两个基本计数原理二共50页
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。
这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。
那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。
再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。
去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。
那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。
加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。
那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。
而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。
那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。
比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。
假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。
那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。
那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。
接下来，我们说一说乘法原理。
假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。
那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。
比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算各种可能性和数量的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就为我们解决这类问题提供了有力的工具。
先来说说加法原理。
想象一下你要去一个地方，有两条不同的路可以选择，一条是大路，一条是小路。
大路有 3 种不同的交通工具可以到达目的地，比如公交车、出租车、自行车；小路有 2 种不同的交通工具，比如步行和电动车。
那么，你到达目的地总的交通方式有几种呢？很简单，就是把走大路的 3 种方式和走小路的 2 种方式加起来，一共 5 种。
这就是加法原理，即如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
加法原理的关键在于“分类”，每一类方法都能独立完成这件事，而且类与类之间是相互独立的，没有重复和交叉。
比如上面的例子，选择大路的交通方式和选择小路的交通方式是完全不同的两类，不会有既属于大路又属于小路的交通方式。
再看一个例子，假设你要从书架上选一本书，书架分为三层，第一层有 5 本小说，第二层有 3 本传记，第三层有 2 本历史书。
那么你选一本书的总方式就是 5 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 10 种。
这里把书按照所在的书架层次进行分类，每一层的书的选择方式是相互独立的。
接下来谈谈乘法原理。
假设你早上要穿衣服，有 3 件上衣和 2 条裤子可供选择。
那么你搭配服装的方式有几种呢？很显然，每件上衣都可以搭配 2 条裤子，所以总共有 3×2 ＝ 6 种搭配方式。
这就是乘法原理，即如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和学习中，计数是一项经常会遇到的任务。
比如，计算从家到学校有多少种不同的路线，或者在商店里挑选衣服时有多少种搭配方式。
而在解决这些计数问题时，两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就发挥着至关重要的作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有m2 种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
为了更好地理解加法原理，我们来看一个例子。
假设你要从 A 地去B 地，有三种交通方式可以选择：飞机、火车和汽车。
如果选择飞机有 5 个航班可选，选择火车有 10 趟车次可选，选择汽车有 8 趟班车可选。
那么从 A 地到 B 地，总的出行方式就有 5 ＋ 10 ＋ 8 ＝ 23 种。
在这个例子中，选择飞机、火车、汽车这三种交通方式是相互独立的，彼此之间没有交叉和关联。
无论选择哪种方式，都能够完成从 A地到 B 地的行程。
所以，我们只需要将每种方式的可选数量相加，就可以得到总的出行方式数量。
再来看乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如说，你要从你的衣柜里挑选一套衣服出门，上衣有 5 件可选，裤子有 3 条可选。
那么你搭配出一套衣服的方式就有 5 × 3 ＝ 15 种。
这里，挑选上衣和挑选裤子是两个相互独立的步骤。
只有先完成挑选上衣的步骤，才能进行挑选裤子的步骤。
而且，对于每一件上衣，都可以与 3 条裤子进行搭配；对于每一条裤子，也都可以与 5 件上衣进行搭配。
两个基本计数原理PPT优秀课件2
了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强
项专业，具体情况如下： A大学
解：选择一个专业可以有2类 生物学
B大学 数学
方法：第1类是从A大学选，有 化学
会计学
5种方法，第2类是从B大学选， 医学
有4种方法。根据分类加法计
数原理，共有
物理学
信息技术学 法学
N=m1+m2=5+4=9(种）
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
上海
b1 b2 b4 b3
b5
b6
按交通工具分类 第1类 6种
第2类 2种
a1
a2 共 6+2= 8种
枣庄
（一）分类加法计数原理：
完成一件事，有两类不同方案
在第一类方案中有m种不同的方法，
在第二类方案中有n种不同的方法。
那么完成这件事共有
( N=m+n
)
种不同的方法。
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
少种不同的挂法？
解：从3副画中选出2副分别挂在左、右墙上，可以分2 步来完成： 第1步，选挂在左墙上的，有3种方法， 第2步, 选挂在右墙上的，有2种方法。 根据分步乘法计数原理，共有
N=m1×m2 = 3×2 = 6（种）
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算可能性或数量的情况。
而解决这些问题的有力工具，就是两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从北京去上海，有三种交通方式可以选择：飞机、高铁和汽车。
那么你去上海的方法总数，就是这三种方式的总和，这就是加法原理。
简单来说，加法原理就是指完成一件事，如果有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
举个例子，学校组织活动，周一到周五每天都有不同的活动安排，周一可以选择参加篮球比赛或者足球比赛，周二可以选择参观博物馆或者参加文艺表演，周三可以选择参加志愿者活动或者科技竞赛，周四可以选择参加书法比赛或者绘画比赛，周五可以选择参加演讲比赛或者辩论赛。
那么这一周内你参加活动的选择总共有多少种呢？答案就是把每天的选择数相加，即 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 10 种。
再来说说乘法原理。
假如你要从A 地去B 地，中途需要经过C 地，从 A 地到 C 地有 3 条路可走，从 C 地到 B 地有 2 条路可走。
那么从 A地经过 C 地到 B 地，一共有多少种走法呢？答案是 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
具体而言，乘法原理是指完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
比如，你要搭配一套衣服，上衣有 3 种选择，裤子有 2 种选择，鞋子有 2 种选择。
那么你能搭配出的服装总数就是 3×2×2 ＝ 12 种。
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谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 1的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
两个基本计数原理-PPT精品
