(完整版)高二数学立体几何试题及答案
高二数学立体几何试题
高二数学立体几何试题1.几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】此几何体的下面是半径为1，高为1的圆柱，上面是半径为1，高为1的圆锥，所以体积是。
【考点】1．三视图；2．几何体的体积．2.若一个球的表面积为，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为．则两截面间的距离为．【答案】1或7【解析】由球的表面积为知，球的半径为.有两种可能情况，一是两截面在球心同侧，二是两截面在球心两侧. 所以由球的截面性质定理得，两截面间的距离为或，答案为1或7.【考点】球的截面性质定理.3.在一座高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为，塔底俯角为，则这座水塔的高度是__________．【答案】【解析】如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线，依题意得：，，，∴，，，∴cm．【考点】解斜三角形．【思路点睛】由已知条件得到，，在直角三角形中，用勾股定理求出CM的边长，再求出CD的值即可．4.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：//平面;【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据已知可得平面，三棱锥的体积可表示为其中高为，即可求得；（Ⅱ）连接，，连接，通过证得四边形为平行四边形，可得平面试题解析：（Ⅰ）三棱锥的体积为 --6分（Ⅱ）证明：连接，，连接为中点，且为矩形，所以四边形为平行四边形，．．【考点】1．求体积；2．证明线面平行5.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】空间点关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标竖坐标互为相反数，因此点关于轴对称的点的坐标为【考点】空间点的坐标6.（本小题满分12分）如图，在正四棱台中，=1，=2，=，分别是的中点．（1）求证：平面∥平面；（2）求证：平面平面；（3）（文科不做）求直线与平面所成的角．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）60°【解析】（1）连接，分别交，，于，连接，．由面面平行的性质定理得，∥，所以∥平面，同理，．根据相似可知，=，又因为，=，所以平行且等于，平行且等于，∥平面，进而得到结论；（2）连接，由正棱台知，，⊥，所以⊥面，由面面垂直的判定定理即可证明结论；（3）法一：，计算有=，=="2," 体积转化得到线面角的补角是30°，即可求出结果；法二：=="2,"=="2," 所以⊥，⊥，所以⊥面，过作⊥交于，得到⊥．△为等边三角形，⊥，所以⊥面，所以∠为与面所成角，即可求出结果．试题解析：（1）连接，分别交，，于，连接，．由面面平行的性质定理得，∥，所以∥平面，同理，．根据相似可知，=，又因为，=，所以平行且等于．所以平行且等于，所以∥平面，平面∥平面（2）连接，由正棱台知，，⊥，所以⊥面，所以平面⊥平面（3）法一：，计算有=，=="2," 体积转化得到线面角的补角是30°，所以所求角为60°法二：=="2," =="2," 所以⊥，⊥，所以⊥面，过作⊥交于，得到⊥．△为等边三角形，⊥，所以⊥面，所以∠为与面所成角为60°．……12分．【考点】1．面面平行的判定定理；2．面面垂直定理的判定定理．7.下列命题中真命题是（）A．若，则；B．若，则；C．若是异面直线，那么与相交；D．若，则且【答案】A【解析】如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直，所以选项A正确．一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，则这两个平面平行．显然选项B错误；若是异面直线，那么与相交或平行，所以选项C错误；若，则且或n在某一平面内，故选项D错误；故选A．【考点】判断命题的真假性．8.长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．【答案】【解析】根据该几何体的特征，可知所剩的几何体的体积为长方体的体积减去所截的三棱锥的体积，即．【考点】几何体的体积．9.如图所示，为正方体，给出以下五个结论：①平面；②平面；③与底面所成角的正切值是；④二面角的正切值是；⑤过点且与异面直线和均成角的直线有2条．其中，所有正确结论的序号为_______．【答案】①②④【解析】对于①，因为，且面，面，，所以，正确；对于②，由三垂线定理得，同理可得，又于，所以平面，②正确；对于③，连接，是与底面所成角，在中，，③不对；对于④，连接交于点，，连接，所以为二面角的平面角，解三角形，④正确；对于⑤，把直线平移到跟共面，平移后有一个公共点，根据对称性过点且与异面直线和均成角的直线有4条，⑤错误．【考点】命题真假的判断【思路点睛】在判断线面平行时一般采用构造平行四边形法、中位线法、构造平性平面法，所以要根据题设中所给的条件选择合适的方法；在判断线面垂直时，会选择证明一条直线垂直一个面内的相交直线或者用面面垂直证明线面垂直，根据条件选择合适的方法；求线面角的三角函数值，关键在于作出其平面角，然后通过解三角形，求出其所求三角函数值．10.（2012•沈河区校级模拟）在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析．【解析】（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，知AD∥BC．由BC=2AD，G是BC的中点，知ADBG，故四边形ADGB是平行四边形，由此能够证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，知EF⊥AE，由AE⊥EB，知AE⊥平面BCFE．过D 作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．由此能够证明BD⊥EG．解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD是平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．11.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，AB＝2，．（Ⅰ）求证：平面PAC；（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据菱形的条件，对角线，又根据平面，也能推出，这样就能证明直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直，即平面；（Ⅱ）取中点，设，连结，，根据中位线平行，就将异面直线所成角转化成相交直线所成角，即即为所求角，根据平面几何的几何关系，求三边，然后根据余弦定理求角．试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以．在菱形中，，且，所以平面．（Ⅱ）解：取中点，设，连结，．在菱形中，是中点，所以．则即为与所成角。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.（本题满分10分）把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？【答案】１６０００【解析】设长方体高为xcm，则底面边长为（60－2x）cm．