第一章计数原理(复习教案)(学生)
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案一、教学目标1. 理解分类计数原理和分步计数原理的概念。
2. 学会运用分类计数原理和分步计数原理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 分类计数原理：定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的个数称为分类计数原理。
公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$2. 分步计数原理：定义：从n个不同元素中，按一定的顺序逐个取出m（m≤n）个元素的所有可能排列的个数称为分步计数原理。
公式：$P_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$三、教学重点与难点1. 教学重点：分类计数原理和分步计数原理的概念及公式的运用。
2. 教学难点：如何将实际问题转化为分类计数原理和分步计数原理问题。
四、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体案例让学生理解分类计数原理和分步计数原理。
2. 运用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
3. 利用多媒体教学，生动展示分类计数原理和分步计数原理的应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例引入分类计数原理和分步计数原理。
2. 讲解分类计数原理：解释概念，演示公式，举例说明。
3. 讲解分步计数原理：解释概念，演示公式，举例说明。
4. 案例分析：让学生尝试解决实际问题，运用分类计数原理和分步计数原理。
5. 课堂练习：布置练习题，巩固所学内容。
6. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
7. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动1. 小组讨论：学生分组讨论分类计数原理和分步计数原理在实际问题中的应用，分享解题思路和方法。
2. 课堂展示：每组选取一个讨论题目，进行课堂展示，阐述解题过程和答案。
3. 教师点评：针对学生的展示，进行点评，指出优点和需要改进的地方。
七、拓展与应用1. 生活中的计数原理：让学生举例说明分类计数原理和分步计数原理在生活中的应用。
计数原理,排列、组合,二项式定理复习教案
国规教材
教育学生数据真实性与诚信、社会责任与公共利益、团队协作
教学流程图
4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。
国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。
第一章计数原理复习教案学生1
第一章计数原理复习导学案一．学习目标1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．二．知识网络第一课两个原理一．知识梳理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．二．基础自测1.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？2.（09重庆卷）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．3.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.4.（09全国卷）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有5.（09浙江卷）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．三．典例剖析例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？练习：1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?练习：2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？例3（16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习：3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？四．自主检测一．选择题1．（09北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．6482.（08·全国Ⅰ文）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．6种B．12种C．24种D．48种3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 36二、填空题4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案325.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案 5 9046.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案300三、解答题7.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？8.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？9.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.10.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？第二课排列与组合一．知识梳理排列组合1．概念2．公式3．性质二．基础自测1.（09北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为；2.（09湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有种.（用式子表示）4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（用式子表示）.5.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.三．典例剖析例1六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.练习：1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.例2男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.练习：2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？练习：3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； （3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.四．自主检测 一．选择题1.（08上海）组合数C r n（n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1 D ．n r C r -1n -12. （09全国卷Ⅱ）甲、乙两人从4门课程中各选修2门。
高中数学第一章第十五课时《计数原理》小结与复习(一)教案北师大版选修2-3
江西省九江市实验中学高中数学第一章第十五课时《计数原理》小结与复习(一)教案北师大版选修2-3一、教学目标：1、使学生掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用；2、通过问题形成过程和解决方法的分析，提高学生的分析问题和解决问题的能力；3、引导养成学生分析过程、深刻思考、灵活运用的习惯和态度。
