立体几何练习题

数学立体几何练习题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ）A.45B.30C.60D.903．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC 与平面PAB所成的角的余弦值为（ ）A ．12B 。

32C 。

33D 。

634．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是A ．15B 。

13C 。

12D 。

325． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）A ．510B ．32 C ．55D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（）A ．43 B ．23 C ．433 D ．37．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ）A.60ºB. 90ºC.105ºD. 75º8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________.10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .ABMDCAB CDP 11．正四棱锥P -ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 中点，则直线AC 与截面BDE 所成的角为 ．12．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 . 13．已知边长为ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且PA=2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为 ． 14．棱长都为2的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成角的余弦值为________.三、解答题:本大题共6小题，共80分。

解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.15．如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，CA ＝CB ＝1， 90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点． (1) 求BM 的长； (2) 求〉〈11,cos CB BA 的值； (3) 求证：N C B A 11⊥．16．如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点， 且CD ⊥平面PAB ．(1) 求证：AB ⊥平面PCB ； (2) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； (3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．17．如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a （a >0），P A ⊥平面AC ，且P A =1．（1）试建立适当的坐标系，并写出点P 、B 、D 的坐标；（2）问当实数a 在什么范围时，BC 边上能存在点Q ， 使得PQ ⊥QD ？（3）当BC 边上有且仅有一个点Q 使得PQ ⊥QD 时， 求二面角Q -PD -A 的余弦值大小．18. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，,,60a AC PA ABC ===∠ a PD PB 2==，点EQ P DC BA x y在PD 上，且PE :ED ＝2:1． (1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ；(2) 求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．19. 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 31=，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的距离；(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FCPF的值．20.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点． (1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离； (3)当SAAB 的值为多少时，二面角B －SC －D 的大小为120°？理科立体几何训练题（B ）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDDADBBC二、填空题9. 459 10． 23 11. 45° 12． 45 13． 332 14 43三、解答题15解析：以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -.(1) 依题意得B （0，1，0），M （1，0，1）．3)01()10()01(222=-+-+-=∴BM .PAGBCDFEyA BC DPx yz(2) 依题意得A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）.563),2,1,0(),2,1,1(1111===⋅=-=∴CB BA CBBA1030,cos 11=>=<∴CB BA CB BA . (3) 证明：依题意得C 1（0，0，2），N )0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11=--=∴N C B A .N C B A N C B A 1111,002121⊥∴=++-=⋅∴16．解析： (1) ∵PC ⊥平面ABC,⊂AB 平面ABC ， ∴PC ⊥AB.∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． (2 由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC= 2 ．以B 为原点， 如图建立坐标系．则Ａ（０,2,０），Ｂ（0,0,0），C （2,０,0），P （2,０,2）．AP =(2,－2,2)，BC =(2,0,0)． 则AP BC ⋅=2×2+0+0=2．cos AP,BC <>=AP BCAP BC ⋅⋅=2222⨯= 21．∴异面直线AP 与BC 所成的角为3π． （3）设平面PAB 的法向量为m = (x ，y ，z )．AB=(0, －2,0),AP =(2,－2,2)， 则AB 0,AP 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,20.z ⎧=⎪+=解得0,y x =⎧⎪⎨=⎪⎩令z= -1,得 m = (2，0，-1)．由PC ⊥平面ABC 易知：平面PAC ⊥平面ABC ，取AC 的中点E ，连接BE ，则BE →为平面PAC 的一个法向量，)0,1,1(22)0,22,22(==→BE，故平面PAC 的法向量也可取为n= (1，1，0)．cos ,⋅<>=m nm n m n =33232=⨯. ∴二面角C-PA-B 的大小的余弦值为33．17．解析：（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、别为x 、y 、z 轴建立坐标系如图所示． ∵P A =AB =1，BC =a ， ∴P （0，0，1），B （1，0，0），BD （0，a ，0）．（2）设点Q （1，x ，0），则(1,,0),(1,,1)DQ x a QP x =-=--．由0DQ QP •=，得x 2-ax +1=0．显然当该方程有非负实数解时，BC 边上才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，故只须⊿=a 2-4≥0． 因a >0，故a 的取值范围为a ≥2．（3）易见，当a =2时，BC 上仅有一点满足题意，此时x =1，即Q 为BC 的中点． 取AD 的中点M ，过M 作MN ⊥PD ，垂足为N ，连结QM 、QN ．则M （0，1，0），P （0，0，1），D （0，2，0）．∵D 、N 、P 三点共线，∴(0,1,0)(0,1,1)(0,1,)111MD MP MN +λ+λ--λλ===+λ+λ+λ． 又(0,2,1)PD =-，且0MN PD •=， 故(0,1,)232(0,2,1)0113-λλ-λ•-==⇒λ=+λ+λ．于是22(0,1,)1233(0,,)25513MN -==+． 故12(1,,)55NQ NM MQ MN AB =+=-+=--．∵1202()(1)()055PD NQ •=+⨯-+-⨯-=，∴PD NQ ⊥．（资料来源： ） ∴∠MNQ 为所求二面角的平面角． ∵6cos 6||||NM NQ MNQ NM NQ •∠== 注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18解析：（1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得 30=θ；（3）解 以A 为坐标原点，直线AP AD ,分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为)0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A - )31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以=AE )31,32,0(a a ，=AC )0,21,23(a a ，=AP ),,0,0(a =PC ),21,23(a a a - =BP ),21,23(a a a -，设点F 是棱PC 上的点，==PC PF λ),21,23(a a a λλλ-，其中10<<λ，则))1(),1(21),1(23(λλλ-+-=+=a a a PF BP BF ．令AE AC BF 21λλ+=得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-221131)1(3221)1(2123)1(23λλλλλλλa a a a a a a解得23,21,2121=-==λλλ，即21=λ时，AE AC BF 2321+-=．亦即，F 是PC 的中点时，AE AC BF ,,共面，又⊄BF 平面AEC ，所以当F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．19解析：(1)以G 点为原点，GP GC GB 、、为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC ＝(0，2，4)。