高中立体几何试题(答案)

高中立体几何试题

1. 在正方体1111D C B A ABCD -中，求二面角111C BD A --的大小．

解析：如图9-43，在平面B C D 11内作11BD E C ⊥，交1BD 于E ．连结E A 1，设正方体棱长为a ，在△11BD A 和△11BD C 中，a D C D A ==1111，a B C B A 211==，11

BD BD = a 3=，∴ △11BD A ≌△11BD C ，∵ 11BD E C ⊥，∴ 11BD E A ⊥，∴ 11EC A ∠ 二面角111C BD A --的平面角．在Rt△11D BC 中，?=∠9011B C D ，∴ 111112121BD E C BC D C ?=?，∴ a a

a a E C 32321=?=,在△11EC A 中，=

=E C E A 11 a 32，a C A 211=，213

2322)2(3232cos 22211-=?-???? ??+???? ??=∠a a a a a EC A ，110 EC A ∠?＜ ?180＜，?=∠∴120 11EC A

2. 如图9-50，点A 在锐二面角??-MN -??的棱MN 上，在面??内引射线AP ，使AP 与MN 所成的∠PAM 为45°，与面??所成的角为30°，求二面角??-MN -??的大小．

解析：如图答9-44，取AP 上一点B ，作BH ⊥??于H ，连结AH ，则∠BAH 为射线AP 与平面??所成的角，∴ ∠BAH =30°，再作BQ ⊥MN ，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面??内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ ⊥MN ，∴ ∠BQH 为二面角??-MN -??的平面角．

图答9-44

设BQ =a ，在Rt△BAQ 中，∠BQA =90°，∠BAM =45°，∴ a AB 2=，在Rt△BAH 中∠BHA =90°，∠BAH =30°，∴ a BH 22=

．在Rt△BHQ 中，∠BHQ =90°，BQ =a ，a BH 2

2=，∵ ∠BQH 是锐角，∴ ∠BQH =45

即二面角??-MN -??等于45°． 3. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB ＝2

1CD ，侧棱PB⊥底面ABCD ，PC ＝5，BC ＝3，ΔPAB 的面积等于6，若平面DPA 与平面CPB 所成的二面角为α，求α.

解析：平面DPA 与平面CPB 有一公共点P ，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA 和CB 的延长线的交点E 是它们的另一公共点.由公理二，PE 就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根.

解 延长DA 交CB 的延长线于E ，连PE ，则PE 就是平面DPA 和平面CPB 的交线.

∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD.

∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE.

作CF⊥PE 于F ，连DF 由三垂线定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α.

∵AB＝

2

1CD ，PC ＝5，BC ＝3，∴PB＝4. S ΔPAB ＝6，∴AB＝3，CD ＝6，DC AB ＝EC EB ＝21.

∴EB＝3，PE ＝5. ∵PB·EC＝CF·PE，∴CF＝524. 在直角ΔDCF 中，tanα＝CF

DC ＝5

246＝45. α＝antan 45. 4. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，其棱长为a. (1)求证BD 1⊥截面AB 1C ；

(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；

(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。

()111:DD BD AC ⊥??⊥?⊥?

证明面ABCD BD AC

同理BD 1⊥AB 1.∴BD 1⊥面ACB 1. (2)AB=BC=BB 1?G 为△AB 1C 的中心.AC=2a AG=3

6323a 22=??a ∴BG=222229

396)36(a a a a a =-=-=33a (3)∠BB 1G 为所求

cos∠BB 1G=3

63611==a a BB GB 5. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M 为棱C Ｃ1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O⊥平面MBD ．

解析：要证A 1O⊥平面MBD ，只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A 1O 都垂直，首先想到DB ，先观察 A 1O 垂直DB 吗

方法１：发现A 1O 平分DB ，想到什么（△A 1DB 是否为等腰三角形）

∵A 1D ＝A 1B ，DO ＝OB ，∴A 1O⊥DB．

方法２：A 1O⊥DB 吗即DB⊥A 1O 吗DB 垂直包含A 1O 的平面吗（易见DB⊥平面A 1ACC 1）

再观察A 1O 垂直何直线DMBM 因这两条直线与A 1O 均异面，故难以直接

观察，平面MDB 中还有何直线易想到MO ，因MO 与A 1O 相交，它们在同

一

平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察． 证明 取CC 1中点M ，连结MO ，∵DB⊥A 1A ，DB⊥AC，A 1A∩AC=A ，∴DB⊥平面A 1ACC 1，而A 1O ?平面A 1ACC 1，∴A 1O⊥DB．在矩形A 1ACC 1中，∵tan∠AA 1O=22，tan∠MOC=2