（0<x<30）…1分长方体容积（单位：），…3分…5分令解得x＝10，x＝30（不合题意合去）于是…7分在x＝10时，V取得最大值为…10分2.已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形的心．【答案】外【解析】，设点在平面上的射影是．则，所以是外心．【考点】射影定理3.（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等．铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2．（单位：mm，加工中不计损失）．（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）观察铆钉的面积，钉身为圆柱形的侧面积，加半球的底面积加半球面的面积；（2）将钉身圆柱捶打成钢板厚的圆柱加一个半球形的帽，所以利用等体积建立方程，求的钉身的长度．试题解析：解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：圆柱的高圆柱的侧面积半球的表面积所以铆钉的表面积（）（2）设钉身长度为，则由于,所以，解得答：钉身的表面积为，钉身的长度约为．【考点】1．组合体的表面积；2．组合体的体积；3．等体积．4.已知某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3【答案】【解析】由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积，答案选B．【考点】空间几何体的三视图与体积5.直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设,计算与的数量积即可得到（2）同理可计算，利用向量的夹角的余弦公式可得向量与的余弦值，亦即异面直线与所成角的余弦值试题解析：由题知平面，，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设，，，，，，，，，，，所以；（2），设异面直线与所成角为，则有【考点】向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．6.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A如果三点在一条直线上，则不能确定一个平面；B四边形可以为空间中的三棱锥；C梯形两平行边确定一个平面；D平面和平面相交所有的点都在交线上，所以三个点一点在同一条直线上，故选择C【考点】空间点、线、面7.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为，故选D．【考点】空间几何体的三视图．8.在长方体中，，，，则与所成角的余弦值为．【答案】【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，，则与所成角的余弦值为【考点】空间向量求异面直线所成角9.正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为，则三棱锥Ｏ－ＡＢ1Ｄ1的体积为_____________.【答案】【解析】【考点】棱锥体积10.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）．A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】一条直线垂直于两个互相垂直的平面的交线，则这条直线与这两个平面中的某一平面可能垂直也可能不垂直，所以选项A错误；同理，可说明B、C不正确；若，，，则∥，,所以。
高二数学立体几何综合试题答案及解析
高二数学立体几何综合试题答案及解析1.下列四个条件中，能确定一个平面的只有（填序号）.①空间中的三点②空间中两条直线③一条直线和一个点④两条平行直线【答案】④.【解析】①选项中可确定1个或4个；②选项中若两条直线是异面直线的话就不能确定一个平面；③选项中点要在直线外才能确定一条直线.只有④是正确的.【考点】确定平面的几何要素.2.以正方体的任意4个顶点为顶点的几何形体有①空间四边形；②每个面都是等边三角形的四面体；③最多三个面是直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.【答案】①②④【解析】①只要不在同一平面上的四个点连结而成的四边形都是空间四边形. ②从一个顶点出发与它的三个对角面的顶点连结所成的四棱锥符合条件.最多有四个直角四面体.由一个顶点和又该点出发的两条棱的端点及一个对角面的定点四点即可.所以③不成立. ④显然成立.故选①②④.【考点】1.空间图形的判断.2.空间中线面间的关系.3.右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是 .【答案】4【解析】由斜二测画法可知原图应为：其面积为：故答案为4.【考点】平面图形的直观图.4.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A. B.C. AB与CD所成的角为D. AB与CD相交【答案】C【解析】将表面展开图还原为正方体，连接,∵∥,∴就是异面直线所成的角，连接,∵是正三角形，=，选C.【考点】1、正方体的表面展开图；2、异面直线所成的角.5.在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC=1，M 为 AB 中点，将△ACM 沿 CM 折起，使 A、B 间的距离为，则 M 到面 ABC 的距离为（）（A）（B）（C）1（D）【答案】A【解析】由已知得AB=2，AM=MB=MC=1，BC=，由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=，DE=，CE=．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，又cos∠ECA=，∴AE2=CA2+CE2-2CA•CEcos∠ECA=，于是AC2=AE2+CE2．∴∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A-BCM的高，AE=。
高二数学立体几何综合试题答案及解析
高二数学立体几何综合试题答案及解析1.下列四个条件中，能确定一个平面的只有（填序号）.①空间中的三点②空间中两条直线③一条直线和一个点④两条平行直线【答案】④.【解析】①选项中可确定1个或4个；②选项中若两条直线是异面直线的话就不能确定一个平面；③选项中点要在直线外才能确定一条直线.只有④是正确的.【考点】确定平面的几何要素.2.在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC=1，M 为 AB 中点，将△ACM 沿 CM 折起，使 A、B 间的距离为，则 M 到面 ABC 的距离为（）（A）（B）（C）1（D）【答案】A【解析】由已知得AB=2，AM=MB=MC=1，BC=，由△AMC为等边三角形，取CM中点，则AD⊥CM，AD交BC于E，则AD=，DE=，CE=．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，又cos∠ECA=，∴AE2=CA2+CE2-2CA•CEcos∠ECA=，于是AC2=AE2+CE2．∴∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A-BCM的高，AE=。
设点M到面ABC的距离为h，∵S△BCM =，∴由VA-BCM=VM-ABC，可得×＝××1×h，∴h=。