二、教学重难点：掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、知识点：1、分类加法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法•那么完成这件事共有N =叶m2 | m n种不同的方法。
2、分步乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m,种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N二m, m2 HI m n种不同的方法。
3、排列的概念：从n个不同元素中，任取m ( m乞n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
4、排列数的定义：从n个不同元素中，任取m ( m _n )个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号A m表示。
5、排列数公式: 兀=n(n - 1)(n-2)||](n- m 1) ( m,n N ,m - n)6、阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘.规定0!=1。
7、排列数的另一个计算公式：A f m= J(n -m)!8、组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m m岂n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
9、组合数的概念：从n个不同元素中取出m m玄n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.•用符号C n m表示。
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
高中数学第一章：计数原理(教案)新课标人教A版选修2-3
1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学目标：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知m种不同的方分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有法，在第2类方案中有=N+nm种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 n m N ⨯=种不同的方法.（3）知识应用例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生． 解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法．探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案第一章：排列与组合1.1 排列的概念与计算方法学习排列的定义及排列数的计算方法理解排列的性质及其应用掌握排列数的公式及其推导1.2 组合的概念与计算方法学习组合的定义及组合数的计算方法理解组合的性质及其应用掌握组合数的公式及其推导1.3 排列与组合的综合应用学习排列与组合在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固排列与组合的知识点第二章：计数原理2.1 分类计数原理学习分类计数原理的定义及应用理解分类计数原理的原理及其特点掌握分类计数原理的计算方法2.2 分步计数原理学习分步计数原理的定义及应用理解分步计数原理的原理及其特点2.3 计数原理的综合应用学习计数原理在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固计数原理的知识点第三章：概率与组合3.1 概率的基本概念学习概率的定义及其表示方法理解必然事件、不可能事件和随机事件的概念掌握概率的计算方法3.2 组合与概率的关系学习组合数与概率的关系理解排列数与概率的关系掌握利用组合数和排列数计算概率的方法3.3 概率的应用学习概率在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固概率、组合和排列的知识点第四章：二项式定理与概率4.1 二项式定理的概念与计算方法学习二项式定理的定义及其展开式理解二项式定理的性质及其应用4.2 二项式定理与概率的关系学习利用二项式定理计算概率的方法理解二项分布的概念及其应用掌握二项分布的概率计算公式4.3 二项式定理的概率应用学习利用二项式定理解决概率问题培养学生解决实际问题的能力巩固二项式定理和概率的知识点第五章：排列组合与概率的综合应用5.1 排列组合与概率的综合问题学习排列组合与概率的综合应用问题培养学生解决实际问题的能力巩固排列组合和概率的知识点5.2 随机事件的独立性学习随机事件独立性的概念及其判断方法理解独立事件的概率计算方法掌握利用独立性解决实际问题的方法5.3 概率分布列与数学期望学习概率分布列的概念及其计算方法理解数学期望的定义及其计算方法掌握利用概率分布列和数学期望解决实际问题的方法第六章：离散型随机变量6.1 离散型随机变量的概念学习离散型随机变量的定义及其性质理解离散型随机变量的分布律及其应用掌握离散型随机变量的数学期望和方差的计算方法6.2 常见离散型随机变量的分布学习伯努利随机变量、二项分布、几何分布、均匀分布等常见离散型随机变量的分布律理解这些分布律的性质及其应用掌握这些分布律的计算方法6.3 离散型随机变量的应用学习离散型随机变量在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固离散型随机变量的知识点第七章：数学期望与方差7.1 数学期望的概念与计算学习数学期望的定义及其计算方法理解数学期望的性质及其应用掌握利用数学期望解决实际问题的方法7.2 方差的概念与计算学习方差的定义及其计算方法理解方差的性质及其应用掌握利用方差解决实际问题的方法7.3 离散型随机变量期望与方差的计算学习离散型随机变量期望与方差的计算方法理解离散型随机变量期望与方差的性质及其应用掌握利用期望与方差解决实际问题的方法第八章：大数定律与中心极限定理8.1 大数定律的概念与理解学习大数定律的定义及其意义理解大数定律的原理及其应用掌握利用大数定律解决实际问题的方法8.2 中心极限定理的概念与理解学习中心极限定理的定义及其意义理解中心极限定理的原理及其应用掌握利用中心极限定理解决实际问题的方法8.3 大数定律与中心极限定的应用学习大数定律与中心极限定理在实际问题中的应用培养学生解决实际问题的能力巩固大数定律与中心极限定的知识点第九章：概率论在实际问题中的应用9.1 概率论在科学研究中的应用学习概率论在物理学、生物学、化学等科学研究中的应用培养学生利用概率论解决科学问题的能力巩固概率论的知识点9.2 概率论在经济管理中的应用学习概率论在经济管理中的应用，如风险管理、决策分析等培养学生利用概率论解决经济管理问题的能力巩固概率论的知识点9.3 概率论在其他领域中的应用学习概率论在心理学、社会学、工程等领域中的应用培养学生利用概率论解决其他领域问题的能力巩固概率论的知识点复习本课程的主要知识点，如排列、组合、概率、二项式定理等培养学生对计数原理、概率与组合知识点的综合运用能力巩固整个课程的知识点10.2 提高解题技巧与方法学习解题技巧与方法，如分类讨论、数形结合等培养学生解决复杂问题的能力巩固整个课程的知识点10.3 拓展阅读与研究推荐学生阅读相关书籍、论文，进行深入学习鼓励学生进行研究性学习，探索计数原理、概率与组合的更多应用激发学生的学术兴趣，培养学生的研究能力重点和难点解析重点环节一：排列与组合的综合应用此环节需要重点关注，因为排列与组合是计数原理的基础，它们在实际问题中的应用广泛，是学生解决实际问题的关键。
高中教案：计数原理学案
高中教案：计数原理学案第一章：排列与组合1.1 排列的概念与性质学习排列的定义及排列数的计算方法。
理解排列的性质，如排列的交换律、结合律等。
1.2 组合的概念与性质学习组合的定义及组合数的计算方法。
理解组合的性质，如组合的交换律、结合律等。
1.3 排列与组合的应用学习排列与组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、抽屉原理等。
第二章：计数原理2.1 分类计数原理学习分类计数原理的定义及应用。
