高中数学立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练1、如图，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别为AB、PC 的中点；(1)求证：MN// 平面PAD(2)若∠ PDA=45 °，求证：MN ⊥平面PCD2(本小题满分12 分)如图，在三棱锥P ABC中，E,F 分别为AC,BC 的中点．1)求证：EF // 平面PAB ；2)若平面PAC 平面ABC，且PA PC ，求证：平面PEF 平面PBC ．ABC 90 ，APCFB（1）证明：连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点，EF // AB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又EF 平面PAB ，AB 平面PAB ，EF∥平面PAB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（2）Q PA PC，E为AC的中点，PE AC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又Q 平面PAC 平面ABCPE 面ABC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分PE BC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分又因为F 为BC 的中点，EF // ABQ ABC 900, BC EF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分Q EF I PE EBC 面PEF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分又Q BC 面PBC面PBC 面PEF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

1)求证：BC1// 平面CA1D；2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。

4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F 分别是AB、PC的中点．(1) 求证：EF∥平面PAD；(2) 求证：EF⊥ CD；(3) 若∠ PDA＝45°，求EF与平面ABCD 所成的角的大小．5．（本小题满分 12 分）如图， PA 矩形ABCD 所在的平面， M 、N 分别是AB 、PC 的中点．1）求证： MN // 平面 PAD ；（ 2）求证： MN CD ；∴tan ∠EPN= 2 . ........... 10 分6. 如图， 正方形 ABCD 所在的平面与三角形ＡD Ｅ所在平面互相垂直， 三角形，且ＡＥ＝Ｅ D△ＡＥＢ是等腰直角设线段 BC 、 AE 的中点分别为 F 、M ，求证：（1） FM ∥平面ECD ； （2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．（1）证明：取 AD 的中点 N,连结 FN,MN, 则 MN ∥ ED ，FN ∥CD∴平面 FMN ∥平面 ECD. ∵ MF 在平面 FMN 内 ,∴ FM ∥平面 ECD ..................... 5 分（2）连接 EN, ∵ AE=ED ， N 为 AD 的中点， ∴ EN ⊥ AD.又∵面 ADE ⊥面 ABCD ，∴ EN ⊥面 ABCD. 作 NP ⊥BD, 连接 EP,则 EP ⊥BD ， ∴∠ EPN 即二面角 E-BD-A 的平面角，设 AD=a, ∵ABCD 为 正方形 ，⊿ADE 为等 腰三角形，∴EN= 1 a,NP= 224a .7. 如图，一个圆锥的底面半径为 2cm ，高为 6cm ，其中有一个高为 x cm 的内接圆柱（1） 试用x 表示圆柱的侧面积；（ 2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大 .所以当圆柱的高为 3cm 时，它的侧面积最大为6 cm .... 10 分8．（10 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠ PAC=∠ PBC=90 o.（1）证明： AB ⊥ PC ；（2）若 PC 4，且平面 PAC ⊥平面 PBC ，求三棱锥 P ABC 体积 .解：（1）因为 PAB 是等边三角形， PAC PBC 90所以 Rt PBC Rt PAC , 可得 AC BC 。

如图，取 AB 中点 D ，连结 PD , CD , 则 PD AB ,CD AB , 所以 AB 平面 PDC , 所以 AB PC 5 分2）作 BE PC ，垂足为 E ，连结 AE ．则有r6x ,即r2 x263.∴ S圆柱侧2 rx 2(2x)x 34 x 2x 2................ 5 分 3 （2）由（1）知当 x4 3时，这个二次函数有最大值为219. （ 1） 解：设所求的圆柱的底面半径为 r2( 23)因为 Rt PBC Rt PAC 所以 AE PC ， AE BE ．因为 Rt AEB Rt PEB ，所以 AEB, PEB, CEB 都是等腰直角三角形。