故选A．【考点】折叠问题，体积、距离的计算。
点评：中档题，折叠问题，要特别注意折叠前后“变”与“不变”的几何量。
本题利用“等体积法”，确定了所求距离。
3.已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面为正三角形，，．如图所示．(1) 证明：平面；(2) 求四棱锥的体积．【答案】(1) 证明如下 (2)【解析】证明(1) 直角梯形的，，又，，∴．∴在△和△中，有，．∴且．∴．(2)设顶点到底面的距离为．结合几何体，可知．又，，于是，，解得．所以．【考点】直线与平面垂直的判定定理；锥体的体积公式点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。
(完整)高中数学《立体几何》大题及答案解析.doc
高中数学《立体几何》大题及答案解析( 理)1.（ 2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面ABCD，AD2 ，DCo SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上，∠ABM=60。
（I ）证明：M是侧棱SC的中点；求二面角 S AM B 的大小。
2.（ 2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱DE ⊥平面 BCC 1（Ⅰ）证明： AB=AC 的角的大小ABC-A 1B1C1中， AB ⊥ AC,D 、E 分别为 AA 1、 B1C 的中点，（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为 60°,求 B 1C 与平面 BCD 所成A 1 C1B1D EACB3. （ 2009浙江卷）如图，DC平面ABC，EB / / DC，AC BC EB 2DC 2 ，ACB 120o， P,Q 分别为 AE , AB 的中点．（I）证明： PQ / / 平面ACD；（II）求AD与平面 ABE 所成角的正弦值．4.（ 2009 北京卷）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD 底面 ABCD ，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC 平面 PDB ；（Ⅱ）当 PD2AB 且E为PB的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.5.（ 2009 江西卷）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD，PA AD 4 ， AB 2 ．以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交PD 于点 M ．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．PMA DOBC6（. 2009 四川卷）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，AB AE , FA FE , AEF 45 （I）求证： EF 平面 BCE ；（ II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM ∥平面BCE （ III ）求二面角 F BD A 的大小。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.如图所示，已知PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB，Ｍ是PA的中点，则二面角M-DC-A的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵底面，∴而底面是正方形，∴∴面，则∴就是二面角的平面角在中，∵，是中点∴，即二面角的大小为，故选C2.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为()【答案】B【解析】略3.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】（1）要证线与面垂直，即证垂直于平面内的两条相交直线，根据已知的线与面垂直，得到线性垂直，得证；（2）法一：根据前问所证，平面,易证底面是正方形，所以可以根据三垂线定理做出二面角的平面角，即设的交点为，过点作于点，连，易证为二面角的平面角，在直角三角形内求得角；法二：以为原点建立平面直角坐标系，根据向量法，求两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值计算二面角的余弦值．试题解析：解：（1）证明：∵，∴．同理由，可证得．又，∴．（2）解法一：设的交点为，过点作于点，连易证为二面角的平面角由（1）知为正方形，在中，，二面角的大小为解法二：分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．由（1）知，又，∴．故矩形为正方形，∴．∴．∴．设平面的一个法向量为，则，即，∴，取，得．∵，∴为平面的一个法向量．所以．设二面角的平面角为，由图知，则二面角的大小为【考点】1．线与面垂直的判定；2．二面角的计算；3．几何法与向量法求二面角．4.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为．【答案】【解析】设,那么平面,在直角三角形中，,,所以,所以四棱锥的体积是．【考点】1．球与几何体；2．体积的计算5.（本小题12分）已知三棱柱中，底面，，，分别为的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）求三棱锥A-BCB的体积．1【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3）【解析】（1）欲证//平面，AB中点G，连DG，CG，只需证明是平行四边形，∥即可；（2）证明面面垂直采用证明线面垂直，通过证明因为底面为等腰三角形，，又因为，所以可证得；（3）转化顶点所求三棱锥的体积为，即可求得试题解析：（I）取AB中点G，连DG，CG，在三棱柱中，底面ABC ，是矩形．∵D，E分别为AB1，CC1的中点，∴，是平行四边形，∥∵GC平面ABC，平面ABC，∴DE//平面ABC ．（II）三棱柱中，底面ABC，∴中点，又，∴（III）由（II）得，在，，【考点】1．证明线面平行；2．证明面面垂直；3．求体积6.在空间直角坐标系中，点与点之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由空间距离公式可知：【考点】空间两点间距离7.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，给出下列结论：①若∥，则∥；②若∥，则∥；③若⊥，则⊥；④若⊥，则⊥；其中正确结论的个数是( )A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】若两个平面内分别有两条直线平行，则这两个平面不一定平行，所以命题•错误；若两个平面平行，则两个平面内的直线可能平行或异面，所以命题‚错误；若两个平面内分别有两条直线垂直，则这两个平面不一定垂直，所以命题ƒ错误；若两个平面垂直，则两个平面内的直线可能平行、垂直或异面，所以命题④错误；【考点】直线与直线、平面与平面的平行与垂直的命题判断．8.已知，，则的最小值．【答案】【解析】，因此当时取最小值【考点】空间向量模9.