理解分类计数原理的原理，并能运用到实际问题中。
2.2 分步计数原理学习分步计数原理的定义及应用。
理解分步计数原理的原理，并能运用到实际问题中。
第三章：概率初步3.1 概率的概念学习概率的定义及计算方法。
理解概率的性质，如概率的取值范围、概率的加法规则等。
3.2 事件的相互独立性学习事件的相互独立性的概念及判断方法。
理解事件的相互独立性在实际问题中的应用。
3.3 概率的计算学习概率的计算方法，包括条件概率、联合概率等。
能够运用概率的计算方法解决实际问题。
第四章：二项式定理4.1 二项式定理的概念学习二项式定理的定义及展开式。
理解二项式定理的性质，如系数的对称性、系数的和等。
4.2 二项式定理的应用学习二项式定理在实际问题中的应用，如组合数的计算、概率的计算等。
第五章：排列组合的综合应用5.1 排列组合的综合问题学习排列组合的综合问题的解决方法。
能够运用排列组合的知识解决综合问题。
5.2 排列组合与概率的综合问题学习排列组合与概率的综合问题的解决方法。
能够运用排列组合与概率的知识解决综合问题。
高中教案：计数原理学案第六章：鸽巢原理6.1 鸽巢原理的基本概念学习鸽巢原理的定义及应用。
理解鸽巢原理的原理，并能运用到实际问题中。
6.2 鸽巢原理的推广学习鸽巢原理的推广形式，如鸽巢原理在排列组合中的应用。
第七章：数论初步7.1 整数的基本性质学习整数的基本性质，如整数的加法、减法、乘法、除法等。
理解整数的性质，如整数的相反数、整数的倒数等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 计数原理复习导学案一． 学习目标 1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题． 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． 3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应 用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 二． 知识网络项式系数性质第一课 两个原理一．知识梳理1． 分类计数原理（也称加法原理） ：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有 m 1种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法，⋯⋯，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ 种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理） ：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 1种不同的方法，做第二步有 m 2种不同的方法，⋯⋯，做 n 步有 m n 种不同的方法，那么完 成这件事共有 N ＝ 种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．二．基础自测1. 有一项活动需在 3名老师， 8 名男同学和 5名女同学中选人参加， （1）若只需一人参加， 有多少种不同的选法？（ 2 ）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？2. ( 09重庆卷)将 4名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分 配方案有 种(用数字作答) ．3. 如图所示，用五种不同的颜色分别给 A 、B 、 C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同排列组合 二项式定理二项式定通项公式应用应用两个计数原理颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.4.(09 全国卷)甲组有5名男同学，3 名女同学；乙组有6 名男同学、2 名女同学。
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1 名女同学的不同选法共有5.(09 浙江卷)甲、乙、丙3人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 (用数字作答) ．三．典例剖析例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？练习：1. 从1 到20 这20 个整数中, 任取两个相加, 使其和大于20, 共有几种取法?例2 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2}, P(a, b) 表示平面上的点( a, b∈ M), 问:(1)P 可表示平面上多少个不同的点?(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P 可表示多少个不在直线y=x 上的点?练习：2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19 至29中选2 个连续的号，从30 至36 中选1 个号组成一注. 若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？例 3 （16分）现有高一四个班学生 34人,其中一、二、三、四班各 7人、8人、9 人、 10 人，他们自愿组成数学课外小组 .（ 1 ）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（ 2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习： 3.某校高中部，高一有 6个班，高二有 7个班，高三有 8 个班，学校利用星期六组 织学生到某厂进行社会实践活动 .（ 1 ）任选 1 个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ （2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（ 3 ）选 2 个班的学生参加社会实践，要求这 2 个班不同年级，有多少种不同的选法？四．自主检测 ．选择题1（．09北京卷理）用 0到 9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（A ． 324B ．328C ．3602. （08·全国Ⅰ文） 将 1，2，3 填入 3×3 的方格中，要求每行、每列都 没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6 种B ．12种C ．24种D ．48种3. （ 2009四川卷文） 2 位男生和 3位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位 女生中有且只D ． 648有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 36二、填空题4.5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案325. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“××××××× 9999”共10 000 个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“ 7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案5 9046.若一个m, n 均为非负整数的有序数对（m,n），在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m, n）为“简单的”有序数对，m+n 称为有序数对（m, n）的值，那么值为1 942 的“简单的”有序数对的个数是.答案300三、解答题7.（1）4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？8.用5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？