(1)证明 PB ∥平面 ACM ； (2)证明 AD ⊥平面 PAC ；(3) 求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值．解析： (1)证明：如图，连接 BD ， MO ，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点， 所以 O 为 BD 的中点．由已知，平面 PAC平面 PBC ，故 AEB 90由已知 PC 4，得 AE BE 2 ， AEB 的面积 S 2．因为 PC 平面 AEB ， 所以三角锥 P ABC 的体积V 139.(本题满分 12 分)如图，在四棱锥8S PC ..10分3P － ABCD 中，底ABCD 为平行四边∠ADC ＝ 45°，AD ＝ AC ＝ 1，O 为AC 的中点， PO ⊥平面 ABCD ，PO ＝ 2，M 为 PD 的中点．又 M 为 PD 的中点，所以 PB ∥MO .因为 PB?平面 ACM ，MO ? 平面 ACM ，所以 PB ∥ 平面 ACM.（2）证明：因为∠ ADC ＝ 45 °，且 AD ＝AC ＝1，所以∠ DAC ＝ 90 °，即 AD ⊥AC.又 PO ⊥ 平面 ABCD ，AD ? 平面 ABCD ，所以 PO ⊥ AD .而 AC ∩PO ＝O ，所以 AD ⊥平面 PAC.1（3）如图，取 DO 中点 N ，连接 MN ，AN .因为 M 为 PD 的中点，所以 MN ∥ PO ，且 MN＝ 2PO ＝1，由 PO ⊥平面 ABCD ，得 MN ⊥平面 ABCD ，所以∠ MAN 是直线 AM 与平面ABCD 所1成的角．在 Rt △ DAO 中， AD ＝1，AO ＝2，10（本小题满分 12 分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AC 3，AB 5，BC 4，AA 1 4，点D 是 AB 的中点．（Ⅰ）求证： AC BC 1 ；III ）求三棱锥 A 1 B 1CD 的体积． 证明：（Ⅰ）在△ ABC 中，∵ AC 3， AB 5， BCDO ＝5. 2. 1 从而 AN ＝2DO ＝.在 Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝M AN N1 ＝4 55＝54即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 455II ）求证： AC 1 // 平面 CDB 1；1分4，∴△ ABC为直角三角形，∴ AC BC ，V A 1 B 1CD V C A 1DB 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分而11S VDA1B 12A 1B 1gAA 1 5 4 210 ， ⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分1 12V A 1 B 1CD3 10 58 ． 3511. （本小题满分 12 分）如图， 在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，AB=AD,∠ BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求下：（Ⅰ）直线 EF// 平面 PCD ； （Ⅱ）平面 BEF ⊥平面 PAD.又∵ CC 1 平面 ABC ，∴ CC 1 AC ，CC 1 BC C ， 2分∴ AC 平面 BCC 1 ，∴ AC BC 1 ．4分II ）设 B 1C 与 BC 1交于点 E ，则 E 为 BC 1的中点，连结 DE ，5分 则在△ ABC 1中， DE // AC 1 ，又 DE 面CDB 1 ， 7分 ∴ AC 1 // 平面 B 1CD ．8分III ）在△ ABC 中，过 C 作 CFAB ，F 为垂足，∵平面 ABB 1A 1 平面 ABC ， ∴CF 平面ABB 1A 1 ，而 CFAC BC 3 4 12 ，AB 5 5 ，9分12 分12. （本小题满分12 分）如图所示，在四棱锥P ABCD 中，ABCD , PD CD,E 是PC的中点，作EF （I）求证：PA// 平面EDB ；（II ）求证：PB 平面EFD ；（III ）求二面角P BC D 的大小。

13．（本小题满分12 分）如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为 2 的正方形，PA PB PC PD 51）求二面角P AB C 的度数2）若M 是侧棱PC的中点，求异面直线PA与BM 所成角的正切值A PCB14．（本小题满分 12 分）若图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形， PD1）求证： BE// 平面 PDA ；2）若 N 为线段 PB 的中点，求证： EN 平面 PDB ；平面 ABCD ，EC//PD ，且 PD=2EC 。

1）证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴ BE∥面PAD2）证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥ BD；又∵ CO⊥ PD; ∴CO⊥面PBD。

15．（本小题满分12 分）如图，在多面体ABCDE 中，底面ABC 为等腰直角三角形，且ACB 90 ，侧面BCDE 是菱形，O 点是BC 的中点，EO 平面ABC 。

（1）求异直线AC 和BE 所成角的大小；（2）求平面ABE 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。