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台【答案】C【解析】圆柱的截面可以是矩形，圆锥的截面可以是三角形，圆台的截面可以是梯形，值有球的截面都是圆，故选C．【考点】几何体的截面图形．10.一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．B．C．与所成的角为D．与相交【答案】C【解析】把展开图还原为立体图形，如下图正方体，可见与是异面直线，它们甩成的角为60°．【考点】多面体的展开图，两直线的位置关系．11.在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】设中点为，由于，则点到点的距离相等，因此是三棱锥外接球的直径，由题意，是等边三角形，，所以，．【考点】几何体与外接球，球的表面积．【名师】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．12.如图，在体积为2的三棱锥侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G使，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥的体积等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】为了便于解析，可设三棱锥为正三棱锥，为正三棱锥的高；为正三棱锥有高，因为底面相同，则它们的体积比为高之比，已知三棱锥的体积为2，所以三棱锥的体积为：（1），由题意可知，且，所以由平行得到，所以，（面BCG所在的平面图如左下角简图），同理，，则，所以，那么，亦即，设，那么，则，而，所以，则，所以，所以，又，所以，（2），且，所以：（3），由（2）×（3）得到：代入到（1）得到：三棱锥的体积就是．【考点】1．简单几何体体积；2．三角形相似比的应用．【方法点晴】此题主要考查三角形相似比在求简单几何体体积中应用方面的内容，属于中高档题．根据题意可借助正三棱锥（或正四面体）模型来帮助思考，值得注意的是所求三棱锥体积的高与原三棱锥的高往往是不在同一直线上的，当然这两个高的比值也是解决此问题的关键点，需要借助这两高与垂线之间的比值进行转换，在此过程中多次使用了相似三角形的相似比，从而问题可得解决．13.如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【答案】（1）见解析；（2）450（3）【解析】（1）要证明BD⊥平面PAC，只需证BD垂直于平面PAC两条相交直线即可，由ABCD为正方形，可得BD⊥AC，易得PA⊥平面ABCD，可得BD⊥PA ，结论得证．（2）由PA⊥面ABCD可得AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，由三垂线定理的逆定理可得 CD⊥PD，可得∠PDA为二面角P—CD—B的平面角．易得∠PDA=450．（3）由，求得点C到平面PBD的距离试题解析：（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，∴BD⊥PA ．又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC．（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角．又∵PA=AD，∴∠PDA=450．（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，由，有，即，得【考点】线面垂直，二面角及点到平面的距离．【方法点睛】立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系（一般考虑使用综合几何方法进行证明），然后是与空间角有关的问题，综合几何方法和空间向量方法都可以，但使用综合几何方法要作出二面角的平面角，作图中要伴随着相关的证明，对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求，而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算公式进行计算，也就是把几何问题完全代数化了，这种方法对运算能力有较高的要求．两种方法各有利弊，在解题中可根据情况灵活选用．14.直三棱柱中，，分别是的中点，，为棱上的点．（1）证明：；（2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）详见其解析；（2）存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【解析】（1）首先根据线面垂直的判定定理和性质定理可得，然后以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，并写出各点的坐标，再由三点共线即可求出点坐标，最后计算并验证其是否为0即可得出所证的答案；（2）首先设出面的法向量为，然后由即可得出，又因为面的法向量，再由公式即可得出的值，进而得出点的坐标，即可得出所求的结果．试题解析：（1）证明：∵，，又∵∴⊥面．又∵面，∴，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设且，即,则，∵，所以；…6分（2）结论：存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为理由如下：由题可知面的法向量，设面的法向量为，则，∵，∴，即，令，则．∵平面与平面所成锐二面角的余弦值为，∴，即，解得或（舍），所以当为中点时满足要求．【考点】1、线线垂直的判定定理；2、空间向量法求解立体几何问题．15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______________．【答案】【解析】设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．【考点】1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．16.已知一个高度不限的直三棱柱，，点是侧棱上一点，过作平面截三棱柱得截面，给出下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③四面体为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．其中有不可能成立的结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】本题考察在空间点线面的位置关系，在直三棱柱中，数形结合，作图求解，①和②找出一个例子即可证明其存在性，③需分类讨论，利用直三棱柱的性质以及底面三边长AB=4，BC=5，CA=6条件判断．如图，做直三棱柱ABC-A1B1C1，AB=4，BC=5，CA=6，（1）不妨取AD=6，AE=10，DE=8，则△ADE是直角三角形，①可能成立；（2）不妨令AD=AE=DE=a（a>6），则△ADE是等边三角形，②可能成立；（3）假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，当A为直角顶点时，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，PA⊥底面ABC，则 E，D分别与C，B重合，此时，∠EAD不是直角，与假设矛盾，假设不成立，当P为直角顶点时，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知则∠EPD不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立，当E或D点为直角顶点时，不妨选E为直角顶点，则DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA═A，EP⊂平面，EA⊂平面，则平面与平面垂直，则直三棱柱中，可证∠ACB为二面角的平面角，∠ACB═90°，与题意矛盾，假设不成立．