9.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b, 且a,b 都是集合{1,2,3,4,5,6} 的元素,又点P到原点的距离| OP| ≥5.求这样的点P的个数.10.将3 种作物种植在如图所示的5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？第二课排列与组合二．基础自测1.（09北京卷文）用数字1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为2.（09湖北卷文）从5名志愿者中选派4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有3.停车场每排恰有10 个停车位. 当有7 辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3 个空车位连在一起的排法有种. （用式子表示）4.在100 件产品中有6 件次品，现从中任取3 件产品，至少有1 件次品的不同取法种数是（用式子表示）.5.如图，用6种不同的颜色给图中的4 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.三．典例剖析例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.练习：1. 用0、1、2、3、4、5 这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125 的数.例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2 名；（2）至少有1 名女运动员；（3）队长中至少有1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.练习：2.某医院有内科医生12名，外科医生8 名，现选派5 名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？例3 4 个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有1 个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1 个盒内有2 个球，共有几种放法？（3）恰有2 个盒不放球，共有几种放法？练习： 3. 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成 1本、2本、 3本三组； （ 2）分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3本； （3）分成每组都是 2 本的三组； （4）分给甲、乙、丙三人，每人2 本.四．自主检测 一．选择题1. （08上海）组合数 C rn （n >r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（）2. （09全国卷Ⅱ）甲、乙两人从 4门课程中各选修 2 门。
则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（ ）A. 6 种B. 12 种C. 30 种D. 36 种3. （ 09辽宁卷）从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中 男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）（A ）70 种 （B ） 80种（C ） 100种（D ）140 种 二、填空题4. 将编号为 1，2，3，4，5的五个球放入编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子里，每个盒子 内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有种.5. 平面 内有四个点，平面 内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定 个平面，任取四点，最多可确定 个四面体 . （用数字作答）6．（06 陕西卷 ）某校从 8名教师中选派 4 名教师同时去 4个边远地区支教 （每地 1人），其 中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种 ． 三、解答题7. 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，求该外商不同的投资方案有多少种？8. 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各指定一名队长，现从 中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？B ． ( n +1)( r +1)C r n--11r +1 r -1nr Cn -1（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.9.已知平面∥ ，在内有4 个点，在内有6 个点.（1）过这10 个点中的3 点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？10.有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，共有多少种不同排法？第三课 二项式定理一．知识梳理1．（a ＋b ）n＝（n ∈N ），这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做（a ＋b ）n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的 通项，用 T r ＋1表示，即通项公式 T r＋1＝是表示展开式的第 r ＋1 项．2．二项式定理中，二项式系数的性质有：① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：0 n 1 n 1 2 n 2 C n C n ,C n C n ,C n C n② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇 数，中间两项的二项式系数相等并且最大， 即当n 是偶数时， n+1是奇数， 展开式共有 n+1 项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为；当 n 是奇数时， n+1 是偶数，展开式共有 n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 ③ 二项式系数的和等于 ————————— ，即 ———————————— ④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即 ⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：C nk 1:C nkn k : k 13．二项式定理主要有以下应用① 近似计算② 解决有关整除或求余数问题③ 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法” ） 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 ④ 杨辉三角形 二，基础自测1. 在（ 1+x ） （n ∈N ） 的二项展开式中，若只有 x 的系数最大，则 n= .12.在（a 2-2a 3 ）n的展开式中，则下列说法错误的有 个.①没有常数项②当且仅当 n=2 时，展开式中有常数项 ③ 当且仅当 n=5 时，展开式中有常数项④ 当 n=5k （ k ∈N *） 时，展开式中有常数项3.若多项式 C n( x+1)n-C 1n (x+1)n-1+⋯+(-1) rC r n (x+1)n-r+⋯+(-1) nC nn =a 0x n +a 1x n-1+⋯+a n-1x+a n ,则 a 0+a 1+⋯ +a n-1+a n = .21 5 44. (09 浙江卷理)在二项式 (x2) 5的展开式中，含 x 4 的项的系数是 。