初二数学—整式的乘法知识点归纳与练习

解析《整式乘法》知识点
五、同底数幂的乘法
1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m﹒a n=a m+n。

4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m﹒a n。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

八、同底数幂的除法
1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m÷a n=a m-n（a≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m÷a n（a≠0）。

十、负指数幂
1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。

注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十一、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

（三）多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。

相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。

在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

十二、平方差公式
1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（a+b ）•(a-b)的形式，然后看a 2与b 2
是否容易计算。

十三、完全平方公式
1、(a ±b)2=a 2±2ab+b 2即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a ，b 可以是单项式，也可以是多项式。

十四、整式的除法
（一）单项式除以单项式的法则
1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。

练习：
一、幂的运算
经典例题
【例1】（正确处理运算中的“符号”）
【点评】由（1）、（2）可知互为相反数的同偶次幂相等；互为相反数的同奇次幂仍互为相反数．
【例3】()()1333--⋅+-m m 的值是（ ）
.. A 、1 B 、－1 C 、0 D 、()13+-m
【答案】C
【例4】（1）m m 8812÷+； （2）252m ÷(51)1-2m
【答案】（1）18m + ；（2）215n +
二、整式的乘法
【例1】（1）()()25434x y xy -= 。

（2）()2004200324-⨯= 。

【答案】（1）131716x y - ；（2）60102
【例2】()()22323225x y x y z xy z -⨯+= 。

【答案】74552420x y z x y z +
【例4】()72=+b a ，()42=b a —，求22b a +和ab 的值．
【答案】112，3
2
【例5】计算()()11a b a b +-++的值
【答案】2221a ab b ++-
【例6】已知：15a a +
=，则221a a
+= 。

三、因式分解
【例1】2
2424y x y xy x ++--有一个因式是y x 2-，另一个因式是（ ）
A ．12++y x
B ．12-+y x
C ．12+-y x
D ．12--y x
【答案】D
【例2】把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是
A ．(3)(3)x x y x y +-
B ．223(2)x x xy y -+
C ．2(3)x x y -
D ．23()x x y -
【答案】D
综合运用
一、 巧用乘法公式或幂的运算简化计算
【例1】 (1) 计算：1996199631()(3)103-
⋅。

(2) 已知3×9m ×27 m ＝321
，求m 的值。

(3) 已知x 2n ＝4，求(3x 3n )2－4(x 2) 2n 的值。

思路分析：(1)3131031103103
⨯=⨯=，只有逆用积的乘方的运算性质，才能使运算简便。

(2)相等的两个幂，如果其底数相同，则其指数相等，据此可列方程求解。

(3)此题关键在于将待求式(3x 3n )2－4(x 2) 2n 用含x 2n 的代数式表示，利用(x m )n ＝(x n )m 这一性质加以转化。

解：(1) 19961996199619963131()(3)(3)(1)1103103
-⋅=-⨯=-=.
(2) 因为3×9m ×27 m ＝3×(32)m ×(33)m ＝3·32m ·33m ＝31＋5m ，
所以31＋5m ＝321。

所以1＋5m ＝21，所以m ＝4.
(3) (3x 3n )2
－4(x 2)2n ＝9(x 3n )2－4(x 2)2n ＝9(x 2n )3－4(x 2n )2＝9×43－4×42＝512。

【例2】 计算：2481511111(1)(1)(1)(1)22222
+++++. 解：原式＝248151111112(1)(1)(1)(1)(1)222222
-+++++ ＝224815111112(1)(1)(1)(1)22222
-++++ ＝4481511112(1)(1)(1)2222
-+++ ＝88151112(1)(1)222
-++ ＝1615112(1)22
-+ ＝16151515111122222222
-⨯+=-+=.
三、整体代入求值
【例1】（）已知x +y =1，那么221122
x xy y ++的值为_______. 【解析】通过已知条件，不能分别求出x 、y 的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x +y 的整体形式. 在此过程中我们要用完全平方公式对因式分解中的.
221122x xy y ++=12（x 2+2xy+y 2）=12(x+y)2 = 12⨯12 = 12⨯1 = 12
.
四、探索规律
【例1】l 2+1=1×2，22+2=2×3，32+3＝3×4，……请你将猜想到的规律用自然数n(n ≥1)表示出来 .
【答案】：n 2+n=n(n+1).。