立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD(2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD2（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=︒，求证：平面PEF ⊥平面PBC ．PAC EBF（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点，//EF AB ∴. ……………………2分又⊄EF 平面PAB ，⊆AB 平面PAB ，∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点，PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABCPE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点，//EF AB ∴090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分EF PE E =BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ⊂面PBC∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

（1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。

4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点．(1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ；(3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．5．（本小题满分12分）如图，PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥的中点． （1）求证：PAD MN 平面//；（2）求证：CD MN ⊥；6.如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形ＡD Ｅ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC 、AE 的中点分别为F 、M ，求证：（1）FM ∥ECD 平面；（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．（1）证明：取AD 的中点N,连结FN,MN,则MN ∥ED ，FN ∥CD∴平面FMN ∥平面ECD. ∵ MF 在平面FMN 内,∴ FM ∥平面ECD ......5分 （2）连接EN, ∵AE=ED ，N 为AD 的中点， ∴ EN ⊥AD.又∵面ADE ⊥面ABCD ，∴EN ⊥面ABCD. 作NP ⊥BD,连接EP,则EP ⊥BD ，∴∠EPN 即二面角E-BD-A 的平面角，设AD=a,∵ABCD 为正方形，⊿ADE 为等腰三角形，∴EN=12a,NP=24 a.∴tan ∠EPN=2 . ......10分NMPDCBA7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，其中有一个高为 x cm 的内接圆柱.(1)试用x 表示圆柱的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大.19.（1） 解：设所求的圆柱的底面半径为r则有662x r -=,即32xr -=. ∴2324)32(22x x x x rx S ππππ-=-==圆柱侧.......5分（2）由（1）知当3)32(24=--=ππx 时，这个二次函数有最大值为π6所以当圆柱的高为3cm 时，它的侧面积最大为26cmπ......10分8．（10分）如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º. （1）证明：AB ⊥PC ；（2）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积.解：（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。

如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,所以AB PC ⊥ ......5分 （2）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ．因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =．由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒． 因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形。

由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ∆的面积2S =． 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三角锥P ABC -的体积 1833V S PC =⨯⨯= ......10分 9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明PB ∥平面ACM ； (2)证明AD ⊥平面PAC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．解析： (1)证明：如图，连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .(3)如图，取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO＝1，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.10（本小题满分12分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，5AB =，4BC =，14AA =，点D 是AB的中点．（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （II ）求证：1//AC 平面1CDB ； （III ）求三棱锥 11A B CD -的体积．证明：（Ⅰ）在△ABC 中，∵3AC =，5AB =，4BC =，∴△ABC 为直角三角形，∴AC BC ⊥， ……………1分又∵1CC ⊥平面ABC ，∴1CC AC ⊥，1CC BC C ⋂=， ……………2分 ∴AC ⊥平面1BCC ，∴1AC BC ⊥． ……………4分 （II ）设1B C 与1BC 交于点E ，则E 为1BC 的中点，连结DE ， ……………5分 则在△1ABC 中，1//DE AC ，又1DE CDB ⊂面， ……………7分 ∴1//AC 平面1B CD ． ……………8分（III ）在△ABC 中，过C 作CF AB ⊥，F 为垂足，∵平面11ABB A ⊥平面ABC ， ∴CF ⊥平面11ABB A ，而341255AC BC CF AB ⋅⨯===， ……………9分 ∵1111A B CD C A DB V V --=， ……………10分而1111111541022DA B SA B AA ==⨯⨯=， ……………11分∴1111210835A B CD V -=⨯⨯=． ……………12分11.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点求下：（Ⅰ）直线EF//平面PCD ； （Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD.12. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。

（I ）求证：//PA 平面EDB ； （II ）求证：PB ⊥平面EFD ；（III ）求二面角P BC D --的大小。

MCDBAP13．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，5====PD PC PB PA（1）求二面角C AB P --的度数（2）若M 是侧棱PC 的中点，求异面直线PA 与BM 所成角的正切值14．（本小题满分12分）若图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC//PD ，且PD=2EC 。

（1）求证：BE//平面PDA ；（2）若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；（1） 证明：EC ∥PD ∴EC ∥面PAD ；同理BC ∥面PAD ；∴面BEC ∥面PAD ；∴BE ∥面PAD （2） 证明：取BD 的中点O ，连NO 、CO ，易知，CO ⊥BD ；又∵CO ⊥PD; ∴CO ⊥面PBD 。

15．（本小题满分12分） 如图，在多面体ABCDE 中，底面ABC ∆为等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，侧面BCDE 是菱形，O 点是BC 的中点，EO ⊥平面ABC 。

（1）求异直线AC 和BE 所成角的大小；（2）求平面ABE 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。