综上③错误．故选：C．【考点】命题的真假判断17.如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．（1）求三棱锥的体积;（2）求异面直线与所成的角的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）从图形可以看出，三棱锥中，平面，所以三棱锥的体积比较容易求，利用等积法即可求出三棱锥的体积；（2）连接，由条件知，所以就是异面直线与所成的角，解三角形知．试题解析：（1）（2）连接，由条件知，所以就是异面直线与所成的角．在中，，所以，所以异面直线与所成的角为．【考点】1、三棱锥的体积；2、异面直线所成的角；3、等积法．18.若向量，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为向量，，所以，排除B；，所以，应选D．，A错，如果则存在实数使，显然不成立，所以答案为D．【考点】向量的有关运算．19.在直三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在直三棱柱中，,可以证得，因此直线与平面所成角为，在中，，因此【考点】直线与平面所成的角；20.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与一个三棱锥组成的，其直观图如下：所以该几何体的体积为：．故选A．【考点】1．三视图；2．几何体的体积．21.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在直线（）A．垂直B．异面C．平行D．相交【答案】A【解析】由题意得可以分两种情况讨论：①当直尺所在直线与地面垂直时，则地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所在直线垂直；②当直尺所在直线若与地面不垂直时，则直尺所在的直线必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，则得到地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．∴教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线与直尺所在直线垂直． 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系22. （2015秋•淮南期末）已知正方体的棱长为1，则正方体的外接球的体积为 ． 【答案】．【解析】正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，由此能求出正方体的外接球的体积． 解：∵正方体棱长为1， ∴正方体的外接球的半径R=， ∴正方体的外接球的体积V=（）3=．故答案为：．【考点】球的体积和表面积．23. 在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】取的中点，连接，，那么异面直线所成角就是，根据勾股定理，，，所以，故选B ．【考点】异面直线所成角24. 如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1∥平面CDB 1． 【答案】见解析【解析】（1）利用ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，证明CC 1⊥AC ，利用AB 2=AC 2+BC 2，说明AC ⊥CB ，证明AC ⊥平面C 1CB 1B ，推出AC ⊥BC 1．（2）设CB 1∩BC 1=E ，说明E 为C 1B 的中点，说明AC 1∥DE ，然后证明AC 1∥平面CDB 1． 解：（1）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AC∵AC=3，BC=4，AB=5， ∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB 又C 1C∩CB=C ，∴AC ⊥平面C 1CB 1B ，又BC 1⊂平面C 1CB 1B ， ∴AC ⊥BC 1（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点又D为AB中点，∴AC1∥DEDE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．25.如图，在直三棱锥中，底面是正三角形，点是中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由于平面为直棱柱的侧面，所以可以考虑变换顶点，利用面面垂直的性质性质定理作，则面，由棱锥的体积公式即可求得其体积；（2）要证明线线垂直可考虑证线面平行，取的中点，连接，由于底面是正三角形，，可证得，在平面由平面几何的知识可证得，所以面由线面垂直的性质即可证得.试题解析：（1）过作，直三棱柱中面，，面，是高，（2）取的中点，连接底面是正三角形，矩形中，，中面.【考点】空间直线与平面的垂直关系及棱锥的体积.26.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则直线与平面所成角的正切值为________；异面直线与所成角的余弦值是________．【答案】，【解析】由两两垂直，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，所以，其中平面的一个法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以；又向量与所成角的余弦值为，又，所以异面直线与所成角的余弦值是．【考点】空间向量的运算及空间角的求解．27.平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，则的长为 .【答案】【解析】由题意得，在平行六面体中，因为，，，且，所以，所以.【考点】空间向量的运算.28.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:设长方体的高为1，根据B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，分别求出各线段的长，将C1D平移到B1A，根据异面直线所成角的定义可知∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角，利用余弦定理求出此角即可．解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45°∴C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC=∵C1D∥B1A∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角由余弦定理可得cos∠AB1C=故选A【考点】异面直线及其所成的角．29.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，，解得，根据勾股定理，圆锥的高等于，所以圆锥的体积.【考点】旋转体的体积30.已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面, 对平面ABC外一点O，给出下列表达式：其中x，y是实数，则【答案】【解析】A、B、C三点不共线，点M与A、B、C四点共面，则对平面ABC外一点O，满足，所以，所以【考点】空间向量的基本定理及其意义31.在正方体中，、分别是、的中点。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.一个球的Л体积为，则此球的表面积为．【答案】【解析】因为球的体积公式：,所以=所以R=1，由表面积公式S=4=2.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】略3.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角4.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．【答案】【解析】矩形外接圆的直径为对角线长。
