黄色彩旗。可以表示多少种不同的信号？

2、新年晚会上用红黄两种颜色的彩色粉笔在黑板上写“新年好”三个字，有多少种不同写法？

3、小虎给 3 个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能?

4、用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同

5、有不同的语文书6本，数学书8本，英语书5本，音乐书4本，从中任取一本，共有多少种取法？