2，∴∠AA 1O=∠MOC，则∠A 1OA ＋∠MOC＝９０°，∴A 1O⊥OM，∵OM∩DB＝O ，∴A 1O⊥平面MBD ．

6. 如图，在正四面体ABCD 中。各面都是全等的正三角形的四面体，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值．

解析：要作出CM 在平面BCD 内的射影，关键是作出M 在平面BCD 内的

射影，而M 为AD 的中点，故只需观察A 在平面BCD 内的射影，至此问

题解法已明朗．

解 作AO⊥平面BCD 于O ，连DO ，作MN⊥平面BCD 于N ，则N∈OD．

设AD ＝a ，则OD ＝a a 332332=?

，∴AO＝a OD AD 3

622=-，∴MN ＝a 66． 又∵CM＝a 23，∴CN＝a a MN CM 6

2112722==-． ∴CM 与平面BCD 所成角的余弦值为

37=CM CN ． 7. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1A 的中点，N 在AB 上，且AN∶NB＝１∶３，求证：C 1M⊥MN．

证明１ 设正方体的棱长为ａ，则MN ＝

a 45， C 1M ＝a a a a 23)2(222=

++，C 1N ＝a a a a 441)43(222=++， ∵MN ２＋MC 1２＝NC 1２，∴C 1M⊥MN．

8. 如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝９０°，AB ＝BC ＝a ，AD ＝２a ，PA⊥平面ABCD ，PA ＝a ．

（１）

求证：PC⊥CD； （２） 求点B 到直线PC 的距离．

证明 （１）取AD 的中点E ，连AC ，CE ，

则ABCE 是正方形，△CED 为等腰直角三角形．

∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC⊥CD；

解 （２）连BE 交AC 于O ，则BE⊥AC，

又BE⊥PA，AC∩PA＝A ，∴BE⊥平面PAC ．

过O 作OH⊥PC 于H ，连BH ，则BH⊥PC．

∵PA＝a ，AC ＝a 2，∴PC＝a 3，则OH ＝a a a a 663221=??

， ∵BO＝

a 22，∴BH＝a OH BO 3622=+

9. 如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝2

π，AB ＝a,AD ＝3a,且∠ADC＝arcsin 55，又PA⊥平面ABCD ，AP ＝a.求：(1)二面角P —CD —A 的大小(用反三角函数表示)；(2)点A 到平面PBC 的距离.

解析：(1)作CD′⊥AD 于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB ＝a ，在RtΔCD′D 中. ∵∠ADC＝arcsin 55,即⊥D′DC＝arcsin 5

5， ∴sin∠CDD′＝CD

D C '＝55 ∴CD＝5a ∴D′D＝2a

∵AD＝3a,∴AD′＝a ＝BC

又在RtΔABC 中，AC ＝22BC AB +＝2a,

∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.

在RtΔPAB 中，可得PB ＝2a.

在RtΔPAC 中，可得PC ＝22AC PA +＝3a.

在RtΔPAD 中，PD ＝22)3(a a +＝10a.

∵PC 2+CD 2＝(3a)2+(5a)＝8a 2＜(10a)2

∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°

∴作PE⊥CD 于E ，E 在DC 延长线上，连AE ，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP 为二面角P —CD —A 的平面角.

在RtΔAED 中∠ADE＝arcsin 5

5，AD ＝3a. ∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·

55＝553 a. 在RtΔPAE 中，tan∠PEA＝AE PA ＝a a 55

3＝35. ∴∠AEP＝arctan 35，即二面角P —CD —A 的大小为arctan 3

5. (2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.

∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.

∴平面PBC⊥平面PAB ，作AH⊥PB 于H ，∴AH⊥平面PBC.

AH 为点A 到平面PBC 的距离.

在RtΔPAB 中，AH ＝PB AB PA ?＝a

a a 2?＝22a. 即A 到平面PBC 的距离为

22a.