棱锥的体积为【考点】棱锥外接球问题5.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可得其还原图是半个圆锥，由题可得其底面圆半径为1，母线长为3，所以其体积为。
故选A。
【考点】由三视图求面积、体积。
6.（本小题满分12分）已知如图，四边形是直角梯形，，，平面，，点、、分别是、、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先证明平面∥平面，由面面平行可得线面平行；（Ⅱ）建立直角坐标系，由空间微量公式计算即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵点、、分别是、、的中点，∴∥，∥.∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面.∵，∴平面∥平面∵平面，∴∥平面．（Ⅱ）解：根据条件，直线，，两两垂直，分别以直线，，为建立如图所示的空间直角坐标系．设，∵，∴∴.设分别是平面和平面的一个法向量，∴，∴，即，．不妨取，得．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值是．【考点】1.线面平行、面面平行的判定与性质；2.空间向量的应用.7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为和的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有，解得，故选B．【考点】根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量．8.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外平面即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令，经计算得，即，又因为平面；（Ⅱ）过作，连结由已知得平面就是二面角的平面角经计算得，【考点】1．线面垂直的判定定理；2．二面角；9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设该棱柱各棱长为a,底面中心为O，则A1O平面ABC．在三角形A1AO中,可得．设AB中点为D，可证，AD A1D．在直角三角形ADA1中，AA1=a,AD=,解得，．故与底面所成角的正弦值为．故选B．10.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【答案】【解析】【考点】圆锥体积11.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF= ．则下列结论中正确的个数为①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④的面积与的面积相等，A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确【考点】1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质12.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,则；[②若,则；③若则；④若与相交且不垂直，则与一定不垂直．其中，所有真命题的序号是．【答案】①③【解析】②中两平面平行或垂直；④中两直线可能相交，平行或异面，可能出现异面直线垂直的情况；①③由线面垂直平行的判定与性质可知结论正确【考点】空间线面垂直平行的判定与性质13.一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为（）A．B．C．D．8【答案】B【解析】在的面上放4个小球，在在上面放一个大球，4个小球每个都与相邻两个相切，大球与四个小球都相切，记4个小球的球心依次为，大球球心为，则为正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，其高为，对应上面再放4个小球，因此的最小值为，故选B．【考点】长方体与球．14.如图，在四面体中，，，点分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）当，且时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明面面垂直应证线面垂直，首先根据图形分析需要证明面即可说明平面平面；（2）解决本题关键是找出底面上的高，由（1）很容易可以得到高为，由此可以计算三棱锥的体积．试题解析：（1）证明：∵中，分别是的中点，．，．中，，是的中点，．，面，平面平面；（2）解：，是的中点，，，，∴平面，，，，，，．【考点】空间几何体的垂直、平行、体积问题．15.如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）用几何法证明线线垂直的主要思路是证明线面垂直，则线线垂直，所以首先根据所给的条件能够确定是等腰直角三角形，是等边三角形，然后取的中点，连接，最后证明平面;（2）根据上一问的结论，根据勾股定理，证明，从而可以以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求解．试题解析：（1）证明：取的中点，连接．∵，∴又四边形是菱形，且，∴是等边三角形，∴又，∴，又，∴（2）由，，易求得，，∴，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴∴【考点】1．线与线的位置关系；2．二面角．16.如图，在正三棱锥中，．分别为棱．的中点，并且，若侧棱长，则正三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，∵三棱锥S-ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．【考点】球的体积与表面积【方法点睛】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为，则有．17.如图，在三棱锥中，△和△都为正三角形且，，，，分别是棱，，的中点，为的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求证：直线平面．【答案】（1）;（2）见解析．【解析】（1）通过构造中位线，得到，即为异面直线和所成的角，由已知数据求之即可；（2）要证平面，可在平面中构造一条直线与平行即可，连接交于点，连接，证明即可．试题解析：（1）∵，分别是，的中点，∴，∴为异面直线和所成的角．