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
《两个计数原理》课件
概率计算问题
概率的基本性质
概率具有非负性、规范性、可加性等基本性质，用于描述随机事件发生的可能性。
概率计算方法
通过列举法、古典概型、几何概型等方法计算概率。
分步计数原理在概率计算问题中的应用
将复杂事件分解为若干个简单事件的组合，利用分步计数原理计算每个简单事件发生的概率，然后根据 概率的加法原则和乘法原则计算出复杂事件发生的概率。
04
两个计数原理的实例分析
排列组合实例
总结词
通过具体实例，理解排列与组合的概念及计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如不同颜色球的不同排列方式、不同组合的彩票中奖 概率等，来解释排列与组合的基本概念，以及如何使用计数原理进行计算。
概率计算实例
总结词
通过实例掌握概率计算的基本方 法。
详细描述
选择分步计数原理
当问题涉及多个独立步骤，且需要按照顺序逐步计算每一步 的数量时，应选择分步计数原理。例如，计算排列数时，需 要按照顺序计算从n个不同元素中取出k个元素的所有排列数 。
THANK YOU
感谢聆听
05
总结与思考
两个计数原理的异同点
相同点
两个计数原理都是用来解决计数问题，特别是涉及多个独立事件 的问题。
不同点
分类计数原理是针对完成某一任务的不同方式进行计数，而分步 计数原理则是针对完成某一任务的不同步骤进行计数。
两个计数原理的应用范围
分类计数原理
适用于问题涉及多种独立的方式或方法，需要分别计算每一种方式或方法的数量 ，然后求和得到总数。
分步计数原理的适用范围是：当完成 一个任务时，需要分成几个有序的步 骤，并且各个步骤之间有相互影响。
两个计数原理的对比
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种不同方案?
拓展（: 1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三
例2、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三 面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆 上纵向排列，共可以组成多少种不同的信 号？
例3、为了确保电子信箱的安全，在注 册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站 设置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的 1个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个 数字中的一个。这样的密码共有多少个？
排数字问题
例4 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位 数字不允许重复的四位数?
变式:
（1993年全国高考题）同室4人各写1张 贺年卡，先集中起来，然后每人从中各 拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡 不同的分配方式有( )
C1
解:如图,从总体上看A ,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 根据分类计数原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理（乘法原理） 做一件事情，完成它需 要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同 的方法，那么完成这件事有
N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件
事，有n类方式”，即每种方式都可以独立地
完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此 之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一 种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个 条件，才能直接用加法原理，否则不可以。
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件
事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足
以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个 步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有 步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立， 即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不 同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直 接用乘法原理。
4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路 可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可 通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
解:从总体上看,由甲到丙有
两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙,
又需分两步, 所以 m1 = 甲地
乙地
2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙,
也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有
N = 6 + 8 = 14 种不同的 丁地
丙地
走法。
提示：对于有些较“复杂”的问题，往往不是单纯 的“分类”、“分步”就可解决的，而往往将两者结合使 用，一般是先“分类”，再在每一类中进行“分步”。
例1、某艺术组有9人，每人至少会钢 琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴， 3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各 一人，有多少种不同的选法？
Hale Waihona Puke 1.1 两个基本计数原理（二）
什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？
分类计数原理（加法原理） 做一件事情，完成它可以 有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类 办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn 种不同的方法。那么完成这件事共有
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
问题拓展:
❖ (1) 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
(2)．集合 A={1,2,-3 },B={-1,-2,3,4}．从 A、B 中各取 1个元素作为点P(x,y) 的坐标．
2.如图,该电路, 从A到B共有多 少条不同的线 路可通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类计数原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8
条不同的线路可通电。
当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2 类求解。
m1
点评: 我们可以把
A
m2
分类计数原理看成 B “并联电路”;分
……
步计数原理看成“
串联电路”。如图
mn
:
A m1
B m2 …... mn
课堂练习3
如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从它的一个顶点爬 到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
（1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？
(3)、某赛季足球比赛的记分规则
是：胜一场得3分，平一场得1分，
负一场得0分。一球队打完15场比
赛积33分，若不考虑顺序，该队
胜、平、负的情况共有（ ）
（A）5种
（B）4种
（C）3种
（D）6种
映射个数问题:
❖ 例5 设A={a,b,c,d},B={x,y,z},从A到B共有多 少种不同的映射?
两个基本计数原理二
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