在△中，可求，，，故，即异面直线和所成的角是．（2）连接交于点，连接，∵为的中点，为的中点，∴为△的重心，∴．∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴，∵面，面，∴面．【考点】1．异面直线所成的角；2．线线、线面平行的判定与性质．18.如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由俯视图可知为的中点，与重合，与点重合．所以此时三棱锥的正视图为三角形，其面积为．故B正确．【考点】三视图．【思路点晴】本题主要考查的是三视图，属于中档题．应先根据三棱锥的俯视图确定四点的位置，还原出三棱锥的立体图，根据其立体图可得其正视图，从而可求得正视图的面积．19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．则与底面所成的角的正切值为________．【答案】【解析】设底面边长为1，取中点，连接，，所以底面，那么为与底面所成的角，，，所以．【考点】线面角【思路点睛】主要考察了线面角的求法，属于基础题型，根据线面角的定义，线与射影所成角，所以此题的关键是求在平面内的射影，所以根据底面，取中点，得底面，再连接，为与底面所成的角，根据正切公式求解．20.在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）证明：；（2）证明：平面；（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】（1）证明异面直线垂直，一般的思路是证明线面垂直，线在面内，所以线线垂直的思路，所以根据条件转化为先证明平面，而要证明平面，得先证明，条件所给，易证；（2）证明线面垂直的思路是证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，根据上一问已证明，所以只需再证明，根据条件需证明，问题会迎刃而解；（3）由题可知两两垂直，建立空间直角坐标系，设，那就可以写出各点的坐标，并分别求两个平面的法向量与，利用公式，并观察是钝二面角．试题解析：（1）证明：底面，．又面，面，．（2）证明：，是等边三角形，，又是的中点，，又由（1）可知，面（3）解：由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，则．设面的一个法向量为，即取则，即设面的一个法向量为，即取则即，由图可知二面角的余弦值为．【考点】1．线线垂直，线面垂直的证明；2．二面角；3．向量法．21.如图，已知圆柱的高为，是圆柱的三条母线，是底面圆的直径，．（1）求证：//平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）先利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，通过证明的方向向量和平面的法向量垂直进行证明；（2）先求出两个平面的法向量，利用空间向量求出其二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求解．试题解析：由是直径，可知,故由可得：,以点为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）则（1）由可得平面的一个法向量又又平面平面（2）由可得平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量设二面角为，则所以二面角的正切值为．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角；3．空间向量在立体中的应用．22.（2015秋•黄冈校级期末）如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【考点】轨迹方程．23.（2015秋•内江期末）若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】B【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形．解：圆锥的正视图有可能是三角形，圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，棱锥的正视图有可能是三角形，三棱柱放倒时正视图是三角形，∴在圆锥、圆柱、棱锥、棱柱中，正视图是三角形，则这个几何体一定不是圆柱．故选：B．【考点】简单空间图形的三视图．24.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若是两条异面直线，，，，则；④若，，，，则．其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】①不正确，还可能；②正确，，，又，；③不正确，还可能相交；④由面面垂直的性质定理可知④正确．综上可得②④正确．故B正确．【考点】1线面位置关系；2面面位置关系．25.如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面PEC，即可证明：AB⊥PC；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAB∥平面FGH．解：（Ⅰ）证明：连接EC，则EC⊥AB又∵PA=PB，∴AB⊥PE，∴AB⊥面PEC，∵BC⊂面PEC，∴AB⊥PC（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH∥AB在△PEC中，GO∥PE，∵PE∩AB=E，GO∩FH=O∴平面PAB∥平面FGH【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．26.以正方体的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨令正方体的边长为1,则由图可知.,与共线的向量的坐标为.故D正确.【考点】空间向量共线问题.27.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=" 2AD" ="2CD" =2．E是PB的中点．（I）求证；平面EAC⊥平面PBC；（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】对于问题（I），可以先证明平面，再证明，然后即可证明所需结论；对于问题（II），首先建立以为坐标原点的空间坐标系，然后再求出相应点的坐标，再由题设条件求出的长以及平面的法向量，最后利用向量的夹角公式，就可以得到直线与平面所成角的正弦值．试题解析：（I），，，，，错误！未指定书签。
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【模拟试题】一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 2. 下列四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有________个A. 1B. 2C. 3D. 43. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ）A. 12B. 24C. 214D. 4144. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的半径是（ ）A. 8cmB. 12cmC. 13cmD. 82cm5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）A. 122+ππB. 144+ππC.12+ππD. 142+ππ6. 已知直线l m ⊥⊂平面，直线平面αβ，有下面四个命题：①αβ//⇒⊥l m ；②αβ⊥⇒l m //；③l m //⇒⊥αβ；④l m ⊥⇒αβ//。
其中正确的两个命题是（ ）A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A. 63cmB. 6cmC. 2182D. 31238. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）A. 63πcmB. 3233πcm C. 833πcm D. 433πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（ ）A. m n m n ⊥，，////αβB. m n m n ⊥=⊂，，αβαC. m n n m //，，⊥⊂βαD. m n m n //，，⊥⊥αβ10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足：l l m m =⊂⊥βγααγ ，，，//，那么必有（ ）A. αγ⊥⊥和l mB. αγβ////，和mC. m l m//β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）A. 13： B. 12： C. 2：3D. 1：312. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）二. 填空题（每小题4分，共16分）13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。
15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
16. 已知αβ、是两个不同的平面，m 、n 是平面αβ及之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②αβ⊥，③n ⊥β，④m ⊥α。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。
三. 解答题（共74分）17. （12分）正方体ABCD A B C D -1111中，E 、F 、G 分别是棱DA 、DC 、DD 1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG 平行的平面，并证明之。
18. （12分）球内有相距1cm 的两个平行截面，截面的面积分别是5822ππcm cm 和，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（52+）π，求这个旋转体的体积。
21. （12分）有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB=60°，OA=72cm ，要剪下来一个扇形ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。
（如图）试求 （1）AD 应取多长？（2）容器的容积。
22. （14分）如图，正四棱柱ABCD A B C D -1111中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EF BD G =。
（1）求证：平面B EF BDD B 11⊥平面； （2）求点D 1到平面B EF 1的距离d ；（3）求三棱锥B EFD 11-的体积V 。
【试题答案】一. 1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. D9. C10. A11. D12. B二.13. π22a 14. 2cm 15. 3ab16. m n m n m n m n ⊥⊥⊥⇒⊥⊥⊥⊥⇒⊥，，（或，，）αβαβαβαβ三.17. 证明：过A C D 、、1的平面与平面EFG 平行，由E 、F 、G 是棱DA 、DC 、DD 1的中点可得GE//AD 1，GF//CD 1，GE ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ∴AD 1//平面AEG ，CD 1//平面EFG 又AD CD D 111=∴平面EFG//平面ACD 118. 解：如图，设两平行截面半径分别为r r r r 1221和，且>依题意，ππππr r 122258==，∴===-=-=-=-r r OA OA R OO R r R OO R r R 12221212122222225858，和都是球的半径∴---==∴=∴====R R R R S R cm V R cm 2222223581934364336解得球球ππππ()() 19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm设底面边长为a ，则32234a a =∴=∴正三棱柱的表面积S S S mm =+=⨯⨯+⨯⨯⨯=+侧底234221242324832() 20. 解：如图，梯形ABCD ，AB//CD ，∠A=90°，∠B=45°，绕AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
设CD x AB x ==，32AD AB CD x BC x =-==222，S S S S 全面积圆柱底圆柱侧圆锥侧=++ =⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅=+πππππππAD AD CD AD BC x x x x xx2222422222524根据题设5245222+⋅=+=ππx x ()，则 所以旋转体体积V AD CD AD AB CD =⋅⋅+⋅-ππ223()=⋅⋅+⋅⋅-=πππ1231327322()21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、R 、AD=x ，则OD x=-72由题意得AB R CD r x OD x R⌒⌒==⋅⋅==⋅⋅-=-=⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪2601807226018072723ππππ() ∴===R r x 12636，， ∴=AD cm36 （2）又圆台的高h=x R r 222236126635--=--=()()∴=++V h R Rr r 1322π()=⋅⋅+⨯+=1363512126650435223ππ()()cm 22. 证明：（1）如图，连结AC∵正四棱柱ABCD A B C D -1111的底面呈正方形∴AC ⊥BD 又AC ⊥D D 1 ∴AC ⊥平面BDD B 11∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点∴EF//AC ∴EF ⊥平面BDD B 1 ∴平面B EF BDD B 111⊥平面 解（2）在对角面BDD B 11中，作D H B G 11⊥，垂足为H ∵平面B EF BDD B 111⊥平面，且平面B EF 1 平面BDD B B G 111= ∴D H B EF H 11⊥平面，且垂足为 ∴D H 1为点D 1到平面B EF 1的距离在Rt △D HB 11中，D H D B D B H1111=⋅∠sin D B A B D B H B GB B B GB D H 111111*********4174417161717==⋅=∠=∠==∴=⋅=sin sin（2）V V V D H S B EFD D B EF B EF ===⋅⋅--11111131∆=⋅⋅⋅⋅=13161712217163。